Иррациональные уравнения подготовка к егэ

17
Окт 2013

Категория: Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

2013-10-17
2016-09-14

Автор: egeMax |

комментариев 10

ЕГЭ Профиль №13. Иррациональные уравненияadmin2018-08-29T20:30:33+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Инфоурок

›

Математика

›Другие методич. материалы›Подготовка к ЕГЭ. Иррациональные уравнения.

Подготовка к ЕГЭ. Иррациональные уравнения.

Что такое иррациональные уравнения?

Не секрет же, что большинство чисел можно представить в виде обыкновенной дроби с натуральными числами в числителе и знаменателе?

Например, число 7 – это (frac{21}{3})

Иррациональные числа не такие. Их невозможно представить в виде дроби. Они странные.

Гиппас создал античным математикам множество проблем: их теории о том, что все в мире соизмеримо целым числам, рушились одна за другой. И они боялись.

Но мы будем смелыми 🙂

Сначала разберемся, что такое рациональные уравнения, а потом научимся находить решение иррациональных уравнений.

Итак, что из себя представляют рациональные уравнения, а что – иррациональные:

• ( 3cdot (x+1)=x) – как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
• ( 3cdot (x+1)=sqrt{x}) – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
• ( 3cdot (x+1)=frac{1}{x}) – а это – рациональное;
• ( 3cdot (x+1)={{x}^{2}}) – тут вот степень, но она с целым показателем степени (( 2)– целое число) – значит, это тоже рациональное уравнение;
• ( 3cdot (x+1)={{x}^{-1}}) – даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь, по сути, ( {{x}^{-1}}) – это ( frac{1}{x});
• ( 3cdot (x+1)={{x}^{0}}) – тоже рациональное, т.к. ( {{x}^{0}}=1);
• ( 3cdot (x+1)={{x}^{frac{1}{2}}}) – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней ( {{x}^{frac{1}{2}}}=sqrt{x}), как ты помнишь, корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различить, к какому виду относится то или иное уравнение.

Дадим oпределение:

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. 

А вот как это выглядит: ( sqrt{x}); ( {{x}^{frac{1}{3}}}).

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?

Так избавься от них, вот и все дела!

Если еще не догадался, как, то я подскажу: просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение.

Но проверяй все корни! Позже ты поймешь, почему делать это необходимо.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать «Рациональные уравнения».

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего алгоритма:

Пример №3

( sqrt{12-x}=x)

После возведения обеих частей в квадрат имеем:

( 12-x={{x}^{2}}), упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

( {{x}^{2}}+{x}-12=0)

( left[ begin{array}{l}{{x}_{1}}=3\{{x}_{2}}=-4end{array} right.)

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки.

Подставляем ( 3), ( sqrt{9}=3), ( 3=3) – подходит.

Подставим ( -4), получим ( sqrt{16}=-4)…

Но ведь ( 4ne -4)! Что же получается, ( -4) – посторонний корень.

Заговор какой-то!

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни.

Опять объяснять буду на примере:

( -2ne 2), но если мы возведем в квадрат обе части, ( {{(-2)}^{2}}={{(2)}^{2}}), ( 4=4).

Ну как тебе фокус? 🙂

То же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние.

Их надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке.

А если взять не вторую, а третью степень:

( {{(-2)}^{3}}ne {{(2)}^{3}})

( -8ne

Пример №4 (метод уединения радикала)

( sqrt{2x+1}+sqrt{x}=1)

В этом примере есть два подкоренных выражения и число ( 1).

Чтобы избавиться от корня, нужно обе части возвести в квадрат, но, прежде чем сделать это, перенесем ( sqrt{x}) в правую часть. 

( sqrt{2x+1}=1-sqrt{x})

«Зачем?» –  спросишь ты.

Дело в том, что, если возводить в квадрат в таком виде, упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, а я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого 🙂

Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

Этот метод решения математики называют «метод уединения радикала».

Радикал (выражение с корнем) надо уединить в одной стороне уравнения. Но уединять и возводить в степень придется не один раз.

Чтобы избавиться от корней и получить нормальное (рациональное 🙂 ) уравнение, придется выполнять множество замысловатых махинаций, которые заключаются в уединении и возведении в степень.

С другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений.

Например…

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

Корни четной степени

Корни ( displaystyle 2), ( displaystyle 4), ( displaystyle 6), и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

( displaystyle sqrt[4]{x}=sqrt{sqrt{x}};text{ }sqrt[6]{x}=sqrt{sqrt[3]{x}};text{ }sqrt[2k]{x}=sqrt{sqrt[k]{x}})

Например:

( displaystyle sqrt[4]{A}=Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}A={{B}^{4}}\Bge 0end{array} right.)

Корни нечетной степени

С нечетными степенями (( displaystyle 3), ( displaystyle 5), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

( displaystyle begin{array}{l}sqrt[3]{A}=Btext{ }Leftrightarrow text{ }A={{B}^{3}}\sqrt[5]{A}=Btext{ }Leftrightarrow text{ }A={{B}^{5}}end{array})

Примеры:

• ( displaystyle sqrt[5]{2-x}=-2)
• ( displaystyle sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x)
• ( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x)
• ( displaystyle sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x)

Ответы:

•                    Орлова Светлана Григорьевна, учитель математики

  Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

• Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
• Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать  умение выбирать рациональные пути решения;
3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

• Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

• Информационно- иллюстративный;
• репродуктивный;
• проблемный диалог;
• частично-поисковый;
• системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности: 

• Фронтальная,
• групповая,
• самопроверка,
• взаимопроверка,
• коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия:   2 урока по 45 минут.

                                          План урока:

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом.

                                          Конспект урока.

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

• Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

                 Назовите иррациональные уравнения:

           

• Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит  найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

• Основные методы решения иррациональных уравнений. 

1. Уединение радикала. Возведение в степень. 

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1. использование равносильных преобразований 

для уравнения вида

                         

для уравнения вида

             

1. после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b)  При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:   

                     

Ответ: x=1

Пример 2:    

                   

Ответ: x=1

Пример 3:    

                     Проверка:   x=2           x=5         

          — посторонний корень                                                                                      

 Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:  

                   

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:  

1. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:    

                       

Сделаем замену      причём   тогда

                          не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

                            Проверка показывает, что оба корня подходят.  

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6:     .

Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение

                                              ,      .

      Тогда,        

 Выполним почленное сложение обеих частей уравнения    .

Имеем систему уравнений                  

Т.к. а + в = 4,  то  

                                   

          Значит:                       9 – x = 8 ,   х = 1.  

Ответ : х = 1

1. Метод разложения на множители или расщепления.

• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:        

                         

Ответ: -4;3  

1.    Изучение нового материала.     

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.    

1.  Умножение на сопряжённое выражение.
2. Переход к модулю.
3. Использование свойств функции:

• Область определения функции (ОДЗ)
• Область значения функции
• Свойство ограниченности функции (метод оценок)
• Свойство монотонности
• Использование суперпозиций функций                                                                  

• Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой  

Пример 8:          

Умножим обе части уравнения  на  сопряжённое выражение:

               

Проверка показывает, что  число является корнем.

Ответ:  

• Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:  

Пример 9:  

                   

Рассмотрим случаи:

                                  тогда

     

                          2=6( ложно)

Ответ:   -3;3

• Использование свойств функции:

• Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения  функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:    

                       ОДЗ:            ОДЗ: x=0  и  x=1

Проверка показывает, что только    x=1 является корнем.

Ответ:  

Пример 11:    

                    , тогда

              Тогда     невозможно.

Ответ: корней нет.

• Область  значений функции

Пример 12:  

     Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция  может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:    

  Учитывая то, что левая часть уравнения – функция     может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: 

  неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

• Свойство ограниченности функции (метод оценок)

Пример 14:    

            Заметим, что , т.е. , а

                     

                         Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:  

• Свойство монотонности

Пример 15:    .

                    Рассмотрим функции  и  .

 монотонно возрастает, а   — убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:  

Пример 16:    

          Функция   возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение  имеет не более одного корня. Так как , то  — единственный корень .

Ответ:  

• Использование суперпозиций функций                                                                  

Пример 17:    

              Запишем уравнение в виде  

       Рассмотрим функцию  — монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет  вид  . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

     не удовлетворяет условию  

                                       

Ответ:

1. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

     После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

                        1                             6                             5

                         2                             3                            4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно,  свои коррективы.

1. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
2. Задание на дом:

Решить уравнения:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. *  

Используемая литература.

1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2
3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989
4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.
5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

Вариант 1(1,3,5 группы).

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

1. Выполни замену:

1. Найди ОДЗ:

1. Умножай на сопряжённое выражение:

1. Переходи к модулю:

1. Используй свойства функций:

1. Реши любым способом:

Вариант 2( 2,4,6 группы)

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

1. Выполни замену:

1. Найди ОДЗ:

1. Умножай на сопряжённое выражение:

1. Переходи к модулю:

1. Используй свойства функций:

1. Реши любым способом:

            

Проверочная работа по теме: «Методы

Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

   

1. Выполни замену:

   

1. Найди ОДЗ:

     

1. Разложи на множители:

1. Умножай на сопряжённое выражение:

1. Переходи к модулю:

1. Используй свойства функций:

1. Реши любым способом:

     

решения иррациональных уравнений»

Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

     

1. Выполни замену:

   

1. Найди ОДЗ:

     

1. Разложи на множители:

1. Умножай на сопряжённое выражение:

     

1. Переходи к модулю:

1. Используй свойства функций:

1. Реши любым способом:

     

Урок по алгебре для 11 класса по теме «Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение Средняя Общеобразовательная Школа №7 П. Октябрьский Курганинский район

Открытый урок в 11 классе на тему

«Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ»

Обобщение и систематизация знаний и умений учащихся по теме «Решение иррациональных уравнений»; формирование умения применять полученные знания при решении задач;

Развитие самостоятельности при выполнении конкретных заданий, развитие навыков работы в группе.

Оборудование: презентация «Решение иррациональных уравнений»,

разноуровневые карточки для 1, 2 и 3 групп.

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах ( в конвертах индивидуальные задания для учащихся распечатаны на цветных карточках согласно уровню их подготовки).

Повторение теоретического материала по теме: «Арифметический корень и его свойства. Иррациональные уравнения».

Учитель поясняет учащимся, что прежде чем решать иррациональные уравнения необходимо вспомнить весь теоретический материал на котором базируется решение иррациональных уравнений.

Сформулируйте определение арифметического корня натуральной степени?

Ответ : арифметическим корнем n -й степени из числа a называют число, n -я степень которого равна a .

Для каких значений а это определение имеет смысл? Как это связано с показателем n ?

Ответ : Если n -четное, то а 0, в противном случае корень не существует.

Если n -нечетное, то а – любое и = .

Перечислить основные свойства корня n -ой степени

1. =

2. = , ( b 0 )

( = , ( если m 0 , то a 0)

=

= , ( k 0)

= , если n – четно;

a , если n -нечетно.

Если учащиеся не называют какое –либо свойство, то его напоминает учитель.

Дайте определение иррационального уравнения?

Ответ : уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональным.

Учитель предлагает рассмотреть примеры иррациональных уравнений.

Примеры: 1) =2, 2) = 3 , 3) = х – 8,

4) = 2, 5) — 6 = .

5. Какие уравнения называются равносильными?

Ответ: 1) уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

2) Два уравнения с одной переменной f ( x ) = 0 и g ( x ) = 0 называют равносильными, если множества их корней совпадают.

6. Привести примеры равносильных и не равносильных уравнений?

Учащиеся приводят примеры. Учитель приготовил примеры соответствующих уравнений и после ответов учеников демонстрирует их.

Примеры: 1) уравнения 5х — 6 = 3х + 1 и 2х = 7 – равносильны;

2) уравнения ( х-1) (х + 3) = 0 и + 2х – 3 = 0 – равносильны;

3) уравнения = 0 и = — 7 – равносильны, т. к. оба не имеют корней;

4) = х – 2 и х = — не равносильны, второе уравнение является следствием первого, т. к. первое имеет один корень х = 4 , а второе два корня х =4 и х = 1.

5) Учитель обращается к учащимся с вопросом: « Рассмотрим уравнение вида = g ( x ). Как можно получить из него уравнение, равносильное данному? Какие способы решения уравнений такого типа вы знаете?»

Ответ : учащиеся могут привести два способа решения данного уравнения:

А) Переход к равносильной системе

= g ( x ) g ( x )

f ( x ) = ( x )

Б) Возвести в квадрат данное уравнение, решить уравнение f ( x ) = ( x ).

Проверить какой из полученных корней удовлетворяет уравнению

= g ( x ).

6) Учитель предлагает учащимся рассмотреть уравнение вида = g ( x ) и прокомментировать его решение, ссылаясь на соответствующие понятия корня.

Ответ : уравнение = g ( x ) равносильно уравнению f ( x ) = ( x ) , т. к. корень нечетной степени существует из любого действительного числа.

Учитель обобщает прозвучавшие ответы на случай произвольного показателя корня.

Для любого натурального значения n справедливы равносильные переходы

= g(x) g(x) ,

f (x) = (x)

= g(x) f (x) = (x)

Учитель предлагает учащимся воспользоваться рассмотренными теоретическими фактами и решить несколько уравнений устно:

= 5, 2. = 2 , 3. = 3 . 4. = 2.

Работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.

1.Решите уравнение : = х – 2

Учащиеся могут привести одно из представленных решений:

а) используя переход к равносильной системе:

4 + 2х — = ( , — 6х = 0 , х = 0,

х – 2 0; х 2; х = 3, х = 3.

х 2;

Б) выполняя проверку найденных корней уравнения:

4 + 2х — = ( , 4 + 2х — = — 4х + 4,

— 6х = 0, 2х( х – 3) = 0, х = 0 или х = 3.

х = 0, = 0 – 2, = — 2 неверно.

х = 3, = 3 – 1. = 1 верно.

Значит, 3 – корень уравнения = х – 2

2.Решите уравнение : ( — 3 — 10 = 0

Решение . Пусть = t , t , тогда уравнение имеет вид

— 3 t – 10 = 0, отсюда t = 5 или t = — 2, что не удовлетворяет условию t . Тогда = 5 , х + 3 = 25, х = 22.

: 22.

Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания ( зеленая карточка № 1 из индивидуального конверта) , а в это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

Решите уравнение : + =

Решение: 1) Найдем ОДЗ: х – 5

х + 3 0 , х 5.

2х + 4 0

Возведем обе части уравнения в квадрат

= , х – 5 + 2 +х + 3 = 2х + 4,

2х – 2 + 2 =2х +4, 2 = 6,

, — 24 = 0, отсюда = — 4, = 6.

Так как х 5, то х = — 4 является посторонним корнем.

Учитель предлагает учащимся второй группы приступить к самостоятельному выполнению заданий ( голубая карточка №1 из индивидуального пакета).

С учащимися третьей группы учитель рассматривает решение уравнения.

4.Решите уравнение : — 1 = 3

Решение: 1) Преобразуем уравнение — 1 = 3 ,

— 1 = 3 , = 3 + 1.

ОДЗ: 2х – 10 0 , х 5.

Учитывая ОДЗ, имеем : х – 4 = + 1.

2) Решим полученное уравнение: х – 5= 3 ,

( = 3 , отсюда х = 5 или = 3 ,

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Далее учащиеся третьей группы выполняют свое задание самостоятельно ( розовая карточка № 1 из индивидуального конверта).

Учитель проверяет правильность выполнения заданий у учащихся первой и второй групп, производится корректировка решений отдельных учащихся ( если появляется необходимость).

Проверка ответов производится с использованием презентации, на слайдах которой записаны верные ответы.

По завершению проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание:

Решите уравнение : ( — 9х + 14) = 0, если уравнение имеет более одного корня , то в ответе указать их произведение.

Решение: 1) Поскольку произведение нескольких выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл, то

а) ( — 9х + 14) = 0, — 9х + 14 = 0 ,

— 9 0

(х – 2) (х -7) = 0 х = 7;

х — 3

х 3,

б) – 9 = 0, отсюда х = 3

в) (-3) 3 7 =- 63

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий (зеленая карточка №2 из индивидуального конверта).

С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает решение уравнения.

Решите уравнение : ( + =

Решение : 1) Преобразуем уравнение к виду:

( + = , ( + = .

Учитывая , что 2х – 7 0, х , имеем: 2х – 7 + = 5х – 3,

— 3х – 4 = 0.

Решим полученное уравнение: — 3х – 4 = 0, по теореме, обратной теореме Виета, имеем = -1, = 4

х , имеем х = 4.

Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания (голубая карточка №2 и розовая карточка №2 из индивидуального конверта).

Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости. После чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп. Все верные ответы на слайде.

Разноуровневая самостоятельная работа

Учитель предлагает учащимся вынуть из конверта карточки с номером 3 для выполнения самостоятельной работы

Зеленая карточка №3 (1 вариант)

Решить уравнение А) = ;

Б) = х-2; В) =11.

2. Решить уравнение ( ) =0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их произведение.

Зеленая карточка №3 (2 вариант)

Решить уравнения: А) = 4;

Б) = -3х; В) = х – 3.

2. Решить уравнение (х + 1,5) )=0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их произведение.

Голубая карточка №3 (1 вариант)

1.Решите уравнения: А) = х – 5;

Б) – = 2

2.Решите уравнение ( -х) ( — 9) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их сумму.

3.(С) Решите уравнение ( + = .

Голубая карточка №3 (2 вариант)

1. Решите уравнения: А) = х — 2

Б) = 1 +

2. Решите уравнение ( – х) ( — 4 ) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их произведение.

3. (С) Решите уравнение ( + = .

Розовая карточка № 3 (1 вариант)

Решите уравнение ( — х – 1) (4 — ) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их сумму.

(С) Решите уравнение — 2 – = 0

(С) Решите уравнение ( + =

Розовая карточка № 3 (2 вариант)

Решите уравнение ( -х + 1) ( — 9 ) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их произведение.

(С) Решите уравнение — 1 =

(С) Решите уравнение ( + = 7

Ответы на задания самостоятельной работы:

Урок “Иррациональные уравнения. Подготовка к ЕГЭ”

Разделы: Математика

— повторить и систематизировать знания учащихся по теме “Иррациональные уравнения”;

— уметь решать иррациональные уравнения основными способами;

— рассмотреть решение уравнений нестандартными способами;

— подготовить учащихся к ЕГЭ.

— развивать навыки исследовательской деятельности;

— учить логически мыслить.

— воспитывать дисциплинированность, ответственное отношение к учебному труду.

I. Организационный момент.

На этом уроке мы повторим всё, что знаем об уравнениях, а также продолжим совершенствовать навыки решения иррациональных уравнений различными способами.

II. Устная работа.

— Что такое уравнение?

— Какие уравнения называются иррациональными?

— Что такое корень уравнения?

— Что значит решить уравнение?

Проверь себя (на карточках написаны уравнения, на доске написаны варианты ответов, выбрать правильные):

Найди корни уравнения:

III. Работа у доски. Решение уравнений.

Повторим основные и часть применяемые способы решения иррациональных уравнений.

Решить уравнение. .

Решим это уравнение методом заменой переменной.

3.

Это уравнение решим с помощью ОДЗ.

х — 1 > 0 ОДЗ: х = 1

Это уравнение решим методом умножения обеих частей на сопряженный множитель.

Умножим обе части уравнения на .

.

Вот мы повторили с вами основные и часто применяемые способы решения иррациональных уравнений.

V. Cамостоятельная работа в формате ЕГЭ.

VI. Подведение итогов.

Ребята, такие виды иррациональных уравнений довольно часто встречаются в ЕГЭ. Обсуждение этого вопроса.

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Самостоятельная работа по теме «Иррациональные уравнения»

1 вариант

1. Найдите корень уравнения  .

2. Найдите корень уравнения  .

3. Найдите корень уравнения  .

4. Найдите корень уравнения   Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения  .

8. Найдите корень уравнения  .

9. Найдите корень уравнения  .

Самостоятельная работа по теме «Иррациональные уравнения»

2 вариант

1. Найдите корень уравнения  .

2. Найдите корень уравнения  .

3. Найдите корень уравнения  .

4. Найдите корень уравнения   Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

6. Найдите корень уравнения  .

7. Найдите корень уравнения  .

8. Найдите корень уравнения  .

9. Найдите корень уравнения  .

Самостоятельная работа по теме «Иррациональные уравнения»

3 вариант

1. Найдите корень уравнения  .

2. Найдите корень уравнения  .

3. Найдите корень уравнения  .

4. Найдите корень уравнения   Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

6. Найдите корень уравнения  .

7. Найдите корень уравнения  .

8. Найдите корень уравнения  .

9. Найдите корень уравнения  .

Самостоятельная работа по теме «Иррациональные уравнения»

4 вариант

1. Найдите корень уравнения  .

2. Найдите корень уравнения  .

3. Найдите корень уравнения  .

4. Найдите корень уравнения   Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

6. Найдите корень уравнения  .

7. Найдите корень уравнения  .

8. Найдите корень уравнения  .

9. Найдите корень уравнения  .

Самостоятельная работа по теме «Иррациональные уравнения»

5 вариант

1. Найдите корень уравнения  .

2. Найдите корень уравнения 

3. Найдите корень уравнения  .

4. Найдите корень уравнения   Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

6. Найдите корень уравнения 

7. Найдите корень уравнения  .

8. Найдите корень уравнения 

9. Найдите корень уравнения  .

Самостоятельная работа по теме «Иррациональные уравнения»

5 вариант

1. Найдите корень уравнения  .

2. Найдите корень уравнения 

3. Найдите корень уравнения  .

4. Найдите корень уравнения   Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

6. Найдите корень уравнения 

7. Найдите корень уравнения  .

8. Найдите корень уравнения 

9. Найдите корень уравнения  .

Ответы «Иррациональные уравнения»

	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант
1	2	3	6	2	6
2	602	21	137	9	87
3	35	58	151	122	16
4	-8	-8	-9	-9	-9
5	2	3	5	4	5
6	-14	-183	-8	9	-20
7	0	-887	-201	-80	-580
8	73	120	62	-29	26
9	2	4	17	4	33