Источник пробный экзамен по математике кировского района санкт петербурга 2015 вариант 1

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Вариант 1.

1. В школе 1050 уче­ни­ков, из них 30% — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ло фран­цуз­ский язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют фран­цуз­ский язык, если в на­чаль­ной школе фран­цуз­ский язык не изу­ча­ет­ся?

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 23 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2; 6).

4. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

6. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

8. Вы­со­та ко­ну­са равна 72, а длина об­ра­зу­ю­щей — 90. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

10. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны  нм на ди­фрак­ци­он­ную решётку с пе­ри­о­дом  нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол  (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к ре­шет­ке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма  свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  Под каким ми­ни­маль­ным углом  (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решётке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1800 нм.

11. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 13-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

14. В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной ; вы­со­та приз­мы равна  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти BCM, где M — се­ре­ди­на ребра A₁C₁.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. Две окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 9 и 4, ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных окруж­но­стей и их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

18. При каких  урав­не­ние  имеет ровно три корня?

19. Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся 

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся 

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Вариант № 10

1. На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и залил в бак 28 лит­ров бен­зи­на по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить у кас­си­ра?

Ре­ше­ние.

Цена бен­зи­на со­став­ля­ет 28  28,5 = 798 руб. По­это­му при­чи­та­ю­ща­я­ся сдача 202 рубля.

Ответ: 202

282847

202

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс ки­тай­ско­го юаня, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 23 сен­тяб­ря по 23 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена ки­тай­ско­го юаня в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­ший курс ки­тай­ско­го юаня за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что наи­мень­ший курс ки­тай­ско­го юаня был уста­нов­лен 8 ок­тяб­ря и со­ста­вил 44,3 рубля.

Ответ: 44,3.

Ответ: 44,3

500904

44,3

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.

3. Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем: Сле­до­ва­тель­но, ор­ди­на­та точки С равна 6.

Ответ: 6

27680

6

4.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 40 до­кла­дов — пер­вые два дня по 9 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между тре­тьим и чет­вер­тым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Ре­ше­ние.

За пер­вые два дня будет про­чи­та­но 18 до­кла­дов, на по­след­ние два дня пла­ни­ру­ет­ся 22 до­кла­да. По­это­му на по­след­ний день за­пла­ни­ро­ва­но 11 до­кла­дов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции, равна

Ответ: 0,275.

Ответ: 0,275

286031

0,275

5. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Мень­ший ко­рень равен −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

99623

-4

6.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все его углы равны 60°. Тогда имеем:

Ответ: 60.

Ответ: 60

52493

60

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 6.

Ответ: 6

323383

6

8.

Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 5. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку

а конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и ос­но­ва­ние, имеем:

.

Ответ: 15.

Ответ: 15

245350

15

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

67487

1

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 3 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно три метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 3 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее трёх мет­ров 1,6 − 0,2 = 1,4 се­кун­ды.

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

28059

1,4

11. От при­ста­ни А к при­ста­ни В от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 8 часов после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми равно 209 км. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 8 часов боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

Ответ: 11

39507

11

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [9; 36].

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что и най­дем про­из­вод­ную этой функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Точка ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жит от­рез­ку [9; 36]. При дан­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та функ­ция при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние:

Ответ: -77.

Ответ: -77

509996

-77

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при По­это­му мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: тогда

Вто­рой слу­чай: тогда

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем, что числа не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми дан­но­го урав­не­ния.

Ответ:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние — тре­уголь­ник (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки и пря­мо­уголь­ные, — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный. Про­ведём в нём вы­со­ту она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тем самым, ре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ:

16. Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 0,5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны за точку или на про­дол­же­нии сто­ро­ны за точку Пусть — угол между пря­мы­ми и

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. За­ме­тим, что От­ре­зок по­это­му Зна­чит, Кроме того, Сле­до­ва­тель­но,

Во вто­ром слу­чае По-преж­не­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 12 или 20.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

17. Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3. В ре­зуль­та­те вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций на 20% (после вто­рой скуп­ки общее число вы­куп­лен­ных акций уве­ли­чи­лось на 20%), а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене — еще на 20%. Най­ди­те цену тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций FAC, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла 15 тысяч акций.

Ре­ше­ние.

Пред­ло­же­ния	Цена одной акции ($)	Ко­ли­че­ство вы­куп­лен­ных акций
При дан­ном пред­ло­же­нии	Общее ко­ли­че­ство вы­куп­лен­ных акций
1	27		75 000
2	36	15 000	90 000
3	48		108 000

Ответ: цена тре­тьего пред­ло­же­ния со­ста­ви­ла $48 за одну акцию; всего было вы­куп­ле­но 108 000 акций.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство (1) за­да­ет пару вер­ти­каль­ных углов на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oxy (см. ри­су­нок). Гра­фи­ком урав­не­ния (2) яв­ля­ет­ся окруж­ность ра­ди­у­са , центр ко­то­рой ― точка ― лежит на пря­мой . По­сколь­ку оба гра­фи­ка сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой , си­сте­ма будет иметь ровно два ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда рас­сто­я­ние PK от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой

будет рав­нять­ся ра­ди­у­су дан­ной окруж­но­сти. Из тре­уголь­ни­ка POK на­хо­дим: , где ― уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой . Таким об­ра­зом, ,

, , от­ку­да

.

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем: , , или .

Ответ: или .

19. Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Вариант № 11

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 ли­стов. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пачек бу­ма­ги нужно ку­пить в офис на 4 не­де­ли?

Ре­ше­ние.

За 4 не­де­ли в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 · 4 = 4800 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 4800 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 10 пачек бу­ма­ги.

Ответ: 10.

Ответ: 10

26622

10

2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат – сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км/час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна 1 тонне силы.

Ответ: 1.

Ответ: 1

263867

1

3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 6), (9; 6), (7; 9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 12.

———-

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 27564.

Ответ: 12

21863

12

4. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 30 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 15 с пер­со­на­жа­ми мульт­филь­мов и 15 с ви­да­ми при­ро­ды. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов.

Ре­ше­ние.

ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов равна

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

1027

0,5

5. Най­ди­те ре­ше­ние урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ответ: 4

13689

4

6.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27380

0,6

7. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Чтобы найти сред­нюю ско­рость, не­об­хо­ди­мо прой­ден­ное рас­сто­я­ние раз­де­лить на время про­хож­де­ния: км/ч

Ответ: 50.

Ответ: 50

512495

50

8. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 1, 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ре­ше­ние.

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . По­это­му cумма объёмов трёх шаров равна

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый ра­ди­ус равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

75307

9

9. Най­ди­те , если  при

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0.

Ответ: 0

65919

0

10. Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна , где – масса воды в ки­ло­грам­мах, ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, – длина верeвки в мет­рах, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ной длине верёвки м:

Ответ: 2.

Ответ: 2

27958

2

11. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми и равно 150 км. Из го­ро­да в город вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 30 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 90 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист, до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де и по­вер­нул об­рат­но. Когда он вер­нул­ся в , ав­то­мо­биль при­был в . Най­ди­те рас­сто­я­ние от до . Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим км – рас­сто­я­ние от A до C, км/ч – ско­рость ав­то­мо­би­ля, ч – время дви­же­ния мо­то­цик­ли­ста от A до C. Тогда и Решим си­сте­му по­лу­чен­ных урав­не­ний:

Тогда км.

Ответ: 90.

Ответ: 90

99594

90

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −41.

Ответ: -41

70487

-41

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра: AB = 6, AD = 8, CC₁ = 16. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A₁DB.

Ре­ше­ние.

Плос­ко­сти и имеют общую пря­мую Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр к По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах Зна­чит, ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и  — это угол Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

16. Около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окруж­ность. Через точку C про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BCK, если

Ре­ше­ние.

а) Угол KBC равен углу BAC как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Пря­мые AB и CK па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, ∠ABC = ∠BCK. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки ABC и BCK по­доб­ны. Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.

б) Тре­уголь­ни­ки ABC и BCK по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен От­но­ше­ние пло­ща­дей В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

Ответ: 2.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.

17. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1 + 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му от­ку­да При a = 9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1 и

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть — один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом году со­ста­вит: После вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной Сумма долга после тре­тье­го пла­те­жа: Тре­тьим пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю:

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень.

18. Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы: Если то не­ра­вен­ство, а зна­чит и си­сте­ма не имеет ре­ше­ний. Если то ре­ше­ние не­ра­вен­ства — луч Если то ре­ше­ние не­ра­вен­ства — луч

При пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Если то ре­ше­ние этой си­сте­мы — два луча с кон­ца­ми в точ­ках Если то ре­ше­ние этой си­сте­мы — по­лу­ин­тер­вал с кон­ца­ми в точ­ках

Оче­вид­но, что при , ре­ше­ние си­сте­мы будет со­дер­жать луч, вида , где мень­шее из чисел и , а зна­чит си­сте­ма будет иметь ре­ше­ние.

Чтобы ре­ше­ния были при не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма не­ра­венств имеет ре­ше­ния при

Ответ:

19. По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a₁ = 5, a₂ = 8, …, a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, …, b_M сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

Вариант № 12

1. В квар­ти­ре уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). По­ка­за­ния счётчика 1 фев­ра­ля со­став­ля­ли 142 куб. м воды, а 1 марта — 156 куб. м. Сколь­ко нужно за­пла­тить за хо­лод­ную воду за фев­раль, если сто­и­мость 1 куб. м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 22 руб. 50 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим, сколь­ко ку­бо­мет­ров воды было из­рас­хо­до­ва­но за фев­раль: куб.м. Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо за­пла­тить: руб.

Ответ: 315

Ответ: 315

512323

315

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ве­ден­ной диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что 8 ме­ся­цев сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Ответ: 8.

Ответ: 8

509984

8

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант Ларина.

3. На ри­сун­ке угол 1 равен 46°, угол 2 равен 30°, угол 3 равен 44°. Най­ди­те угол 4. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

сумма углов в вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке равна 360°.

Ответ: 120.

Ответ: 120

27780

120

4. Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 18 пас­са­жи­ров, равна 0,82. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 10 пас­са­жи­ров, равна 0,51. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 10 до 17.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия A = «в ав­то­бу­се мень­ше 10 пас­са­жи­ров» и В = «в ав­то­бу­се от 10 до 17 пас­са­жи­ров». Их сумма — со­бы­тие A + B = «в ав­то­бу­се мень­ше 18 пас­са­жи­ров». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,82 = 0,51 + P(В), от­ку­да P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

Ответ: 0,31

509916

0,31

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −4.

Ответ: -4

26659

-4

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, , . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Углы A и HCB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, по­это­му

Ответ: 27.

Ответ: 27

27431

27

7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну где х — рас­сто­я­ние от точки отсчёта (в мет­рах), t — время дви­же­ния (в се­кун­дах). Най­ди­те её ско­рость (в мет­рах в се­кун­ду) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: м/с. При имеем: м/с.

Ответ: 72.

Ответ: 72

512493

72

8. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27172

4

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем свой­ства сте­пе­ней:

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

26798

2

10. Eмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре  Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре  кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем (с), где  — по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те (в ки­ло­воль­тах), наи­боль­шее воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло не менее 28 с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

кВ.

Ответ: 6.

Ответ: 6

28463

6

11. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 22 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 113 км/ч, и через 30 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна км/ч. За 1/2 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 22 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 69.

Ответ: 69

509156

69

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00410.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4.

Ответ: -4

26728

-4

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Тогда,

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.

14. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние — тре­уголь­ник (см. рис.), найдём его сто­ро­ны.

По­сколь­ку сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку кроме этого тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тре­уголь­ни­ки и пря­мо­уголь­ные, — их общий катет, Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равны их ги­по­те­ну­зы:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный. Про­ведём в нём вы­со­ту она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тем самым, ре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­сколь­ку рав­но­силь­ны сле­ду­ю­щие не­ра­вен­ства

С учётом этого имеем

Ответ:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2016 ва­ри­ант МА10410

16.В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а) До­ка­жи­те, что угол ABK равен углу ANK.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что и

Ре­ше­ние.

а) Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM равен

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

17. По вкла­ду «А» банк в конце каж­до­го года пла­ни­ру­ет уве­ли­чи­вать на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­вать эту сумму на 10% в пер­вый год и на оди­на­ко­вое целое число n про­цен­тов и за вто­рой, и за тре­тий годы. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром за три года хра­не­ния вклад «Б» ока­жет­ся вы­год­нее вкла­да «А» при оди­на­ко­вых сум­мах пер­во­на­чаль­ных взно­сов.

Ре­ше­ние.

Пусть на каж­дый тип вкла­да была вне­се­на оди­на­ко­вая сумма S. На вкла­де «А» каж­дый год сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20%, то есть умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент 1,2. По­это­му через три года сумма на вкла­де «А» будет равна

Ана­ло­гич­но сумма на вкла­де «Б» будет равна

где n — не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число.

По усло­вию тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

При n = 26 не­ра­вен­ство

верно, а при n = 25 не­ра­вен­ство

не­вер­но, как и при всех мень­ших n.

Ответ: 26.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2016 ва­ри­ант МА10310

18. Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Пе­ре­пи­шем дан­ное урав­не­ние в виде и по­ло­жим где Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Най­дем мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2].

Так как то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Зна­чит, функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [0; 1] и воз­рас­та­ет на от­рез­ке [1; 2]. По­сколь­ку то мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2] ― от­ре­зок [f (1); f (2)], т. е. от­ре­зок Таким об­ра­зом, урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или

Ре­ше­ние 2. По­ло­жим где и рас­смот­рим функ­цию Так как ее про­из­вод­ная то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Зна­чит, на про­ме­жут­ке [0; 2) функ­ция имеет един­ствен­ный экс­тре­мум ― ми­ни­мум Так как урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или Таким об­ра­зом, при­хо­дим к со­во­куп­но­сти

Ре­ше­ние 3. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке [0; 2] (см. ре­ше­ние 1) и ис­сле­до­вать вза­им­ное рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка этой функ­ции и пря­мой

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

19. За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и все их воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т.д.) вы­пи­сы­ва­ют на доске в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доске, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.

Вариант № 13

1. В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 800 ли­стов. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства пачек бу­ма­ги хва­тит на 9 не­дель?

Ре­ше­ние.

За 9 не­дель в офисе рас­хо­ду­ет­ся 800 · 9 = 7200 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 7200 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 15 пачек бу­ма­ги.

Ответ: 15.

Ответ: 15

508957

15

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

2. За­да­ние 2 № 27510.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с пя­то­го по две­на­дца­тый месяц (с мая по де­кабрь) была в но­яб­ре и со­став­ля­ла 6 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 6.

Ответ: 6

27510

6

3. Чему равна сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 28?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что Зна­чит, тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний. Тогда

Ответ: 28.

Ответ: 28

53073

28

4. В блюде 35 пи­рож­ков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с рыбой.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с рыбой равна

.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

1025

0,4

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

Из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­ля:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26664

14

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не равен -0,1. Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

27400

0,1

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма. На от­рез­ке [–2; 6] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, точка 4 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27502

4

8. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 3, MS = 1. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, M яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а MS — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Тогда

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

284355

1

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

77398

7

10. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где t — время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1600 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, в какой мо­мент вре­ме­ни после на­ча­ла ра­бо­ты тем­пе­ра­ту­ра ста­нет рав­ной К. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров a и b:

Через 4 ми­ну­ты после вклю­че­ния при­бор на­гре­ет­ся до 1600 К, и при даль­ней­шем на­гре­ва­нии может ис­пор­тить­ся. Таким об­ра­зом, при­бор нужно вы­клю­чить через 4 ми­ну­ты.

Ответ: 4.

Ответ: 4

41493

4

11. Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 36 ки­ло­грам­мов изюма?

Ре­ше­ние.

Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. 36 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 36 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.

Ответ: 342.

Ответ: 342

109109

342

12.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке будет наи­боль­шее из чисел и . Най­дем их:

,

За­ме­тим, что , по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке равно −33.

Ответ: −33.

Ответ: -33

70787

-33

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем,

Ответ:

14. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти .

Ре­ше­ние.

Пря­мые и FB пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой EF. Плос­кость , со­дер­жа­щая пря­мую EF, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти , зна­чит ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те BH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка , в ко­то­ром , , . По­это­му

.

Ответ: .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем или от­ку­да на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Ответ:

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Ре­ше­ние.

За­да­ние а). Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Тре­уголь­ник AKB, у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, — пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD ⊥ AB. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что BC ⊥ AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

За­да­ние б). Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а ра­ди­ус вто­рой равен 1.

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, Пусть , тогда

У тре­уголь­ни­ков AKD и AKB общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, то есть S_AKB = 4S. Ана­ло­гич­но, S_CKD = 4S. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 25S.

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции ABCD. Про­ведём к AD пер­пен­ди­ку­ляр O2H, рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₂HO₁:

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, 25S = 20, от­ку­да S = 0,8 и S_AKB = 4S = 3,2.

Ответ: 3,2.

Источник: Про­ект демонстрационной вер­сии ЕГЭ—2014 по математике.

17. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x² + x + 7 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся ве­ли­чи­ной

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 1. При­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей, если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 9, ис­ко­мая наи­мень­шая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

18. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Эти усло­вия за­да­ют «верх­нюю» по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (3; 3) ра­ди­у­са 4. Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

Эти усло­вия за­да­ют «верх­нюю» по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (а; а) ра­ди­у­са 4. По­лу­окруж­но­сти, опре­де­ля­е­мые урав­не­ни­я­ми си­сте­мы, изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке 1, обо­зна­чив по­лу­окруж­но­сти через F и Fa, а их цен­тры — О и Оа.

Дан­ная в усло­вии си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если по­лу­окруж­но­сти F и Fa имеют един­ствен­ную общую точку. Две «верх­ние» по­лу­окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо сов­па­да­ют.

При a = 3 по­лу­окруж­но­сти F и Fa сов­па­да­ют, т. е. a = 3 не яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

При a 3, точка О рас­по­ло­же­на выше точки Оа. В этом слу­чае по­лу­окруж­но­сти F и Fa имеют общую точку, если диа­метр BC по­лу­окруж­но­сти Fa имеет общую точку с по­лу­окруж­но­стью F. Край­нее по­ло­же­ние диа­мет­ра BC, при ко­то­ром он ещё имеет общую точку по­лу­окруж­но­стью F яв­ля­ет­ся по­ло­же­ние на ниж­нем ри­сун­ке, при этом точка Оа имеет ко­ор­ди­на­ты (7; 7)., т. е. a = 7. При a 7 по­лу­окруж­но­сти F и Fa не имеют общих точек. Таким об­ра­зом, все зна­че­ния яв­ля­ют­ся ис­ко­мы­ми.

При a Fa может быть по­лу­че­на па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом по­лу­окруж­но­сти F на век­тор где b = a − 3. Если при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се по­лу­окруж­но­сти F на век­тор по­лу­чен­ная по­лу­окруж­ность имеет общую точку с F, то это же спра­вед­ли­во и при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се по­лу­окруж­но­сти F на век­тор По­это­му ис­ко­мое мно­же­ство зна­че­ний па­ра­мет­ра а сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но точки a = 3, по­это­му

Ответ:

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Ки­ров­ско­го района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

19. Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а) Может ли S рав­нять­ся 8?

б) Может ли S рав­нять­ся 1?

в) Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

Вариант № 14

1. В доме, в ко­то­ром живёт Женя, один подъ­езд. На каж­дом этаже по во­семь квар­тир. Женя живёт в квар­ти­ре 87. На каком этаже живёт Женя?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 87 на 8:

.

Зна­чит, Женя живет на 11 этаже.

Ответ: 11.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Со­ста­вим таб­ли­цу эта­жей.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10401.

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с ян­ва­ря по май 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с ян­ва­ря по май (т. е. с 1 по 5 месяц) со­став­ля­ла 8 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 8.

Ответ: 8

77251

8

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

.

Ответ: 2

244986

2

4.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Сап­фир» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Сап­фир», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ответ: 0,375

321035

0,375

5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −13.

Ответ: -13

3231

-13

6. Най­ди­те тупой угол па­рал­ле­ло­грам­ма, если его ост­рый угол равен 60°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, тогда .

Ответ: 120.

Ответ: 120

27805

120

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−15; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−11;0].

Ре­ше­ние.

Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с плюса на минус. На от­рез­ке [−11; 0] функ­ция имеет две точки мак­си­му­ма x = −10 и x = −1.

Ответ: 2.

Ответ: 2

8037

2

8. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти куба с реб­ром 3:

.

Ответ: 54.

Ответ: 54

505146

54

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Ответ: 5

Ответ: 5

512352

5

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.

10. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны  нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом d нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом ост­рый угол (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма k свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать тре­тий мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 2400 нм?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства нм на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины волны света нм и но­ме­ра мак­си­му­ма :

.

Ответ: 30.

Ответ: 30

28639

30

11. Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 200 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде равна 15 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 10 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 40 часов после от­плы­тия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость те­че­ния, тогда ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния равна км/ч. На весь путь теп­ло­ход за­тра­тил 40 – 10 = 30 часов, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

Ответ: 5

26588

5

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 36.

Ответ: 36

128103

36

13. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми BA₁C₁ и BA₁D₁.

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — центр куба, а  — се­ре­ди­на а  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му Тре­уголь­ник  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу

При­мем длины ребер куба за . Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка Из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

по­сколь­ку  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли то Те­перь при­ме­ним к тре­уголь­ни­ку тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ:

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

По­это­му

Ответ:

16. Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 13 и 7.25, а его вы­со­та BD равна 5. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

Ре­ше­ние.

Пусть точки и ― цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки и со­от­вет­ствен­но, и ― ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки и ― точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­вый слу­чай (точка лежит между точ­ка­ми и см. рис. 1):

Вто­рой слу­чай (точка C лежит между точ­ка­ми и см. рис. 2):

Ответ: или

17. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на это тоже самое, что умно­жить это число на Пусть Яро­слав взял в банке руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж равен (в дан­ном слу­чае ). Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние: Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

От­сю­да

Ответ: 6409000 руб­лей.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при всех

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку для всех зна­че­ний по­лу­ча­ем:

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

Для того, чтобы любое зна­че­ние удо­вле­тво­ря­ло этой си­сте­ме не­ра­венств, нужно, чтобы каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы было вер­ным для лю­бо­го зна­че­ния , то есть дис­кри­ми­нан­ты левых ча­стей этих не­ра­венств долж­ны быть от­ри­ца­тель­ны­ми:

Ответ:

19. Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число ин­те­рес­ным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. На­при­мер, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а) При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна пяти.

б) Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 91?

в) Най­ди­те наи­мень­шее нечётное число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа.

Вариант № 15

1.

Опто­вая цена учеб­ни­ка 150 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 15% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 4550 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки учеб­ник будет сто­ить 150 + 0,15  150 = 172,5 рубля. Раз­де­лим 4550 на 172,5:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 26 учеб­ни­ков.

Ответ: 26.

Ответ: 26

77101

26

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс дол­ла­ра, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена дол­ла­ра в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­ший курс дол­ла­ра за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­ший курс дол­ла­ра был 22 ок­тяб­ря 2010 года и со­став­лял 30,3 рубля

Ответ: 30,3.

Ответ: 30,3

512366

30,3

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10108.

3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

До­стро­им четырёхуголь­ник до пря­мо­уголь­ни­ка пло­ща­ди 2 как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пло­ща­ди белых и серых ча­стей пря­мо­уголь­ни­ка равны, по­это­му ис­ко­мая пло­щадь се­ро­го четырёхуголь­ни­ка равна 1 см².

Ответ: 1

244984

1

4. За круг­лый стол на 201 стул в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 199 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, тогда есть два места через одно от нее , на каж­дое из ко­то­рых пре­тен­ду­ет 200 че­ло­век, из ко­то­рых толь­ко одна де­воч­ка. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна

Ответ: 0,01

Дру­гое ре­ше­ние:

Число спо­со­бов рас­са­дить 201 че­ло­век на 201 стул рав­ня­ет­ся .

Бла­го­при­ят­ным для нас ис­хо­дом будет ва­ри­ант рас­сад­ки, когда на «пер­вом» стуле сидит де­воч­ка, и через одно место спра­ва сидит де­воч­ка, а на осталь­ных ста де­вя­но­ста де­вя­ти сту­льях про­из­воль­но рас­са­же­ны маль­чи­ки. Ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно Так как «пер­вым» сту­лом может быть любой из двух­сот од­но­го стула (сту­лья стоят по кругу), то ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов нужно умно­жить на 201. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что между двумя де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик равна

Ответ: 0,01

325909

0,01

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 5,5.

———-

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 26653.

Ответ: 5,5

509033

5,5

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 1.

6. Угол ACB равен . Гра­дус­ная ве­ли­чи­на дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна . Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между се­ку­щи­ми CB и CA по­лу­раз­но­сти дуг AB и DE:

Ответ: 59.

Ответ: 59

52339

59

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции При каком зна­че­нии x эта функ­ция при­ни­ма­ет свое наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

508246

-4

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

8. Най­ди­те угол мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

 — диа­го­наль квад­ра­та со сто­ро­ной 3, зна­чит, тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, угол при ос­но­ва­нии равен .

Ответ: 45.

Ответ: 45

281867

45

9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

61455

2,4

10. Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна  кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь  мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше 1200 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, за какое время ав­то­мо­биль прой­дет путь мет­ров, учи­ты­вая, что сила при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля 1200 H. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля кг:

с.

Ответ: 50.

Ответ: 50

42735

50

11.

В сосуд, со­дер­жа­щий 7 лит­ров 14-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен литра. При до­бав­ле­нии 7 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

108487

7

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: −24.

Ответ: -24

77478

-24

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

а) Пе­ре­несём все члены в левую часть, пре­об­ра­зу­ем и раз­ло­жим левую часть на мно­жи­те­ли:

1 слу­чай. Если то

2 слу­чай. Если то При ре­ше­ний нет. Раз­де­лим обе части урав­не­ния на По­лу­ча­ем

Тогда

От­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б) и

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.04.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

Ре­ше­ние.

Пусть точка E — се­ре­ди­на ребра MD. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет плос­кость MAC в точке P. В тре­уголь­ни­ке MBD точка Р яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, MP:РО = 2 : 1, где O — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок FG па­рал­ле­лен AC и про­хо­дит через точку P (точка F при­над­ле­жит ребру MA, G — ребру MC), от­ку­да

Четырёхуголь­ник BFEG — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок BE — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка MBD, зна­чит,

По­сколь­ку пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MAC, диа­го­на­ли BE и FG четырёхуголь­ни­ка BFEG пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 1.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:

16. В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, если из­вест­но, что R = 4.

Ре­ше­ние.

а) Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK = x. Пусть S — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R = x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б) Пусть I и O — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.

Тогда

Ответ: б)

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

17. Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство зна­че­ний функ­ции со­дер­жит от­ре­зок

Ре­ше­ние.

За­пи­шем функ­цию в виде

От­ре­зок со­дер­жит­ся в мно­же­стве зна­че­ний дан­ной функ­ции тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ния и имеют ре­ше­ния.

Решим пер­вое урав­не­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ние при любом

Решим вто­рое урав­не­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда его дис­кри­ми­нант не­от­ри­ца­те­лен:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но,

или

Ответ:

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.

19. Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Вариант № 16

1.

Сту­дент по­лу­чил свой пер­вый го­но­рар в раз­ме­ре 900 руб­лей за вы­пол­нен­ный пе­ре­вод. Он решил на все по­лу­чен­ные день­ги ку­пить букет лилий для своей учи­тель­ни­цы ан­глий­ско­го языка. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство лилий смо­жет ку­пить сту­дент, если удер­жан­ный у него налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, лилии стоят 120 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?

Ре­ше­ние.

Налог со­ста­вит 900  0,13 = 117 руб­лей. После вы­пла­ты на­ло­га оста­нет­ся 900 − 117 = 783 рубля. Раз­де­лим 783 на 120:

.

Зна­чит, денег хва­та­ет на 6 лилий. В бу­ке­те долж­но быть не­чет­ное число цве­тов, по­это­му сту­дент купит 5 лилий.

Ответ: 5.

Ответ: 5

83781

5

2. За­да­ние 2 № 18893. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа за дан­ный пе­ри­од впер­вые вы­па­ло ровно 1,5 мил­ли­мет­ра осад­ков.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, впер­вые 1,5 мм осад­ков вы­па­ло 9 ян­ва­ря (см. ри­су­нок).

Ответ: 9.

Ответ: 9

18893

9

3. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, за­дан­ной урав­не­ни­ем 3x + 4y = 6.

Ре­ше­ние.

Общий вид урав­не­ния пря­мой y = kx + b. Тогда вы­ра­жая y из ис­ход­но­го урав­не­ния, по­лу­ча­ем:

По­это­му k = −0,75.

Ответ: −0,75.

Ответ: -0,75

27691

-0,75

4. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Пе­ре­вод­чик», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 79 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на на спе­ци­аль­ность «Та­мо­жен­ное дело», нужно на­брать не менее 79 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент Б. по­лу­чит не менее 79 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,9, по рус­ско­му языку — 0,7, по ино­стран­но­му языку — 0,8 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,9.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Б. смо­жет по­сту­пить на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей.

Ре­ше­ние.

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на «Пе­ре­вод­чи­ка»: 0,9 · 0,7 · 0,8 = 0,504, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать экза­ме­ны на «Та­мо­жен­ное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,9 = 0,567, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Пе­ре­вод­чи­ка», и на «Та­мо­жен­ное дело»: 0,9 · 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,4536. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Пе­ре­вод­чи­ка» и на «Та­мо­жен­ное дело» — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Тем самым, по­сту­пить на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,504 + 0,567 − 0,4536 = 0,6174.

Ответ: 0,6174.

Ответ: 0,6174

321893

0,6174

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 2.

Ответ: 2

509012

2

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен , CH — вы­со­та, АВ = 5, Най­ди­те AH.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что . Тогда

.

Ответ: 3,2.

Ответ: 3,2

4817

3,2

7.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−5; −13), B (7; 8), C (7; −13). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу BAC

Ответ: 1,75.

Ответ: 1,75

9641

1,75

8.

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Ра­ди­ус сферы равен по­это­му об­ра­зу­ю­щая равна

Ответ:46.

Ответ: 46

501938

46

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 101.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся пе­ри­о­дич­но­стью си­ну­са:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

26769

14

10. В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми Ом и Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой (Ом), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства Ом при из­вест­ном зна­че­нии со­про­тив­ле­ния при­бо­ров Ом:

Ом.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27975

10

11.

Два пе­ше­хо­да от­прав­ля­ют­ся од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места на про­гул­ку по аллее парка. Ско­рость пер­во­го на 0,5 км/ч боль­ше ско­ро­сти вто­ро­го. Через сколь­ко минут рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми ста­нет рав­ным 25 мет­рам?

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч – ско­рость вто­ро­го пе­ше­хо­да, тогда ско­рость пер­во­го − км/ч. Пусть через часов рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми ста­нет рав­ным 0,025 ки­ло­мет­ра. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние ста­нет рав­ным 25 мет­рам через часа или ми­ну­там.

Ответ: 3.

Ответ: 3

113441

3

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 4.

Ответ: 4

77420

4

13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что:

Ответ:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.04.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14. В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а) Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

Ре­ше­ние.

а) Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б) Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок — бис­сек­три­са угла и пусть имеем:

Тогда Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем: Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно или 8:3.

Ответ: 8:3.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

Таким об­ра­зом,

Ответ:

16. На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M — се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 27.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Пусть O – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда AO и BM — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABD, зна­чит,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA на­хо­дим, что

Зна­чит, Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что

б) Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S . Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MRA и BRC с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­ду­ет, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка BRC, про­ведённая к сто­ро­не BC, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к той же сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка BRC равна

Ана­ло­гич­но найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNP . Его вы­со­та, про­ведённая к BN , со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC , а сама сто­ро­на BN в че­ты­ре раза мень­ше сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма BC. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка PRCN равна

Ответ: .

17. Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил 60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма денег, ко­то­рые Сте­пан по­ло­жил в два раз­ных банка, со­став­ля­ет х руб. Ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы, обу­слов­лен­ный го­до­вой про­цент­ной став­кой на вклад, со­став­ля­ет в пер­вом банке u, во вто­ром v (это — не про­цент­ная став­ка).

Тогда к концу пер­во­го года хра­не­ния (60% про­цен­тов в пер­вом банке и 40% во вто­ром банке) вся сумма вкла­да стала (руб.).

Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% всей суммы во вто­рой банк, а 40% — в пер­вый банк, то вся сумма была бы равна (руб.).

Решим си­сте­му урав­не­ний от­но­си­тель­но xu и xv.

Для удоб­ства в рас­че­тах за­ме­ним число 590 000 вы­ра­же­ни­ем 590t, 610 000 — вы­ра­же­ни­ем 610t, t = 1000.

Тогда при­ве­ден­ная си­сте­ма урав­не­ний после не­ко­то­рых пре­об­ра­зо­ва­ний будет вы­гля­деть так:

Решим ее от­но­си­тель­но xu и xv.

Те­перь вос­поль­зу­ем­ся тем, что к концу вто­ро­го года сумма вкла­дов (в реале) стала 701 000 руб., т.е. 701t руб.

При

Те­перь не­труд­но найти и ис­ко­мую сумму.

(руб.)

Ответ: 749 000.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим две функ­ции: и По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Функ­ция яв­ля­ет­ся ку­соч­но-ли­ней­ной, причём при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо 3, либо 9, а при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо –3, либо –9. Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при по­это­му

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда

Зна­чит, либо

от­ку­да

либо

от­ку­да

Ответ:

19. Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2^m − 3ⁿ = 1.

Вариант № 17

1. 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 60 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 сен­тяб­ря по­ка­зы­вал 79 991 ки­ло­ватт-час, а 1 ок­тяб­ря по­ка­зы­вал 80 158 ки­ло­ватт-часов. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за сен­тябрь?

Ре­ше­ние.

Рас­ход элек­тро­энер­гии за сен­тябрь со­став­ля­ет 80 158 − 79 991 = 167 ки­ло­ватт-часов. Зна­чит, за элек­тро­энер­гию за сен­тябрь нужно за­пла­тить 1,6  167 = 267,2 рубля.

Ответ: 267,2.

Ответ: 267,2

78797

267,2

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года со­став­ля­ла −2 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: −2.

Ответ: -2

27516

-2

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

см².

Ответ: 9.

Ответ: 9

24209

9

4

В клас­се 16 уча­щих­ся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 4 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Олег и Вадим ока­жут­ся в одной груп­пе.

Ре­ше­ние.

Пусть один из дру­зей на­хо­дит­ся в не­ко­то­рой груп­пе. Вме­сте с ним в груп­пе ока­жут­ся 3 че­ло­ве­ка из 15 остав­ших­ся од­но­класс­ни­ков. Ве­ро­ят­ность того, что вто­рой друг ока­жет­ся среди этих 3 че­ло­век, равна 3 : 15 = 0,2.

Ответ: 0,2

321495

0,2

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 55.

Ответ: 55

3329

55

6. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 4 и 12.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27614

24

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка   при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

6415

5

8. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O — центр ос­но­ва­ния, S вер­ши­на, SO = 4, AC = 6. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SC.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOC. Он пря­мо­уголь­ный, т. к. SO — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а зна­чит, и пря­мой AC. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ответ: 5

284348

5

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

77413

10

10. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где h — вы­со­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее 4 мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно че­ты­ре метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 4 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни  (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее четырёх мет­ров 1,4 − 0,4 = 1 се­кун­ду.

Ответ: 1.

Ответ: 1

41337

1

11. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 255 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость мо­тор­ной лодки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На путь по те­че­нию лодка за­тра­ти­ла на 2 часа мень­ше, от­сю­да имеем:

Ответ: 16.

Ответ: 16

5687

16

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: .

Ответ: 36.

Ответ: 36

77479

36

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щее от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, от­ку­да или

Урав­не­ние кор­ней не имеет.

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим число

Ответ:а) б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

14. Рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и CC₁ равно 8. Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C, если из­вест­но, что дву­гран­ный угол приз­мы при ребре AA₁ равен 60°.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку  ― пря­мая приз­ма, ее бо­ко­вые грани ― пря­мо­уголь­ни­ки, сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и равно а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и равно Кроме того, угол  ― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре

Таким об­ра­зом,

Пусть от­ре­зок  ― вы­со­та ос­но­ва­ния (см. ри­су­нок). По­сколь­ку и то и, зна­чит, длина от­рез­ка и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние от пря­мой до па­рал­лель­ной ей плос­ко­сти

Рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник на­хо­дим:

Ответ:

Источник: Доб­ро­воль­ное тре­ни­ро­воч­ное те­сти­ро­ва­ние Санкт-Пе­тер­бург 2013.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние будем ис­кать при усло­ви­ях:

.

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть .

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве тогда от­ку­да то есть или

Ответ: .

16. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC = 12.

Ре­ше­ние.

а) Пусть O — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но, M — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б) От­пу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сред­няя AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Источник: ЕГЭ — 2015. Ос­нов­ная волна по ма­те­ма­ти­ке 04.06.2015. Ва­ри­ант 2 (Часть С).

17. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на это тоже самое, что умно­жить это число на Пусть Яро­слав взял в банке руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж равен (в дан­ном слу­чае ). Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние: Рас­кры­вая скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

От­сю­да

Ответ: 6409000 руб­лей.

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

   (1)

от­ку­да

   (2)

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ние урав­не­ний или Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от и За­пи­шем урав­не­ние в виде Левая часть этого урав­не­ния — гра­фик мо­ду­ля с вер­ши­ной в точке гра­фик левой части — гра­фик мо­ду­ля, с вер­ши­ной в точке Это урав­не­ние может иметь одно, либо бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Урав­не­ние будет иметь одно ре­ше­ние, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит выше пря­мой и пря­мая лежит ниже пря­мой либо, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит ниже пря­мой и пря­мая лежит выше пря­мой По­лу­ча­ем со­во­куп­ность двух си­стем урав­не­ний:

   (3)

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, если оба урав­не­ния со­во­куп­но­сти (2) имеют по од­но­му ре­ше­нию.

Для пер­во­го урав­не­ния имеем

Для вто­ро­го урав­не­ния:

Если урав­не­ния со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, то тогда, даже если каж­дое из них имеет по од­но­му ре­ше­нию, то эти ре­ше­ния сов­па­дут и ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь не два, а одно ре­ше­ние. Ис­клю­чим дан­ный слу­чай, найдём при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра урав­не­ния сов­па­да­ют:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 2.

19. Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное n.

а) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в) Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?

Решение заданий варианта досрочного периода ЕГЭ 2022 от 28 марта 2022 по математике (профильный уровень). Досрочник КИМ. Досрочная волна 2022. Полный разбор. ГДЗ профиль решебник для 11 класса. Ответы с решением.

Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания экзамена в ознакомительных целях.

Задание 1.
Найдите корень уравнения log₂(7 – x) = 5.

Задание 2.
В чемпионате по гимнастике участвуют 4 спортсменки из Аргентины, 7 из Бразилии, 5 из Германии и 4 из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Бразилии.

ИЛИ

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Задание 3.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 5 и CD = 27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

ИЛИ

В четырехугольник ABCD, периметр которого равен 56, вписана окружность. Найдите AB, если CD = 13.

Задание 4.
Найдите значение выражения 4^{frac{1}{5}}cdot 16^{frac{9}{10}}

ИЛИ

Найдите значение выражения frac{5^{3,7}cdot 6^{4,7}}{30^{2,7}}

Задание 5.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

ИЛИ

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Задание 6.
На рисунке изображён график функции y = f ′(x) − производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите точку максимума функции f(x).

ИЛИ

На рисунке изображён график y = f ′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (−7; 6). Найдите точку минимума функции f(x).

Задание 7.
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и v (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле:  , где f₀ = 170 Гц – частота исходного сигнала, c – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 2 м/с и v = 17 м/с – скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.

ИЛИ

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R₁ = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R₂ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ Ом и R₂ Ом их общее сопротивление дается формулой R_общ =  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах.

Задание 8.
Имеется два сплава. Первый содержит 50% никеля, второй – 15% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 175 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

ИЛИ

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй – 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Задание 9.
На рисунке изображён график функции f(x) = 5x + 9 и g(x) = ax² + bx + c, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

ИЛИ

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = a√x и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Задание 10.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

ИЛИ

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Задание 11.
Найдите точку минимума функции y = x√x – 5x + 4.

Задание 12.
а) Решите уравнение 4^{sin x} + 4^{sin(x + π)} = frac{5}{2}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [frac{5pi}{2};4pi].

Задание 13.
Вне плоскости правильного треугольника ABC взята точка D так, что cos∠DAB = cos∠DAC = 0, 2.
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если известно, что AB = 2.

Задание 14.
Решите неравенство frac{log_{2}^{}(32x)-1}{log_{2}^{2}x-log_{2}^{}x^{5}}ge -1

Задание 15.
15-го декабря планируется взять кредит размером 600 тыс. рублей в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 691 тысяч рублей?

Задание 16.
В треугольник ABC вписана окружность, которая касается AB в точке P. Точка М середина стороны AB.
а) Докажите, что MP=frac{|BC-AC|}{2}.
б) Найдите углы треугольника ABC, если известно, что отрезок MP равен половине радиуса окружности вписанной в треугольник ABC, BC > AC, отрезки MC и MA равны.

Задание 17.
Найдите всe значения параметра a, при каждом их которых система

begin{cases} frac{xy^{2}-2xy-4y+8}{sqrt{4-y}}=0, y=ax. end{cases}

имеет ровно 3 различных решения.

Задание 18.
Каждое из четырех последовательных натуральных чисел поделили на его первую цифру и сложили все полученные числа, а полученную сумму обозначили за S.
а) Может ли S = 41frac{11}{24}?
б) Может ли S = 569frac{29}{72}?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Источники заданий варианта: школа Пифагора, Профиматика, беседы vk.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.7 / 5. Количество оценок: 12

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время