История егэ 362

Установите соответствие между названиями политических партий и фамилиями их руководящих деятелей весной  — летом 1917 г.

Пояснение.

А)  Лидером партии эсеров был В. М. Чернов.

Б)  Лидером меньшевиков был Л. Мартов (Ю. О. Цедербаум).

В)  В. И. Ленин  — лидер партии большевиков.

Г)  П. Н. Милюков  — лидер партии кадетов.

Лишнее: А. И. Гучков  — лидер партии октябристов.

Ответ: 4512.

Задание 1

Решите уравнение $$11^{79}cdot(frac{1}{11})^xcdot(frac{1}{11})^{sqrt{x+11}}=1$$

Ответ: 70

Скрыть

$$79−x−sqrt{x+11}=0​$$

$$sqrt{​x+11}=79−x​$$

ОДЗ: $$​x<79​$$

Возводим в квадрат

​$$x+11=(79−x)^2$$​

​$$x^2−159x+6230=0​$$

​$$x=89$$​ – не подходит под ОДЗ

$$​x=70$$

Задание 2

Найдите вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 34.

Ответ: 0,03

Скрыть

Всего трехзначных чисел $$900$$

Из них на $$34$$ делятся $$102, 136, 170, 204,…,986 (=34cdot3, 34cdot4, 34cdot5,…)$$ – всего их $$27$$ штук $$([900/34]=27)$$

$$​P(A)=frac{27}{900}approx0,03$$

Задание 3

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 4 : 7 : 9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 338.

Ответ: 117

Скрыть

Пусть $$y$$​ – неизвестная сторона

Одно из свойств описанного четырехугольника это суммы противоположных сторон равны друг другу

$$​4x+9x=7x+y​$$

$$​6x=y​$$

$$x=frac{y}{6}​$$

$$P=4x+7x+9x+y=338​$$

$$​20x+y=338​$$

$$​20x+6x=338​$$

$$​x=13​$$

Большая сторона ​$$9x=117$$

Задание 4

Вычислите $$sin555^{circ}cdotsin1185^{circ}cdottg405^{circ}.$$

Ответ: -0,25

Скрыть

$$sin555°=sin(180°cdot3+15°)=−sin15​°$$

$$sin1185°=sin(180°cdot6+105°)=sin105°=sin(90°+15°)=cos15°$$​

$$tg405°=tg(360°+45°)=tg45°​$$

​$$−sin15°cdotcos15°cdottg45°=−0,5sin30°cdot1=−0,25$$

Задание 5

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы $$30^{circ}$$ и $$45^{circ}$$. Найдите диагональ прямоугольника, если высота пирамиды равна 4.

Ответ: 8

Скрыть

$$SB⟂(ABCD)​$$

​$$BC$$​ – проекция $$​SC$$​ на ​$$ABCD​$$

​$$BC⟂DC$$​ (т.к прямоугольник)

Значит по теореме о 3-х перпендикулярах $$​SC⟂DC​$$, значит ​$$∠BCS$$​ – есть линейный угол двугранного угла ​$$∠SBCD​$$

Аналогично с ​$$∠ABS​$$

Пусть $$​∠BCS=45$$​ и ​$$∠ABS=30​$$

​$$△SBC$$​ – прямоугольный и р/б значит​ $$BC=SB=4​$$

$$AB=frac{SB}{tg30}=4sqrt{3}$$

​$$BD=sqrt{AB^2+BC^2}=8$$

Задание 6

Ответ: -1,25

Скрыть

Если две прямые параллельные, то их угловые коэффициенты равны.

По геометрическому смыслу производной $$tgα=k​$$

$$tgα=tg(180−β)=−tgβ​$$

$$tgβ=frac{5}{4}=1,25Rightarrow -1,25$$

Задание 7

Автомобиль, масса которого равна $$m = 1200$$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $$t$$ секунд остается неизменным, и проходит за это время путь $$S = 300$$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенное в это время к автомобилю, можно вычислить по формуле по формуле $$F = frac{2mS}{t^2}$$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила $$F$$, приложенная к автомобилю, не меньше 1800 Н. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 20

Скрыть

$$frac{2cdot1200cdot300}{t^2}geq1800​$$

​$$t^2leq400​$$

​$$−20leq tleq 20​$$

Наибольшее время $$​t=20$$

Задание 8

Готовясь к олимпиаде по математике, школьник за 10 недель прорешал 700 задач. Приобретая опыт, он в каждую последующую неделю, начиная со второй, решал на 10 задач больше, чем в предыдущую. Какое количество задач успеет прорешать школьник за остающиеся до олимпиады 4 недели, если будет увеличивать количество еженедельно решаемых задач прежним образом?

Ответ: 560

Скрыть

Из условия понятно, что задача на арифметическую прогрессию.

$$​d=10​$$

$$​S_{10}=frac{2a_1+10cdot9}{2}cdot10=700​$$

​$$a_1=25​$$

​$$S_{14}=frac{2cdot25+10cdot13}{2}cdot14=1260​$$

$$​S_{14}−S_{10}=560$$

Задание 9

Ответ: 61

Скрыть

Из рисунка видно, какие точки удобнее всего взять

​$$1=a^2+b​$$

​$$5=a^3+b​$$

Вычтем одно из другого

$$​a^3−a^2=4​$$

$$​a(a^2−a)=4​$$, очевидно, что ​$$a=2​$$

Значит, $$​b=3$$

$$​f(x)=2^x−3​$$

​$$f(6)=61$$

Задание 10

Васе нужно забить в дубовую доску гвоздь. Если гвоздь стальной, то он согнется с вероятностью 0,1, а если гвоздь медный, то он согнется с вероятностью 0,3. На столе вперемешку лежат 6 стальных и 4 медных гвоздя. Вася берет первый попавшийся гвоздь со стола и пытается забить его в доску. Найдите вероятность того, что этот гвоздь не согнется.

Ответ: 0,82

Скрыть

События:

​$$A_1$$​ — достанет стальной гвоздь и он не согнется

$$A_2$$ ​- достанет медный гвоздь и он не согнется

Они несовместные, значит

$$​P(A)=P(A_1+A_2)=P(A_1)+P(A_2)​$$

​$$P(A_1)=frac{6}{10}cdot0,9​=0,54$$

​$$P(A_2)=frac{4}{10}cdot0,7=0,28$$

$$P(A)=0,54+0,28=0,82$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=frac{3x-pi}{pi}cdotcos x-frac{3}{pi}cdotsin x+21$$ на отрезке $$[0;2pi]$$

Ответ: 26

Скрыть

Найдём критические точки​ $$y’=0​$$

$$​frac{3}{π}cdotcos x−frac{3x−π}{π}cdotsin x−frac{3}{π}cos x=0​$$

$$−frac{3x−π}{π}cdotsin x=0$$​

$$sin x=0​​x=πn​$$

$$​x=frac{π}{3}$$​

Так как отрезок $$[0;2pi]$$, то подозрительные точки:

​$$x=0,frac{π}{3},π,2π​$$

Проверяем все.

$$​y(2π)=26​$$

А) Решите уравнение $$sqrt{3}sin^2 2x-2sin 4x+sqrt{3}cos^2 2x=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-1; 1]$$

Дана правильная шестиугольная призма $$ABCDEFA_1В_1С_1D_1E_1F_1$$ со стороной основания $$sqrt{3}$$ и боковым ребром $$1$$.

а) Докажите, что плоскости $$АСА_1$$ и $$В_1СЕ_1$$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями $$В_1СЕ_1$$ и $$АВС$$.

Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О, ВС и AD — основания трапеции.

a) Докажите, что $$frac{S_{Delta ABO}}{S_{Delta AOD}}=frac{BC}{AD}$$.

б) Найдите площадь трапеции, если $$AD=4BC, S_{Delta AOB}=2$$.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение:

$$frac{a}{25^x}-a=2-frac{25^{-2x}}{5}$$

имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Натуральные числа от $$1$$ до $$n$$ в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, что сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при $$n = 7$$;

б) при $$n = 12$$;

в) при $$n = 2015$$?