Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.
Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!
Темы для повторения:
New
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021
Квадратичные неравенства
Метод интервалов
Уравнения и неравенства с модулем
Иррациональные неравенства
Показательные неравенства
Логарифмические неравенства
Метод замены множителя (рационализации)
Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15
Логарифмические неравенства повышенной сложности
Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.
Дробно-рациональные неравенства
1. Решите неравенство:
Сделаем замену
Тогда , а
Получим:
Решим неравенство относительно t методом интервалов:
Получим:
Вернемся к переменной x:
Ответ:
Показательные неравенства
2. Решите неравенство
Сделаем замену Получим:
Умножим неравенство на
Дискриминант квадратного уравнения
Значит, корни этого уравнения:
Разложим квадратный трехчлен на множители.
. Вернемся к переменной x.
Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?
Ответ:
Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.
3. Решите неравенство
Сделаем замену Получим:
Вернемся к переменной
Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?
Оценим Для этого рассмотрим функцию
Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом
Мы получили, что
Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.
Но если и , то
Мы получили:
Ответ:
Логарифмические неравенства
4. Решите неравенство
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.
Ответ:
Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!
5. Решите неравенство
ОДЗ:
Замена
Ответ:
А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.
6. Решите неравенство:
Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия
Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,
Поскольку
Согласно методу замены множителя, выражение заменим на
Получим систему:
Решить ее легко.
Ответ: .
Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.
7. Решите неравенство:
ОДЗ:
Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.
Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.
Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.
Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.
Ответ:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
14 задача ЕГЭ – это всегда неравенство. На реальных ЕГЭ бывают 3 вида неравенств: показательные, логарифмические и смешанные.
Что нужно знать?
- Метод интервалов
- Как решаются дробно-рациональные неравенства
- Как делается замена и обратная замена в неравенствах
- Как решаются показательные неравенства
- Свойства логарифмов
- Как решаются логарифмические неравенства
- Метод рационализации
Задачи, которые были на экзамене за последние 7 лет с решениями на полный балл
2022:
Решение
2021:
Решение
2020:
Решение
2019:
Решение
2018:
Решение
2017:
Решение
2016:
Решение
2015:
Решение
Процент выполнения
А вот данные сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на неравенство в разные годы:
Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году*, набрал в задаче хотя бы 1 балл:
* так как в 2022 году ЕГЭ был сильно скорректирован, то некоторые задачи изменили свой номер, какие-то исчезли совсем, а другие добавились. В таблице приведены данные 2021 года, приведенные к формату экзамена 2022 (поэтому, например, в задачах 9 и 10 стоят прочерки – это новые задачи)
Типичные ошибки
1. Ошибки по невнимательности
Если вы будете готовиться к 14 задаче ЕГЭ, то практически наверняка одной из главных проблем станут ошибки по невнимательности. Из всех задач профильного ЕГЭ эта задача, пожалуй, самая опасная в плане мелких ошибок. Как научиться не допускать их написано в этой статье.
Примеры таких ошибок по невнимательности выделены желтым
2. Неправильно использовать метод интервалов
Метод интервалов – это база для 14 задачи ЕГЭ. Поэтому если вы хотите научиться решать неравенства на ЕГЭ – первым делом освойте метод интервалов, чтоб ошибок не было. Вот как «косячат» в нем школьники на реальном экзамене.
3. Умножить/делить на выражение с переменной
Почему в общем случае неравенство нельзя умножать или делить на выражение с переменной? Все дело в том, что если мы неравенство умножаем (делим) на положительное число, то должны оставить знак сравнения тем же, а если на отрицательное – перевернуть его.
(2x>4) (-2x>4)
(x>2) (x<-2)
Но чаще всего мы не знаем положительно или отрицательно выражение, на которое собрались умножать (делить), потому что при разных значениях переменной знак выражения может меняться. То есть, возникает неясность — переворачивать знак сравнения или оставить тем же? Поэтому в неравенствах так не делают. В уравнении можно, в неравенстве нет.
Уравнение (можно и нужно умножать на икс) |
Неравенство (нужно приводить к общему знаменателю) |
(frac{1}{x}=1) |(·x) | (frac{1}{x}>1) |
(1=x) | (frac{1}{x}-1>0) |
(x=1) | (frac{1-x}{x}>0) (|·(-1)) |
(frac{x-1}{x}<0) | |
(x∈(0;1)) |
Хотя бывают исключения, когда знак выражения с иксом определен. Например, на (2^x) умножить или разделить неравенство можно, потому что (2^x) положительно всегда, независимо от значения (x).
(frac{2^x-1}{2^x} ≥0) (|cdot2^x)
(2^x-1≥0)
Также бывает, что выражение положительно не всегда, но мы знаем, что в данном конкретном неравенстве это так, поскольку, например, таковы требования ОДЗ.
(log_2x+log_2frac{1}{x^2}≥0) (log_2x frac{1}{x^2} ≥log_21) (frac{1}{x}≥ 1) (|cdot x) (1≥x) (x≤1) |
Огр. (begin{cases} x>0 \ frac{1}{x^2} >0 end{cases}) |
Несколько примеров с ошибками:
4. Неправильно привести к общему знаменателю
Чаще всего такую ошибку допускают те ученики, которые ленятся написать лишнюю строчку, делают два, а то и три действия за один ход: сразу и домножаем, и раскрываем скобки, и тут же в уме приводим подобные слагаемые. Вот, например, в примере внизу пропущен шаг домножения дробей на недостающие множители и раскрытие скобок. Подозреваю, что из-за этого и возникла ошибка.
Сравните с этим бланком, где выпускник все сделал постепенно, по шагам и закономерно получил верный ответ.
5. Не сделать обратную замену
Это вообще классика – сделать замену и забыть вернуться к исходной переменной. Вот пример.
6. Неправильно снять квадрат
Такая ошибка редко совершается на самом ЕГЭ, потому что так обычно ошибаются те, кто только начал проходить неравенства. Но зато в начале пути ее делают практически все, поэтому я внесла её в список.
Глава 1. Вебинар по оформлению задач второй части ЕГЭ по математике (3 часа, 10 минут)
Почему важно начать учиться оформлять задачи второй части за 30 дней до ЕГЭ? Потому что вам нужно выработать привычку это делать.
Привычка формируется 30 дней (есть исследования). Если вы узнаете о том, как оформлять задачи за неделю до экзамена, будет поздно.
Поэтому читайте материал первой главы, смотрите наше первый вебинар и потом применяйте на практике то, что вы узнаете при решении задач постоянно в течение 30 ДНЕЙ!
И прекратите терять баллы на ровном месте!
Научиться правильно оформлять задачи 2 части ЕГЭ по математике намного проще, чем научиться их решать!
Но тем не менее, каждый год огромное количество людей теряют десятки баллов из-за неправильного оформления.
Если вы посмотрите видео, вы научитесь оформлять задачи так, что гарантированно 100% экспертов ЕГЭ поставят вам полный балл (если вы правильно решите задачу, конечно же;)
На этом видео мы очень подробно разберем все задачи второй части профильного ЕГЭ по математике, и вы узнаете все нюансы оформления:
- Что такое критерии, как их понимать?
- Что считается опиской, что – арифметической ошибкой, а что – грубой «смысловой» ошибкой?
- Нужно ли делать проверку ответов (да), и как её делать?
- Тригонометрия: нужно ли писать разные буквы (n, m, k) в ответах или можно использовать одну для всех формул?
- Какие способы отбора корней лучше использовать в задаче 13 б), а какие лучше не трогать?
- Как правильно показывать отбор на единичной окружности и не потерять при этом балл?
- В каких случаях предпочтительно пользоваться окружностью, а в каких – двойным неравенством?
- Насколько подробно нужно расписывать решения уравнений и неравенств?
- Нужно ли на чистовике полностью прописывать дискриминант и поиск корней, или достаточно вычислить их устно «по теореме Виета»?
- Как не запутаться в «значках»: где использовать равносильность, а где следствие, как не перепутать систему и совокупность и прочее?
- Можно ли использовать метод рационализации: мифы и реальность Вспомним, что такое ОДЗ, и всегда ли его нужно писать, и как его правильно писать?
- Экономическая задача – это вообще отдельная история. Как могут давать аж 3 первичных балла за простую задачу на проценты? А оказывается, что их за саму задачу и не дают: их дают за правильное оформление! И снимают за каждую мелочь. Многие получают 0 баллов, даже получив правильный ответ. Я очень подробно разберу, что же именно от нас нужно, и как не упустить халявные 3 балла.
- Задачи с параметром чаще всего тоже требуют довольно подробных объяснений, особенно, если мы выбираем графический метод решения. Геометрия.
- Можно ли не решать пункт а, но пользоваться им в решении пункта б? Обязательно ли делать рисунок?
- Как в стереометрии показывать построение сечений? Какими теоремами можно пользоваться без доказательства?
- Обязательно ли писать название каждой теоремы? Задача 19 – в каких случаях достаточно примера, а в каких – обязательно писать полное доказательство?
- И много других нюансов, которые уже не помещаются в этот длинный список!
Если вам понравилось видео, подписывайтесь, ставьте лайки – это поможет тому, чтобы его увидели другие:
Тайм-коды для просмотра этого видео на YouTube:
Для тех, кто предпочитает смотреть видео на YouTube, вы можете перейти по этим тайм-кодам на наш канал на YouTube.
- 0:00 Вступление
- 2:52 Как выглядят критерии
- 4:09 Задача 13
- 5:59 ОДЗ
- 7:37 Можно ли не писать ОДЗ для логарифма?
- 9:00 Записали ОДЗ, но получили 0 баллов – как же так:(
- 12:23 Задача 13 (а)
- 14:00 Подписи осей единичной окружности
- 17:46 Разные или одинаковые буквы использовать в сериях корней (тригонометрия)?
- 26:30 Задача 13 (б) – первый способ, через двойное неравенство
- 32:35 Второй способ, через окружность
- 35:32 Система, совокупность – что это и что делать, если вы их путаете
- 37:11 Лайфхак – как быстро расставить корни на окружности
- 41:06 Третий способ – подбором
- 50:38 Замена переменных – как описывать
- 51:10 Квадратные уравнения – дискриминант или Виет?
- 58:13 Задача 15
- 1:02:26 Упрощаем себе вычисления ОДЗ
- 1:03:50 Пользуемся ОДЗ – упрощаем себе решение неравенства
- 1:04:55 Смешанное неравенство – первый способ (как лучше не делать)
- 1:07:47 Второй способ – обобщённый метод интервалов (и его подводные камни)
- 1:13:32 Метод рационализации – можно ли пользоваться и нужно ли доказывать?
- 1:18:50 Вывод по 15 задаче, критерии
- 1:21:35 Ответ, отличающийся на конечное число точек
- 1:25:42 Проверка ответов в неравенствах – как?
- 1:29:00 значок равносильности
- 1:40:30 Задача 17
- 1:49:50 Критерии; что такое мат. модель?
- 1:52:00 Четыре фразы, которые нужно обязательно написать
- 1:56:00 Умножать на проценты можно? А складывать?
- 2:03:28 Задача 18
- 2:09:46 Обязательно ли нужен красивый рисунок? Как потерять баллы из-за рисунка
- 2:14:05 Полностью обоснованное решение
- 2:15:40 Разбор критериев на 4, 3, 2 и 1 балл
- 2:20:11 Можно ли решать не через окружности, а аналитически?
- 2:21:13 Задача 19: подбор в пункте (а) и “оценка + пример” в пункте (в)
- 2:27:00 Задача 14
- 2:27:40 Координатный метод
- 2:30:33 Можно ли брать числа из пункта (б), когда решаем пункт (а)?
- 2:35:13 Построение сечения (с обоснованием)
- 2:39:05 Значки “лежит”, “принадлежит” – в чём отличие и важно ли не перепутать?
- 2:44:35 В пункте (б) пользуемся недоказанным пунктом (а) – в задачах 14 и 16
- 2:48:15 Использование “необычных” теорем – можно ли без доказательства?
- 2:51:30 Если забыл название теоремы
- 2:53:54 Элементарные вещи можно не выводить
- 2:57:05 Теорема Фалеса или обратная теорем Фалеса?
- 2:58:35 Что будет на Марафоне и кому он нужен
- 3:00:16 Призы
- ЕГЭ по математике профиль
В презентации: консультация по математике «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике 2020» показаны примеры и анализ решения заданий повышенного уровня с развернутым ответом заданий профильного уровня 13, 15 и 17.
На слайдах представлен примерный ход решения с ответом. Также даны рекомендации и задания на повторение.
Автор: Козляковская Л. С.
→ Скачать примеры
Пример заданий:
Задача №13
Суть задачи №13 сводится к решению уравнения (в 95% случаев – тригонометрического) с использованием различных формул и методов преобразования и упрощения выражений.
В задаче №15 нужно решить неравенство (т.е. найти множество всех значений х, при которых это неравенство выполняется), подробно изложив ход решения.
Задачи №17 — это текстовые задачи экономического содержания, в которой усилена практическая составляющая условия.
Данные задачи можно разделить на два типа: задачи, использующие дискретные модели (проценты, кредиты, вклады, вклады с пополнением и др.), и задачи, использующие непрерывные модели (производство, объемы выпускаемой продукции, протяженные во времени, и др.).
В любом случае, данные задачи требуют построения математической модели, введения переменных и решения составленных уравнений или системы уравнений.
Связанные страницы: