Как оформлять 18 задание егэ математика профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Вот она! Загадочная. Нестандартная. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Эта задача оценивается в целых 4 первичных балла, и они пересчитываются в 9-10 тестовых.

Можно ничего не знать. И удачно подобрать пример. И получить 1 балл за пункт (а). Во всяком случае, попробовать это сделать.

А можно потратить 2 часа на перебор вариантов… и так ничего и не найти. Если не знаешь секретов решения этой задачи. ОК, некоторые из секретов мы расскажем.

Действительно, пункт (а) в задаче 18 почти всегда решается сразу. Пункт (б) тоже решается быстро, но только если повезет. Пункт (в) без специальной подготовки решить невозможно.

Необходимая теория для решения задач на числа и их свойства — это всего две страницы. Делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основная теорема арифметики, признаки делимости на 3, на 4, на 5, на 8, 9, 10 и 11. Ничего сложного.

Повторите также темы: Арифметическая прогрессия и Геометрическая прогрессия.

Начинать лучше всего с подготовительных задач.

Затем стоит освоить метод «Оценка плюс пример». Для того чтобы применить этот метод, от строгих оценок, которые даны в условии (со знаками > или < ), переходим к нестрогим (со знаками ≥ или ≤ ).

Узнать о секретах решения задания 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Узнать больше о решении уравнений в целых числах. В школьных учебниках этого нет.

Один из необходимых навыков для решения пункта (в) – работа с неравенствами. В школьных учебниках этого тоже нет.

Многие считают, что если в этой задаче в пункте (а) ответ «да», то во втором обязательно должно быть «нет». Авторитетно заявляем: нет, необязательно! Может быть любое сочетание из «да» и «нет». И может быть «да» в обоих пунктах, и «нет» в обоих.

Если вопрос в этой задаче (неважно, в каком пункте) формулируется как «Может ли быть…» — и дальше некоторое утверждение, и ваш ответ: «Да», — то одного вашего «Да» недостаточно. Нужен пример. И если вы его подберете, вы не обязаны объяснять, как нашли его.

Если ответ на этот вопрос: «Нет», то вам нужно это доказать. «Нет, потому что…» — и приводите свое доказательство.

В общем, проще показать это на примерах:

1. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

а) Заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делится на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.

б) Да, на 33 пункта заряд мог уменьшиться.

Пусть на х уровнях получено по 3 звезды, на у уровнях — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.

Тогда:

, то есть .

Сложив уравнения и , получим, что x+y+z=7 (пройдено 7 уровней).

Системе удовлетворяют При этом заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта.

в) Поскольку и x+y+z=7 , получаем, что y+2z=4 . Возможны варианты:

z=0 , тогда, получено 47 тысяч очков.

z=1 , тогда , получено 48 тысяч очков.

z=2 , тогда , получено 49 тысяч очков – это максимально возможное количество.

Это была простая задача №18. А вот сложная.

2. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Пусть в первой школе писали тест учеников, а во второй учеников, причем
m=51-n , .

Пусть учащиеся первой школы набрали в сумме $S_{1}$ балл, а учащиеся второй $S_{2}$ баллов.

Тогда средние баллы равны $frac{S_{1}}{n}$ и $frac{S_{2}}{m}$ .

Пусть из первой школы во вторую перешел ученик, набравший за тест баллов.

а) Предположим, что средний балл в школе № 1 вырос в два раза. Тогда $frac{2S_1}{n}= frac{S_1 - k}{n-1}$ .

Отсюда: $S_{1}left ( n-2 right )=-kn$ .

Поскольку положительно, получаем, что – противоречие с условием.

Ответ в пункте (а): нет.

б) Во втором пункте ответ тоже «нет». Предположим, что $frac{S_{2}}{m}=1$ . Получим:

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{m+1}=1,1cdot frac{S_{2}}{m}$ .
Поскольку m=51-n ,

$frac{S_{2}+k}{52-n}=1,1cdot frac{S_{2}}{51-n}$ .

Если $frac{S_{2}}{m}=1$ ,то $frac{S_{2}}{51-n}$ .

Тогда:

$frac{51-n+k}{52-n}=1,1$ . Отсюда:

. Очевидно, kleq 6 и .

Что будет, если k=6 ? Тогда .

Подставив эти и в уравнение

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ , получим: $frac{S_{1}-6}{2-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{2}$ , $S_{1}=frac{40}{3}$ , противоречие с условием, поскольку $S_{1}$ – целое. Значит,

С другой стороны, из условия $frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ получаем, что
$10kn=S_{1}left ( 11-n right )$ , значит, .

Но если , то и kgeq 6 – получили противоречие.

в) По условию, и в первой, и во второй школах первоначально средний балл был целым числом. Он не может быть равен единице (из пункта (б)). Проверим, может ли он быть равен 2, 3, 4…

Пусть первоначально средний балл равен 2. Тогда

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{52-n}=frac{1,1cdot S_{2}}{51-n};$

$frac{S_{2}}{m}=2$ . Условие по-прежнему должно выполняться.

Преобразуя эти уравнения, получим:

$S_{2}=2left ( 51-n right )=102-2n;$

$frac{102-2n+k}{52-n}=1,1cdot 2;$

Значит, $kgeq frac{52}{5}$ и kleq 12 . Подходит k = 11 и k = 12 .

При таких значениях уравнение n=62-5k имеет решения n = 7 или n = 2 .

Подставим поочередно пары и в уравнение

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ , получим, что целых решений $S_{1}$ это уравнение не имеет.

Пусть первоначально средний балл равен 3. Тогда

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{52-n}=frac{1,1cdot S_{2}}{51-n};$

$frac{S_{2}}{m}=3$ ,

$frac{153-3n+k}{52-n}=1,1cdot 3;$

, подходит , тогда $S_{1}=40$ .

Например, в первой школе тест писали 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов. В школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Да, непростая это задача, восемнадцатая задача из варинта ЕГЭ. Но если к ней привыкнуть, потренироваться, то вполне можно решить и заработать необходимые на ЕГЭ баллы. Мы учим решать эту задачу на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе. Многим нашим выпускникам она обеспечила поступление на бюджетные отделения ведущих вузов.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 18. Числа и их свойства u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Глава 1. Вебинар по оформлению задач второй части ЕГЭ по математике (3 часа, 10 минут)

Почему важно начать учиться оформлять задачи второй части за 30 дней до ЕГЭ? Потому что вам нужно выработать привычку это делать.

Привычка формируется 30 дней (есть исследования). Если вы узнаете о том, как оформлять задачи за неделю до экзамена, будет поздно.

Поэтому читайте материал первой главы, смотрите наше первый вебинар и потом применяйте на практике то, что вы узнаете при решении задач постоянно в течение 30 ДНЕЙ!

И прекратите терять баллы на ровном месте!

Научиться правильно оформлять задачи 2 части ЕГЭ по математике намного проще, чем научиться их решать!

Но тем не менее, каждый год огромное количество людей теряют десятки баллов из-за неправильного оформления.

Если вы посмотрите видео, вы научитесь оформлять задачи так, что гарантированно 100% экспертов ЕГЭ поставят вам полный балл (если вы правильно решите задачу, конечно же;)

На этом видео мы очень подробно разберем все задачи второй части профильного ЕГЭ по математике, и вы узнаете все нюансы оформления:

Что такое критерии, как их понимать?
Что считается опиской, что – арифметической ошибкой, а что – грубой «смысловой» ошибкой?
Нужно ли делать проверку ответов (да), и как её делать?
Тригонометрия: нужно ли писать разные буквы (n, m, k) в ответах или можно использовать одну для всех формул?
Какие способы отбора корней лучше использовать в задаче 13 б), а какие лучше не трогать?
Как правильно показывать отбор на единичной окружности и не потерять при этом балл?
В каких случаях предпочтительно пользоваться окружностью, а в каких – двойным неравенством?
Насколько подробно нужно расписывать решения уравнений и неравенств?
Нужно ли на чистовике полностью прописывать дискриминант и поиск корней, или достаточно вычислить их устно «по теореме Виета»?
Как не запутаться в «значках»: где использовать равносильность, а где следствие, как не перепутать систему и совокупность и прочее?
Можно ли использовать метод рационализации: мифы и реальность Вспомним, что такое ОДЗ, и всегда ли его нужно писать, и как его правильно писать?
Экономическая задача – это вообще отдельная история. Как могут давать аж 3 первичных балла за простую задачу на проценты? А оказывается, что их за саму задачу и не дают: их дают за правильное оформление! И снимают за каждую мелочь. Многие получают 0 баллов, даже получив правильный ответ. Я очень подробно разберу, что же именно от нас нужно, и как не упустить халявные 3 балла.
Задачи с параметром чаще всего тоже требуют довольно подробных объяснений, особенно, если мы выбираем графический метод решения. Геометрия.
Можно ли не решать пункт а, но пользоваться им в решении пункта б? Обязательно ли делать рисунок?
Как в стереометрии показывать построение сечений? Какими теоремами можно пользоваться без доказательства?
Обязательно ли писать название каждой теоремы? Задача 19 – в каких случаях достаточно примера, а в каких – обязательно писать полное доказательство?
И много других нюансов, которые уже не помещаются в этот длинный список!

Если вам понравилось видео, подписывайтесь, ставьте лайки – это поможет тому, чтобы его увидели другие:

Тайм-коды для просмотра этого видео на YouTube:

Для тех, кто предпочитает смотреть видео на YouTube, вы можете перейти по этим тайм-кодам на наш канал на YouTube.

0:00 Вступление
2:52 Как выглядят критерии
4:09 Задача 13
5:59 ОДЗ
7:37 Можно ли не писать ОДЗ для логарифма?
9:00 Записали ОДЗ, но получили 0 баллов – как же так:(
12:23 Задача 13 (а)
14:00 Подписи осей единичной окружности
17:46 Разные или одинаковые буквы использовать в сериях корней (тригонометрия)?
26:30 Задача 13 (б) – первый способ, через двойное неравенство
32:35 Второй способ, через окружность
35:32 Система, совокупность – что это и что делать, если вы их путаете
37:11 Лайфхак – как быстро расставить корни на окружности
41:06 Третий способ – подбором
50:38 Замена переменных – как описывать
51:10 Квадратные уравнения – дискриминант или Виет?
58:13 Задача 15
1:02:26 Упрощаем себе вычисления ОДЗ
1:03:50 Пользуемся ОДЗ – упрощаем себе решение неравенства
1:04:55 Смешанное неравенство – первый способ (как лучше не делать)
1:07:47 Второй способ – обобщённый метод интервалов (и его подводные камни)
1:13:32 Метод рационализации – можно ли пользоваться и нужно ли доказывать?
1:18:50 Вывод по 15 задаче, критерии
1:21:35 Ответ, отличающийся на конечное число точек
1:25:42 Проверка ответов в неравенствах – как?
1:29:00 значок равносильности
1:40:30 Задача 17
1:49:50 Критерии; что такое мат. модель?
1:52:00 Четыре фразы, которые нужно обязательно написать
1:56:00 Умножать на проценты можно? А складывать?
2:03:28 Задача 18
2:09:46 Обязательно ли нужен красивый рисунок? Как потерять баллы из-за рисунка
2:14:05 Полностью обоснованное решение
2:15:40 Разбор критериев на 4, 3, 2 и 1 балл
2:20:11 Можно ли решать не через окружности, а аналитически?
2:21:13 Задача 19: подбор в пункте (а) и “оценка + пример” в пункте (в)
2:27:00 Задача 14
2:27:40 Координатный метод
2:30:33 Можно ли брать числа из пункта (б), когда решаем пункт (а)?
2:35:13 Построение сечения (с обоснованием)
2:39:05 Значки “лежит”, “принадлежит” – в чём отличие и важно ли не перепутать?
2:44:35 В пункте (б) пользуемся недоказанным пунктом (а) – в задачах 14 и 16
2:48:15 Использование “необычных” теорем – можно ли без доказательства?
2:51:30 Если забыл название теоремы
2:53:54 Элементарные вещи можно не выводить
2:57:05 Теорема Фалеса или обратная теорем Фалеса?
2:58:35 Что будет на Марафоне и кому он нужен
3:00:16 Призы

Источник

16 февраля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором.

Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Для того чтобы продвинуться в его решении, не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, однако необходимо проявить определённый уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе. Ответ на первый вопрос задачи по силам большинству успевающих учеников, главное здесь — не испугаться условия, дочитать его до конца и немного подумать.

Успешность решения задания 18 (ранее 21 или 19) в ЕГЭ 2011-2020 гг.

Доля выпускников, приступивших к выполнению этого задания вариантов ЕГЭ в 2011—2021 гг., в среднем составляет 12—15% от общего числа сдающих. В таблице указан процент выпускников, получивших в разные годы за выполнение этого задания от 1 до 4 баллов.

Общность всех формулировок заданий №18 последних лет

С 2010 года вариант ЕГЭ по математике содержит четырёхбалльное задание С7 (в этом году №18) олимпиадного характера. Большую долю среди задач, уже использованных в вариантах экзамена, составляют задачи на последовательности (чисел, ходов, наборов чисел и т.д.)

Характерной особенностью подобных задач является исследование элементов заданной последовательности следующего вида:

а) на наличие элемента, обладающего заданным свойством;
б) подсчёт количества элементов, обладающих заданным свойством;
в) оценка (наибольшего или наименьшего значения) либо количества элементов, обладающих заданным свойством, либо некоторой числовой характеристики заданных элементов;
г) приведение примера, подтверждающего полученную оценку (подразумевается, но в условии не формулируется!).

→ zadanie_18m.pdf
→ Пособие по теме.

Автор: Прокофьев Александр Александрович.

Источник

Задание №18 – для олимпиадников?

Мы знаем, что в ЕГЭ по математике вторая часть кажется значительно сложнее первой. Но особенно много вопросов вызывает задание №18. Многие думают, что решить его под силам только олимпиадникам.

Но так ли это?

Давай попробуем разобраться, почему эта задача кажется такой необычной и сложной. А еще разберемся, как ее решать!

Формат задачи

По формату задача абсолютно стандартная. Она состоит из нескольких пунктов, за каждый из которых можно получить баллы. Давай посмотрим подробнее:

Пункт А

В этой части задачи в большинстве случаев надо дать ответ на вопрос о возможности или невозможности какой-то ситуации. Если ты отвечаешь, что ситуация возможна, значит, ты можешь подтвердить ее каким-то примером.
Кстати, чаще всего эта часть решается довольно легко. Найти пример не составит труда.
Главное — не торопиться и внимательно прочитать условие задачи!

Пункт Б

Этот пункт очень схож с пунктом А. Но очень часто решение пункта Б сводится к тому, что ситуация невозможна. И тебе остается только это доказать. Но не забудь, что невозможность ситуации доказывается в общем виде, а не на конкретном примере.
А как доказать? Обычно такое доказывается с помощью рассмотрения оценок, делимостей, ограничений и т.д.
Но это только звучит сложно и страшно. Если немного потренироваться, ты научишься очень быстро решать такие задачи.

Пункт В

Последний пункт чуть-чуть посложнее, но и получить за него можно 2 балла! С наибольшей вероятностью в пункте В нужно будет найти наименьшее или наибольшее значение величины, связанной с условием задачи.
Тебе нужно будет сделать оценку на искомую величину и привести пример, когда эта оценка выполняется. За каждый правильно выполненный шаг ты получишь по 1 баллу.

Алгоритм решения задачи

К сожалению, эту задачу не получится решить, подобрав типовой алгоритм. Тут придется поразмышлять. Но от этого интереснее!
Мы подготовили для тебя подборку тем, которые пригодятся тебе для решения №18.

Разбирая задание №18, ты потренируешь свой мозг и научишься решать нестандартные задачи.

Если ты переживаешь, оставь эту задачку напоследок. Решишь ее, когда останется время.

Ну а раз ты здесь, значит, ты хочешь получить высокие баллы и максимально в этом заинтересован!
И мы знаем, что у тебя все получится!

2022-03-21 17:59

ЕГЭ
Математика

Источник

Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня

Характеристика задания 18 ЕГЭ профильный уровень

Спецификация КИМ

минут

2.1. Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

2.2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков ; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод .

2.3. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы.

5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

Что можно ожидать в качестве задания 18 на экзамене?

Критерии проверки задания №18

Как правило критерии пишутся под определенную задачу. Содержание может быть следующим.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения (исключено одно-два верных значения);

С помощью верных рассуждений получен верный ответ для одной возможной в задаче ситуации

Задача сведена к исследованию:

– или решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

– или взаимного расположения фигур на плоскости (прямых, окружностей и др.);

– или совокупности уравнений (неравенств) с параметром

Пример решения задания 18 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)

Основу решения составляет теорема о касающихся окружностях.

Алгебраический метод

Как правило, к алгебраическим методам относят методы решения уравнений, неравенств и систем с параметром при всех допустимых значениях параметра, основанные на алгебраических преобразованиях (равносильные переходы, замены, использование необходимых и достаточных условий) и применении формул и приемов для решения простейших уравнений (линейных, дробно-рациональных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических).

Алгебраический метод (теоремы о корнях квадратного трехчлена)

1 выполняется для любого значения х ? б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет решений? Ответ: а) 1 а б) – 1 ≤ а ≤ 7. 10 » width=»640″

● 13.46. При каких значениях параметра а

неравенство:

а) 9 x – 4 ( a – 1 ) . 3 x + a 1 выполняется для

любого значения х ?

б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет

решений?

Ответ: а) 1 а

б) – 1 ≤ а ≤ 7.

Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена

Алгебраический метод

1 8

Решение аналогичного примера участником экзамена.

Функциональный метод

Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике.

Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер.

Наиболее часто используются следующие свойства функций:

свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса );
свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;
кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации );
периодичность функций и др..

В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций .

ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)

Классификация задач,

решаемых функциональными методами

1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y = f ( x, a ) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от значений параметра a , принимающего допустимые числовые значения.

2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и при задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию на промежутке [ t ; t+ 2] при всех значениях t .

3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.).

4. Решение задач четвертого типа опирается на определение свойства функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум, …). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию).

Область значений функции

Полезно знать и уметь находить область значений функций на всей области определения и на отрезке.

2 3 4 5

Использование ограниченности функции Метод оценки (минимаксные задачи)

Идея метода минимаксов .

Иначе говоря, уравнение можно переписать в виде

min f ( x ) = max g ( x ) , то есть нужно найти такие значения чтобы они одновременно являлись точками минимума для функции и точками максимума для функции g ( x ) .

Поэтому подобные уравнения называют «минимаксными задачами».

Наиболее часто этот метод можно применить в случаях, когда функции, стоящие в левой и правой частях уравнения – разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая и т.д.)

Функциональный метод Метод оценки (минимаксные задачи)

Четность, нечетность функции

Функциональный метод ( монотонность функции)

Пример из пособия

О функционально-графическом методе решения задач с параметрами

В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств)

вида (1)

где символ заменяет один из знаков часто ставится вопрос исследовать (1) на: – наличие решений или их отсутствие, – единственность решения или наличие определенного количества решений, – наличие решений определенного типа и т.д.

Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения ( метод наглядной графической интерпретации ), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений .

Графиком функции y = f ( x ), x ∈ D ( f ) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида ( x, f ( x )), где x ∈ D ( f ) .

О функционально-графических методах решения задач с параметрами

Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений . В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода можно выделить два основных графических приема.

Построение графического образа на координатной плоскости Oxy .

В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду

построение графического образа на координатной плоскости Ox a .

В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду

Часто используемые семейства функций

Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций или уравнения и их графики.

1. Семейство линейных функций графики которых — прямые, проходящие через точку и имеющие угловой коэффициент, равный (« пучок прямых » – так обычно называют это семейство графиков).

2. Семейство функций , графики которых получаются из графика параллельным переносом на вектор

(семейство « уголков »).

3. Семейство окружностей с центром в точке , радиуса .

При решении уравнения (неравенства) вида на плоскости

строятся график функции (назовем его « неподвижным ») и прямые параллельные оси Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.

Соответствие формул и геометрических образов

ЕГЭ прошлых лет

Уравнение «пучка» прямых,

проходящих через точку (4; 2).

Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами

Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

Плюсы графических методов :

во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на

них и, соответственно, на решение изменение параметра;

во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.

Минусы графических методов : при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.