Как отбирать корни в 12 задание егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Модуль числа

Уравнения с модулем

Тригонометрический круг

Формулы тригонометрии

Формулы приведения

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Тригонометрические уравнения

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть tg x — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=frac{pi}{3}+2pi n$ , где — целое, а найти надо корни на отрезке $left [frac{5 pi}{2};frac{9 pi}{2} right ].$ На указанном промежутке лежит точка 4 pi . От нее и будем отсчитывать. Получим: $x=4 pi +frac{pi}{3}=frac{13 pi}{3}.$

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

Давайте потренируемся.

а) Решите уравнение $2{{sin}^2 left(frac{pi }{2}+xright)}=-sqrt{3}{cos x}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $left[-3pi right.;left.-frac{3pi }{2}right]$

$2{{sin}^2 left(frac{pi }{2}+xright)}=-sqrt{3}{cos x}$

Упростим левую часть по формуле приведения.

$2{{cos}^2 x+sqrt{3}{cos x}=0}$

Вынесем {cos x} за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $left[-3pi right.;left.-frac{3pi }{2}right].$

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения $-frac{17pi }{6};-frac{5pi }{2};-frac{3pi }{2}.$

Ответ: $-frac{17pi }{6};-frac{5pi }{2};-frac{3pi }{2}.$

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=frac{pi }{3}+2pi n$ , где — целое, а найти надо корни на отрезке $[frac{5pi }{2};frac{9pi }{2}].$ На указанном промежутке лежит точка 4 pi. От нее и отсчитываем.

Получим: $x=4pi +frac{pi }{3}=frac{13pi }{3}.$

2. а) Решите уравнение ${({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{frac{3{cos x}}{2}}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[-pi ;frac{pi }{2}right].$

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

а) $3^{3{cos x{sin x}}}=3^{frac{3{cos x}}{2}}$

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

$3{cos x{sin x}}=frac{3{cos x}}{2}$

${cos x({sin x-frac{1}{2})=0}}$

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $left[-pi ;frac{pi }{2}right].$

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $left[-pi ;frac{pi }{2}right]$ и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $x=-frac{pi }{2}$ и $x=frac{pi }{2}$ из серии $x=frac{pi }{2}+pi n,nin z.$

Точки серии $x=frac{5pi }{6}+2pi n,nin z$ не входят в указанный отрезок.

А из серии $x=frac{pi }{6}+2pi n,nin z$ в указанный отрезок входит точка $x=frac{pi }{6}.$

Ответ в пункте (б): $-frac{pi }{2},frac{pi }{6} , frac{pi }{2}.$

3. а) Решите уравнение ${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[-frac{7pi }{2}right.;left.-2pi right].$

а)
${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

Применим формулу косинуса двойного угла: $boldsymbol{cos2alpha =1-{2sin}^2alpha }$

$1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5$

${{-sin}^2 x=-0,5}$

${{sin}^2 x=0,5}$

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке $left[-frac{7pi }{2}right.;left.-2pi right]$ с помощью двойного неравенства.

Сначала серия $x=frac{pi }{4}+pi n,nin Z.$

$-frac{7pi }{2}le frac{pi }{4}+pi nle -2pi$

$-frac{7}{2}le frac{1}{4}+nle -2$

$n=-3, x_1=frac{pi }{4}-3pi =-frac{11pi }{4}$

Теперь серия $x=-frac{pi }{4}+pi n,nin Z$

$-frac{7pi }{2}le -frac{pi }{4}+pi nle -2pi$

$-frac{7}{2}le -frac{1}{4}+nle -2$

$n=-3, x_2=-frac{pi }{4}-3pi =-frac{13pi }{4}$

$n=-2, x_3=-frac{pi }{4}-2pi =-frac{9pi }{4}$

Ответ: $-frac{13pi }{4};-frac{11pi }{4};-frac{9pi }{4}$ .

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии $x=-frac{pi }{4}+2pi n,nin Z$ на отрезке $left[-frac{pi }{2}right.;left.20pi right].$ Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение $left({tg}^2x-3right)sqrt{11{cos x}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[-frac{5pi }{2};-pi right].$

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть ${tg x=frac{{sin x}}{{cos x}}}.$

ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а) $x=pm frac{pi }{3}+2pi n, nin z$

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $left[-frac{5pi }{2};-pi right].$

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

$x=frac{pi }{3}-2pi =-frac{5pi }{3}$ и $x=-frac{pi }{3}-2pi =-frac{7pi }{3}.$

5. а) Решите уравнение $sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-frac{1}{2})=0}$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых ${cos x}=frac{sqrt{2}}{2}$ или ${cos x}=-frac{sqrt{2}}{2}$ . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых tgx=-1.

Числа серии $x=-frac{3pi }{4}+2pi n$ не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке нам подходит корень $x =-frac{pi }{4}$ .

На отрезке нам подходят корни $x=frac{pi }{4};frac{3pi }{4};frac{7pi }{4}$ .

На отрезке — корни $x= frac{9pi }{4} ; frac{11pi }{4};frac{15pi }{4}.$

Ответ в пункте б): $-frac{pi }{4};frac{3pi }{4};frac{7pi }{4};frac{pi }{4};frac{9pi }{4} ; frac{11pi }{4};frac{15pi }{4}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Каждый выпускник знает, что не так сложно решить задачу с развернутым решением, как ее оформить. Из-за стресса и обидных огрехов на экзамене теряются драгоценные баллы.

Главными правилами оформления заданий в карточках поделилась автор экзаменационных курсов для преподавателей Skysmart Ирина Чегринская.

Первое правило

Три самые опасные буквы на экзамене? ОДЗ. Писать ОДЗ можно, если выписывать все ситуации, в которых выражение не имеет смысла. Если выписать не все, балл будет снижен.

Что делать:

писать слово «ограничения»,
пользоваться равносильными переходами,
или писать ОДЗ и выписывать все ограничения.

Второе правило

Отбор корней в 12 задании. Ученик решил уравнение — один балл. Чтобы заработать второй балл, нужно соблюсти несколько рекомендаций:

1. Корни отбираем любым способом: с помощью графика, числовой окружности, решения двойных неравенств и тому подобное.

design rules of the second part of the ege Skyteach

2. Серии корней записываем с разными переменными. При выборке корней эта хитрость поможет не запутаться.

3. Перебор корней не останавливаем на корне, принадлежащему отрезку. Такой способ будет недостаточно обоснованным, пункт «б» не засчитают.

4. При отборе корней с помощью числовой (тригонометрической) окружности отмечаем концы числового отрезка, выделяем дугу, обозначаем корни.

Третье правило

При доказательстве в заданиях 13 и 15 либо указываем теорему, которую использовали, либо ее формулировку.

Четвертое правило

Не так страшен 18 номер, как его малюют. В последнем номере при решении пункта «а» можно пользоваться методом подбора. Если ответ положительный, то достаточно привести пример. Если ответ отрицательный, что бывает реже, то нужно написать доказательство.

Обязательно разбирайте со школьниками 18 номер: с некоторыми пунктами справится даже ученик со средним уровнем подготовки.

Пятое правило

Важно научить ребенка не только решать, оформлять, но и проверять свои ответы, чтобы не было вычислительных ошибок.

Что делать ученику на уроках:

проверять ход решения,
самостоятельно искать свои ошибки,
подставлять ответы в исходные уравнения, неравенства,
проверять, насколько логичный ответ получился.

Например, катет не может быть больше гипотенузы, ежемесячный платеж по кредиту должен быть действительно возможным.

Другие статьи автора:

Источник

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

Материал для подготовки к заданию номер 12 из ЕГЭ по профильной математике

Все уравнения можно разделить на несколько групп:

— Целые рациональные уравнения

Каждая группа уравнений имеет свои особенности. На первый взгляд может показаться, что это очень большой материал и на его изучение понадобится много времени, однако на самом деле для подготовки в экзамену и выполнению задания номер 12 можно подготовиться достаточно быстро, используя верно подобранные материалы и разбирая примеры заданий

Комбинируя все представленные в данных материалах способы и обладая базовыми знаниями математики, можно успешно решить большинство уравнений, которые могут встретиться учащимся во время обучения в средней и старшей школе а так же успешно решить задания на данную тему в контрольно-измерительных материалах

СОВЕТ: после прохождения какой-либо темы в моём пособии, необходимо прорешать похожие уравнения (этой же группы) на одном из подобранных мной сайтов (смотрите ниже)

Часть I. Способы решения уравнений. Метод “Замена переменной”

Уравнение вида af²(x)+bf (x)+c=0 Такие уравнения (их иногда называют трехчленными) являются одними из наиболее распространенных. Скорее всего, самый известный и яркий пример этого типа уравнений — биквадратное уравнение ax⁴ + bx2 + c = 0 (здесь f (x) = x 2 ). Заменой переменной t = f (x) трехчленное уравнение сводится к квадратному относительно переменной t уравнению at² + bt + c = 0

Решить уравнение (2x² – 3x + 1) = 22x² – 33x + 1.

Задание 12. Тригонометрическое уравнение

Типичная задача №12 из ЕГЭ по математике 2022 содержит два пункта:

Решить несложное тригонометрическое уравнение (хотя иногда попадаются довольно сложные).
Среди полученных корней отобрать те, которые принадлежат заданному отрезку. Вот здесь большинство учеников «пасует».

Все видеоуроки по задачам 12, опубликованные на моем сайте, содержат оба пункта: и решение уравнения (со всеми тонкостями), и различные подходы к отбору корней.

Глава 1. Тригонометрические уравнения § 1. Задача C1: тригонометрические уравнения с ограничением § 2. Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла § 3. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант § 4. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 2 вариант Глава 2. Показательные и логарифмические уравнения § 1. Задача C1: показательные уравнения с ограничением § 2. Задача C1: еще одно показательное уравнение § 3. Логарифмические уравнения в задаче C1 § 4. Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении § 5. Вебинар по заданию 13: тригонометрия § 6. Формулы двойного угла в тригонометрических уравнениях из ЕГЭ § 7. Отбор корней из некрасивых арктангенсов, арксинусов и т.д. § 8. Нестандартные периоды и отбор корней в тригонометрическом уравнении § 11. Задача из пробного ЕГЭ 2016 от 3 марта § 12. Вебинар по заданию 13: предварительное задание

источники:

http://vc.ru/u/1019775-egor-borodin/330865-material-dlya-podgotovki-k-zadaniyu-nomer-12-iz-ege-po-profilnoy-matematike

http://www.berdov.com/ege/equation-root/

Источник

Пример:

а) реши уравнение

sinx=cos2x

б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2π;7π2

a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом области определения получаем:

sinx=cos2x;sinx≥0,cos2x≥0.

Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:

sinx=cos2x;(1)sinx≥0.

Решим уравнение системы ((1)). Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:

sinx=cos2x;sinx−cos2x=0;sinx−(cos2x−sin2x)=0;sinx−(1−sin2x−sin2x)=0;sinx−(1−2sin2x)=0;2sin2x+sinx−1=0;sinx=−1,sinx=12.

(sin x= -1) исключаем, так как это значение не входит в область определения, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.

Рис. (1). Решения уравнения на единичной окружности

Эти решения можно записать в виде:

x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ.

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок

2π;7π2

(1) способ:

вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному промежутку, подпишем начало и конец, отметим точки окружности, представляющие серии решений и принадлежащие дуге, укажем их значения, принадлежащие промежутку.

2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6.

Рис. (2). Отбор корней с помощью единичной окружности

Обрати внимание!

Нельзя отмечать и подписывать посторонние точки на окружности!

(2) способ:

указанный отрезок соответствует неравенству

2π≤x≤7π2

. Подставим в него полученные корни:

2π≤π6+2πn≤7π2,n∈ℤ:π;2≤16+2n≤72,n∈ℤ−16;2−16≤2n≤72−16,n∈ℤ;116≤2n≤206,n∈ℤ:2;1112≤n≤2012,n∈ℤ;1112≤n≤1812,n∈ℤ;n=1;π6+2π⋅1=13π6

2π≤5π6+2πm≤7π2,m∈ℤ:π;2≤56+2m≤72,m∈ℤ−56;2−56≤2m≤72−56,m∈ℤ;76≤2m≤166,m∈ℤ:2;712≤m≤1612,m∈ℤ;712≤m≤1412,m∈ℤ;m=1;5π6+2π⋅1=17π6

Обрати внимание!

Обязательно выдели целые части дробей для оценки значений (n) и (m)!

(3) способ:

разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо (n) и (m) (0), а потом добавим к каждому корню периоды. На числовой прямой должен быть выделен заданный отрезок, обозначены его концы, отмечены все последовательные значения серий корней, начиная с точек, расположенных левее промежутка, и заканчивая точками, расположенными правее промежутка.

Рис. (3). Отбор корней с помощью координатной прямой

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ: а)

π6+2πn,n∈ℤ;5π6+2πm,m∈ℤ

; б)

13π6,17π6.

Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора наиболее удобного способа.

Источники:

Рис. 1. Решения уравнения на единичной окружности. © ЯКласс.

Рис. 2. Отбор корней с помощью единичной окружности. © ЯКласс.

Рис. 3. Отбор корней с помощью координатной прямой. © ЯКласс.

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 140 человек из 45 регионов

Курс добавлен 16.12.2022
Сейчас обучается 20 человек из 14 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

ЕГЭ профильный уровень, задание 12.
Решение уравнений с отбором корней.

Игнатьева Нина Фёдоровна
учитель математики
МАОУ «Лицей №11 г. Благовещенска»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей №11 города Благовещенска»
2 слайд

ЕГЭ, задание 12
Тригонометрические уравнения
Логарифмические уравнения
Показательные уравнения
Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Уравнения смешанного типа
3 слайд

Примеры заданий в вариантах ЕГЭ 2010-2014гг
4 слайд

Примеры заданий в вариантах ЕГЭ 2015-2018гг
5 слайд

Примеры заданий в вариантах ЕГЭ 2019-2022гг
а) Решите уравнение 2 sin 2 х− 3π 2 + 3 sin2 х=0 .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку[2π; 7π 2 ]
а)  Решите уравнение 2 sin 2 х+ 3 2 cos 3π 2 +х +2=0 .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 5π 2 ;4π]
а) Решите уравнение 4 cos 3 х −2 3 cos2 х + 3cos х =2 3 .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку[ 2π; 7π 2 ]
а) Решите уравнение 2 cos 2 х −3 sin (−х )−3=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку[ 5π 2 ;4π].
а) Решите уравнение sin2 х −2 sin (−х )− cos (−х )−1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 2π; 7π 2 ]
6 слайд

ЕГЭ, задание 12

Задание содержит два пункта:
а) решить уравнение;
б) отобрать корни на данном промежутке.
Соответственно в ответе должно быть две части:
а) все корни уравнения;
б)отобранные на данном промежутке корни.
7 слайд

ЕГЭ, задание 12 рекомендовано
Решение уравнения лучше никак не комментировать и не писать знаков равносильности.
Отбор корней можно проводить разными способами, но рекомендуется его провести на окружности. При этом в начале отбора стоит написать фразу: отберём корни с помощью единичной окружности. На окружности обязательно должны быть обозначены: точки -концы промежутка (дуги), сами корни и жирным выделить саму дугу.
8 слайд

ЕГЭ, задание 12 необходимо
Обязательно должна быть показана в
п.б) процедура отбора корней уравнения, попадающих в заданный промежуток; только простого предъявления «нужных» корней недостаточно.
9 слайд

Запись ответа в работе участника экзамена может отличаться от приведённой в критериях (содержать один целочисленный параметр n или несколько n, m, k). Важно, чтобы в ответе были приведены все решения пункта а.
ЕГЭ, задание 12
допускается:
10 слайд

Пример решения задания 12, демоверсия ЕГЭ 2019
11 слайд

Пример решения задания 12, демоверсия ЕГЭ 2022
12 слайд

Критерии проверки задания 12
Вычислительная ошибка в понимании эксперта
13 слайд

Мониторинг выполнения задания 12.
ЕГЭ, профильный уровень (%).
14 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
в формулах корней простейшего тригонометрического уравнения

𝒔𝒊𝒏𝒙= 𝟏 𝟐
х=± 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;

х= −𝟏 𝒏 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
х= −𝟏 𝒏 𝝅 𝟔 +𝝅𝒏.
15 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
в формулах корней простейших тригонометрических уравнений
16 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Незнание множества значений тригонометрических функций

𝒔𝒊𝒏𝒙= 𝟒 𝟑
𝒙= (−𝟏) 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝟑 + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒙=±𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟑 𝟐 𝟐
−𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝒙≤𝟏
−𝟏≤𝒄𝒐𝒔𝒙≤𝟏
17 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Деление обеих частей уравнения на sinx или на cosx.
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 / :𝒔𝒊𝒏𝒙
!!! потеря серии корней:
𝒙= 𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙 =𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟎 или 𝒔𝒊𝒏𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟎
𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙=𝟎
𝒙 𝒂𝒙+𝒃 =𝟎
18 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
При решении уравнений вида:
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙=𝒂; 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙=𝒂.
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙= 𝟑 𝟒
𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟑 𝟐

!!! потеря серии корней:

𝒙= − 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏𝝐𝒁
𝒙 𝟐 =𝒂
𝒙 𝟏 = 𝒂 или 𝒙 𝟐 =− 𝒂
𝒄𝒐𝒔𝒙− 𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙+ 𝟑 𝟐 =𝟎
𝒄𝒐𝒔𝒙− 𝟑 𝟐 =𝟎 или 𝒄𝒐𝒔𝒙+ 𝟑 𝟐 =𝟎
19 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Неправильное использование формул приведения.
20 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Незнание свойств четных и нечетных функций.
21 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Неправильное или некорректное использование тригонометрических формул.
𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 +𝒙 +𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 == 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝒙−𝟐

𝒔𝒊𝒏 𝟐 −𝒙 =− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟑𝝅 𝟐 −𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟐 −𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 −𝒙 𝟐 =(− 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟑𝛑 𝟐 −𝐱 =( 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝛑 𝟐 −𝐱 ) 𝟐 = (− 𝐜𝐨𝐬𝐱) 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱
22 слайд

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Неверное определение промежутка на окружности
y
x
0
𝐱∈ − 𝟓𝛑 𝟐 ;−𝛑
−𝛑
y
x
0
−𝟐𝛑
y
x
0
23 слайд

Овладения методами решения задания,
начальный этап
Работа с тригонометрической окружностью
24 слайд

Овладения методами решения задания 12, начальный этап
тригонометрические формулы
25 слайд

Овладения методами решения задания 12, начальный этап
решение простейших тригонометрических уравнений
26 слайд

Овладения методами решения задания 12, начальный этап
задачи на отбор корней без решения уравнений
𝒙=± 𝝅 𝟒 +𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
𝒙≠± 𝟑𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁.
2𝛑𝐧≤𝐱≤𝛑+𝟐𝛑𝐧 , 𝐧𝛜𝐙;
𝐱=± 𝟏 𝟑 𝛑+𝛑𝐤, 𝐤𝛜𝐙;

Сколько корней на отрезке имеет данная серия решений?
𝒙=±𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬⁡(−𝟎,𝟐)+ 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

[−𝟑𝝅;−𝝅]; [𝟑𝝅;𝝅]; [𝟑,𝟓𝝅;𝟔,𝟓𝝅].
27 слайд

Методы решения тригонометрических уравнений:
Метод равносильных преобразований с применением формул;
Метод замены, сведение к алгебраическому уравнению;
Метод разложения на множители;
Метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);
Функциональный метод.
28 слайд

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению.
𝟏. Решите уравнение: 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙+𝟓𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟓
𝟐(𝟏− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙)+𝟓𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟓
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟓𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟑=𝟎
Замена: 𝒔𝒊𝒏𝒙=𝒕, 𝒕𝝐[−𝟏;𝟏]
𝟐.Решите уравнение: 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝟓 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟓
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙−𝟏
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙−𝟓 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙−𝟔=𝟎
Замена: 𝒄𝒐𝒔𝒙=𝒕, 𝒕𝝐[−𝟏;𝟏].
𝟑.Решите уравнение: 𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟐 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝒙 −𝟗=𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝒙 =𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟗=𝟎
Замена: 𝒔𝒊𝒏𝒙=𝒕, 𝒕𝝐[−𝟏;𝟏].
29 слайд

Разложение на множители.
1.Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛2𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥.
2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=0, 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥−1 =0
2.Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛3𝑥+𝑠𝑖𝑛7𝑥=𝑠𝑖𝑛5𝑥.
2𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑠𝑖𝑛5𝑥=0,
2𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥−1 =0.
3.Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑥=1.
𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥= 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 ; 1−𝑐𝑜𝑠4𝑥 2 + 1−𝑐𝑜𝑠6𝑥 2 =1,
𝑐𝑜𝑠4𝑥+ 𝑐𝑜𝑠6𝑥=0, 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=2𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 2 ,
2𝑐𝑜𝑠5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=0.
30 слайд

Метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);
𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟏

𝒙+ 𝝅 𝟒 = 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁 , 𝒙+ 𝝅 𝟒 = 𝟑𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒙=𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁 , 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝐬𝐢𝐧 𝒙+𝒚 =𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒚+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚,
𝟏∙𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟏∙𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒚+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚=𝟏, 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 =𝟐≠𝟏
𝟏∙𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟏∙𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟏 / : n
𝟏 𝒏 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝟏 𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟏 𝒏
𝟏 𝒏 𝟐 + 𝟏 𝒏 𝟐 =𝟏, 𝟐 𝒏 𝟐 =𝟏, 𝒏 𝟐 =𝟐, n=± 𝟐
𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟏 𝟐 , 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟏 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙+ 𝝅 𝟒 = 𝟏 𝟐
31 слайд

Метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);

𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙+𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙=𝒄, 𝒂≠𝟎,𝒃≠𝟎,𝒄≠𝟎.
если 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ≠𝟏 разделим на 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ,
𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙+ 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙= 𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
( 𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟐 + ( 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟐 =1
∃𝝋, 𝒔𝒊𝒏𝝋 = 𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 , 𝒄𝒐𝒔𝝋 = 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ,
где 𝝋 − и есть вспомогательный угол.
𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ≤𝟏; 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ≤𝟏.
𝐬𝐢𝐧 𝒙+𝝋 = 𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
32 слайд

Метод оценок
−𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝒙≤𝟏, −𝟏≤𝒄𝒐𝒔𝒙≤𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙+𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙=𝟏
Так как −𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙≤𝟏, −𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙≤𝟏, то
𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙=𝟏,
𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙=𝟏;
𝟓𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁 ,
𝟗𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁;
𝒙= 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅𝒏 𝟓 , 𝒏𝝐𝒁 ,
𝒙= 𝝅 𝟏𝟖 + 𝟐𝝅𝒌 𝟗 , 𝒌𝝐𝒁.
𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅𝒏 𝟓 = 𝝅 𝟏𝟖 + 𝟐𝝅𝒌 𝟗 ,

𝟗+𝟑𝟔𝒏=𝟓+𝟐𝟎𝒌,
𝟐𝟎𝒌=𝟑𝟔𝒏+𝟒,
𝟓𝒌=𝟗𝒏+𝟏.
𝒏: 𝟓𝒎; 𝟓𝒎+𝟏; 𝟓𝒎+𝟐; 𝟓𝒎+𝟑; 𝟓𝒎+𝟒, где 𝒎∈𝒁.
𝒙= 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅𝒏 𝟓 = 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅(𝟓𝒎+𝟏 𝟓 = 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝝅𝒎+𝟐𝝅 𝟓 = 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒎.
Ответ :
𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎∈𝒁.
33 слайд

Методы отбора корней тригонометрических уравнений
арифметический;
алгебраический;
геометрический (на тригонометрической окружности или на числовой прямой);
функционально – графический
34 слайд

Арифметический метод отбора корней.

Арифметический метод –это
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
Замечание. В решении должна присутствовать оценка возможных решений целочисленного параметра.
35 слайд

Алгебраический метод отбора корней.

Алгебраический метод – это
а) это решение двойного неравенства относительно целочисленного параметра и вычисления корней;
б) исследование уравнений с двумя переменными.
36 слайд

б) Укажите корни, принадлежащие промежутку [ 𝟕𝝅 𝟔 ; 𝟑𝝅 𝟐 ].
𝒙= 𝟑𝝅 𝟖 + 𝝅𝒏 𝟐 , 𝒏𝝐𝒁,
𝒙= 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒌 𝟒 , 𝒌𝝐𝒁.

1. Первая серия корней:
𝟕𝝅 𝟔 ≤ 𝟑𝝅 𝟖 + 𝝅𝒏 𝟐 ≤ 𝟑𝝅 𝟐 , 𝒏∈𝒁;
28 𝝅≤ 9 𝝅+12𝝅𝒏≤ 36 𝝅, 𝒏∈𝒁;
19 ≤ 12𝒏≤ 27, 𝒏∈𝒁.
𝒏 = 2, 𝒙= 𝟏𝟏𝝅 𝟖 .

2. Вторая серия корней:
𝟕𝝅 𝟔 ≤ 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒌 𝟒 ≤ 𝟑𝝅 𝟐 , 𝒌∈𝒁;
56𝝅≤ 3𝝅+12𝝅𝒌≤ 72𝝅, 𝒌∈𝒁;
53𝝅 ≤ 12𝝅𝒌≤ 69𝝅, 𝒌∈𝒁.
53 ≤ 12 𝒌≤ 69, 𝒌∈𝒁
𝒌 = 5, 𝒙= 𝟐𝟏𝝅 𝟏𝟔 .
37 слайд

Геометрический метод отбора корней.

Геометрический метод – это
а) изображение корней на тригонометрической окружности и их отбором с учётом имеющихся ограничений;
б) изображений корней на числовой прямой с последующим отбором и учётом ограничений.
38 слайд

Задание. Укажите корни уравнения 𝑐𝑜𝑠𝑥= 2 2 , принадлежащие промежутку [− 𝟏𝟏𝝅 𝟒 ;− 𝟕𝝅 𝟔 ). (𝒙=± 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁)

2
3
4
5
39 слайд

Функционально- графический метод отбора корней.

Функционально- графический метод – это
Отбор корней с использованием графиков простейших тригонометрических функций.
40 слайд

а) Решите уравнение 𝒄𝒐𝒔𝒙− 𝟐 𝟐 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟏 =𝟎;

б) Укажите корни, принадлежащие промежутку [− 𝟕𝝅 𝟔 ; 𝟓𝝅 𝟔 ].

𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟐 𝟐 ,
𝒔𝒊𝒏𝒙> 𝟏 𝟐 ;
𝒙=± 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈𝒁,
𝒔𝒊𝒏𝒙> 𝟏 𝟐
Ответ :
𝒙= 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝐧, 𝐧∈𝒁
41 слайд

ЕГЭ, задание 12
𝟐. 𝒂)Решите уравнение 𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙+ 𝝅 𝟔 +𝟏= 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4𝜋; 𝟏𝟏𝝅 𝟐 ].
𝟏. 𝑎) Решите уравнение 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥− 3𝜋 2 + 3 𝑠𝑖𝑛2𝑥=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2𝜋; 7𝜋 2 ].
42 слайд

ЕГЭ, задание 12
4. 𝑎)Решите уравнение 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙−𝟐 𝒔𝒊𝒏(−𝒙) −𝐜𝐨𝐬(−𝒙)−𝟏=𝟎
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку   [ 5𝜋 2 ;4𝜋].
3. 𝑎)Решите уравнение 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙−𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟐 𝟑 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   [− 7𝜋 2 ;−2𝜋].
5.𝑎) Решите уравнение 𝟓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟑𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓𝐜𝐨𝐬𝒙+𝟒 =0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку    [−3,5𝜋;−2𝜋].
43 слайд

ЕГЭ, задание 12 (ответы)
𝟐.𝒂)𝒙= 𝝅 𝟐 +𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=± 𝟐𝝅 𝟑 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
б) 𝒙= 𝟗𝝅 𝟐 ; 𝒙= 𝟏𝟒𝝅 𝟑 ; 𝒙= 𝟏𝟔𝝅 𝟑 ;𝒙= 𝟏𝟏𝝅 𝟐 .
𝟏.
a) 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=− 𝝅 𝟔 +𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
б) 𝒙= 𝟓𝝅 𝟐 ; 𝒙= 𝟏𝟕𝝅 𝟔 ; 𝒙= 𝟕𝝅 𝟐 .

𝟑.𝒂)𝒙= 𝝅 𝟐 +𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=± 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
б) 𝒙= − 𝟕𝝅 𝟐 ; 𝒙=− 𝟓𝝅 𝟐 ; 𝒙=− 𝟏𝟑𝝅 𝟔 .
44 слайд

ЕГЭ, задание 12 (ответы)
5.𝒂)𝒙= 𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟓 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;

б ) 𝒙=−𝟐𝝅.

4.
a) 𝒙=𝝅+𝟐𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙= 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
𝒙= 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒍, 𝒍𝝐𝒁; б) 𝒙= 𝟏𝟕𝝅 𝟔 ; 𝒙=𝟑𝝅.
45 слайд

Оценка решения
Ответ:a) – 2π 3 +2πk; – π 3 +2πk, k∈Z; б) – 8π 3 ;– 7π 3 .
46 слайд

Оценка решения
Ответ:a) – 2π 3 +2πk; – π 3 +2πk, k∈Z; б) – 8π 3 ;– 7π 3 .

0б
47 слайд

Оценка решения
а) Решите уравнение 2 log 4 2 4 sin х −5 log 4 4 sin х +2=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [− 3𝜋 2 ;0].
Ответ: а) 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) − 𝟕𝝅 𝟔 .
48 слайд

Оценка решения
а) Решите уравнение 2 log 4 2 4 sin х −5 log 4 4 sin х +2=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [− 3𝜋 2 ;0].
Ответ: а) 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) − 𝟕𝝅 𝟔 .
0б
49 слайд

Оценка решения
а) Решите уравнение 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐х+ 𝝅 𝟑 − 𝟑 𝐬𝐢𝐧 х= 𝐬𝐢𝐧𝟐 х + 𝟑 .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 𝟐𝝅; 𝟕𝝅 𝟐 ].

Ответ: а) − 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , − 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) 𝟐𝝅; 𝟑𝝅; 𝟏𝟗𝝅 𝟔 .
50 слайд

Оценка решения
а) Решите уравнение 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐х+ 𝝅 𝟑 − 𝟑 𝐬𝐢𝐧 х= 𝐬𝐢𝐧𝟐 х + 𝟑 .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 𝟐𝝅; 𝟕𝝅 𝟐 ].

Ответ: а) − 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , − 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) 𝟐𝝅; 𝟑𝝅; 𝟏𝟗𝝅 𝟔 .
Об
52 слайд

Оценка решения
0б
Л.О!
53 слайд

Спасибо за внимание

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 153 810 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

Другие материалы

23.11.2022
37
0

23.11.2022
50
2

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Основы построения коммуникаций в организации»
Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по подбору и оценке персонала (рекрутинг)»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление ресурсами информационных технологий»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Разработка эффективной стратегии развития современного вуза»
Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»
Курс профессиональной переподготовки «Гражданско-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление качеством»

Источник

6 февраля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Решение уравнения с отбором корней.

Задание 12 ЕГЭ-2022

Уравнение или система уравнений.

Характеристика задания

Относительно несложное уравнение или система уравнений с отбором корней. Может содержать тригонометрические функции, логарифмы, степени, корни.

Комментарий

Как правило, решение задачи требует замены переменной, позволяющей свести уравнение к квадратному, и отбора корней, связанного с условием задачи или с ограниченностью новой переменной, наличием выражений с переменной в знаменателях алгебраических дробей, под знаками корней чётной степени и логарифмов.

→ zadanie_12m.pdf
→ Пособие автора (типовые задания С1)

Автор: Прокофьев Александр Александрович.

Источник

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Уравнение равносильно системе:

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

Материал для подготовки к заданию номер 12 из ЕГЭ по профильной математике

Все уравнения можно разделить на несколько групп:

— Целые рациональные уравнения

Часть I. Способы решения уравнений. Метод “Замена переменной”

Решить уравнение (2x² – 3x + 1) = 22x² – 33x + 1.

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 Rightarrow 5^<-x>=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 Rightarrow 3^<8x>=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac<7><3>)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

источники:

http://vc.ru/u/1019775-egor-borodin/330865-material-dlya-podgotovki-k-zadaniyu-nomer-12-iz-ege-po-profilnoy-matematike

http://sigma-center.ru/exponential_equations

Источник

Первое правило

Второе правило

Третье правило

Четвертое правило

Пятое правило

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Материал для подготовки к заданию номер 12 из ЕГЭ по профильной математике

Задание 12. Тригонометрическое уравнение

Описание презентации по отдельным слайдам:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Материал подходит для УМК

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Материал для подготовки к заданию номер 12 из ЕГЭ по профильной математике

Как решать показательные уравнения?

Простейшие показательные уравнения

Общий метод решения показательных уравнений

Решение показательных уравнений при помощи замены

Как решать
показательные уравнения?