Как по графику параболы найти коэффициенты а в с егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

— Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

— Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

— Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.
Парабола пересекает ось y в точке (c).
(b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) — абсциссы (икса) вершины параболы:

(x_в=-frac{b}{2a})
(b=-x_вcdot 2a)

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

(begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})
Решаем систему.
Пример:

(begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

Вычтем из второго уравнения первое:

(0=9a-b)
(b=9a)

Подставим (9a) вместо (b):

(begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
(begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

(2=-2a)
(a=-1)

Найдем (b):

(b=-9)

Подставим в первое уравнение (a):

(5=20+c)
(c=-15).

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ: (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
(f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Источник

Алгоритм

нахождения
значений коэффициентов a,
b,
c

по
графику квадратичной функции

у=ax²+bx+c.

Автор: Храмова Ирина Михайловна

МБОУ Луговская ООШ

Источники : алгебра 9 класс, Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией А.С.Теляковского,

Москва «Просвещение», 2013г.

I.
Нахождение коэффициента a
:

1) по графику
параболы определяем координаты вершины (m,
n)

2) по графику
параболы определяем координаты любой точки А(х₁;у₁)

3) подставляем эти
значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=a(х-m)²+n

4) решаем
полученное уравнение.

II.
Нахождение коэффициента b:

1) Сначала
находим значение коэффициента a(шаг
I,
смотри выше)

2) В
формулу для абсциссы параболы m=
—b/2a
подставляем значения m и
a

3) Находим
значение коэффициента b.

III.
Нахождение коэффициента с:

1) Находим
ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно
коэффициенту с, т.е. точка (0;с) — точка пересечения параболы с
осью Оу.

2) Если
по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I,
II (находим
коэффициенты a,
b)

3) Подставляем
найденные значения a,
b
, А(х_{1 ;}у₁) в уравнение у=ax²+bx+c и находим с.

Источник

Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax²+ bx +c

I Нахождение коэффициента а :

по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)
подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b: b= — (х₁+ х₂) это для приведённого уравнения

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с: с = х₁∙ х₂это для приведённого уравнения

Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,Ь)
Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

I Нахождение коэффициента а :

по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)
подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b:

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,b)
Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

Рассмотрим задачу: где невозможно по графику найти точно m и n необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение: координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Источник

Как определить a, b и c по графику параболы

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a 1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим (9a) вместо (b):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение (a):

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.

График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b,c квадратичной функции (9 класс)

I.Нахождение коэффициента a :

1) по графику параболы определяем координаты вершины ( m , n )

2) по графику параболы определяем координаты любой точки А (х₁;у₁)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

II . нахождение коэффициента b :

1) Сначала находим значение коэффициента a (шаг I , смотри выше)

2) В формулу для абсциссы параболы m = — b /2 a подставляем значения m и a

3) Вычисляем значение коэффициента b .

III . нахождение коэффициента с:

1) Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2) Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a , b )

3) Подставляем найденные значения a , b ,А(х_{1 ;}у₁) в уравнение у= ax 2 + bx + c и находим с.

Алгоритм нахождения коэффициентов a, b, c квадратичной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

по графику квадратичной функции

Автор: Храмова Ирина Михайловна

МБОУ Луговская ООШ

Источники : алгебра 9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией А.С.Теляковского,

Москва «Просвещение», 2013г.

I . Нахождение коэффициента a :

1) по графику параболы определяем координаты вершины ( m , n )

2) по графику параболы определяем координаты любой точки А(х₁;у₁)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

1) Сначала находим значение коэффициента a (шаг I , смотри выше)

2) В формулу для абсциссы параболы m = — b /2 a подставляем значения m и a

3) Находим значение коэффициента b .

III . Нахождение коэффициента с:

1) Находим ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с) — точка пересечения параболы с осью Оу.

2) Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a , b )

Краткое описание документа:

В модуле «Алгебра» ГИА — 2013 есть задание на нахождение коэффициентов квадратичной функции с помощью графика – параболы. Но в материалах учебника «Алгебра – 9» Ю.Н. Макарычева под редакцией С.А. Теляковского таких заданий нет и нет объяснения этого. Поэтому тему «Алгоритм нахождения коэффициентов а, в и с квадратичной функции» я включила в программу кружка по математике для учащихся 8 — 9 классов. Это позволяет учащимся научиться определять коэффициенты. Кружок посещают все учащиеся 9 класса и часть учащихся 8 класса. Программа кружка рассчитана на 68 часов, то есть 2 часа в неделю.

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Авторская разработка онлайн-курса

Сейчас обучается 89 человек из 41 региона

Курс повышения квалификации

Педагогические и психологические аспекты подготовки школьников к сдаче ГИА

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

Сейчас обучается 103 человека из 40 регионов

«Формирование единой системы гармоничного и эффективного развития математических способностей детей»

Для всех учеников 1-11 классов
и дошкольников
Интересные задания
по 16 предметам

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 856 301 материал в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

15.02.2015
1896
2

15.02.2015
15770
58

15.02.2015
1474
0

15.02.2015
1332
1

15.02.2015
1057
0

15.02.2015
1020
0

15.02.2015
675
1

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

15.02.2015 59422
DOCX 34.5 кбайт
403 скачивания
Рейтинг: 4 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Храмова Ирина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 2 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 64847
Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

«Бинарный урок как средство обеспечения преемственности начального и основного общего образования»

«Развитие творческого потенциала и личностных возможностей ребёнка в процессе обучения и воспитания»

«Имидж преподавателя и студента: точки взаимодействия»

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тысячи учителей в Австралии вышли на забастовку

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-тренинг «Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Правила нахождения коэффициентов квадратичной функции

В данной работе рассматриваются правила нахождения коэффициентов (a, b, c) квадратичной функции и их применение на на конкретных примерах.

Просмотр содержимого документа
«Правила нахождения коэффициентов квадратичной функции»

Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax 2 + bx +c

I Нахождение коэффициента а :

по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b: b= — (х₁ + х₂) это для приведённого уравнения

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с: с = х₁ ∙ х₂ это для приведённого уравнения

Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II <находим коэффициенты а,Ь)

Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах 2 +bх+с и находим с.

I Нахождение коэффициента а :

по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b:

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II <находим коэффициенты а,b)

Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах 2 +bх+с и находим с.

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение: координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

источники:

http://ya-uchitel.ru/load/matematika/raznoe/algoritm_nakhozhdenija_znachenija_koehfficientov_a_b_c_kvadratichnoj_funkcii/79-1-0-641

http://infourok.ru/algoritm_nahozhdeniya_koefficientov_a_b_c_kvadratichnoy_funkcii_po_grafiku-389899.htm

http://multiurok.ru/files/pravila-nakhozhdeniia-koeffitsientov-kvadratichnoi.html

—> (35.0 Kb)	20.12.2012, 11:02
Автор: http://ya-uchitel.ru/stuff/tulskaja_oblast/g_efremov/davydova_galina_anatolevna/55-1-
Давыдова Галина Анатольевна
—> учитель математики и физики, —>МКОУ «Кукуйская ООШ№25»

Источник

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции – парабола.

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

$x_o=frac{4}{2}=2$ , . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая $x=frac{-b}{2a}$ , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, $x=-frac{b}{2a}$ ), две (, $x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=frac{-b}{2a}$ , $n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a})$ . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, $y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$ . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник

Квадратичная функция – подробнее

Квадратичная функция – это функция вида ( y=a{{x}^{2}}+bx+c), где ( ane 0), ( b) и ( c) – любые числа (они и называются коэффициентами).

Число ( a) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, ( b) – вторым коэффициентом, а ( c) – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений( Eleft( y right)).

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции ( y=a{{x}^{2}}+bx+c)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции ( y=frac{1}{x}) – в нее нельзя подставить ( x=0)).

Значит, область определения – все действительные числа:

( Dleft( y right)=mathbb{R}) или ( Dleft( y right)=left( -infty ;+infty right)).

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию ( y={{x}^{2}}) ( left( a=1,text{ }b=0,text{ }c=0 right)~), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.

Значит, эта функция всегда не меньше нуля.

А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.

Таким образом, можем написать для ( y={{x}^{2}}:Eleft( y right)=left[ 0;+infty right)).

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

График квадратичной функции

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем

Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.

Начнем с простейшей квадратичной функции – ( y={{x}^{2}}).

Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

kvadratichnaya funktsiya grafik parabola

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: ( y={{x}^{2}}-2{x}-3).

Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	5	0	-3	-4	-3	0	5

kvadratichnaya funktsiya grafik parabola tochki

Сравним два рисунка.

Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.

Во второй параболе вершина переместилась в точку ( left( 1;-4 right)), а ветви переехали вместе с ней.

Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида ( y=a{{x}^{2}}) (( b=0), ( c=0) – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при ( a= -2,text{ }-1,frac{1}{2},text{ }1,text{ }3:)

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если ( displaystyle mathbf{a}<mathbf{0}), ветви парабол направлены вниз, а если ( displaystyle mathbf{a}>mathbf{0}) – вверх.

kvadratichnaya funktsiya grafik parabola vetvi vniz

Так, хорошо.

Значит, если парабола пересекает ось ( displaystyle Ox) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.

Если не пересекает – корней нет.

Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси ( displaystyle Ox) вершиной:

kvadratichnaya funktsiya grafik parabola vetvi

А что такое вершина параболы?

Решения

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, ( displaystyle a<0). То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью ( displaystyle Oy:y=4). Что нам дает эта точка? Вспоминай.

Это – свободный член c. Значит, ( displaystyle c=4) – отбросим вариант a).

Ну что же, ( displaystyle a=-1,c=4,) осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: ( displaystyle {{x}_{в}}=frac{-b}{2a}).

В нашем случае ( displaystyle {{x}_{в}}=1). Тогда:

( displaystyle 1=frac{-b}{2cdot left( -1 right)}text{ }Rightarrow text{ }b=2).

Итак, наша парабола задается формулой: ( displaystyle y=-{{x}^{2}}+2x+4). Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью ( displaystyle Ox).

Смотрим: ( displaystyle {{x}_{1}}=1), ( displaystyle {{x}_{2}}=5). Значит, их сумма ( displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6).

3. То же самое: ( displaystyle {{x}_{1}}=-1), ( displaystyle {{x}_{2}}=5). Произведение: ( displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=-5).

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси ( displaystyle Oy) нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью ( displaystyle Ox). А это ведь корни уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4).

Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен ( displaystyle 1). Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

( displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b),

а произведение – свободному члену:

( displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=c).

Ну вот и решили: ( displaystyle b=-left( -1+4 right)=-3), ( displaystyle c=-1cdot 4=-4).

Ответ: ( displaystyle -3;text{ -}4.)

Источник

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2 , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1 , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3. Если D>0 ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

$x_1={-b+sqrt{D}}/{2a}$ , $x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}$

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}$

$y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)$

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

$x_1={-3+7}/4=1$ , $x_1={-3-7}/4=-2,5$

3. Координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2. Уравнение квадратичной функции имеет вид — в этом уравнении x_0;y_0 — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции a=1 , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

сначала построить график функции ,
затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции a=1 , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы: $x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2$

$y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25$

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,