Как подготовить ученика к егэ по математике профильный уровень

К 2030 году 80% профессий будут основаны на междисциплинарных умениях, включающих математику. Впрочем, сдавать профильный ЕГЭ по математике для многих школьников — острая необходимость уже сегодня. Как правильно распределить усилия, время, а иногда и материальные ресурсы? Примерный план подготовки к профилю по математике предлагает Юлия Давыдова, основательница online-школы по математике MindSet.

Для чего нужна специальная подготовка к ЕГЭ?

Если школьник во время своей учебы не жалел усилий, занимаясь математикой, если в его знаниях нет серьезных пробелов, то подготовка к ЕГЭ не вызовет у него больших трудностей. Хотя даже старательному ученику профильного математического класса потребуется, как минимум, освоить уровень задач вступительной математики.

Да-да, большинство матклассов не дают достаточный сложности задач и некоторые темы повышенной сложности пропускают, например, задачи с параметром, делимость, задачи в целых числах, геометрические места точек и прочие.

Кроме того, стоит помнить, что планиметрия (плоская геометрия) уже не изучается в 10-11-х классах и забывается школьниками, хотя задача по планиметрии — часто самая сложная в экзамене. Сейчас мы говорили про отличников в матклассах. Но — будем реалистами…

Опыт показывает, что главное в подготовке к ЕГЭ — ликвидация пробелов в знаниях. Многие из них берут начало еще в 7-м классе. К сожалению, самому школьнику ликвидировать пробелы практически нереально, он может и сам не вполне понимать — чего именно не понимает!

Поможет честная диагностика по всему школьному курсу, проведенная преподавателем. Увы, самодиагностики в виде решения пробных заданий недостаточно. Также не поможет повысить баллы «натаскивание» на решение типовых задач ЕГЭ. Причина в том, что все задания ЕГЭ включают более чем одно умение, и если не проанализировать источник ошибок, то результат будет непредсказуемым.

Почему «натаскивание» не дает надежных результатов

Обычно, решая однотипные задания по единому алгоритму, человек задействует краткосрочную память. Легкость, которая может при этом ощущаться, обманчива; подобный автоматизм — явление временное. Главная цель — уметь видеть известную конструкцию в новом контексте, догадаться применить алгоритм решения задачи в других условиях. Этот навык невозможно натаскать, его дает лишь понимание темы, методики решения.

Именно поэтому хорошие преподаватели никогда не ограничатся домашним заданием сразу после пройденной темы, а будут вновь и вновь предлагать такие задачи под разными личинами или как составную часть заданий по другим темам — тогда они откладываются в долгосрочную память.

Когда лучше начинать готовиться к ЕГЭ?

Очень хорошо, если ваше решение готовиться к сдаче профильного ЕГЭ созрело к началу 10 класса. За 2 года у ученика есть неплохие шансы достичь значительного прогресса: в нашей практике много примеров ребят, не учивших математику углубленно до 10-го класса и получивших 90-100 баллов на ЕГЭ.

Однако очень часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда на подготовку к ЕГЭ остается 7 месяцев, а то и меньше. В этом случае очень многое будет зависеть от того, с какого уровня придется стартовать. С 30 баллов, если старательно и довольно часто заниматься с преподавателем, вполне возможно за 7 месяцев добраться до 80 баллов и даже выше.

Как выбрать хорошего преподавателя математики для подготовки к ЕГЭ

Преподаватель занимается со школьником, в первую очередь, самим предметом, и лишь во вторую — подготовкой к экзамену. Причина простая — не умея решать задачи, не разбираясь в математике, написать ЕГЭ выше 55 баллов невозможно, как бы хорошо ученик ни знал формат.

Что должно насторожить при общении с преподавателем:

• отсутствие диагностики перед началом занятий;
• «типовая», а не индивидуальная программа;
• обещание нереалистично высоких результатов;
• отсутствие домашних заданий или обратной связи по ним;
• слишком легкие домашние задания;
• отсутствие улучшений через 3 месяца занятий.

При сроках подготовки 5-7 месяцев преподаватель должен дать пробный экзамен уже через 3 месяца занятий. Цели две: первая — это встряска ученика. Ребята часто переоценивают свои умения и относятся к делу недостаточно ответственно. Вторая цель — оценить, что усвоилось, а что — нет. Если прогресс будет не таким существенным, как ожидалось, необходима корректировка плана подготовки, «разбор полетов» — что именно не так делал ученик (например, не выполнял домашние задания) и что не так с подходом преподавателя.

К сожалению, многие родители думают, что наличие преподавателя «гарантирует» 100 баллов на ЕГЭ. Конечно, это далеко от правды. Хороший преподаватель — это 50% успеха, остальные 50% — самостоятельный труд ученика. Именно успешно выполненное задание — лучший индикатор усвоения темы. Преподаватель нужен, чтобы задания получались при самостоятельном решении дома! А родителю стоит помочь ученику организовать время и проконтролировать его, если надо.

«Белая тетрадь» — ваш лучший помощник в подготовке к экзамену. Так мы называем личный справочник, в который записываются вручную и своими словами (это важно!) в концентрированном виде все проработанные темы. Занесите в свою белую тетрадь теоремы, формулы, правила, типы заданий с примерами — особо показательными, особо сложными. Это вехи изучения теории и примеры из практики, где были допущенны ошибки. Если рабочих тетрадей может быть много, то белая тетрадь одна. Именно в нее мы смотрим перед экзаменом, она позволяет лучше запоминать и вспоминать пройденное.

Какие учебные пособия помогут подготовиться к профилю по математике

1. В.В. Ткачук. Математика — абитуриенту
2. Из хороших серий учебников — С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. Алгебра. 8 класс. 9 класс и т.д. Учебники
3. А.Г. Мордкович. Алгебра. 7 класс. Учебник
4. Галицкий, Голдман — задачник 8-9 класс
5. Дополнительные Главы к учебнику Атанасян, Кадомцев и т д.
6. И. Шарыгин. Геометрия. 10–11 классы (именно учебник, задачник сложный)
7. Л.И. Звавич, Е.В. Потоскуев. Геометрия. Учебник 10-11 класс
8. Р.К. Гордин. Математика. Геометрия. Стереометрия, другие книги и пособия для подготовки к ЕГЭ
9. С.А. Шестаков, ЕГЭ-2019. Математика. Задачи с параметром
10. А.Х. Шахмейстер — Задачи с параметрами на экзаменах

Для составления плана занятий вам поможет книга [1], в частности — главы с 1 по 7, содержащие основные темы алгебры, геометрии и текстовых задач, которые надо знать и стоит прорешать. Освоение этой книжки дает очень приличный уровень вступительной математики. Это не учебник, а пособие, в котором перечислено то, что необходимо освоить. Изложение материала в нем довольно сложное, скорее для преподавателя, но в свое время усидчивые ученики вполне разбирались.

В случае затруднений — помогут учебники [2] и [3], где материал изложен более доходчиво и именно на уровне школьников. Стоит порешать задания уровня 7-9-го класса из [4]. Занимает это не так много времени, но приводит в форму. Ребята часто недооценивают важность базы, с нее прямо стоит начать и потом консультироваться именно с учебниками [2] и [3], если задачи из [4] не получаются.

Не бойтесь прорешать пару листов на степени, разложение на множители, алгебраические преобразования, метод интервалов, уравнения и неравенства на замену переменной. Непременно необходимо полное отсутствие ошибок, иначе даже первая часть ЕГЭ не освоится.

На этапе прорешивания типовых задач ЕГЭ (апрель-май) будут полезны сайты:

1. «РЕШУ ЕГЭ»: математика
2. Сайт А.М.Ларина
3. Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ЕГЭ

Как распределить время на подготовку к ЕГЭ

У ЕГЭ три слагаемых успеха: алгебра, геометрия и текстовые задачи. Примерное распределение времени на подготовку в течение 7 месяцев следующее:

• Алгебра — 3 месяца
• Текстовые задачи — 1,5 месяца
• Остальное время — геометрия и отработка вариантов

1. Начать следует с алгебры: сначала за 7-9-й класс, потом тригонометрия, показательные, логарифмы и эквивалентные переходы. Научиться решать неравенства разных типов, освоить метод интервалов. Программа-максимум этого этапа — подъем алгебры с уровня 7-го до уровня 11-го класса и решение вступительных заданий, причем необязательно из вариантов ЕГЭ. Лучше сложнее.
2. Если взяться за дело в начале 10-го класса, то на подготовку к геометрической части ЕГЭ времени хватит. Но если вам надо уложиться в 7 месяцев, геометрия потребует принятия непростого решения. Если в пробных вариантах у вас не получается решить задание № 6, то весьма сомнительно, что вы успеете разобраться с задачей № 16, относящейся к вступительной планиметрии, учить которую сейчас уже поздно. Будет разумным пропустить его, чтобы выполнить только задания по стереометрии. К вашим услугам учебники [6], [7] и [8]. В книге [8] дается 8 типов задач по стереометрии на 8 тем, знание которых позволит успешно справиться с задачей № 14.
3. Очень важный тип заданий ЕГЭ — текстовые задачи, этот блок также может принести вам хорошие баллы, если вы настроитесь на математическое восприятие текста. Текстовых задач в ЕГЭ немало: это № 1, № 4, № 10, № 11, № 17 и № 19. Задача № 19 (задача в целых числах) — решается способами, которые не изучают в школе, поэтому надо выделить время на их освоение. Этот тип задач на смекалку, который присутствует и в базовом варианте ЕГЭ.
4. В задаче с параметрами — № 18 — поможет разобраться пособие [1], глава 8, уроки 35-38. С помощью преподавателя и задачника [4] с упрощенными заданиями вы выберете задания для подготовки и лишь после них попробуете решить подобные задания в [9]. Опять-таки, не стоит бросаться к задачам ЕГЭ сразу, порешайте из других задачников, наберитесь практики.
5. Подготовка к ЕГЭ по математике включает и разработку стратегии решения заданий на экзамене. Первое, что надо сделать — это потратить время и полностью просмотреть экзамен, весь вариант. Так у вас сложится впечатление о сложности. Далее каждую задачу первой части идеально расписываем на черновике. Главная ошибка всех решающих тест — это решать быстро и схематично. Но важен ведь ответ. А значит, все решения необходимо проверить. А как проверять, если вы сами не можете разобрать своей мысли? А что если ответ получится неадекватным? Тратьте время на оформление первой части, обязательно. Час на первую часть — это нормально. Там 62 балла из 100. Затем уже приступаем ко второй части. Разберитесь со стандартными задачами (на них минут 45 вместе). Затем идем к остальным. Помните: при неверном обосновании верного ответа все равно поставят ноль баллов.

Зачем 11-класснику быть эгоистом?

Подготовка к профильному ЕГЭ по математике, особенно начатая в 11 классе — это непростое испытание для школьника. Потребуется терпение и четко расставленные приоритеты, ведь самая большая ценность — время, которое надо использовать максимально рационально. Выберите те 3-4 предмета, которые потребуются для поступления в выбранные вузы, и не распыляйтесь на остальные.

В это время обязательным и безотказным отличникам приходится тяжелее, чем троечникам, от которых не требуют пятёрок по всем предметам. Поэтому порой последние получают более высокие баллы по ЕГЭ. 11-й класс — период, когда стоит разрешить школьнику какое-то время побыть эгоистом, сосредоточившись на главной цели. Лишний отгул от школы, свободное посещение, тройки по непрофильным предметам — все, чтобы время уходило на подготовку. Радость победы с лихвой окупит все усилия!

Подготовка к ЕГЭ по математике

Из каких частей состоит ЕГЭ по математике в 2023 году

Математика — один из двух обязательных предметов на ЕГЭ. Но, в отличие от русского языка, эта дисциплина предлагает 2 уровня сложности: профильный и базовый. Какий именно вариант выбрать, зависит от вашей цели. Если вуз, в который вы хотите поступить, требует профильного уровня, нужно сдавать его. Обычно это касается технических специальностей.

Для получения аттестата выпускникам школ хватит и базового. Но финальное решение за вами. Если вы хотите сдать профильный вариант, просто чтобы проверить свои знания и уровень подготовки, — дерзайте!

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Базовый уровень проверяет основные знания школьника по математике. Такой экзамен не делится на части: в него входит только 21 задание с кратким ответом. Ответом может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр. По уровням сложности задания экзамена тоже не делятся — все задачи в нем базового уровня. Чтобы выполнить такую работу, ученику дают 180 минут.

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

Варианты профильного уровня проверяют основные и углубленные знания школьника. В 2023 году ЕГЭ состоит из 2 частей:

• 1-я часть: 11 задач с кратким ответом;

• 2-я часть: 7 задач с развернутым ответом.

В первой части ответом может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр. Во второй части — полное обоснованное решение и ответ. Чтобы выполнить задания экзамена, школьнику дают 235 минут.

Задачи ЕГЭ по математике профильного варианта делятся на категории по уровням сложности. В таблице ниже можно увидеть, как именно.

Как сдать ЕГЭ по математике: разбор сложных задач

Экзамен по математике не зря считают одним из самых трудных. Даже в заданиях базового варианта можно легко ошибиться по невнимательности. Что уж говорить о действительно сложных задачах с полным решением, где много «подводных камней»? Чтобы вы знали, как подготовиться к ЕГЭ по профильной математике, мы разобрали несколько из них.

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Совет

Для этого задания советуем повторить темы:

• Касательные к окружности и их свойства.

• Свойства вписанных углов.

• Взаимное расположение окружностей.

• Свойства прямоугольного треугольника.

• Признаки и свойства параллельных прямых.

• Подобные треугольники, площади подобных фигур.

• Свойство площадей (в частности: отношение площадей треугольников с одинаковой стороной).

• Трапеция, её свойства. Площадь трапеции.

• Теорема Пифагора.

Проследите, чтобы они были в вашем плане подготовки к профилю ЕГЭ по математике.

Решение

а) Выполним построение.

1. Окружности с центрами О₁ и О₂ соответственно касаются друг друга в одной точке К.

2. Прямая АВ касается обеих окружностей в точках А и В соответственно.

3. Прямые АК и ВК пересекают окружности в точках С и D соответственно

4. Пусть общая касательная окружностей в точке К, пересекает прямую АВ в точке М.

   

   Тогда по свойству касательных, проведенных из одной точки, AM = KM и KM = BM.

   

5. Рассмотрим треугольник АВК. Его медиана АМ равна половине стороны, которую она разбивает. Следовательно, делаем вывод, что треугольник АВК прямоугольный, а угол К = 90°.

   

6. Вписанный угол AKD является смежным углом АКВ, а значит, он тоже 90° как прямой. Следовательно, угол AKD опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB, так как радиус, а в данном случае диаметр, перпендикулярен касательной в точке касания.

7. Аналогично рассмотрев угол ВКС, получим, что BC⊥ AB.

   

8. Прямые AD и ВС перпендикулярны третьей прямой АВ, следовательно, прямые AD и BC параллельны. Ч. т. д.

б) Пусть радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1. Тогда АD = 8, ВС = 2.

1. Рассмотрим треугольники ADK и СВК. Они подобны, т. к. имеют два равных угла (К – вертикальный, С и А — накрест лежащие). Из подобия треугольников следует, что их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате:

2. Обозначим площадь треугольника СВК за S, тогда площадь треугольника ADK будет равна 16S.

   

3. Пусть площади треугольников АВК и CDK будут равны х и у соответственно.

   

4. Вспомним свойство, связывающее высоты треугольников с общим основанием и получим следующие равенства: DB — общая сторона треугольников ADB и СDB, следовательно:

   (равно 4 из подобия треугольников ADK и СВК, см. выше),

   

5. Аналогично, AC — общая сторона треугольников ADС и ABC, следовательно,

   (равно 4 из подобия треугольников ADK и СВК, см. выше),

   

6. Решим полученную систему уравнений:

7. Из первого уравнения

   подставим во второе и найдем y.

   следовательно,

   подставим во второе и найдем y.

8. Площадь ABCD равна 16S + 4S + 4S + S = 25S.

9. Заметим, что ABCD — прямоугольная трапеция (AD||BC, AB — перпендикулярна основаниям). Для вычисления ее площади нужно полусумму оснований умножить на высоту.

   

10. Для того, чтобы найти высоту, рассмотрим меньшую трапецию AO₁O₂B.

    

    Ее основания равны 1 и 4, так как О₂В и О₁А — радиусы. O₁O₂ = 5, так как О₂К и О₁К — радиусы. О₂H — высота трапеции AO₁O₂B.

11. По теореме Пифагора найдём О₂H:

12. Вычислим площадь трапеции ABCD:

13. С другой стороны мы нашли

    Отсюда S = 0,8.

14. Площадь треугольника АКВ = 4S, следовательно,

Ответ: 3,2.

Задание 18

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Совет

Чтобы справиться с этой задачей, нужно повторить темы:

• Понятие натурального и целого числа.

• Среднее арифметическое.

• Делимость чисел.

• Процент. Нахождение процента от числа, уменьшение числа на заданный процент.

• Составление и решение линейных уравнений.

Добавьте их в ваш план подготовки к ЕГЭ по математике, если собираетесь сдавать профиль.

Решение:

а)

1. Допустим, что в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал Х баллов и перешёл в другую школу. Тогда средний балл в школе был равен (1 + Х) : 2 = 10, а стал равен 1, т. е. уменьшился в 10 раз.

2. Решим уравнение и получим Х = 19 — натуральное число. Следовательно, наше предположение верно.

3. Или мы можем предположить другой вариант: что один учащийся набрал 2 балла. Тогда средний балл изначально равняется 20, а после ухода второго станет 2, т. е. изменится в 10 раз.

4. Решим уравнение (2 + Х) : 2 = 20, отсюда Х = 38 — натуральное число, что тоже удовлетворяет условию задачи.

Ответ: средний балл в школе № 1 мог уменьшиться в 10 раз.

б)

1. Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, n — сумма баллов m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов.

2. Умножим обе части полученного уравнения на 10, получим:

3. По условию B = 7, тогда получим, что 10u кратно 10, а

   не делится на 10, так как ни один из множителей не делится на 10. Это противоречие.

Ответ: Первоначальный средний балл в школе № 2 не мог равняться 7.

в)

1. Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A, общее количество баллов — p, количество писавших работу — (9 – m).

   (из пункта б).

   Следовательно,

2. Попробуем найти средний балл в школе № 2 методом подбора. Пусть:

   В = 1, тогда:

   кратно 10, а

   не делится на 10.

   В = 2, тогда:

   пусть u = 1, тогда m = 4:

   — не является целым числом.

   u = 2 не может быть, т. к. m ≥ 1

   В = 3, тогда:

   кратно 10, а

   не делится на 10.

   В = 4, тогда:

   Чтобы m было натуральным числом u должно быть четным, u = 2, тогда m = 4, что невозможно (доказали при В = 2).

   u = 4, тогда m меньше 0, что невозможно т. к. m ≥ 1.

   В = 5, тогда:

   пусть u = 1, тогда m = 7, что невозможно (доказали в пункте б);

   пусть u = 2, тогда m = 5:

   — не является целым числом;

   пусть u = 3, тогда m = 3:

3. Этот случай реализуется, например, в школе № 2 при m = 3, B = 5. Предположим, что каждый ученик набрал по 5 баллов. Тогда в школе № 1 писали 9 – m = 9 – 3 = 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 – по 3 балла, тогда средний балл:

4. Переход из школы № 1 в школу № 2 совершил ученик с 3 баллами, тогда
   средний балл в школе № 1 стал равен:

   что на 10% меньше от первоначального значения.

5. Тогда средний балл в школе № 2 стал равен:

   что на 10% меньше от первоначального значения.

Ответ: наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2 равно 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Как выставляют баллы за ЕГЭ по математике

С базовым уровнем сложности все просто: за каждый правильный ответ вашего варианта вы получаете по 1 первичному баллу. То же самое касается и первой части профиля: задания 1–11 тоже оценивают в 1 балл.

Как вы помните, во 2-й части профильного варианта нужны и решение, и ответ. Здесь задания оценивают по нескольким критериям. Они сложнее, но и баллов за них можно получить больше. Давайте же разберемся, как выставляют баллы во второй части профиля. Это поможет вам подготовиться к заданиям ЕГЭ по математике как самостоятельно, так и с учителем.

Узнать больше о структуре экзамена, вариантах и критериях, по которым оценивают работы, можно на официальном сайте ФИПИ, в разделе «Демоверсии, спецификации, кодификаторы». Там же вы найдете методические указания для подготовки.

Сколько баллов нужно набрать, чтобы получить 3, 4 и 5

Теперь, когда мы разобрали критерии, можно посчитать, сколько баллов нужно набрать на конкретную оценку. В этом нам помогут таблицы ниже. Заодно разберемся, как первичные баллы переводятся в тестовые — финальные.

Обратите внимание: с 2008 года официально баллы ЕГЭ не переводят в привычные нам оценки по пятибальной системе. Но если вам хочется это сделать, можно примерно оценить работу по таблице ниже.

6 советов от эксперта, как готовиться к ЕГЭ по математике

Мы занимаемся подготовкой учеников к экзамену каждый год и понимаем, насколько это важно и волнительно. Вам предстоит ответственная работа, от которой многое зависит. Чтобы облегчить ее, мы собрали несколько советов, которые помогут вам как можно лучше подготовиться к ЕГЭ по математике:

• Осознанно выберите уровень сложности и поставьте цель в баллах.

• Составьте план подготовки к ЕГЭ по математике: больше времени уделяйте темам, которые у вас «западают». Чтобы выявить их, ученики Skysmart проходят тест на бесплатном уроке.

• Узнайте все о ЕГЭ: сколько времени длится экзамен, из каких частей состоит, по каким темам будут задания, сколько вариантов, какие дадут справочные материалы и т. д.

• Составьте сбалансированное расписание для подготовки и следите, чтобы в нем было достаточно времени для отдыха.

• Много практикуйтесь: решайте варианты из Открытого банка заданий ЕГЭ и сдавайте тестовые экзамены.

• Систематически консультируйтесь и занимайтесь с наставником, который часто имеет дело с подготовкой к ЕГЭ — преподавателем в школе или репетитором.

Все пункты в этом списке важны для тех, кто хочет набрать 80–100 баллов, но последний — особенно. Преподаватель расскажет о том, что представляет из себя ЕГЭ, и тогда на реальном экзамене не будет неприятных сюрпризов.

На курсах подготовки к ЕГЭ по математике в Skysmart учителя помогают школьникам разобраться в КИМах и прорешать каждый тип задач. Ученики заранее знакомятся с частыми ошибками, что помогает избегать их в работе и сохранять баллы. А еще мы учим готовиться морально, чтобы не допустить ошибок из-за паники и невнимательности. Начните подготовку к ЕГЭ по математике с нуля вместе со Skysmart: первый урок — бесплатно!

Прежде всего, давайте я расскажу вам несколько фактов о профильном ЕГЭ по математике:

1. Уровень 80+ баллов на математике – это очень серьезно!

   Возможно, вы не в курсе, но больше 80 баллов на профильной математике набирает около 7-8% сдающих. То есть 3 человека из 30! Я не раз сталкивалась с ситуацией, когда мой ученик писал экзамен, скажем, на 76 баллов – и это был лучший результат по всей его школе! А всё потому, что…

2. В обычной школе на уроках математике (по программе) — не учат решать вторую часть

   Да, вот так. Кто бы что ни говорил, но в курсе математики обычной среднестатистической школы практически НЕТ заданий из второй части ЕГЭ. Нет экономических задач на дифференцированный или аннуитентный платеж. Нет задач на делимость чисел. Нет заданий на графическое решение систем уравнений и неравенств с параметрами (а если и есть, то серьезное внимание им не уделяется, т.к. учитель ориентируется на среднего ученика). И поэтому, к большому сожалению, обычный среднестатистический отличник без дополнительной целенаправленной подготовки именно к ЕГЭ получит на экзамене 50-70 баллов.
   Конечно, большинство заданий второй части основывается на том, что проходили в школе, но уровень сложности гораздо выше тех задач, что решают в классе. Плюс есть нюансы оформления решений, на которых легко потерять баллы (см пункт 5).
   Да, это очень несправедливо. Да, это неправильно, но, увы, на данный момент все обстоит именно так.

3. 
    4 часа не хватает 

Это ни разу не шутка – если вы решаете на высокий балл, вам в буквальном смысле некогда попить воды! Нужно ведь не только решить, но и переписать на чистовик, плюс что-то перепроверить. А еще драгоценное время будет тратиться, например, на то, чтоб наблюдатель принес вам очередной листочек черновика или бланк ответов, и заполнил циферки на нем. И это тоже потеря времени, особенно когда решаешь все задачи и нужно 6-10 листов для второй части. Например, я сдавала в 2020 году ЕГЭ и знала, как решать 17 из 19 задач сразу, буквально только прочитав их. То есть, я почти не думала над их решением, а просто записывала свои мысли. В итоге я закончила заполнять бланки в последнюю минуту, а условие одной из задач я даже не успела толком прочитать.

4. Во второй части дают уникальные задачи

Ты не встретишь их ни в одном сборнике. Они абсолютно новые и часто содержат в себе новые подвохи и идеи решений, которые ты не встречал раньше.

5. Проверяют ЕГЭ по математике строго

Любая неверная строчка — и ты получаешь 0 баллов. Причем даже если это не влияет на ответ и написано в уголке мелким почерком для себя. Вот реальный пример с ЕГЭ 2020:



Если бы не то, что выделено желтым, ученик получил бы 2 балла, но вместо этого получил 0.
А вот тут у ученицы сняли балл за то, что она в пункте б не подписала на круге значения двух точек:



Обращу ваше внимание: решение задачи полное и обоснованное, ответы и в пункте а, и в пункте б – верные, никаких претензий по существу нет. Просто на круге не написано где какая точка расположена – и сразу минус балл.
Таких случаев полно. То есть, надо не просто правильно решить, а также не написать никакой глупости или даже просто неточности, плюс оформить всё как надо по критериям.

6. Задачи не сбалансированы по сложности.

То есть может попасть очень жесткая 14-ая задача, которая при правильном решении дает 2 первичных балла, и вполне «лайтовая» 17-ая, которая стоит 3 балла. Это очень частая ситуация!

Что же делать?

Ну, а теперь поговорим, что нам со всей этой «радостью» делать, если мы все равно планируем писать экзамен на 80+.

1. Вам нужно уметь решать вторую часть и не более 2 раз ошибиться в первой

   Если вы помимо первой части полностью правильно решите 13, 15, 17, 19 (а,б) – вы получите 84 балла. Это хороший, серьезный результат, но перечитайте пункты 4 и 6, и вы поймете, что чтобы УВЕРЕННО набирать 80, надо также уметь решать несложные 18 и 19.

   Также неплохо бы быть способным решить 14 и 16-ую, но там есть нюанс — даже если вы хорошо знаете геометрию, это не значит, что вы решите эти задачи. Для решения 14 и 16 надо отлично знать геометрию, в том числе редкие теоремы, а так же прорешать 30-40 задач похожего типа с Решу ЕГЭ. Если вы специально не готовились к этим задачам или решили парочку похожих перед экзаменом, то шансов их решить на ЕГЭ почти нет.

2. Нельзя ошибаться

   Да, вот так. Если вы собираетесь получать более 80 баллов — у вас нет права на ошибку. Почему? Времени крайне мало, и проверять некогда. На реальном ЕГЭ 2020 я решила досконально проверить 1-13 и 15 задачи. Это было ошибкой, потому что я в итоге потратила на это полчаса, а ошибок не нашла. Как следствие – я не успела более тщательно записать решение 19в и приступить к решению 14ой задачи. В результате мне не хватило одного балла до 100.

   Вывод – тренируйтесь сразу решать правильно, без проверок и прочего.

3. Нужно понимать математику, алгоритмы не помогут

   Если вы не понимаете логики решений и решаете просто перебирая алгоритмы и подбирая формулу под условие – вы не напишите на действительно хорошие баллы. Потому что разных типов задач слишком много, ко всему алгоритмы не заучишь, а различных подвохов и нюансов — еще раз в 5 больше. Единственный способ написать экзамен хорошо – понимать математику. Понимать почему в одном случае делаем так, а в другом эдак.

   Вывод – разбирайтесь в логике математики! Тратьте силы на то, чтобы понять, это точно окупится! Для этого:

   1. Не учите алгоритмы – вникните, почему они такие какие есть. Разберитесь почему работает метод интервалов, и зачем в неравенствах надо переворачивать знак сравнения при отбрасывании логарифмов с основанием меньше единицы. Поймите, как возникает формула для расчета платежа в 17-ой задаче, а не пользуйтесь уже готовой. И прочее, прочее.

   2. Приучайтесь постоянно задавать вопрос: «почему?» Почему решение именно такое? Почему формулы такая? Ну и так далее.

4. Нужно не боятся решать задачи, которые кажутся новыми и не стандартными

   Вот это очень важный пункт – учитесь не теряться в ситуации абсолютно незнакомой вам задачи. На экзамене вы практически гарантированно попадете в ситуацию «я такое не проходил», потому что, как мы уже говорили, на ЕГЭ часто дают уникальные задачи.

   Вывод – сейчас, при подготовке, приучайтесь вгрызаться в каждую задачу, не бегите сразу смотреть решения. Думайте! ДУМАЙТЕ!!! А для этого:

   • Учитесь рассуждать и задавать правильные вопросы.

     Например, вы не умеете решать неравенства с модулями и вдруг видите вот такое:

     (|3+|x+1||<5)

     «Ой, мы это не проходили, я не знаю, как это делать!» Всё? Сдаемся? Теряем баллы?

     Ни в коем случае! Вместо этого начинаем задавать вопросы:

     — Что передо мной? Неравенство.

     — Что оно «хочет»? Чтоб левая часть была меньше пяти.

     — А когда левая часть будет меньше пяти? Ну, когда внутри модуля будет число (4); (1,6); (0) или (-4,7), иными словами, любое число от (-5) до (5) (не включительно). Значит, это неравенство будет выполняться, когда одновременно будут выполняться два требования:

     (begin{cases}3+|x+1|>-5\3+|x+1|<5end{cases})

     То есть мы имеем систему неравенств.

     — Когда будет выполнять первое из них?…

     И так далее. Вот так это и делается! Теперь, продолжая задавать себе вопросы, дорешайте эту задачу до конца.

   • Даже если вы намертво застряли в задаче — не торопитесь читать решение. Гляньте на него одним глазком, просто для получения подсказки. Поймите одну какую-то идею, до которой вы не догадались, а после продолжите решение сами.

   • Если даже после этого задача не поддалась, то уже прорабатывайте решение плотно и конкретно. Разберитесь в каждой строчке — почему она именно такая? Как она получилась из предыдущей или исходного условия? Есть ли здесь другие пути решения? До какой идеи я не додумался, на что не обратил внимания, чего не понял?

5. Начинайте готовиться к ЕГЭ НЕ ПОЗЖЕ начала сентября 11 класса

   Чтобы уверенно освоить с 13 по 18 нужно решить минимум по 30 задач из каждого номера. 30∙6=180 задач – и это минимум! Плюс еще надо изучить и хорошо понять теорию к этим задачам, а также порешать десяток-другой более простых, подготовительных задач из учебников или сборников.

   Да и первую часть тоже никто не отменял, к ней также надо готовится, хотя бы повторять (если вы ее знаете). За пару месяцев освоить такое количество материала просто не реально, даже за полгода – вряд ли.

   Кстати, если вы начинаете подготовку в 10-ом классе, лучше не прорешивайте стандартные ЕГЭ-шные задачи, а проходите программу 10 класса в углубленном формате, хорошо вникая в теорию. Помните, что школа не готовит ко второй части, поэтому нужно решать задачи сложнее тех, что проходят в классе. А 16 задачу ЕГЭ можно начать решать еще в 9 классе, используя сборник Гордина (учебник тут не сильно поможет, ибо слишком прост).

   Вывод: работы – море, так что не теряйте времени!

Тогда самое время познакомиться с пятью наиболее эффективными принципами подготовки к ЕГЭ от репетитора-профессионала, основателя онлайн-школы математики «ЕГЭ. Математика. Профиль» Шеиной Ксении Игоревны.

Важность результатов ЕГЭ для современных школьников трудно переоценить. Поступление в ВУЗ, карьера, да и вся будущая жизнь ученика, так или иначе зависит от баллов, полученных на экзамене. Профильный ЕГЭ по математике — настоящий пропуск в целый мир профессий, профессий востребованных, хорошо оплачиваемых, интересных. Естественно, что выпускники и их родители ожидают от школьных уроков качественной подготовки к ЕГЭ. Но мало кто задумывается, что ЕГЭ проверяет знания за весь курс средней школы, а учитель скован рамками программы 11-го класса, в которой в лучшем случае встречается третья часть всех проверяемых ЕГЭ тем.

Сильная ограниченность во времени, слабый начальный уровень ребят и отсутствие эффективной методики подготовки — серьезные препятствия в работе школьного учителя. Поэтому многие преподаватели даже не берутся за работу над сложными заданиями.

Между тем, даже за последние два года обучения в школе можно качественно улучшить уровень учеников, если грамотно и естественно вписать процесс подготовки в обычную программу занятий. Каждому учителю под силу заложить прочный фундамент знаний, дать четкие алгоритмы работы со сложными заданиями, научить учеников искать собственные ошибки и создать условия для оттачивания навыков на практике.

Предлагаю вам 5 принципов своей работы, которые помогут научить даже самый слабый класс решению сложных задач.

Принцип 1. «Заложите крепкий фундамент»

Бесконечно жаль тратить время и так очень коротких занятий на отработку простейших, элементарных навыков, но именно они — залог будущего успеха ваших учеников! Парадокс состоит в том, что чем больше времени мы потратим на освоение базового набора знаний, тем больше мы его впоследствии сэкономим при решении более сложных заданий. Например, я всегда очень долго и кропотливо учу ребят решать элементарные тригонометрические уравнения, доводя их навыки до автоматизма. Но как только этот с материал станет понятнее, чем дважды два, мы с фантастической скоростью разбираем методы решения более сложных задач. И здесь открывается настоящий простор для экономии времени, как за счет скорости работы с простейшими заданиями, которые всегда встречаются «внутри» сложных, так и за счет возможности разбирать исключительно методы, оставляя их техническую реализацию на дом. 

У данного принципа есть и еще одна положительная черта: ребята не только набивают руку, но и приобретают уверенность в себе, своих знаниях и силах, перестают считать себя гуманитариями и начинают действительно понимать предмет. 

Принцип 2. «Создайте четкий алгоритм» 

Я не раз готовила к ЕГЭ выпускников, не знающих таблицу умножения, не умеющих складывать дроби и не знающих ничего толкового о действиях с отрицательными числами, но ни разу в жизни мне не попадались дети, не умеющие решать квадратные уравнения. И дело тут не в том, что это самый простой раздел математики, а в четкой последовательности действий и большом количестве практики. Когда у ученика есть инструкция по работе с тем или иным заданием, шаги которой он понимает, то успех неизбежен!

Для ребят с техническим складом ума соблюдение определенного алгоритма столь же естественно как дыхание. А более творческим натурам они помогут собраться с мыслями, не потерять нить решения и контролировать свои действия на каждом шаге.

Чем ниже уровень ваших учеников, тем проще и конкретнее должна быть описана последовательность действий. Например, один и тот же алгоритм нахождения наибольшего значения функции для учащихся с разным уровнем подготовки можно записать как в две строчки, так и на страницу текста. И в обоих случаях это будет оправдано, ведь первым не нужны излишние подробности, они и та хорошо ориентируются в вопросе, а вторым, наоборот, без пояснений и «разжёвывания» не обойтись.

Принцип 3 «Много практики»

Вопрос с закреплением новых знаний на практике стоит в школе очень остро. Сложные задачи с развернутыми решением, как правило, требуют много времени. Если класс не профильный, то качественно проработать большой объем материала «от и до» за занятие практически нереально. На мой взгляд, неплохой выход из этой ситуации состоит в том, что мы математически грамотно и аккуратно расписываем образец выполнения одного прототипа задания, а затем, уже более бегло, прогоняем метод на 5-10 аналогичных примерах.

Такой подход, кроме экономии времени, позволяет ученикам сконцентрировать все внимание на методе решения и особенностях данного задания, не отвлекаясь на уже знакомые и отработанные действия. Количество заданий, прорешенных за урок, существенно увеличивается. После такой интенсивной работы ученики «привыкают» к данному типу задач, страх перед ними, как перед чем-то новым и неизвестным пропадает.

Принцип 4 «Эффективные методы»

Качество подготовки к экзаменам во многом зависит от методики преподавателя. Я всегда руководствуясь принципом Парето о том, всего 20% знаний дают 80% результата. Поэтому первостепенной задачей является классификация заданий, выбор наиболее распространенных типов и отбор наиболее эффективных методов их решений.

К сожалению, многие полезные приемы, существенно облегчающие процесс решения и экономящие уйму времени, не входят в школьную программу. Например, метод рационализации, который серьезно упрощает работу со сложными логарифмическими, показательным и другими типами неравенств, изучается только в сильных физмат школах. А между тем он намного легче и проще стандартных преобразований. Его применение не только экономит время, но и сокращает количество случайных ошибок по невнимательности. При этом научиться применять его под силу «троечнику» всего за 1-2 урока. А значит вероятность справиться со сложными задачами профиля у ваших учеников увеличивается в разы.

Принцип 5 «Работа над ошибками»

Чтобы качественно подготовиться к ЕГЭ, да и просто освоить математику, нужно научить ребят искать собственные ошибки. Как правило, ученики страдают от невнимательности, часто ошибаются в одних и тех же трудных местах, например, отбрасывая логарифмы с основаниями меньшими единицы забывают поменять знак неравенства или, извлекая корень из числа в квадрате, теряют модуль.

В наших силах «подстелить соломку». Акцентируя внимание ребят на потенциально проблемном месте в ходе решения, раз за разом напоминая, что именно «здесь» стоит быть предельно аккуратным, мы способны существенно снизить частоту таких досадных ошибок. Более того, получая «подозрительные» ответы, знающие свои «слабые» места ученики намного чаще находят ошибки в решении.

Внимание! Мы расскажем о методе рационализации на бесплатном вебинаре «Применение метода рационализации при решении сложных задач ЕГЭ» — регистрируйтесь по ссылке:

ЗАРЕГИСТРИРОВАТЬСЯ НА ВЕБИНАР

Об авторе: Шеина Ксения Игоревна, преподаватель кафедры фундаментальной математики НИУ ВШЭ Нижний Новгород, научный сотрудник лаборатории Топологических методов в динамике. Контакты: группа Онлайн-школы, персональная страница К. Шеиной.

---

ЕГЭ по математике профильного уровня — один из самых сложных экзаменов. Планируете сдавать его, но не знаете, с чего начать? Этот экзамен не покажется вам таким трудным, если вы узнаете про него побольше и грамотно подготовитесь. В этой статье обсудим, что нужно знать про ЕГЭ по математике 2023, из каких разделов он состоит и как к нему подготовиться.

Какие темы важно знать для ЕГЭ по математике 2023?

В математике, как и в любом предмете, есть опорные темы. Если вы их выучите, будет легче справиться с экзаменом.

Формулы тригонометрии

Очень важно знать формулы тригонометрии и уметь применять их. Хорошая новость: в справочных материалах можно найти несколько тригонометрических формул.

Но формул гораздо больше. Я советую не зубрить их, а научиться выводить: приходить к формулам шаг за шагом, опираясь на тождества. Кстати, мы учим выводить формулы на курсах подготовки к ЕГЭ: это полезно, чтобы оказаться на экзамене во всеоружии и ничего не перепутать.

Квадратные уравнения

Эти уравнения мы учимся решать еще в 7 классе. Они встречаются в ЕГЭ по математике постоянно: и как самостоятельные задания, и внутри более сложных уравнений или неравенств. Квадратные уравнения могут встретиться в математических моделях № 9 и № 15, в задачах на геометрию и стереометрию, в задании № 17 с параметром.

Самое главное — хорошо знать универсальные методы решения. Первый — через формулу дискриминанта, второй — через теорему Виета, которая может сэкономить время на экзамене.

Треугольники

Эта замечательная тема, которую проходят в 7 классе — основа основ всей геометрии. Она нужна и для решения стереометрии, и для простейших планиметрических задач. Еще треугольники необходимы, чтобы освоить огромное количество теорем. Выучите все, что с ними связано! Особое внимание обратите на прямоугольные треугольники, которые встречаются чаще остальных — тогда геометрические задачи сразу станут проще.

Проценты

Самая нелюбимая тема моих учеников после тригонометрии, которую необходимо хорошо знать. Проценты нужны для реальной математики — это № 9 (с кратким ответом) и № 15 (с развернутым ответом). Понимание этой темы может принести вам 3 первичных балла.

План успешной подготовки к ЕГЭ по математике 2023

Если вы хотите получить больше 80 баллов на ЕГЭ, нужно идеально решать часть с кратким ответом, а также справляться с большинством заданий с развернутым ответом.

Чтобы постепенно прорабатывать материал, воспользуйтесь кодификатором. В нем обратите внимание на таблицу 2, а именно на блоки:

• Алгебра
• Уравнения и неравенства
• Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
• Функции
• Начала математического анализа
• Геометрия

Ориентируйтесь на указанную последовательность, но геометрию изучайте параллельно с остальными блоками — на нее нужно больше времени.

Самое главное — ни в коем случае не ограничивайтесь теорией. Ее у вас не спросят на экзамене, а вот задания решать придется. Поэтому тренируйте практические навыки: актуальные задания вы сможете найти в открытом банке заданий на сайте ФИПИ или в нашем тренажере «Решутест».

Как решать часть с кратким ответом

Ни в коем случае не пренебрегайте частью с кратким ответом! Иначе будет обидно: например, вы наберете за экономическую задачу № 15 полные 2 балла, но потеряете их в двух заданиях первой части. Это актуально для всех ЕГЭ: подробнее о том, как идеально справляться с первой частью экзамена, читайте здесь.

Еще одно заблуждение: «часть с кратким ответом простая, к ней можно не готовиться». Даже в первой части иногда встречаются такие задания, которые ученики даже не решают, потому что не готовились к ним.

Как я уже говорила, часть с кратким ответом содержит 11 заданий. Начинать подготовку необходимо именно с заданий базового уровня сложности, потому что это та основа, на которую потом накладывается более сложная теория.

Что касается задач повышенного уровня сложности, то среди каждого номера есть лайфхаки, например, в этой статье я уже рассказывала про № 11, в котором нужно работать с производной.

Задания с развернутым ответом: немного статистики

Многие думают, что эта часть ЕГЭ по математике очень сложная. Поэтому ребята, которые не рассчитывают на высокие баллы, даже не приступают к ней. И очень зря! С помощью этих заданий можно заработать дополнительные баллы и побороться за высокое место в рейтинге.

Сейчас будет немного статистики. В среднем около 35% учеников получают полные 2 балла за решение № 12, а вот неравенство № 14 дается хуже, только около 12% с ним справляются на полный балл. Геометрия даётся ещё хуже: стереометрию № 13 полностью решают 2% выпускников, планиметрию (№ 16) менее 5%. А вот с экономической задачей (№ 15) справляются около 20%, а это целых 2 балла! Что касается № 17 и 18, то они даются ещё хуже, но на то они и самые сложные, хотя 1 балл за № 18 по статистике получают около 25% сдающих — там нужно просто привести пример.

Особенности уровней ЕГЭ по математике

В 2015 году ЕГЭ по математике разделили на базовый и профильный уровни. Это упростило жизнь выпускникам, которые не планируют поступать на специальности, связанные с математикой. Если ЕГЭ по математике нужен только для получения аттестата, можно сдать его облегченную версию, оставив время и силы для профильных экзаменов.

Базовый уровень ЕГЭ по математике

Как устроен базовый ЕГЭ по математике? Экзамен идет 180 минут, он состоит из 21 задания, за каждое из которых можно получить 1 балл. Этот экзамен единственный, который переводится не в 100-бальную систему, а в оценки.

В ЕГЭ по математике базового уровня 6 тематических блоков:

Также обратите внимание, что базовый ЕГЭ по математике не поменялся с точки зрения наполнения, изменился лишь порядок заданий. Вот что пишут ФИПИ:

Подробнее про базовый ЕГЭ по математике, включая разбор всех заданий, читайте здесь, а мы перейдём к профильному.

Профильный уровень ЕГЭ по математике

Данный экзамен, как и остальные ЕГЭ, переводится в 100-бальную систему:

Экзамен состоит из двух частей: Часть 1 с кратким ответом, а Часть 2 — с развернутым. Длится он 235 минут. Всего есть 18 заданий, которые разделены на 3 блока: алгебра, геометрия и реальная математика. Максимальное количество первичных баллов — 31.

Структура ЕГЭ по математике 2023

Часть 1:

• Приносит 11 баллов, то есть 35% всего экзамена
• 11 заданий с кратким ответом

Часть 2:

• Приносит 20 баллов, то есть 65% всего экзамена
• 7 заданий с развернутым ответом

Внимание! Вся нумерация заданий в статье соответствует ЕГЭ 2023 года.

В заданиях с кратким ответом нужно лишь записать верное число в бланк. Заданий с развернутым ответом 7, в них нужно подробно расписать решение, которое должно соответствовать критериям оценивания.

ЕГЭ — стандартизированный экзамен, поэтому каждое задание всегда соответствует определенной теме.

Обратите внимание, что по сравнению с 2022 годом, в части 1 изменился только порядок заданий. Сами сотрудники ФИПИ говорят следующее:

Задания с кратким ответом принесут вам до 11 первичных баллов (64 вторичных). Если не понимаете, что это за баллы и откуда они берутся, почитайте эту статью. Самая популярная цель на ЕГЭ по математике — набрать 80 баллов, для этого раньше было необходимо 19 первичных баллов. Ранее многие ученики пользовались рабочей стратегией — решить всю часть с кратким ответом, а также № 12, 14 и 15. Если хорошо разбирались в геометрии, выбирали № 13 и 16 — или использовали их как запасные задания. Сейчас стратегия должна быть другая, так как № 13 (стереометрия) стал стоить дороже — 3 балла вместо 2, а № 15 (экономическая задача) — подешевел с 3 баллов до 2. Изменилась также шкала перевода баллов, поэтому подумайте, какими заданиями вы сможете набрать необходимое количество первичных баллов.

Разделы ЕГЭ по математике

• Алгебра и начала анализа — 8 заданий, 13 первичных баллов
• Геометрия — 4 задания, 8 первичных баллов
• Реальная математика — 6 заданий, 10 первичных баллов

Какие задания входят в ЕГЭ по математике?

Здесь вам на помощь приходят документы с официального сайта ФИПИ: кодификатор, демоверсия и спецификация.

• Кодификатор — это краткий перечень всех блоков и тем, которые включены в экзамен.

  Сейчас кодификатор общий для обоих уровней экзамена, как базового, так и профильного. Он снова представляет собой единый документ, так что не запутаетесь.

• Демоверсия — типовой вариант ЕГЭ. Он показывает уровень экзамена и ориентировочную сложность заданий.
• Спецификация — это документ, описывающий структуру экзамена и разбалловку.

Что в итоге