Как правильно решать 15 задание в егэ математика - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.

Комбинированные задачи.

В чем основная сложность «экономической» задачи.

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

Что принимается за 100%?
Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

S=6902 тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

— процент банка,

$k=1+frac{{ p}}{100}=1+frac{125}{1000}=1+frac{1}{8}=frac{9}{8}$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

— сумма долга увеличивается в раз;

— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .

Вот что получается:

Раскроем скобки:

$S{{ k}}^4-{ X}left({{ k}}^3+{{ k}}^2+{ k}+1right)=0.$

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

$1+{{ k}+{{ k}}^2+{ k}}^3$ . В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

${{ Sk}}^4={ X}cdot frac{{{ k}}^4-1}{{ k}-1}=0.$ И выразим из этой формулы .

${ X}=frac{{ S}cdot {{ k}}^4left({ k}-1right)}{{{ k}}^4-1}.$ Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби $frac{9}{8}$ , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

${ X}=frac{{ S}cdot {{ k}}^4left({ k}-1right)}{{{ k}}^4-1}=frac{{ S}cdot 9^4left(frac{9}{8}-1right)}{8^4cdot left(frac{9^4}{8^4}-1right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9^4-8^4right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9^2-8^2right)left(9^2+8^2right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9+8right)left(9^2+8^2right)}=$

$=frac{6902cdot {81}^2}{8cdot 17cdot 145}=frac{406cdot {81}^2}{8cdot 145}=frac{203cdot {81}^2}{4cdot 145}=frac{29cdot 7cdot {81}^2}{4cdot 29cdot 5} = 2296,35$ тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей.

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно, ${ k}=1+frac{{ p}}{100}.$

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна $frac{1}{24}{ S}.$ После первой выплаты сумма долга равна $frac{23}{24}{ S},$ после второй $frac{22}{24}{ S}.$

Тогда первая выплата ${{ X}}_1={ kS}-frac{23}{24}{ S},$ вторая выплата ${{ X}}_2={ k}cdot frac{23}{24}{ S}-frac{22}{24}{ S}$ ,

dots

Последняя в году выплата ${{ X}}_{12}={ k}cdot frac{13}{24}{ S}-frac{12}{24}{ S}.$

Сумма всех выплат в течение первого года:

${ X}={{ X}}_1+{{ X}}_2+dots +{{ X}}_{12}={ kS}left(1+frac{23}{24}+dots frac{13}{24}right)-{ S}left(frac{23}{24}+frac{22}{24}+dots +frac{12}{24}right).$

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ${{ a}}_1=frac{13}{24};{{ a}}_{{ n}}=frac{24}{24}=1.$ Обозначим эту сумму ${{ S}}_1.$

${{ S}}_1=frac{{{ a}}_1+{{ a}}_{12}}{2}cdot 12=frac{13+24}{2cdot 24}cdot 12=frac{37}{4}.$

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ${{ b}}_1=frac{12}{24};{{ b}}_{{ n}}=frac{23}{24}.$ Эту сумму обозначим ${{ S}}_{2.}$

${{ S}}_2=frac{{{ b}}_1+{{ b}}_{12}}{2}cdot 12=frac{12+23}{2cdot 24}cdot 12=frac{35}{4}.$

Общая сумма выплат за год:

$small X= S left({ kS}_1-{{ S}}_2right)=frac{1800}{4}left({ 1,01}cdot 37-35right)=$
$=frac{1800cdot { 2,37}}{4}={ 2,37}cdot 450= 1066,5$ тыс. рублей.

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: ${ k}=1+frac{25}{100}=frac{5}{4},Y=625$ тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

${ S}=frac{left({ k}+1right){ Y}}{{{ k}}^2}{ X}=3cdot frac{left({ k}+1right){ Y}}{{{ k}}^2}left({ k}-1right)+2{ Y}=3{ y}left(frac{{{ k}}^2-1}{{{ k}}^2}right)+2{ Y}=$
$={ Y}left(5-frac{3}{{{ k}}^2}right)=625left(5-frac{3cdot 16}{25}right)=frac{625cdot 77}{25}=77cdot 25=1925$ тысяч рублей.

Ответ: 1925 тыс. рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная			2100 — 1500 = 600 руб
жестяная			1750 — 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть $xge frac{2}{9}$ и $yge frac{1}{4}.$

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

$left{begin{matrix} x+y=1\ {{2}over{9}}leq x textless 1, \ {1over4}leq y textless 1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} y=1-x\ {2over9}leq x leq {3over4} end{matrix}right. .$

Подставим y=1-x в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при $x=frac{3}{4}.$ Тогда $y=frac{1}{4}$ и максимально возможная прибыль завода за день равна

$2000cdot left(27cdot frac{3}{4}+26cdot frac{1}{4}right)=2000cdot frac{107}{4}=53500$ руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 15. Финансовая математика u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

В задании 14 в ЕГЭ 2023 г. профильного уровня проверяется умение решать неравенства и их системы.

Эксперт, проверяющий выполнение этого задания, выставляет баллы в строгом соответствии с критериями, приведёнными в таблице:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением конечного числа точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Плюс в том, что вы сами выбираете метод решения и форму записи, и этот выбор не влияет на оценивание.

Оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Полнота и правильность приведённого решения и ответа определяются:

Выбором метода решения уравнения.
Соответствием выбранному методу верной последовательности всех необходимых шагов решения.
Обоснованием основных моментов решения неравенства.
Правильным применением формул, выполнением преобразований и вычислений.
Верным ответом и его соответствием условию задачи.

Что нужно знать для успешного решения задания 14?

Разбор 14 задания ЕГЭ математика профильный уровень (с примерами решения)

Для того чтобы знать как правильно решать 15 задание ЕГЭ по математике профильного уровня в 2023 году, полезно ознакомится с подробным разбором решений данного вида заданий для ЕГЭ за прошлые годы.

Пример 1.

Решите неравенство

Решение. Находим ОДЗ: . В левой части неравенства применяем свойство логарифмов:

В правой – формулу квадрата разности и свойство логарифмов:

Исходное неравенство равносильно неравенству

преобразовывая которое получим

Воспользуемся методом интервалов (см. рис.):

С помощью кривой знаков получаем

Ответ.

Лайфхак

Знаки выражений совпадают на ОДЗ, поэтому неравенства и равносильны при

Пример 2.

Решите неравенство

Решение. Пусть . Неравенство примет вид

Решая последнее неравенство методом интервалов (см. рис.) и учитывая, что , получим .

Возвращаемся к переменной

Функция возрастающая, поэтому .

Ответ.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТОВАРЫ

Источник

Решите неравенство

!!! Смотрите также подборку задач С3 (с ответами) для подготовки к ЕГЭ !!!

Список всех неравенств (С3), разобранных на сайте:

-11. (Реальный ЕГЭ, 2021) Решите неравенство:

$(9^x-3^{x+1})^2+8cdot 3^{x+1}<8cdot 9^x+20.$

Ответ: Решение

-10. (Реальный ЕГЭ, 2021) Решите неравенство: $16^{frac{1}{x}-1}-4^{frac{1}{x}-1}-2geq 0.$

Ответ: $(0;frac{2}{3}].$ Решение

-9. (Демо ЕГЭ, 2020) Решите неравенство

$log_{11}(8x^2+7)-log_{11}(x^2+x+1)geq log_{11}(frac{x}{x+5}+7).$

Ответ: $(-infty;-12]cup (-frac{35}{8};0].$ Видеорешение New*

-8. (Реальный ЕГЭ, 2019) Решите неравенство

$log_{frac{1}{3}}(18-9x)<log_{frac{1}{3}}(x^2-6x+5)+ log_{frac{1}{3}}(x+2).$

Ответ: Решение Видеорешение New*

-7. (Реальный ЕГЭ, 2019) Решите неравенство

Ответ: Решение

-6. (Реальный ЕГЭ, 2018) Решите неравенство

$log_7(2x^2+12)-log_7(x^2-x+12)geq log_7(2-frac{1}{x}).$

Ответ: $(frac{1}{2};frac{4}{3}]cup [3;+infty).$ Решение Видеорешение New*

-5. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) Решите неравенство $frac{6^x-4cdot 3^x}{xcdot 2^x-5cdot 2^x-4x+20}leq frac{1}{x-5}.$

Ответ: Решение Видеорешение New*

-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) Решите неравенство $3^{x^2}cdot 5^{x-1}geq 3.$

Ответ: Решение Видеорешение New*

-3. (Резервный ЕГЭ, 2017) Решите неравенство $frac{1}{3^x-1}+frac{9^{x+frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}geq 3^{x+1}.$

Ответ: Решение

-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) Решить неравенство $9^{4x-x^2-1}-36cdot 3^{4x-x^2-1}+243geq 0.$

Ответ: {} Решение Видеорешение New*

-1. (Реальный ЕГЭ, 2017) Решить неравенство $frac{log_2(4x^2)+35}{log_2^2x-36}geq -1.$

Ответ: $(0;frac{1}{64})cup$ { $frac{1}{2}$ } Решение

0. (Реальный ЕГЭ, 2017) Решить неравенство $frac{log_4(64x)}{log_4x-3}+frac{log_4x-3}{log_4(64x)}geq frac{log_4x^4+16}{log_4^2x-9}.$

Ответ: $(0;frac{1}{64})cup$ {} Решение

1. (Досрочн. ЕГЭ, 2017) Решите неравенство

Ответ: Решение Видеорешение New*

2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) Решите неравенство

$frac{9^x-3^{x+1}-19}{3^x-6}+frac{9^{x+1}-3^{x+4}+2}{3^x-9}leq 10cdot 3^x+3.$

Ответ: Решение Видеорешение New*

3. (ЕГЭ, 2016) Решите неравенство

$frac{25^x-5^{x+2}+26}{5^x-1}+frac{25^x-7cdot 5^{x}+1}{5^x-7}leq 2cdot 5^x-24.$

Ответ: Решение

4. (Т/Р, 2016) Решите неравенство

$2^{frac{x}{x+1}}-2^{frac{5x+3}{x+1}}+8leq 2^{frac{2x}{x+1}}.$

Ответ: Решение

5. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Решите неравенство

$(5x-13)log_{2x-5}(x^2-6x+10)geq 0.$

Ответ: . Решение Видеорешение New*

6. (ЕГЭ, 2015) Решите неравенство

$frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1geq 0.$

Ответ: {} Решение

7. (Т/Р 2013) Решите систему неравенств

$begin{cases} 9^x-5cdot 3^x+4geq 0,;(1)& &log_{frac{3x^2+4x+1}{4x+1}}|frac{x}{2}|leq 0;;(2) end{cases}$

Ответ: $(-frac{1}{3};0)cup[log_53;1].$ Решение

8. (Т/Р 2013) Решите систему неравенств

$begin{cases} 1-frac{2}{|x|}leq frac{23}{x^2},;(1)& & frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1}leq -0,5;;(2) end{cases}$

Ответ: Решение

9. (Т/Р 2013) Решите систему неравенств

$begin{cases} log_{6x^2-x-1}(2x^2-5x+3)geq 0,& & frac{12x^2-31x+14}{4x^2+3x-1}leq 0; end{cases}$

Ответ: $(-2;-1)cup [frac{1}{10};frac{1}{6})cup$ { $frac{3}{2}$ }. Решение

10. (ДЕМО 2014) Решите систему неравенств

$begin{cases} 4^xle9cdot 2^x+22,& & log_3(x^2-x-2)le1+log_3frac{x+1}{x-2}; end{cases}$

Ответ: Решение

11. (ЕГЭ 2013) Решите систему неравенств

$begin{cases}log_{6-x}frac{x+5}{(x-6)^{12}}ge - 12,& & x^3+7x^2+frac{30x^2+7x-42}{x-6}le 7;& end{cases}$

Ответ: {} Решение

12. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_4(x^2-4)^2+log_2(frac{x-1}{x^2-4})>0.$

Ответ: Решение

13. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_5(2+x)(x-5)>log_{25}(x-5)^2.$

Ответ: Решение

14. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$sqrt{7-log_2x^2}+log_2x^4>4.$

Ответ: Решение

15. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{1}{2}log_{x-1}(x^2-8x+16)+log_{4-x}(-x^2+5x-4)>3.$

Ответ: Решение Видеорешение

16. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_2(5-x)log_2(x+1)leq log_2frac{(x^2-4x-5)^2}{16}.$

Ответ: Решение

17. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{x^4-2x^2+1}{2x^2-x-6}geq frac{1-2x^2+x^4}{2x^2-7x+6}.$

Ответ: {} Решение

18. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{(3^x-3)^3}{2cdot 3^x-4}leq frac{27^x-2cdot 3^{2x+1}+3^{x+2}}{3^x-9^x+2}.$

Ответ: $[frac{1}{2};log_32)cup$ {}. Решение

19. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

Ответ: Решение

20. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{4^{x^2-2x}-16cdot 2^{(x-1)^2}+35}{1-2^{(x-1)^2}}leq 4^xcdot 2^{(x-2)^2}.$

Ответ: Решение

21. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_{x+0,5}(4^x-3cdot 2^{x+1}+8)}{log_{sqrt{x+0,5}}2}leq x.$

Ответ: Решение

22. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$sqrt{1+x^2}-xleq frac{5}{2sqrt{1+x^2}}.$

Ответ: $[-frac{3}{4};+infty).$ Решение

23. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{1}{2}log_{134+tg^2(frac{x}{2})}(21x+16)<log_{134+tg^2(frac{x}{2})}(20+sqrt{x-4}).$

Ответ: Решение

24. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

Ответ: Решение

25. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{x^3-18x^2+89x-132}{(sqrt x-2)(5^x-25)(|x|-1)}leq 0.$

Ответ: Решение

26. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$2sqrt{x+131}-frac{5}{sqrt{x+131}-3}leq 15.$

Ответ: Решение

27. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$x^2+xsqrt{3-3x^2}geq 0,5+x.$

Ответ: $[-1;-sinfrac{5pi}{18}]cup [frac{1}{2};sinfrac{7pi}{18}].$ Решение

28. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{x+1}2leq log_{3-x}2.$

Ответ: Решение

29. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{2x^2}{x+3}+frac{x+3}{x^2}leq 3.$

Ответ: $(-infty;-3)cup [frac{1-sqrt{13}}{2};-1]cup [frac{3}{2};frac{1+sqrt{13}}{2}].$ Решение

30. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{2x}(x+4)cdot log_x(2-x)leq 0.$

Ответ: Решение

31. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{(x-2)^2}frac{5-x}{4-x}leq 1+log_{(2-x)^2}frac{1}{x^2-9x+20}.$

Ответ: Решение

33. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{2sqrt{x+3}}{x+1}leq frac{3sqrt{x+3}}{x+2}$ .

Ответ: {} Решение

34. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{9x}27leq frac{1}{log_3x}.$

Ответ: $(0;frac{1}{9})cup(1;3].$ Решение

35. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{7-71cdot 3^{-x}}{3^x+10cdot 3^{-x}-11}leq 1$ .

Ответ: {} Решение

36. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_x512leq log_2frac{64}{x}.$

Ответ: {}. Решение

37. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$xsqrt x+2sqrt x+3leq frac{6}{2-sqrt x}.$

Ответ: {} Решение

38. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_x(11x-2x^2)+log_{11-2x}x^4leq 5.$

Ответ: {} Решение

39. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_{(-36x)}6^{x+2}}{log_{36}6^{x+2}}leq log_{x^2}36.$

Ответ: $[-36;-2)cup (-2;-1)cup (-frac{1}{36};0).$ Решение

40. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log^2_2frac{x-5}{x+2}-log_2(x-5)^2cdot log_{(x-5)^2}frac{x-5}{x+2}geq 0$ .

Ответ: Решение

41. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_x(1-2x)leq 3-log_{(frac{1}{x}-2)}x.$

Ответ: $(0;frac{1}{3})cup$ {}. Решение

42. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_3(x+1,5)-log_{sqrt2}(3,5-x)+log_{x+1,5}3cdot log_2^2(3,5-x)leq 0.$

Ответ: {}. Решение

43. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_{3-x}sqrt x}{1-log_{x^2}(3-x)}leq 1.$

Ответ: $(0;1)cup (1;frac{sqrt{13}-1}{2})cup$ {} Решение

44. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

Ответ: $(-1;-frac{5}{6}]cup$ {}. Решение

45. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$(x+3)(x+1)+3(x+3)sqrt{frac{x+1}{x+3}}+2leq 0.$

Ответ: Решение

46. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{5-x}(5+9x-2x^2)+log_{1+2x}(x^2-10x+25)^2leq 5.$

Ответ: {} Решение

47. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_2(x^2-8x+6)geq 2+frac{1}{2}log_2(2x-1).$

Ответ: $(frac{1}{2};2-sqrt2]cup [6+sqrt{10};+infty).$ Решение

48. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{sqrt{2x-1}+sqrt{x-3}-3x+10}{sqrt{2x^2-7x+3}}>2$ .

Ответ: Решение

49. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{6-3x+sqrt{2x^2-5x+2}}{3x-sqrt{2x^2-5x+2}}geq frac{1-x}{x}.$

Ответ: $[-1;0)cup (frac{2}{7};frac{1}{2}]cup [2;+infty).$ Решение

50. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{4x}2x-log_{2x^2}4x^2geq -frac{3}{2}.$

Ответ: $(0;frac{1}{4})cup [frac{1}{sqrt8};frac{1}{sqrt2})cup [1;+infty).$ Решение

51. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_2(2cdot 4^x-11cdot 2^x+9)}{x+3}leq 1.$

Ответ: Решение

52. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

Ответ: Решение

53. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{sqrt{6+x-x^2}}{log_2(5-2x)}leq frac{sqrt{6+x-x^2}}{log_2(x+4)}.$

Ответ: $[-2;frac{1}{3}]cup (2;2,5).$ Решение

54. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_3(x^2-4x+5)leq frac{2x}{log_{x^2-4x+5}(9^x+3^x-12)}.$

Ответ: $(log_3frac{-1+sqrt{53}}{2};2)cup (2;log_312].$ Решение

55. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_x(frac{100}{x})leq sqrt{log_x(100x^5)}$ .

Ответ: $(0;frac{1}{sqrt[5]100}]cup [sqrt{10};+infty).$ Решение

56. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{2x^2-x}(3x-1)cdot log_{2x-x^2}(3-2x)geq 0.$

Ответ: $[frac{2}{3};1)cup (1;1,5).$ Решение

57. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{2x}(x-4)log_{x-1}(6-x)<0.$

Ответ: Решение

58. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_3(x+6)leq (1-log_{9x}(6-x))cdot log_3(9x).$

Ответ: Решение

59. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<frac{1}{2}log_{sqrt5}(5x^2-10x+10).$

Ответ: Решение

60. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_xlog_2(3-4^{x-1})leq 1.$

Ответ: Решение

61. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3}{2-5x-3x^2}geq 0.$

Ответ: Решение

62. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_{2^{x+3}}4}{log_{2^{x+3}}(-4x)}leq frac{1}{log_2(log_{frac{1}{2}}2^x)}.$

Ответ: $[-4;-3)cup (-3;-1)cup (-frac{1}{4};0).$ Решение

63. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_x(1-2x)leq 3-log _{frac{1}{x}-2}x.$

Ответ: $(0;frac{1}{3})cup$ {}. Решение

64. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_2(5-x)cdot log_{x+1}frac{1}{8}geq -6.$

Ответ: Решение

65. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_712}{log_7(x^2-9)}geq frac{log_5(x^2+8x+12)}{log_5(x^2-9)}.$

Ответ: Решение

66. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$4log_2x+log_2frac{x^2}{8(x-1)}leq 4-log_2(x-1)-log^2_2x.$

Ответ: (]. Решение

67. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<log_5(5x^2-10x+10).$

Ответ: [)(]. Решение

68. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{frac{x^2-18x+91}{90}}(5x-frac{3}{10})leq0.$

Ответ: [ $frac{13}{50};9+4sqrt5$ ). Решение

69. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{cosx^2}(frac{3}{x}-2x)<log_{cosx^2}(2x-1).$

Ответ: $(frac{1}{2};1).$ Решение

70. (Т/Р А. Ларина) Решите систему неравенств

$begin{cases} log_2(5-x)(2-x)>log_4(x-2)^2,& &frac{2^x-2^{2-x}-3}{2^x-2}geq 0; end{cases}$

Ответ: Решение

71. (Т/Р А. Ларина) Решите систему неравенств

$begin{cases} 4^{x+1}-33cdot 2^x+8leq 0,& & 2log_2frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2geq 2. end{cases}$

Ответ:

Показать скрытое содержание

{

}

Решение

72. (Т/Р А. Ларина) Решите систему неравенств

$begin{cases} frac{|x-5|-1}{2|x-6|-4}leq 1,& & frac{1}{4}log_2(x-2)-frac{1}{2}leq log_{frac{1}{4}}sqrt{x-5}. end{cases}$

Ответ: Решение

73. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{x^2-x+1}{x-1}+frac{x^2-3x-1}{x-3}leq 2x+2.$

Ответ: {} Решение

74. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{2^{cosx}-1}{3cdot 2^{cosx}-1}leq 2^{1+cosx}-2.$

Ответ: $[-frac{pi}{2}+2pi n;frac{pi}{2}+2pi n]cup$ {}, Решение

75. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{5(x-6sqrt x+8)}{x-16}leq sqrt x-2.$

Ответ: Решение

76. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{2^{x+1}sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-15}leq frac{sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-8}.$

Ответ: {} Решение

77. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{4^{x}-3cdot 2^x+3}{2^x-2}+frac{4^{x}-5cdot 2^x+3}{2^x-4}leq 2^{x+1}.$

Ответ: {} Решение

78. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{6x-x^2-8}(5-x)geq log_{6x-x^2-8}(4x^2-17x+20).$

Ответ: Решение

79. (Т/Р А. Ларина) Найдите область определения функции $y=sqrt{1-frac{2^{x+1}-14}{4^x-2^{x+2}-5}}.$

Ответ: {} Решение

80. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство $|3^{x+1}-9^x|+|9^x-5cdot 3^x+6|leq 6-2cdot 3^x.$

Ответ: {}. Решение

81. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство $frac{9}{3+log_3xcdot log_3frac{9}{x}}leq log_3^2x-log_3frac{x^2}{27}.$

Ответ: $(0;frac{1}{3})cup$ {} Решение

82. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство $frac{8^x-3cdot 2^{2x+1}+2^{x+3}+1}{4^x-3cdot 2^{x+1}+8}geq 2^x-1.$

Ответ: {} Решение

83. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство $frac{(2^x-2)^3}{2^{x+2}-12}geq frac{8^x-4^{x+1}+2^{x+2}}{9-4^x}.$

Ответ: {} Решение

84. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство $sqrt{4sqrt3 sinfrac{pi x}{3}-4sin^2frac{pi x}{3}-3}cdot (log_{frac{2}{3}}frac{3x+22}{14-x})leq 0.$

Ответ: {}. Решение

85. (Т/Р, 2017) Решите неравенство $3^{|x|}-8-frac{3^{|x|}+9}{9^{|x|}-4cdot 3^{|x|}+3}leq frac{5}{3^{|x|}-1}.$

Ответ: Решение

86. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>frac{x^2-3x+1+log_{|x|}sqrt2}{x+2}.$

Ответ: Решение

87. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$3sqrt{x^2+6x+9}-(sqrt{3x+7})^2-2|x-1|leq 0.$

Ответ: $[-frac{7}{3};0]cup[2;+infty).$ Решение

88. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$2^{1+2x-x^2}-3geq frac{3}{2^{2x-x^2}-2}.$

Ответ: Решение

89. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_2(|x|-1)log_2(frac{|x|-1}{16})+3}{sqrt{log_2(7-|x+4|)}}geq 0.$

Ответ: Решение

90. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{4^{sqrt{x-1}}-5cdot 2^{sqrt{x-1}}+4}{log^2_2(7-x)}}geq 0.$

Ответ: {} Решение

91. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{2^{x+1}-7}{4^x-2^{x+1}-3}leq 1.$

Ответ: {} Решение

92. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{5-7log_x3}{log_3x-log_x3}geq 1.$

Ответ: $(frac{1}{3};1)cup(1;3)cup [9;27].$ Решение

93. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{x+6sqrt x+28}{120}leq frac{2-sqrt x}{x-6sqrt x+8}.$

Ответ: Решение

94. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{9}{log_2(4x)}leq 4-log_2x.$

Ответ: Решение

95. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{1}{log_3(2x-1)cdot log_{x-1}9}< frac{log_3sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)}.$

Ответ: Решение

96. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_{frac{5-x}{4}}(x-2)cdot log_{x-2}(6x-x^2)geq log_{frac{5-x}{4}}(3x^2-10x+15).$

Ответ: Решение

97. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$log_3(2^x+1)+log_{2^x+1}3geq 2,5.$

Ответ: Решение

98. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{83-17cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}leq 4^x+3cdot 2^{x+1}+17.$

Ответ: Решение

99. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$xlog_2frac{x}{2}+log_x4leq 2.$

Ответ: {}. Решение

100. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$(3^x-2^x)(6^{x+1}+1)+6^xgeq 3^{2x+1}-2^{2x+1}.$

Ответ: {} Решение

101. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$2sqrt{sin^2x-sinx-1}geq cos^2x+sinx+3.$

Ответ: $-frac{pi}{2}+2pi n,nin Z.$ Решение

102. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$frac{log_8x}{log_2(1+2x)}leq frac{log_2sqrt[3]{1+2x}}{log_2x}.$

Ответ: Решение

103. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

$-3log_{(x-1)}frac{1}{3}+log_{frac{1}{3}}(x-1)>2|log_{frac{1}{3}}(x-1)|.$

Ответ: Решение

104. (Т/Р 283 А. Ларина) Решите неравенство

$log_{sqrt3-1}(9^{|x|}-2cdot 3^{|x|})leq log_{sqrt3-1}(2cdot 3^{|x|-3).$

Ответ: Видеорешение

Источник

7 февраля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Относительно сложная текстовая задача, связанная с банковскими кредитами, оптимизацией производства или затрат на него.

Задание 15 представляет собой текстовую задачу, в которой описывается определенный процесс и требуется найти ту или иную величину, заданную условием задачи. Для решения задачи участнику экзамена необходимо свести словесную формулировку к решению уравнения (или неравенства), системы уравнений (или неравенств), исследованию функции или описанию (и построению) Алгоритма нахождения оптимального решения. Для этого приходится составлять математическую модель задачи, т.е. представлять заданные ситуации в виде математических формул (уравнений или неравенств).

Порядок решения подобных задач обычно содержит следующие этапы:

→ выбор неизвестных;
→ составление уравнений (или неравенств);
→ решение, полученных уравнений (или неравенств);
→ в ряде случаев построению функции или описанию (и построению) алгоритма нахождения оптимального решения;
→ проверка и исследование.

Основные ошибки, допускаемые участниками экзамена:

→ неверное составление модели;
→ вычислительные (арифметические);
→ прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;
→ решение методом перебора без обоснования единственности;
→ неверное применение алгоритма нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции;
→ использование в решении без вывода формул для задач о кредитовании, отсутствующих в учебниках (решение имеет вид «формула — ответ»), что можно трактовать как отсутствие построения модели задачи.

zadanie_15m.pdf

Автор: Прокофьев Александр Александрович.

Источник

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Как научить школьника решать экономическую (банковскую) задачу в ЕГЭ по математике

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы:

банковские задачи,
на ценные бумаги,
задачи на оптимальный выбор.

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

Как работает процент по кредиту?
На какую сумму начисляется?
Из каких частей состоит платеж?
Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс!

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу

Экономическая задача ЕГЭ по математике в реальной жизни

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается.

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа.

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.

Источник

Неравенства

В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.