Как решать график функции егэ

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

Комбинированные задачи

Версия для печати и копирования в MS Word

Гиперболы

Версия для печати и копирования в MS Word

Кусочно-линейная функция

Версия для печати и копирования в MS Word

Параболы

Версия для печати и копирования в MS Word

Тригонометрические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Линейные функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Показательные и логарифмические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Графики функций.

 Задание 10 ЕГЭ по
математике (профильный уровень)

              
Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который
дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле.
Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки
пересечения графиков функций.

            
Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами
обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть
получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по
ее графику.       

Рекомендации:

Запоминай, как
выглядят графики основных элементарных функций.

Замечай
особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя:
какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по
горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения
задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или
неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются
также в задачах с параметрами.

               Важный
принцип — это логичность. В шутливой манере он говорит: «нормальные герои
всегда идут в обход». Нужно учиться использовать наличный запас знаний,
применяя различные «хитрости» и «правдоподобные
рассуждения» для ответа наиболее простым и понятным способом.