Как решать графики функций 11 класс егэ

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

Выпускнику

Система подготовки к ЕГЭ – 2022

ЗАДАНИЕ 9

Графики функций

(Учитель математики: Салтыкова Р.А.)

2021

СОДЕРЖАНИЕ

Номер урока	Тема урока	Страница
1.	Гиперболы	3
Типовые примеры	4
Задания для самостоятельного решения	11
2.	Кусочно-линейная функция	15
Типовые примеры	15
3.	Параболы	22
Типовые примеры	23
4.	Синусоиды	27
Типовые примеры	28
5.	Литература	57

Тема 1. Гиперболы

ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Функция вида

у = ,              (1)

где k –
число (причём k ≠ 0),
а x – переменная, называется обратной пропорциональностью.

Графиком прямой пропорциональности служит гипербола.

Заметим, что если известны координаты некоторой точки,
принадлежащей графику прямой пропорциональности, то из формулы (1) получаем
правило нахождения коэффициента k:

k = x ∙ y.

Если k>0, то
гипербола расположена в I и III координатных
четвертях.

Если k<0, то
гипербола расположена во II и IV координатных
четвертях.

У гиперболы есть асимптоты – координатные прямые Ох
(горизонтальная асимптота) и Оу (вертикальная асимптота).

Определение.

Функция вида

у = ,                     (2)

где a, b, c, d – числа, а x –
переменная, называется дробно-линейной функцией.

Графиком дробно-линейной функции также является
гипербола.

Для построения графика дробно-линейной функции с
помощью параллельного переноса графика прямой пропорциональности формулу (2)
удобнее записать в следующем виде:

у = ,                   (3)

где
a, b, c – числа, а
x –
переменная.

При этом коэффициент b
показывает, на сколько единиц необходимо перенести «основной» график по оси х,
а коэффициент с – по оси у.

Иными словами, в
точке (b; с) пересекаются асимптоты
графика функции

у = .                 

Например, для построения графика функции

у =

достаточно
построить график функции у = , а затем перенести его параллельно на
вектор (3; −2), то
есть на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

А для построения графика функции у =

надо
также построить график функции у =  и перенести его
параллельно на вектор (−3; −2), то есть на 3 единицы влево и на 2
единицы вниз.

Пример
1.1. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(13).

Решение.

1)    Заметим,
что асимптоты гиперболы пересекаются в точке (3; 2). Значит, b = −3, с = 2,
то есть гипербола задаётся формулой: f(х) =
.

2)    Для
нахождения коэффициента a перенесём систему
координат на вектор (3; 2), тем самым поместив её в точку пересечения
асимптот гиперболы. В новой системе координат данная функция «превращается» в
прямую пропорциональность у = , а значит, для нахождения
коэффициента a достаточно воспользоваться формулой а = x ∙ y,
подставив в неё координаты какой-нибудь точки графика вместо переменных х
и у. В новой системе координат выделенная на графике точка
имеет координаты (−1;−1). Значит, а = −1 ∙ (−1) = 1.

3)   
С
учётом полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде f(х)=. f(13)
=  =  = 0,1 + 2 = 2,1.

Ответ:
2,1.

Пример
1.2. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(10).

Решение.

1)    Асимптоты
гиперболы пересекаются в точке (2;−4). Значит, гипербола задаётся формулой:

f(х) =
.

2)    Перенесём
систему координат на вектор (2; −4), поместив её в точку пересечения асимптот
гиперболы. В новой системе координат выделим точку с координатами (3; 1).
Значит, а = 3 ∙ 1 = 3.

3)    С учётом
полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде у
=.

f(10)
=  =  = 0,375 – 4 = −3,625.

Ответ:
−3,625.

Пример
1.3. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(4).

Решение.

1)    Асимптоты
гиперболы пересекаются в точке (−1; −1). Значит, гипербола задаётся формулой:

f(х) =
.

2)    Перенесём
систему координат на вектор (−1;−1), поместив её в точку пересечения асимптот
гиперболы. В новой системе координат выделим точку с координатами (−3; 1).
Значит, а = −3 ∙ 1 = −3.

3)    С учётом
полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде у
=.

f(10)
=  =  = −0,6
– 1 = −1,6.

Ответ:
−1,6.

Пример
1.4. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите число a.

Решение.

1)   
Асимптоты
гиперболы пересекаются в точке (5;−1). Значит, гипербола задаётся формулой: f(х)=
.

2)    Перенесём
систему координат на вектор (5; −1), поместив её в точку пересечения асимптот
гиперболы. В новой системе координат выделим точку с координатами (−1; −1).

Значит, k = −1 ∙ (−1) = 1.

3)    С учётом
полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде:

f (х)
= =  = .

4)   Сопоставив полученную
формулу с исходной формулой f(х) = , получим, что a = −1.

Ответ:
−1.

Пример
1.5. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите значение х, при котором f(х) = −1,125.

Решение.

В примере 1.4 мы уже составили формулу, задающую
функцию, график которой изображён на рисунке:

f (х)
=,

f (х)
= ,

f (х)
=  .

По
условию, f (х)
= −1,125.

Составим уравнение:

 = −1,125.

Решение этого уравнения и является искомым значением х.

 =  .

−9 ∙ (х – 5) = 8 ∙ (−х + 6),

−9х + 45 = −8х + 48,

−х = 3,

х = −3.

Ответ:
−3.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Тема 2. Кусочно-линейная
функция

Пример 2.1. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.

Решение.

Вспомним, что график линейной функции
задаётся формулой вида у = kх
+ m,
где k – это угловой
коэффициент прямой, а m
– ордината точки пересечения графика с осью Оу.

1)  
Если х≤2,
то f(x) = − х + 3,
так как на этом промежутке k
=  =
−1, а ось Оу пересекается с графиком в точке с ординатой
3.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком минус:

f(x) = ax –
(bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax –
bx –
c + d = (а – b)х
+ (d
– c).

Имеем:

a – b = –1,
                                 d – c = 3.

2)  
Если х≥2,
то f(x) = 3 х −
5, так как на этом промежутке k
=  =
3, а ось Оу пересекается с продолжением этого графика в
точке с ординатой −5.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком плюс:

f(x) = ax + (bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax + bx + c + d =
(а + b)х
+ (d + c).

Имеем:

a + b = 3,                                  d + c = −5.

3)   
Решим две системы уравнений:

       и             

Получаем,
что a
= 1, b
= 2, c
= −4, d
= −1.

4)   
Решим уравнение ax
+ d = 0:

1 ∙ х
– 1 = 0,

х = 1.

Ответ:
1.

Пример 2.2. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения bx + c = 0.

Решение.

Графики функций, заданные формулой,
содержащей знак модуля, имеют точки излома в «нулях» модулей.

Заметим, что х = 2 – это точка, в
которой находится точка излома (вершина ломаной). Значит,

bx + c = 0 при
х = 2.

Ответ:
2.

Пример 2.3. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.

Решение.

1)   
Для точек, находящихся левее точки излома,
имеем: f(x) = − х – 7,

так
как на этом промежутке k
=  =
−4, а ось Оу пересекается с графиком в точке с ординатой
–7.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком минус:

f(x) = ax –
(bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax –
bx –
c + d = (а – b)х
+ (d
– c).

Имеем:

a – b = –4,
                                 d – c = –7.

2)   
Для точек, находящихся правее точки
излома, имеем:  

f(x) = − 5,

так
как на этом промежутке k
= 0,
а ось Оу пересекается с продолжением этого графика в точке с ординатой −5.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком плюс:

f(x) = ax + (bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax + bx + c + d =
(а + b)х
+ (d + c).

Имеем:

a + b = 0,                                  d + c = −5.

3)   
Решим две системы уравнений:

       и             

Получаем,
что a
= –3, b
= 2, c
= 1, d
= −6.

4)   
Решим уравнение ax
+ d = 0:

–2 ∙ х
– 6 = 0,

х = –3.

Ответ:
–3.

Пример 2.4. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax – |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.

Решение.

1)   
Для точек, находящихся левее точки излома,
имеем: f(x) = 4 х – 1,

так
как на этом промежутке k
=  =
4, а ось Оу пересекается с графиком в точке с ординатой
–1.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком минус:

f(x) = ax + (bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax + bx + c + d =
(а + b)х
+ (d + c).

Имеем:

a + b = 4,                                  d + c = –1.

2)   
Для точек, находящихся правее точки
излома, имеем: 

f(x) = − 2х
+ 5,

так
как на этом промежутке k
=  = −2,
а ось Оу пересекается с продолжением этого графика в точке с ординатой 5.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком плюс:

f(x) = ax −
(bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax −
bx −
c + d = (а − b)х
+ (d −
c).

Имеем:

a – b = –2,                                  d – c = 5.

3)   
Решим две системы уравнений:

       и             

Получаем,
что a
= 1, b
= 3, c
= –3, d
= 2.

4)    Решим
уравнение ax
+ d = 0:

1
∙
х
+ 2 = 0,

х
= –2.

Ответ:
–2.

Пример
2.5. 
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки
пересечения графиков.

Решение.

1)   Для первого
графика k = , а ось Оу пересекается с графиком в точке
с ординатой 7. Значит,
уравнение данной прямой имеет вид у₁ = х + 7.

2)   Для второго
графика k =  = 1,  а ось Оу пересекается с графиком в
точке с ординатой 1. Значит, уравнение данной прямой имеет
вид у₂ = х + 1.

3)    В точке
пересечения должно выполняться условие

у₁
= у₂.

Составим
уравнение и решим его:

х + 7 = х + 1,

3х
+ 14 = 2х + 2,

х
= –12.

Ответ:
–12.

Тема 3. Параболы

Парабола – это график квадратичной функции, которую
можно задать формулой у = k∙(х – m)²
+ n, где (m; n) –
координаты вершины параболы, а k – коэффициент
растяжения.

         Чтобы
найти коэффициент k, систему
координат переносят параллельно в точку с координатами (m; n), то есть
в вершину параболы. В новой системе координат уравнение параболы будет записано
в виде у = k∙х², откуда k = . Подставив в эту формулу координаты
какой-нибудь точки параболы в новой системе координат, можно вычислить значение
коэффициента k.

Пример
3.1. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение
f(3,5).

Решение.

1)   
Вершина данной параболы находится в точке
(6; 8), поэтому она будет задана уравнением

f(х)
= k∙(х
– 6)² + 8.

2)   
В новой системе координат выделим на
графике точку с координатами (2; –1)
и подставим их значения вместо х и у в формулу k
= :

k =  = .

3)    Тогда
данная функция будет задана формулой

f(х)
= ∙(х – 6)² + 8
=  ∙
х ² + 3х – 1.

4)   
Вычислим значение f(3,5):

f(3,5)
= ∙(3,5 – 6)² + 8
= 6,4375.

Ответ:
6,4375.

Пример
3.2. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение
дискриминанта уравнения f(х) = 0.

Решение.

В
задаче 3.1 мы уже составили уравнение этой параболы:

f(х)
=   ∙
х ² + 3х – 1.

Составим
и решим уравнение f(х)
= 0:

 ∙
х ² + 3х – 1 = 0,

D
= 3² – 4 ∙
 ∙
(-1) = 9 – 1 = 8.

Ответ:
8.

Пример
3.3. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение f(0).

Решение.

1)   
Вершина данной параболы находится в точке
(6; 6), поэтому она будет задана уравнением

f(х)
= k∙(х
– 6)² + 6.

2)   
В новой системе координат выделим на
графике точку с координатами (2; –2)
и подставим их значения вместо х и у в формулу k
= :

k =  = .

3)    Тогда
данная функция будет задана формулой

f(х)
= ∙(х – 6)² + 6
=  ∙
х ² + 6х – 12.

4)   
Вычислим значение f(0):

f(0)
= – 12.

Ответ:
–
12.

Пример
3.4. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение f(–18) – f(–3).

Решение.

1)   
Вершина данной параболы находится в точке
(2; 0), поэтому она будет задана уравнением

f(х)
= k∙(х
– 2)².

2)   
В новой системе координат выделим на
графике точку с координатами (2; 2) и подставим их значения вместо х
и у в формулу k
= :

k =  = .

3)    Тогда
данная функция будет задана формулой

f(х)
= ∙(х – 2)².

Вычислим значение f(–18) – f(–3):

f(–18)
=  ∙
(– 18 – 2)² =  ∙
(– 20)² = 200,

f(–3)
=  ∙
(– 3 – 2)² =  ∙
(– 5)² = 12,5,

f(–18) – f(–3) = 200 – 12,5 = 187,5.

Ответ:
187,5.

Тема 4. Синусоиды

Уравнение вида

f(х) = a ∙ cos (𝝎 x + 𝝋₀) + d

является уравнением гармонического
колебания.

Здесь
a – амплитуда колебаний (коэффициент
растяжения синусоиды вдоль оси Оу),

𝝎 – частота
колебаний (𝝎 = , где Т – период данной
функции),

𝝋₀
– начальная фаза колебаний (начальное отклонение по оси Ох от
состояния равновесия),

d – отклонение по оси Оу.

Пример
4.1.
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
a ∙
cos (b𝝅x + c) + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите
значение f .

Решение.

1)    Определим
характеристики гармонического колебания:

а
=  = 2,

Т
= 4 – 2 = 2,

b𝝅 =  =
 =
𝝅, откуда b = 1,

с
= 0,

d
= –1.

Таким
образом, формула, задающая синусоиду, имеет вид:

f(х)
= 2 ∙ cos 𝝅x – 1.

2)   
В силу периодичности данной функции (Т =
2) имеем:

f  = f  = f  = f  = f   

f   = 2 ∙
cos   – 1 = 2 ∙ cos   – 1 =

= –2 ∙ cos   – 1 = –2 ∙   – 1 = – 2.

Ответ:
– 2.

Пример
4.2.
На рисунке изображён график функции вида f(х) =
a ∙
cos (b𝝅x + c) + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите
значение f .

Решение.

1)    Определим
характеристики гармонического колебания:

а
=  = –1,

Т
= 1,5 – 0,5 = 1,

b𝝅 =  =
 =
2𝝅, откуда b = 2,

с
= 0,

d
= –2.

Таким
образом, формула, задающая синусоиду, имеет вид:

f(х)
= – cos 2𝝅x – 2.

2)   
В силу периодичности данной функции (Т =
2) и её чётности имеем:

f  = f  = f  = f  = f   

f   = – cos   – 2 = –  – 2 = – 2,5.

Ответ:
– 2,5.

Пример
4.3.
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
a ∙ cos  + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите
значение f .

Решение.

1)    Определим
характеристики гармонического колебания:

а
=  = –2,

Т
= 6 – 2 = 4,

 =  =
 =
, откуда b = 2,

с
= 0,

d
= 1.

Таким
образом, формула, задающая синусоиду, имеет вид:

f(х) = –2 cos  + 1.

2)   
В силу периодичности данной функции (Т = 4)
и её чётности имеем:

f  = f  = f  = f  = f   

f   = –2 cos   +
1 = –2 ∙   + 1 = 0.

Ответ:
0.

Литература

СДАМ
ГИА: РЕШУ ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика
профильного уровня — https://ege.sdamgia.ru/

ДЛЯ
ЗАМЕТОК

Слайд 1

«ЗАДАНИЕ № 9 В ЕГЭ 2022 ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ» Зялалова З.А учитель математики МБОУ ВСОШ №4

Слайд 2

Задание №9 . «Анализ графиков» Прямая Парабола Гипербола Логарифмическая и показательная функции Иррациональные функции Тригонометрические функции

Слайд 3

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1

Слайд 4

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 5

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 6

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 7

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 8

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 9

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 10

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение:

Слайд 11

На рисунке изображён график функции f(x)= kx + b . Найдите f( 12 ) . Задача №1 Решение: Ответ: 4.

Слайд 12

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2

Слайд 13

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 14

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 15

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 16

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 17

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 18

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 19

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 20

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 21

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 22

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 23

По графику функции f(x)= kx + b найдите х, при котором f( х ) = − 13,5. Задача №2 Решение:

Слайд 24

Прототип 1. (Прямая) На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точек пересечения. 1 2 Решение: Уравнение прямой у = kx+b . 1) Первая прямая проходит через точки (-4;1) и (-2;4) , Решаем систему = > k=1,5; b=7 у =1,5х+7-уравнение 1 прямой. 2) Вторая прямая проходит через точки (-1;0) и (2;3) . Решаем систему = > k=1; b=1 Тогда у=х+1-уравнение 2 прямой. 3)Решим систему уравнений , х = -12.Тогда у = -11. Ответ:-11

Слайд 25

Прототип 2. (Парабола) На рисунке изображен график функции f(x)= x²+bx+c . Найдите f( -1 ) . Решение. Из рисунка видно, что график проходит через (3;2);(4;5);(5;4) В ычтем из 2 уравнения 1-е , п олучим7 a + b = Вычтем из 3уравнения 2 -е , получим 9 a + b=- Решив систему уравнений находим = -2 , b = 17. Тогда f(x )= — 2 x² + 17 x + c и f( 3 ) = 2, найдем ,что с = -31. f(x )= — 2 x²+ 17 x — 31, f( -1 ) =-2-17-31=-50 Ответ:-50

Слайд 26

Прототип 3 . (Парабола) На рисунке изображен график функции f(x)= ах ² + bx+c ,где числа , b и c -целые. Найдите абсциссу вершины параболы . Решение. Из рисунка видно, что график проходит через (3 ;-2);(2;1);(1;6) Тогда вычтем из 1 уравнения 2-е, получим 5a-b=- вычтем из 2 уравнения 3-е,получим 3 a-b=- Решив систему уравнений находим =1 , b =8. Абсцисса вершины параболы = — =-4 . Ответ:-4

Слайд 27

Прототип 4 . (Парабола) На рисунке изображены графики функций f(x )= 5х+9 и g(x)= ах ² + bx+c , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки B Решение. По графику с=-3.График функции g(x) проходит через точки (-2;-1);(-1;-3);(2;3). Подставим координаты точки (-1;-3), получим -3=а- b -3. Отсюда а= b . g(x)= ах ² + а x -3. Подставим координаты точки (2;3 ), получим, что а=1. g(x)= х ² +x -3. Чтобы найти абсциссу точки ,нужно решить уравнение х ² +x -3 = 5х+9, х ² — 4 x — 12=0. По теореме Виета = -12, + = 4 По графику = -2, тогда =6. Ответ:6

Слайд 28

Прототип 5. (Гипербола) На рисунке изображен график функции f(x)= +a . Найдите f (0,25) Решение: График функции имеет горизонтальную асимптоту y = -2 , значит, а = -2 . ( График функции f(x ) = + a получается сдвигом графика функции f(x ) = вдоль оси Оу на величину |а| вверх, если а >0 и вниз если a<0 ) По графику а = -2 и проходит через точку (3;-3). -3 = -2 отсюда k = -3 .Значит, f(x ) = -2, f( 0,25 ) = -2= -14. Ответ:- 14

Слайд 29

Прототип 6 . (Гипербола) На рисунке изображён график функции вида f(x )= +c , где числа a, b и c — целые. Найдите f(13). Решение. График функции имеет горизонтальную асимптоту y = 2, значит, c = 2. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 3 , значит, b = — 3. По графику f(2 ) = 1 , тогда +2=1, отсюда a = 1 . Таким образом, f(x ) = +2 Найдём f(13 ) = +2=2,1. f(13)=2,1. Ответ:2,1

Слайд 30

Прототип 7 . (Гипербола) На рисунке изображен график функции f(x)= . Найдите f . Решение. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 2, значит, а = — 2. По графику а= -2 и проходит через точку (-3;-1). -1= , отсюда k = 5.Значит , f(x ) = , f = = 5: = -0,75. Ответ: -0,75

Слайд 31

Прототип 8. (Гипербола) На рисунке изображен график функции f(x)= . Найдите k Решение. Преобразуем данную функцию f(x)= f(x ) = Тогда, делаем вывод, что k- горизонтальная асимптота b -вертикальная асимптота График функции имеет горизонтальную асимптоту y=2, значит , k =2. Ответ:2

Слайд 32

Прототип 9 . (Гипербола) На рисунке изображен график функции f(x)= . Найдите a . Решение. График функции имеет горизонтальную асимптоту y=2, значит, k =2 . График функции имеет вертикальную асимптоту x=3, значит, b = — 3. По графику f( 5 )= 3, тогда 3= , отсюда а=-4. Ответ:-4 k-u горизонтальная асимптота b -вертикальная асимптота

Слайд 33

Прототип 10. ( Тригонометрическая функция ) На рисунке изображен график функции вида f(x )= cos(b π x+c )+d, где числа , b, c и d -целые. Найдите . Решение. По графику = -3 d = = = -1. |a|= = =2. По графику =2, c =0, T=2 T= = , то есть =2 , отсюда b=1 f (x)=2cos π x-1, f =f f , f =2cos π· -1 = 2cos π -1 = 2cos -1= -2cos 1= -2. Ответ:-2 Т=2

Слайд 34

Прототип 11.(Тригонометрическая функция) На рисунке изображён график функции вида f(x)= cos(b π x+c )+d, где числа , b, c и d -целые. Найдите . Решение. По графику = -3 d= = = -1. |a|= = =2. По графику = — 2 , c=0, T=2 T= = , то есть =2 , отсюда b=1 f(x )= — 2cos π x-1, f =f f , f = — 2cos π· -1 = — 2cos π -1 = — 2cos -1= 2cos 1= 0 . Ответ:0

Слайд 35

Прототип 12.(Иррациональная функция) На рисунке изображен график функции f(x)=k Найдите f(2,56) Решение. График этой функции проходит через точку (4;-3).Подставив координаты этой точки, получим -3= k , 2 k =-3, k =-1,5. f(2,56 ) =-1,5 Ответ:-2,4

Слайд 36

Прототип 13.(Логарифмическая функция) На рисунке изображен график функции f(x )=b+ x. Найдите значение х при котором f(x )=2. Решение. График функции f(x)= b+ x получается сдвигом графика функции f(x)= x. вдоль оси Оу на величину |b| вверх , если b > 0 и вниз если b <0 . По графику b = -2 и проходит через точку (3;- 1 ). -1= — 2 + , отсюда а =3 .Значит, f(x)= — 2 x , найдем х при котором f(x )= 2. 2=-2 x , x =4, значит, х=81. Ответ:81

Слайд 37

Прототип 14.(Показательная функция) На рисунке изображен график функции f(x )= . Найдите f (-5 ). Решение. График функции f(x)= получается сдвигом графика функции f(x)= вдоль оси Ох на величину | b | влево, если b>0 и вправо если b<0 . По графику b = — 1 и проходит через точку ( 3 ; 2 ). отсюда а = . Значит, f ( -5 )= = = Ответ:0,125

3. На рисунке изображён график функции y=3x^2+bx+c . Найдите f(6) . [Ответ: 10]	Смотреть видеоразбор похожего >>
4. На рисунке изображён график функции y=ax^2+12x+c . Найдите f(7) . [Ответ: -74]	Смотреть видеоразбор похожего >>
5. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+12 . Найдите f(-7) . [Ответ: 19]	Смотреть видеоразбор похожего >>
6. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c . Найдите f(1) . [Ответ: 49]	Смотреть видеоразбор похожего >>
7. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c , где числа a , b и c — целые. Найдите f(-5) . [Ответ: -29]	Смотреть видеоразбор похожего >>
8. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите f(0.1) . [Ответ: -17]	Смотреть видеоразбор похожего >>
9. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите, при каком значении x значение функции равно -4.4 . [Ответ: -12.5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
10. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите f(-3.5) . [Ответ: 6]	Смотреть видеоразбор похожего >>
11. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите значение x , при котором f(x) = 10 . [Ответ: 0.6]	Смотреть видеоразбор похожего >>
12. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите k . [Ответ: 1]	Смотреть видеоразбор похожего >>
13. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
14. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите f(frac{1}{9}) . [Ответ: 3]	Смотреть видеоразбор похожего >>
15. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите значение x , при котором f(x)=-11 . [Ответ: 64]	Смотреть видеоразбор похожего >>
16. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите f(26) . [Ответ: -2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
17. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите значение x , при котором f(x)=4 . [Ответ: 82]	Смотреть видеоразбор похожего >>
18. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите f(-2) . [Ответ: 22]	Смотреть видеоразбор похожего >>
19. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите значение x , при котором f(x) = 77 . [Ответ: -4]	Смотреть видеоразбор похожего >>
20. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите f(4) . [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
21. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите значение x , при котором f(x) = 64 . [Ответ: 8]	Смотреть видеоразбор похожего >>
22. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите f(8.41) . [Ответ: 8.7]	Смотреть видеоразбор похожего >>
23. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите значение x , при котором f(x)=-6.75 . [Ответ: 7.29]	Смотреть видеоразбор похожего >>
24. На рисунке изображены графики функций f(x)=-4x+22 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
25. На рисунке изображены графики функций f(x)=-6x-28 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 38]	Смотреть видеоразбор похожего >>
26. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 0.2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
27. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 20]	Смотреть видеоразбор похожего >>
28. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -2.08]	Смотреть видеоразбор похожего >>
29. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: -2.4]	Смотреть видеоразбор похожего >>
30. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -11.3]	Смотреть видеоразбор похожего >>
31. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: 6.8]	Смотреть видеоразбор похожего >>
32. На рисунке изображены графики функций f(x) = 2x^2+16x+30 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: -9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
33. На рисунке изображены графики функций f(x) = -2x^2-3x+1 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: -13]	Смотреть видеоразбор похожего >>
34. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A. [Ответ: 3.24]	Смотреть видеоразбор похожего >>
35. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A. [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
36. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
37. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите b . [Ответ: 1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
38. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите a . [Ответ: 1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
39. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1]	Смотреть видеоразбор похожего >>
40. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
41. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• функция, аргумент функции, значение функции
• график функции, преобразование графика функции
• свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

1. область определения этой функции симметрична относительно 0;
2. для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

1. область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁<х_2, выполняется неравенство у₁<у₂.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких что, х₁<х_2, выполняется неравенство у₁>у₂.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

1. Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

1. Четность / нечетность функции

D(y)= — симметрична относительно нуля

,

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

1. Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

1. Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

1. Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

точки -1, 1 – выколоты, 0 — закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

1. Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

1. Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

1. Отразим найденные свойства графически, построим график функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

1. вводят независимую переменную х
2. выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
3. выражают у через х и другие известные величины
4. устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x² у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x)² (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x²+(24 — x)² = 5x² -48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5x²-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x₀ = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

1. у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

1. у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

1. у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.

1. 

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции	Четность / нечетность
у=0	и четная, и нечетная
у=sin(x+5π/2)	четная
у=lg(x+10)	общего вида
	нечетная

2.

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y   =   f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 5.