По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.
Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!
Почему задания на производную решает только 40% выпускников?
Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.
Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.
Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.
Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике
В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.
Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.
Поиск точек экстремума
Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Поиск наибольшего / наименьшего значения функции
Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.
Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!
Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.
В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!
- Учите производную
- Пользуйтесь алгоритмами
- Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!
Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!
Решение заданий ЕГЭ по теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции» Задание 11 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня.
→ скачать презентацию
Для выполнения задания 11 необходимо уметь выполнять действия с функциями
Примеры заданий:
Задание №1. Найдите точку минимума функции y=x3-9x2+12.
Задание №2. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 =𝑥3/4− 27𝑥 + 11 на отрезке −[8; 0].
Задание № 3. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 + 9) 2 ⋅ (𝑥 − 5) − 5 на отрезке [−19; −5] .
Основные понятия
Точка минимума — такая точка x0, если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x0)
Минимум функции — значение функции в точке минимума x0
Точка максимума — такая точка x0 , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)<f(x0)
Максимум функции — значение функции в точке максимума x0
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами.
Теорема (достаточный признак существования экстремума функции).
Критическая точка x0 является точкой экстремума функции f(x), если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.
Связанные страницы:
Задание №11 решу ЕГЭ 2022 по математике 11 класс профильный уровень (профиль) все задания с ответами и решением, которые могут попасться на реальном ЕГЭ 2022.
- Степенные иррациональные функции
- Логарифмические функции
- Показательные функции
- Тригонометрические функции
- Исследование функции без производной
Задание 11 часть 1 профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной. Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
- Нахождение точек максимума и минимума функций
- Исследование сложных функций
- Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Степенные иррациональные функции ЕГЭ 2022 профиль математика:
Логарифмические функции ЕГЭ 2022 профиль математика:
Показательные функции ЕГЭ 2022 профиль математика:
Тригонометрические функции ЕГЭ 2022 профиль математика:
Исследование функции ЕГЭ 2022 профиль математика:
Видео как решать 11 задание в ЕГЭ по математике профиль:
1)Найдите наименьшее значение функции y=−2ln(x+3)5+10x на отрезке [−2,5;−1].
2)Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+7)3−3x на отрезке [−6,5;−4].
3)Найдите наибольшее значение функции y=ln(4−2x)+2x−7 на отрезке [0;1,7].
4)Найдите точку максимума функции y=−8√x+12ln(x−4)−11.
5)Найдите точку максимума функции y=2lnx−√x−17.
6)Найдите наибольшее значение функции y=√−2log0,5(5x+1) на отрезке [12,6;51].
7)Найдите точку минимума функции y=x2−21x+6+55lnx.
8)Найдите точку максимума функции y=x2−11x−17+15lnx.
9)Найдите точку максимума функции y=(5×2−3x−3)ex+5.
10)Найдите наименьшее значение функции y=−4x−4cosx+5 на отрезке [−π;0].
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике профиль 11 класс
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Как решать 11 задание в ЕГЭ по математике (профиль) правильно? Нужно определить тип: поиск точки экстремума функции или поиск наибольшего/наименьшего значения функции, а затем воспользоваться алгоритмом.
Общие правила
Задание номер 11 в ЕГЭ по математике (профиль) входит в первую часть экзамена и считается одним из самых сложных. Все дело в том, что здесь проверяется ваше умение решать задачи на производную – к сожалению, эта тема непонятна очень и очень многим.
Но ничего страшного – мы составили гайд с подсказками по решению задания 11 в ЕГЭ по математике (профиль). И первым делом расскажем о двух основных типах задач, которые можно встретить.
- Поиск точки минимума или точки максимума функции
- Поиск наибольшего значения функции или наименьшего значения функции
Чуть ниже мы поговорим об алгоритмах выполнения задания 11 ЕГЭ, но сначала приведем базовые термины, которые вам стоит знать. Если вы до сих пор не справлялись с решением задач на производную, нужно начать с изучения теории.
- Точка максимума – такая точка x0 , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)<f(x0);
- Точка минимума – такая точка x0, если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x0);
- Максимум функции – значение функции в точке максимума x0;
- Минимум функции – значение функции в точке минимума x0.
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума, а точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами.
Для успешного решения нужно запомнить несколько несложных формул для 11 задания ЕГЭ по математике (профиль): u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
- (c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
- (u + v)′ = u′ + v′
- (u — v)′ = u′ — v′
- (u ⋅ v)′ = u′v + v′u
- (u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
Еще немного теории для 11 задания ЕГЭ по профильной математике. Существуют и сложные функции – когда одна функция вложена в другую. Найти производную можно с помощью умножения производной внешней функции на производную внутренней функции – воспользуйтесь формулой (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′.
Поиск точек экстремума
Первый тип задания номер 11 в ЕГЭ по математике профильного уровня – поиск точки минимума или точки максимума функции.
Алгоритм несложный, делаем следующее:
- Сначала необходимо найти производную;
- Второй шаг – поиск точек экстремума;
- Далее необходимо приравнять производную к нулю и решить получившееся уравнение.
Теперь можно переходить к следующему этапу:
- Нарисуйте ось и отметьте на ней корни: сверху опишите производную, снизу – саму функцию;
- Найдите знаки производной в интервалах между корнями (подставьте удобные числа из интервалов в производную);
- Определите вид каждого экстремума: если переход с «-» на «+», значит, точка минимума (или, наоборот, точка максимума, если переход с «+» на «-»).
Приводим разбор 11 задания ЕГЭ по математике (профиль). Это классический вариант!
Задание: найдите точку минимума функции y = x3 – 9×2 + 12.
Решение:
D(y) = R
?′(х) = 3?2 − 9⋅2? = 3?2 − 18? = 3? (?−6).
ּּּ?′(х) = 0, 3? (?−6) = 0,
?1 = 0; ?2 = 6.
Ответ: при переходе через точку х=6 производная меняет знак с «-» на «+», значит, эта точка минимума.
Важно – это лишь пример, которым можно руководствоваться. Нет никаких гарантий, что во время экзамена вам попадется именно это задание.
Так как мы хотим изучить все типы 11 задания ЕГЭ по математике (профиль), переходим к следующему возможному варианту.
Поиск значения функции
Второй вариант, который может попасться на экзамене – это поиск максимального или минимального значения функции. В 11 задаче ЕГЭ по математике (профиль) такое задание встречается довольно часто.
Здесь алгоритм еще проще – этой единой инструкцией можно пользоваться при решении любых подобных задач.
- Сначала найдите производную;
- Приравняйте ее к нулю и найдите точки экстремума.
Затем нужно будет посчитать значение исходной функции в:
- Начале промежутка;
- Конце промежутка;
- В экстремумах, лежащих в [a; b], если есть.
Последний шаг – выбор нужного значения.
А теперь переходим к прототипу задания 11 ЕГЭ по математике (профиль). Еще раз напомним, это лишь пример, который поможет разобраться в тонкостях решения.
Задание: найдите наименьшее значение функции ? = ?? − 3? + 16 на отрезке [1;9].
Решение:
D(y) = [0; +∞]
y = x3/2 – 3х + 16
y’ (x) = 3/2×1/2 – 3 = 3/2√x – 3
y’ (x) = 0, 3/2√x – 3 = 0, √x = 3х2/3, √x = 2, х = 4
4 ∈ [1;9]
Ответ: в точке х = 4 заданная функция имеет минимум.
y (4) = 4√4 – 3 х 4 + 16 = 12.
Соответственно, ответ – 12.
Надеемся, с нашими подсказками вы сможете разобраться, как делать 11 задание в ЕГЭ по математике (профиль). Пусть оно и кажется очень сложным, нужно лишь правильно выстроить алгоритм решения – и тогда все получится!
Выпускники, прошедшие через ЕГЭ по математике, отмечают, что задание под номером 11 – самое сложное в первой части профильного варианта. Весь сыр-бор из-за производной.
Переживать из-за производной не стоит, пользуясь всего лишь двумя алгоритмами, можно решить абсолютно любое задание с ней, эта статья посвящена им. Также в материале будут представлены интересные хитрости, позволяющие быстро решать задачи из ЕГЭ на производную, без каких-либо алгоритмов.
В этом материале:
- Почему только 40 процентов сдающих успешно справляются с производной в ЕГЭ
- Как выглядят два прототипа 11 задания из первой части профильной математики ЕГЭ
- Как найти две точки экстремума функции
- Как найти наибольшее или наименьшее значение функции
- Хитрость, помогающая быстро разобраться с производной в ЕГЭ
Все, кто хоть немного знаком с темой выпускного госэкзамена (например, те, кто ходят на онлайн занятия по математике к репетитору), в курсе, что профильный вариант математики содержит две части: с кратким ответом и подробным ответом. Краткая часть содержит 11 заданий, последнее связано с производной, вот на нем следует остановиться подробнее.
Задача задания: выяснить, знают ли сдающие школьники понятие производной и умеют ли они вычислять ее. Статистика показывает, что 60% из них не в состоянии успешно выполнить это задание, это большая цифра.
В оправдание сдающих можно сказать то, что тема производной впервые рассматривается на уроках математики в выпускном классе, в середине года, у школьников просто не хватает времени хорошо проработать тему.
Как выглядят два прототипа 11 задания из первой части профильной математики ЕГЭ?
Для упрощения задачи выпускникам составители придумали сделать два вида задания, каждое из них решается по одному и тому же алгоритму, отличаются только числа и буквы. Чтобы успешно справиться с одним из прототипов, требуется только запомнить таблицу производных, также стоит походить на онлайн занятия математикой.
Прежде чем приступить к решению, стоит разобраться в сути задания. Существует небольшая хитрость для этого. Выпускники плохо ориентируются в понятиях, они не могут отличить «точку максимума» от «точки минимума», «наибольшее» или «наименьшее значение» функции.
Точку экстремума (максимума или минимума) функции принято обозначать буквой x, а наибольшее или наименьшее значение принято обозначать буквой y. Здесь легко растеряться и ошибиться. Чтобы этого избежать, нужно обратить внимание на слово «точка экстремума». Слово «точка» – маркер, если оно есть в задании, значит требуется найти x, в противном случае – y.
Для работы в Учи.Дома мы тщательно отбираем онлайн репетиторов по математике, которые зажигают в детях интерес к предмету. Их профессионализм и энергичность дают потрясающий результат: ученики с нетерпением ждут новых занятий и без напоминаний выполняют домашние задания.
Как найти две точки экстремума функции?
Если ученик понял разницу между x и y, нужно перейти к следующей части – поиску точек экстремума. Математическая функция содержит две точки, в которых производная равняется нулю. Чтобы понять, где точка минимума, а где максимума – нужно обратить внимание на то, какой знак у производной до и после точки. Если до знак был «+», а стал «-», то это точка максимума, и наоборот, если знак до точки был «-» – это точка минимума. Алгоритм работает следующим образом:
Он универсален для каждого прототипа 11 задания, где требуется найти точки максимума или минимума. Такой метод часто репетиторы разбирают на онлайн занятиях математикой.
Как найти наибольшее или наименьшее значение функции?
Второй тип задания отличается от первого даже своим видом, а не только формулировкой. Сдающему представляется не только сама функция, но и ее отдельный промежуток вида [a, b]. Изначально про точки этого промежутка нет никакой информации, но на них следует обратить внимание.
Начало алгоритма похоже на предыдущий: нужно найти точки максимума и минимума, определить изменение функций в этих точках. После этого нужно приступить к данному в задании промежутку – определить поведение функции в его точках.
Хитрость, помогающая быстро разобраться с производной в ЕГЭ
Для части заданий можно проигнорировать указанные выше алгоритмы, сделать все проще и быстрее с помощью маленькой хитрости. Стоит быть внимательным при ее использовании чтобы не ошибиться, она не работает для всех заданий.
Хитрость относится к формату ЕГЭ, задание номер 11 требует краткого ответа. Это значит, что в бланк ответов нельзя вписать бесконечную дробь, некоторые математические знаки, обозначающие числа (например, число Пи или число Е), знаки для синуса, логарифма и т.д. Для подкованного выпускника – это упрощение решения.
Хотите, чтобы ваш ребенок полюбил математику с младших классов? Запишите его на бесплатный вводный урок, где мы покажем, каким увлекательным может быть этот «сложный» предмет.
Пример использования хитрости
Для успешного выполнения ученик должен наизусть помнить таблицу производных, далее – простая логика.
В задании есть число Е, значит, придется брать производную от него, причем ответ будет тем же самым числом. Поскольку в бланке ответов число Е вписать нельзя, становится понятно, что основная задача – это избавиться от него. Но возможно ли это сделать? Да, если вспомнить свойства степеней и одну хитрость.
В указанном примере нужно превратить число в единицу, поскольку Е – это основание степени, нужно, чтобы его показатель был равен нулю. Получается – (x — 9) = 0. При таком раскладе даже второклассник сможет найти икс, он равен 9.
Можно по-другому избавиться от числа. Скобки в примере – тоже своего рода множитель. Если представить, что результат действий в скобках равен нулю, то получается, что 10 – x = 0. Икс находится так же просто, он равен уменьшаемому – десяти.
На этом решение не заканчивается. В задании потребовалось найти наименьшее значение функции – нужно подставить икс в данную функцию.
В первом примере, когда икс равен 9 – значение функции игрек равно 1, в другом примере, где икс равен 10, игрек равен 0. Второе значение меньше первого, значит нужно именно его вписать в ответ.
Чтобы вписать правильный ответ, нужно применить оба метода для того, чтобы найти именно наименьшее или наибольшее значение.
Применяя оба метода, довольно легко можно решить любое 11 задание в ЕГЭ. Не стоит забывать и про хитрости формата, для упрощения задачи. Но лучше все же ходить и на онлайн занятия математикой к репетиторам, чтобы быть уверенным в успешной сдаче экзамена.
Что следует запомнить:
- Нужно учить таблицы производных;
- Алгоритмы – удобный и верный способ решения;
- При использовании хитростей нужно обращать внимание на производную.
Тип 5 № 26653 
Найдите корень уравнения 
Аналоги к заданию № 26653: 510382 510401 2857 13685 505143 505164 2859 2861 2863 2865 … Все
Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть)., ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург
Классификатор алгебры: Показательные уравнения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень, 2.1.5 Показательные уравнения
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 60.8%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
Найдите наименьшее значение функции $y=-2ln(x+3)^5+10x$ на отрезке $[-2{,}5 ;-1]$.
Решение
Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.
Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:
$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.
2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.
3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.
Ответ: -20
Задача 2
Найдите наибольшее значение функции $y=ln(x+7)^3-3x$ на отрезке $[-6{,}5 ;-4]$.
Решение
Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞ )$, на котором она дифференцируема
Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения
Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $ln(x+7)^3=3ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3ln(x+7)-3x$
1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$
2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку
3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$
$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$
Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения
$y(-6)=3ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $ln 1=0$.
Ответ: 18
Задача 3
Найдите наибольшее значение функции $y=ln(4-2x)+2x-7$ на отрезке $[0;1{,}7]$.
Решение
Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:
$y′ = {1}/{4 — 2x} · (4 — 2x)′ + (2x)′ — (7)’ = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x — 3}/{x — 2}$.
$y′ = {2x — 3}/{x — 2}$.
2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x — 3}/{x — 2} = 0,$
$2x — 3 = 0,$
$x = {3}/{2}$.
Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x — 3)(x — 2) = 2x^2 — 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».
При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).
4. $y({3}/{2}) = ln (4 — 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} — 7 = ln 1 + 3 — 7 = -4$.
Ответ: -4
Задача 4
Найдите точку максимума функции $y=-8√ x+12ln(x-4)-11$.
Решение
Областью определения этой функции является интервал $(4; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.
$y′ = {-8}/{2√x} + {12}/{x — 4} = {-8(x — 4) + 24√x}/{2√x(x — 4)} = {-4x + 16 + 12√x}/{√x(x — 4)}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -4x + 16 + 12√x = 0$.
Сделаем замену $√x = t$ $(t > 2)$. Получим уравнение $-4t^2 + 12t + 16 = 0; t^2 — 3t — 4 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:
$t_{1,2} = {3± √{9 + 16}}/{2} = {3±2}/{5}$,
$t_1 = -1, t_2 = 4$.
$t = -1$ не удовлетворяет условию $t > 2$.
Уравнение $√x = 4$ имеет решение $x = 16$. Получили единственную стационарную точку $x = 16$, принадлежащую промежутку $(4; +∞)$.
При $x > 4$ знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = -4x+16+12√x$. Для определения её знака на интервале $(4; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x = 16$, и другая, больше, чем $x = 16$.
$y_1 (9) = -4 · 9 + 16 + 12√9 = -36 + 16 + 36 > 0$, а $y_1 (25) = -4 · 25 + 16 + 12√25 = -100 + 16 + 60 < 0$.
3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $x = 16$. Поэтому точка $x = 16$ будет точкой максимума.
Ответ: 16
Задача 5
Найдите точку максимума функции $y=2ln x-√ {x}-17$.
Решение
Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:
$y′ = {2}/{x} — {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 — √x = 0. √x = 4, x = 16$.
Получили одну стационарную точку.
3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 — √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.
Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 — √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 — √{25} = -1 < 0$
Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.
Ответ: 16
Задача 6
Найдите наибольшее значение функции $y=√ {-2log_{0{,}5} (5x+1)}$ на отрезке $[12{,}6;51]$.
Решение
Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.
1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.
2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.
Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.
Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.
Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.
3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.
Ответ: 4
Задача 7
Найдите точку минимума функции $y=x^2-21x+6+55ln x$.
Решение
Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.
$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 — 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.
Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.
| (0;5) | 5 | (5; 5.5) | 5.5 | (5.5;+∞) | |
| y′ | + | 0 | — | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Ответ: 5.5
Задача 8
Найдите точку максимума функции $y=x^2-11x-17+15ln x$.
Решение
Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.
$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 — 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.
Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.
| (0;2.5) | 2.5 | (2.5; 3) | 3 | (3;+∞) | |
| y′ | + | 0 | — | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.
Ответ: 2.5
Задача 9
Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-3x-3)e^{x+5}$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:
$y′ = (10x − 3)e^{x+5} + (5x^2 − 3x − 3)e^{x+5} = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6), y′ = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6)$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $e^{x+5} > 0$, то $5x^2 + 7x − 6 = 0. x_{1,2} = {−7 ± √{49 + 120}}/{10} = {−7 ± 13}/{10}. x_1 = −2, x_2 = 0.6$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5x^2 +7x-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=-2$ и $x_2=0.6$.
Поэтому при $x < −2$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $−2 < x < 0.6$, и знак «плюс» при $x > 0.6$.
| (-∞;-2) | -2 | (-2; 0.6) | 0.6 | (0.6;+∞) | |
| y′ | + | 0 | — | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $x_1 = −2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.
Ответ: -2
Задача 10
Найдите наименьшее значение функции $y=-4x-4cos x+5$ на отрезке $[- {π} ;0]$.
Решение
Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:
$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 — sin x), y′ = -4(1 — sin x)$.
2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 — sin x > 1$ и $-4(1 — sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x — 4 cos x + 5$ убывает.
3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.
$y(0) = -4 · 0 — 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.
Ответ: 1
Задача 11
Найдите точку минимума функции $y=(12-5x)sin x-5cos x-10$, принадлежащую интервалу $({π} / {2};π)$.
Решение
Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ sin x+(sin x)^′⋅(12-5x)+5sin x$, $y^′=-5sin x+cos x(12-5x)+5sin x=-cos x(5x-12)$, $y^′=-cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.
Ответ: 2.4
Задача 12
Найдите точку минимума функции $y={x-8} / {x^2+225}$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:
$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.
$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.
$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.
Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.
| (-∞;-9) | -9 | (-9; 25) | 25 | (25;+∞) | |
| y′ | — | + | — | ||
| y | ↘ | 0 | ↗ | 0 | ↘ |
Тем самым производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.
Ответ: -9
Задача 13
Найдите точку максимума функции $y={x-5} / {x^2+144}$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:
$y′ = {(x-5)′·(x^2+144)-(x^2+144)′·(x-5)}/{(x^2+144)^2}$.
$y′ = {x^2+144-2x·(x-5)}/{(x^2+144)^2}={x^2+144-2x^2+10x}/{(x^2+144)^2}$.
$y′ = {-x^2+10x+144}/{(x^2+144)^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 10x+144 = 0, x^2-10x-144=0, x_{1,2} = 5±√{25+144}=5±√{169}=5±13, x_1=-8, x_2=18$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +10x+144$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-8$ и $18$.
Поэтому на промежутке $(-∞;-8)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-8; 18)$ она больше нуля и на промежутке $(18;+∞)$ меньше нуля.
| (-∞;-8) | -8 | (-8; 18) | 18 | (18;+∞) | |
| y′ | — | + | — | ||
| y | ↘ | 0 | ↗ | 0 | ↘ |
Тем самым производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 18$, которая и будет точкой максимума.
Ответ: 18
Задача 14
Найдите наименьшее значение функции $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$.
Решение
Областью определения функции является множество $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема
Промежуток $[16;98]$ содержится в области определения функции
1. Находим $y^′$, представив заданную функцию в виде $y=4x+{256} / {x}$
По правилам дифференцирования и по формуле производной степенной функции получаем: $y^′=4-{256} / {x^2}={4x^2-256} / {x^2}={4(x^2-64)} / {x^2}$, $y^′={4(x^2-64)} / {x^2}$
2. Решаем уравнение $ y^′=0 $, $ x^2-64=0 $, $ x_1=-8 $, $ x_2=8 $
Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на промежуток $[16;98]$. Значит, на заданном отрезке стационарных точек нет
3. Так как $x^2>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $ x^2-64 $. Поэтому $ y^′ >0 $ при $ x>8$, а функция $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$ возрастает
Наименьшее значение она принимает в точке $x=16$
$y(16)=4⋅ 16+{256} / {16}=64+16=80$.
Ответ: 80
Задача 15
Найдите точку минимума функции $y={25x^2+25} / {x}$.
Решение
Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 — {25}/{x^2} = {25x^2 — 25}/{x^2} = {25(x^2 — 1)}/{x^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 — 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.
3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.
| (-∞;-1) | -1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0;+∞) | |
| y′ | + | 0 | — | Не сущ. | — | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Ответ: 1
Задача 16
Найдите наименьшее значение функции $y=x^5-5x^3-270x$ на отрезке $[0 ;5]$.
Решение
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 — 15x^2 — 270$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 — 15t — 270 = 0$ или $t^2 — 3t — 54 = 0$.
$t_1 = -6, t_2 = 9$.
$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.
3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.
$y′(1) = 5·1^4 — 15·1^2 — 270 = 5 — 15 — 270 < 0$,
$y′(4) = 5·4^4 — 15·4^2 — 270 = 1280- 240 — 270 > 0$.
Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
$y(3) = 3^5 — 5·3^3 — 270·3 = 243-135-810 = -702$.
Ответ: -702
Задача 17
Найдите наибольшее значение функции $y=√ {240-8x-x^2}$ на отрезке $[-18;10]$.
Решение
Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 — (x + 4)^2}$.
Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.
Ответ: 16
Задача 18
Найдите наименьшее значение функции $y=√ {x^2+2x+122}$ на отрезке $[-50;150]$.
Решение
Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D = 4 — 488$), значит трёхчлен корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена направлены вверх, абсцисса вершины равна $-1$, а ордината $121$. Поэтому $x^2+2x+122 > 0$ при любых x и исходная функция определена при любом значении x из промежутка [-50; 150].
При $-50 ≤ x ≤ -1$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ убывает, а значит убывает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.
При $-1 ≤ x ≤ 150$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ возрастает, а значит возрастает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.
Из сказанного следует, что в точке $x = -1$ функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$ принимает наименьшее значение на указанном отрезке.
$y(-1) = √{121} = 11$.
Ответ: 11
Задача 19
Найдите точку максимума функции $y=√ {77+4x-x^2}$.
Решение
Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.
$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.
Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).
Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.
$y′ = {1}/{2√{77 + 4x — x^2}}·(77 + 4x — x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x — x^2}} = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}, y′ = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}$,
2. Решаем уравнение $y′ = 0, x — 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.
3. Так как $√{77 + 4x — x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.
Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.
Ответ: 2
Задача 20
Найдите точку минимума функции $y=√ {x^2-12x+40}$.
Решение
Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.
$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$
$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.
2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.
3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y’>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.
Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Ответ: 6