Как решать тригонометрические выражения егэ профиль

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$  градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ {1}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {√3}/{2}$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ {√3}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {1}/{2}$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ {√3}/{3}$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ {√3}/{3}$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения 

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

.

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

5. Найдите значение выражения:  при

Применили формулу частного степеней

Ответ: 256.

6. Вычислите 

Ответ: 2.

7. Вычислите , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение Сначала упростим выражение.

Ответ: 4,5.

8. Вычислите

Применили формулу для произведения степеней:

Ответ: 12.

9. Вычислите

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

.

При этом > 0, > 0,

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

Логарифм частного равен разности логарифмов:

Формула для логарифма степени:

Формула перехода к новому основанию:

10. Вычислите: .

Снова формула перехода к другому основанию.

, поэтому

11. Найдите , если .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения .

.

14. Найдите значение выражения .

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите:

16. Найдите , если и .

Т.к. , то

17. Найдите , если и

Т.к. , то

18. Найдите значение выражения:

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение:

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

21. Вычислите , если

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
при .

Запомним:

.

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

при .

При получим:

Ответ: 12.

24. Найдите , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
.

25. Найдите , если , при .

— функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
.

Тогда при

, и значение выражения равно 1.

ЕГЭ Профиль №6. Вычисление значений тригонометрических выраженийadmin2022-11-29T17:06:06+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №6. Вычисление значений тригонометрических выражений

Задача 1. Найдите значение выражения      (frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{sin {{358}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: 25. Решение Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha  = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{sin {{358}^ circ }}} = frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{sin left( {2 cdot {{179}^ circ }} right)}} = frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{2sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}} = 25.) Ответ: 25.

Задача 2. Найдите значение выражения      (8sin frac{{5{\pi }}}{{12}} cdot cos frac{{5{\pi }}}{{12}}) Ответ ОТВЕТ: 2. Решение Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha  = 2sin alpha cos alpha ) (8sin frac{{5pi }}{{12}}cos frac{{5pi }}{{12}} = 4 cdot 2 cdot sin frac{{5pi }}{{12}}cos frac{{5pi }}{{12}} = 4 cdot sin left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = 4 cdot sin frac{{5pi }}{6} = 4 cdot frac{1}{2} = 2.) Ответ: 2.

Задача 3. Найдите значение выражения      (frac{{24left( {{{sin }^2}{{17}^ circ } — {{cos }^2}{{17}^ circ }} right)}}{{cos {{34}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: — 24. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = {cos ^2}alpha  — {sin ^2}alpha ) (frac{{24left( {{{sin }^2}{{17}^ circ } — {{cos }^2}{{17}^ circ }} right)}}{{cos {{34}^ circ }}} = frac{{ — 24left( {{{cos }^2}{{17}^ circ } — {{sin }^2}{{17}^ circ }} right)}}{{cos {{34}^ circ }}} = frac{{ — 24cos {{34}^ circ }}}{{cos {{34}^ circ }}} =  — 24.) Ответ: — 24.

Задача 4. Найдите значение выражения      (sqrt 3 {cos ^2}frac{{5{pi }}}{{12}} — sqrt 3 {sin ^2}frac{{5pi }}{{12}}) Ответ ОТВЕТ: — 1,5. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = {cos ^2}alpha  — {sin ^2}alpha ) (sqrt 3 {cos ^2}frac{{5pi }}{{12}} — sqrt 3 {sin ^2}frac{{5pi }}{{12}} = sqrt 3 left( {{{cos }^2}frac{{5pi }}{{12}} — {{sin }^2}frac{{5pi }}{{12}}} right) = sqrt 3 cos left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = ) ( = sqrt 3 cos frac{{5pi }}{6} = sqrt 3  cdot left( { — frac{{sqrt 3 }}{2}} right) =  — 1,5.) Ответ: — 1,5.

Задача 5. Найдите значение выражения      (sqrt {12} {cos ^2}frac{{5{pi }}}{{12}} — sqrt 3 ) Ответ ОТВЕТ: — 1,5. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = 2{cos ^2}alpha  — 1) (sqrt {12} {cos ^2}frac{{5pi }}{{12}} — sqrt 3  = sqrt 3 left( {2{{cos }^2}frac{{5pi }}{{12}} — 1} right) = sqrt 3  cdot cos left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = ) ( = sqrt 3 cos frac{{5pi }}{6} = sqrt 3  cdot left( { — frac{{sqrt 3 }}{2}} right) =  — 1,5.) Ответ: — 1,5.

Задача 6. Найдите значение выражения      (sqrt 3  — sqrt {12} {sin ^2}frac{{5{pi }}}{{12}}) Ответ ОТВЕТ: — 1,5. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = 1 — 2{sin ^2}alpha ) (sqrt 3  — sqrt {12} {sin ^2}frac{{5pi }}{{12}} = sqrt 3 left( {1 — 2{{sin }^2}frac{{5pi }}{{12}}} right) = sqrt 3 cos left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = ) ( = sqrt 3 cos frac{{5pi }}{6} = sqrt 3  cdot left( { — frac{{sqrt 3 }}{2}} right) =  — 1,5.) Ответ: — 1,5.

Задача 7. Найдите    ( — 47cos 2alpha ),     если     (cos alpha  =  — 0,4) Ответ ОТВЕТ: 31,96. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = 2{cos ^2}alpha  — 1) ( — 47cos 2alpha  =  — 47 cdot left( {2{{cos }^2}alpha  — 1} right) =  — 47 cdot left( {2 cdot {{left( { — 0,4} right)}^2} — 1} right) = ) ( =  — 47 cdot left( {0,32 — 1} right) =  — 47 cdot left( { — 0,68} right) = 31,96.) Ответ: 31,96.

Задача 8. Найдите значение выражения      (frac{{5cos {{29}^ circ }}}{{sin {{61}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: 5. Решение (frac{{5cos {{29}^ circ }}}{{sin {{61}^ circ }}} = frac{{5cos left( {{{90}^ circ } — {{61}^ circ }} right)}}{{sin {{61}^ circ }}} = frac{{5sin {{61}^ circ }}}{{sin {{61}^ circ }}} = 5.) При решении воспользовались формулой приведения: (cos left( {{{90}^ circ } — alpha } right) = sin alpha .) Ответ: 5.

Задача 9. Найдите значение выражения     (36sqrt 3 {text{tg}}frac{{\pi }}{3}sin frac{{\pi }}{6}) Ответ ОТВЕТ: 54. Решение (36sqrt 3 ,,tgfrac{pi }{3} cdot sin frac{pi }{6} = 36sqrt 3  cdot sqrt 3  cdot frac{1}{2} = 18 cdot 3 = 54.) Ответ: 54.

Задача 10. Найдите значение выражения     (4sqrt 2 cos frac{{\pi }}{4}cos frac{{7{\pi }}}{3}) Ответ ОТВЕТ: 2. Решение (4sqrt 2 cos frac{pi }{4}cos frac{{7pi }}{3} = 4sqrt 2  cdot frac{{sqrt 2 }}{2}cos left( {frac{{7pi }}{3} — 2pi } right) = 4 cdot cos frac{pi }{3} = 4 cdot frac{1}{2} = 2.) При решении воспользовались периодичностью косинуса: (cos left( {alpha  — 2pi } right) = cos alpha .) Ответ: 2.

Задача 11. Найдите значение выражения     (frac{8}{{sin left( { — frac{{27{\pi }}}{4}} right)cos left( {frac{{31{\pi }}}{4}} right)}}) Ответ ОТВЕТ: — 16. Решение (sin left( { — frac{{27pi }}{4}} right) = sin left( { — frac{{27pi }}{4} + 8pi } right) = sin frac{{5pi }}{4} =  — frac{{sqrt 2 }}{2}) (cos left( {frac{{31pi }}{4}} right) = cos left( {frac{{31pi }}{4} — 8pi } right) = cos left( { — frac{pi }{4}} right) = cos frac{pi }{4} = frac{{sqrt 2 }}{2}) (frac{8}{{sin left( { — frac{{27pi }}{4}} right) cdot cos left( {frac{{31pi }}{4}} right)}} = frac{8}{{ — frac{{sqrt 2 }}{2} cdot frac{{sqrt 2 }}{2}}} =  — 16.) Ответ: — 16.

Задача 12. Найдите значение выражения     (33sqrt 2 cos left( {{{495}^ circ }} right)) Ответ ОТВЕТ: — 33. Решение (33sqrt 2 cos left( {{{495}^ circ }} right) = 33sqrt 2 cos left( {{{495}^ circ } — {{360}^ circ }} right) = 33sqrt 2 cos {135^ circ } = 33sqrt 2  cdot left( { — frac{{sqrt 2 }}{2}} right) =  — 33.) Ответ: — 33.

Задача 13. Найдите значение выражения      (2sqrt 3 {text{tg}}left( { — {{300}^ circ }} right)) Ответ ОТВЕТ: 6. Решение (2sqrt 3 tgleft( { — {{300}^ circ }} right) = 2sqrt 3 tgleft( { — {{300}^ circ } + {{360}^ circ }} right) = 2sqrt 3 tg{60^ circ } = 2sqrt 3  cdot sqrt 3  = 6.) Ответ: 6.

Задача 14. Найдите значение выражения     ( — 18sqrt 2 sin left( { — {{135}^ circ }} right)) Ответ ОТВЕТ: 18. Решение ( — 18sqrt 2 sin left( { — {{135}^ circ }} right) = 18sqrt 2 sin {135^ circ } = 18sqrt 2  cdot frac{{sqrt 2 }}{2} = 18.) Ответ: 18.

Задача 15. Найдите значение выражения     (24sqrt 2 cos left( { — frac{{\pi }}{3}} right)sin left( { — frac{{\pi }}{4}} right)) Ответ ОТВЕТ: — 12. Решение (24sqrt 2 cos left( { — frac{pi }{3}} right)sin left( { — frac{pi }{4}} right) =  — 24sqrt 2 cos frac{pi }{3}sin frac{pi }{4} =  — 24sqrt 2  cdot frac{1}{2} cdot frac{{sqrt 2 }}{2} =  — 12.) Ответ: — 12.

Задача 16. Найдите значение выражения     (frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin {{341}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: — 14. Решение (frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin {{341}^ circ }}} = frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin left( {{{341}^ circ } — {{360}^ circ }} right)}} = frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin left( { — {{19}^ circ }} right)}} = frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{ — sin {{19}^ circ }}} =  — 14.) Ответ: — 14.

Задача 17. Найдите значение выражения     (frac{{36cos {{93}^ circ }}}{{cos {{87}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: — 36. Решение (frac{{36cos {{93}^ circ }}}{{cos {{87}^ circ }}} = frac{{ — 36cos left( {{{180}^ circ } — {{93}^ circ }} right)}}{{cos {{87}^ circ }}} = frac{{ — 36cos {{87}^ circ }}}{{cos {{87}^ circ }}} =  — 36.) Ответ: — 36.

Задача 18. Найдите значение выражения      (frac{{ — 37{text{tg6}}{{text{3}}^ circ }}}{{{text{tg11}}{{text{7}}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: 37. Решение (frac{{ — 37tg{{63}^ circ }}}{{tg{{117}^ circ }}} = frac{{ — 37tg{{63}^ circ }}}{{ — tgleft( {{{180}^ circ } — {{117}^ circ }} right)}} = frac{{37tg{{63}^ circ }}}{{tg{{63}^ circ }}} = 37.) Ответ: 37.

Задача 19. Найдите значение выражения     (frac{{14sin {{409}^ circ }}}{{sin {{49}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: 14. Решение (frac{{14sin {{409}^ circ }}}{{sin {{49}^ circ }}} = frac{{14sin left( {{{409}^ circ } — {{360}^ circ }} right)}}{{sin {{49}^ circ }}} = frac{{14sin {{49}^ circ }}}{{sin {{49}^ circ }}} = 14.) Ответ: 14.

Задача 20. Найдите значение выражения      (5{text{tg1}}{{text{7}}^ circ } cdot {text{tg10}}{{text{7}}^ circ }) Ответ ОТВЕТ: — 5. Решение (5,tg{17^ circ } cdot tg{107^ circ } = 5,tg{17^ circ } cdot tgleft( {{{90}^ circ } + {{17}^ circ }} right) =  — 5,tg{17^ circ } cdot ctg{17^ circ } =  — 5.) При решении воспользовались формулой приведения: (tgleft( {{{90}^ circ } + alpha } right) =  — tgalpha ) и формулой: (tgalpha  cdot ctgalpha  = 1.) Ответ: — 5.

Задача 21. Найдите значение выражения     ( — 6{text{tg3}}{{text{1}}^ circ } cdot {text{tg5}}{{text{9}}^ circ }) Ответ ОТВЕТ: — 6. Решение ( — 6,,tg{31^ circ } cdot tg{59^ circ } =  — ,6,tg{31^ circ } cdot tgleft( {{{90}^ circ } — {{59}^ circ }} right) =  — ,6,tg{31^ circ } cdot ctg{31^ circ } =  — 6.) При решении воспользовались формулой приведения: (tgleft( {{{90}^ circ } — alpha } right) = ctgalpha .) Ответ: — 6.

Задача 22. Найдите значение выражения      (frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{sin }^2}{{221}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: — 12. Решение (frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{sin }^2}{{221}^ circ }}} = frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{sin }^2}left( {{{90}^ circ } + {{131}^ circ }} right)}} = frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{cos }^2}{{131}^ circ }}} =  — frac{{12}}{1} =  — 12.) Ответ: — 12.

Задача 23. Найдите значение выражения     (frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{cos }^2}{{206}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: 27. Решение (frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{cos }^2}{{206}^ circ }}} = frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{cos }^2}left( {{{90}^ circ } + {{116}^ circ }} right)}} = frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{left( { — sin {{116}^ circ }} right)}^2}}} = ) ( = frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{sin }^2}{{116}^ circ }}} = frac{{27}}{1} = 27.) Ответ: 27.

Задача 24. Найдите значение выражения      (frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}{{196}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: — 5. Решение (frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}{{196}^ circ }}} = frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}left( {{{180}^ circ } + {{16}^ circ }} right)}} = frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{left( { — cos {{16}^ circ }} right)}^2}}} = ) ( = frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}{{16}^ circ }}} = frac{{ — 5}}{1} =  — 5.) Ответ: — 5.

Задача 25. Найдите значение выражения      (frac{{ — 14sin {{84}^ circ }}}{{sin {{42}^ circ } cdot sin {{48}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: — 28. Решение Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha  = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{ — 14sin {{84}^ circ }}}{{sin {{42}^ circ } cdot sin {{48}^ circ }}} = frac{{ — 14sin left( {2 cdot {{42}^ circ }} right)}}{{sin {{42}^ circ }sin {{48}^ circ }}} = frac{{ — 14 cdot 2 cdot sin {{42}^ circ } cdot cos {{42}^ circ }}}{{sin {{42}^ circ } cdot cos left( {{{90}^ circ } — {{48}^ circ }} right)}} = frac{{ — 28cos {{42}^ circ }}}{{cos {{42}^ circ }}} =  — 28.) При решении воспользовались формулой приведения: (cos left( {{{90}^ circ } — alpha } right) = sin alpha .) Ответ: — 28.

Задача 26. Найдите значение выражения      (frac{{5sin {{74}^ circ }}}{{cos {{37}^ circ } cdot cos {{53}^ circ }}}) Ответ ОТВЕТ: 10. Решение Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha  = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{5sin {{74}^ circ }}}{{cos {{37}^ circ } cdot cos {{53}^ circ }}} = frac{{5 cdot sin left( {2 cdot {{37}^ circ }} right)}}{{cos {{37}^ circ }cos {{53}^ circ }}} = frac{{5 cdot 2 cdot sin {{37}^ circ }cos {{37}^ circ }}}{{cos {{37}^ circ } cdot sin left( {{{90}^ circ } — {{53}^ circ }} right)}} = frac{{10sin {{37}^ circ }}}{{sin {{37}^ circ }}} = 10.) При решении воспользовались формулой приведения: (sin left( {{{90}^ circ } — alpha } right) = cos alpha .) Ответ: 10.

Задача 27. Найдите значение выражения      (20sin {135^ circ } cdot cos {45^ circ }) Ответ ОТВЕТ: 10. Решение (20sin {135^ circ } cdot cos {45^ circ } = 20frac{{sqrt 2 }}{2} cdot frac{{sqrt 2 }}{2} = 10.) Ответ: 10.

Задача 28. Найдите    ({text{tg}}alpha ),    если (cos alpha  = frac{1}{{sqrt {10} }})     и    (a in left( {frac{{3{\pi }}}{2};;2{\pi }} right)) Ответ ОТВЕТ: — 3. Решение 1 Вариант Воспользуемся формулой: (1 + t{g^2}alpha  = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}). Тогда: (1 + t{g^2}alpha  = frac{1}{{{{left( {frac{1}{{sqrt {10} }}} right)}^2}}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1 + t{g^2}alpha  = 10,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t{g^2}alpha  = 9) Следовательно, (tgalpha  = 3) или (tgalpha  =  — 3). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его тангенс отрицательный. Поэтому (tgalpha  =  — 3.) 2 Вариант Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1) ({sin ^2}alpha  + {left( {frac{1}{{sqrt {10} }}} right)^2} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{sin ^2}alpha  = 1 — frac{1}{{10}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,{sin ^2}alpha  = frac{9}{{10}}) Следовательно, (sin alpha  = frac{3}{{sqrt {10} }}) или (sin alpha  =  — frac{3}{{sqrt {10} }}). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому (sin alpha  =  — frac{3}{{sqrt {10} }}). Воспользуемся тем, что: (tgalpha  = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{ — frac{3}{{sqrt {10} }}}}{{frac{1}{{sqrt {10} }}}} =  — 3.) Ответ: — 3.

Задача 29. Найдите    ({text{tg}}alpha ),    если (sin alpha  =  — frac{5}{{sqrt {26} }})     и    (alpha  in left( {{\pi };;frac{{3{\pi }}}{2}} right)) Ответ ОТВЕТ: 5. Решение 1 Вариант Воспользуемся формулой: (1 + ct{g^2}alpha  = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}) Тогда: (1 + ct{g^2}alpha  = frac{1}{{{{left( { — frac{5}{{sqrt {26} }}} right)}^2}}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,1 + ct{g^2}alpha  = frac{{26}}{{25}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,ct{g^2}alpha  = frac{1}{{25}}) Следовательно, (ctgalpha  = frac{1}{5}) или (ctgalpha  =  — frac{1}{5}). Так как (alpha ,, in ,,left( {pi ;frac{{3pi }}{2}} right)), то есть лежит в третьей четверти, то его котангенс положительный. Поэтому (ctgalpha  = frac{1}{5}.) Так как  (tgalpha  cdot ctgalpha  = 1),  то (tgalpha  = frac{1}{{ctgalpha }} = frac{1}{{frac{1}{5}}} = 5.) 2 Вариант Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1.) ({left( { — frac{5}{{sqrt {26} }}} right)^2} + {cos ^2}alpha  = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{cos ^2}alpha  = 1 — frac{{25}}{{26}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{cos ^2}alpha  = frac{1}{{26}}.) Следовательно, (cos alpha  = frac{1}{{sqrt {26} }}) или (cos alpha  =  — frac{1}{{sqrt {26} }}). Так как (alpha ,, in ,,left( {pi ;frac{{3pi }}{2}} right)), то есть лежит в третьей четверти, то косинус отрицательный. Поэтому (cos alpha  =  — frac{1}{{sqrt {26} }}). Воспользуемся тем, что: (tgalpha  = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{ — frac{5}{{sqrt {26} }}}}{{ — frac{1}{{sqrt {26} }}}} = 5.) Ответ: 5.

Задача 30. Найдите   (3cos alpha ),   если   (sin alpha  =  — frac{{2sqrt 2 }}{3})   и   (alpha  in left( {frac{{3{\pi }}}{2};;2{\pi }} right)) Ответ ОТВЕТ: 1. Решение Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1.) ({left( { — frac{{2sqrt 2 }}{3}} right)^2} + {cos ^2}alpha  = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{cos ^2}alpha  = 1 — frac{8}{9},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{cos ^2}alpha  = frac{1}{9}) Следовательно, (cos alpha  = frac{1}{3}) или (cos alpha  =  — frac{1}{3}). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его косинус положительный. Поэтому (cos alpha  = frac{1}{3}.)  Тогда: (3cos alpha  = 3 cdot frac{1}{3} = 1.) Ответ: 1.

Задача 31. Найдите   (7sin alpha ),   если   (cos alpha  = frac{{3sqrt 5 }}{7})   и   (alpha  in left( {1,5{\pi };;2{\pi }} right)) Ответ ОТВЕТ: — 2. Решение Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1.) ({sin ^2}alpha  + {left( {frac{{3sqrt 5 }}{7}} right)^2} = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{sin ^2}alpha  = 1 — frac{{45}}{{49}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{sin ^2}alpha  = frac{4}{{49}}) Следовательно: (sin alpha  = frac{2}{7}) или (sin alpha  =  — frac{2}{7}). Так как (alpha ,, in ,,left( {1,5pi ;2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому (sin alpha  =  — frac{2}{7}.) Тогда: (7sin alpha  = 7 cdot left( { — frac{2}{7}} right) =  — 2.) Ответ: — 2.

Задача 32. Найдите   (24cos 2alpha ),   если   (sin alpha  =  — 0,2) Ответ ОТВЕТ: 22,08. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = 1 — 2{sin ^2}alpha ) (24cos 2alpha  = 24 cdot left( {1 — 2{{sin }^2}alpha } right) = 24 cdot left( {1 — 2 cdot {{left( { — 0,2} right)}^2}} right) = 24 cdot left( {1 — 0,08} right) = 24 cdot 0,92 = 22,08) Ответ: 22,08.

Задача 33. Найдите   (frac{{10sin 6alpha }}{{3cos 3alpha }}),   если   (sin 3alpha  = 0,6) Ответ ОТВЕТ: 4. Решение Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha  = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{10sin 6alpha }}{{3cos 3alpha }} = frac{{10 cdot sin left( {2 cdot 3alpha } right)}}{{3cos 3alpha }} = frac{{10 cdot 2 cdot sin 3alpha  cdot cos 3alpha }}{{3cos 3alpha }} = frac{{20 cdot sin 3alpha }}{3} = frac{{20 cdot 0,6}}{3} = 4.) Ответ: 4.

Задача 34. Найдите значение выражения    (frac{{3cos left( {{\pi } — beta } right) + sin left( {frac{{\pi }}{2} + beta } right)}}{{cos left( {beta  + 3{\pi }} right)}}) Ответ ОТВЕТ: 2. Решение (frac{{3cos left( {pi  — beta } right) + sin left( {frac{pi }{2} + beta } right)}}{{cos left( {beta  + 3pi } right)}} = frac{{ — 3cos beta  + cos beta }}{{ — cos beta }} = frac{{ — 2cos beta }}{{ — cos beta }} = 2.) Ответ: 2.

Задача 35. Найдите значение выражения    (frac{{2sin left( {alpha  — 7{\pi }} right) + cos left( {frac{{3{\pi }}}{2} + alpha } right)}}{{sin left( {a + {\pi }} right)}}) Ответ ОТВЕТ: 1. Решение (frac{{2sin left( {alpha  — 7pi } right) + cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{sin left( {alpha  + pi } right)}} = frac{{ — 2sin alpha  + sin alpha }}{{ — sin alpha }} = frac{{ — sin alpha }}{{ — sin alpha }} = 1.) Ответ: 1.

Задача 36. Найдите значение выражения  (5{text{tg}}left( {5{\pi } — gamma } right) — {text{tg}}left( { — gamma } right)),  если ({text{tg}}gamma {text{ = 7}}) Ответ ОТВЕТ: — 28. Решение (5,tgleft( {5pi  — gamma } right) — tgleft( { — gamma } right) =  — 5,tggamma  + tggamma  =  — 4,tggamma  =  — 4 cdot 7 =  — 28.) Ответ: — 28.

Задача 37. Найдите   (sin left( {frac{{7{\pi }}}{2} — alpha } right)),   если   (sin alpha  = 0,8)   и   (a in left( {frac{{\pi }}{2};;{\pi }} right)) Ответ ОТВЕТ: 0,6. Решение (sin left( {frac{{7pi }}{2} — alpha } right) =  — cos alpha ) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1) ({0,8^2} + {cos ^2}alpha  = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{cos ^2}alpha  = 1 — 0,64,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{cos ^2}alpha  = 0,36) Следовательно, (cos alpha  = 0,6) или (cos alpha  =  — 0,6). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{pi }{2};pi } right)), то есть лежит во второй четверти, то его косинус отрицательный. Поэтому: (sin left( {frac{{7pi }}{2} — alpha } right) =  — cos alpha  =  — left( { — 0,6} right) = 0,6.) Ответ:  0,6.

Задача 38. Найдите   (26cos left( {frac{{3{\pi }}}{2} + alpha } right)),   если   (cos alpha  = frac{{12}}{{13}})   и   (alpha  in left( {frac{{3{\pi }}}{2};;2{\pi}} right)) Ответ ОТВЕТ: — 10. Решение (26cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) = 26sin alpha ) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1) ({sin ^2}alpha  + {left( {frac{{12}}{{13}}} right)^2} = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{sin ^2}alpha  = 1 — frac{{144}}{{169}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{sin ^2}alpha  = frac{{25}}{{169}}) Следовательно, (sin alpha  = frac{5}{{13}}) или (sin alpha  =  — frac{5}{{13}}). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому: (26cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) = 26sin alpha  = 26 cdot left( { — frac{5}{{13}}} right) =  — 10.) Ответ: — 10.

Задача 39. Найдите   ({text{tg}}left( {alpha  + frac{{5{\pi }}}{2}} right)),   если   ({text{tg}}alpha {text{ = 0}}{text{,4}}) Ответ ОТВЕТ: — 2,5. Решение (tgleft( {alpha  + frac{{5pi }}{2}} right) =  — ctgalpha ) Воспользуемся тем, что: (tgalpha  cdot ctgalpha  = 1.) Тогда: (ctgalpha  = frac{1}{{tgalpha }} = frac{1}{{0,4}} = 2,5.)  Поэтому:  (tgleft( {alpha  + frac{{5pi }}{2}} right) =  — ctgalpha  =  — 2,5.) Ответ: — 2,5.

Задача 40. Найдите   ({text{t}}{{text{g}}^2}alpha ),   если   (4{sin ^2}alpha  + 9{cos ^2}alpha  = 6) Ответ ОТВЕТ: 1,5. Решение Выполним следующее преобразование:  (6 = 6 cdot 1 = 6left( {{{sin }^2}alpha  + {{cos }^2}alpha } right) = 6{sin ^2}alpha  + 6{cos ^2}alpha ) Тогда: (4{sin ^2}alpha  + 9{cos ^2}alpha  = 6,,,,, Leftrightarrow ,,,,,4{sin ^2}alpha  + 9{cos ^2}alpha  = 6{sin ^2}alpha  + 6{cos ^2}alpha ,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,2{sin ^2}alpha  = 3{cos ^2}alpha ,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }}, = frac{3}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t{g^2}alpha  = 1,5.) Ответ: 1,5.

Задача 41. Найдите   (frac{{3cos alpha  — 4sin alpha }}{{2sin alpha  — 5cos alpha }}),   если   ({text{tg}}alpha {text{ = 3}}) Ответ ОТВЕТ: — 9. Решение 1 Вариант Разделим числитель и знаменатель дроби на (cos alpha ). Тогда: (frac{{3cos alpha  — 4sin alpha }}{{2sin alpha  — 5cos alpha }} = frac{{frac{{3cos alpha }}{{cos alpha }} — frac{{4sin alpha }}{{cos alpha }}}}{{frac{{2sin alpha }}{{cos alpha }} — frac{{5cos alpha }}{{cos alpha }}}} = frac{{3 — 4,,tgalpha }}{{2,,tgalpha  — 5}} = frac{{3 — 4 cdot 3}}{{2 cdot 3 — 5}} = frac{{ — 9}}{1} =  — 9.) 2 Вариант Так как (tgalpha  = 3), то (frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = 3) и (sin alpha  = 3cos alpha ). Тогда: (frac{{3cos alpha  — 4sin alpha }}{{2sin alpha  — 5cos alpha }} = frac{{3cos alpha  — 4 cdot 3cos alpha }}{{2 cdot 3cos alpha  — 5cos alpha }} = frac{{3cos alpha  — 12cos alpha }}{{6cos alpha  — 5cos alpha }} = frac{{ — 9cos alpha }}{{cos alpha }} =  — 9.) Ответ: — 9.

Задача 42. Найдите   (frac{{10cos alpha  + 4sin alpha  + 15}}{{2sin alpha  + 5cos alpha  + 3}}),   если   ({text{tg}}alpha {text{ = }} — {text{2}}{text{,5}}) Ответ ОТВЕТ: 5. Решение 1 Вариант Разделим числитель и знаменатель дроби на (cos alpha ). Тогда: (frac{{10cos alpha  + 4sin alpha  + 15}}{{2sin alpha  + 5cos alpha  + 3}} = frac{{frac{{10cos alpha }}{{cos alpha }} + frac{{4sin alpha }}{{cos alpha }} + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{frac{{2sin alpha }}{{cos alpha }} + frac{{5cos alpha }}{{cos alpha }} + frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{10 + 4,,tgalpha  + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{2,,tgalpha  + 5 + frac{3}{{cos alpha }}}} = ) ( = frac{{10 + 4 cdot left( { — 2,5} right) + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{2 cdot left( { — 2,5} right) + 5 + frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{10 — 10 + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{ — 5 + 5 + frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{15}}{{cos alpha }} cdot frac{{cos alpha }}{3} = 5.) 2 Вариант Так как  (tgalpha  =  — 2,5),  то (frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} =  — 2,5)  и  (sin alpha  =  — 2,5cos alpha ).  Тогда: (frac{{10cos alpha  + 4sin alpha  + 15}}{{2sin alpha  + 5cos alpha  + 3}} = frac{{10cos alpha  + 4 cdot left( { — 2,5cos alpha } right) + 15}}{{2 cdot left( { — 2,5cos alpha } right) + 5cos alpha  + 3}} = frac{{10cos alpha  — 10cos alpha  + 15}}{{ — 5cos alpha  + 5cos alpha  + 3}} = frac{{15}}{3} = 5.) Ответ: 5.

Задача 43. Найдите   ({text{tg}}alpha ),   если   (frac{{6sin alpha  — 2cos alpha }}{{4sin alpha  — 4cos alpha }} =  — 1) Ответ ОТВЕТ: 0,6. Решение Разделим числитель и знаменатель левой части на (cos alpha ): (frac{{frac{{6sin alpha }}{{cos alpha }} — frac{{2cos alpha }}{{cos alpha }}}}{{frac{{4sin alpha }}{{cos alpha }} — frac{{4cos alpha }}{{cos alpha }}}} =  — 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{6,,tgalpha  — 2}}{{4,,tgalpha  — 4}} = frac{{ — 1}}{1},,,,, Leftrightarrow ,,,,,6,,tgalpha  — 2 =  — 4,tgalpha  + 4,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,10,,tgalpha  = 6,,,,, Leftrightarrow ,,,,,tgalpha  = 0,6.) Ответ: 0,6.

Задача 44. Найдите   ({text{tg}}alpha ),   если   (frac{{3sin alpha  — 5cos alpha  + 2}}{{sin alpha  + 3cos alpha  + 6}} = frac{1}{3}) Ответ ОТВЕТ: 2,25. Решение Воспользуемся свойством пропорции: (frac{{3sin alpha  — 5cos alpha  + 2}}{{sin alpha  + 3cos alpha  + 6}} = frac{1}{3},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,3left( {3sin alpha  — 5cos alpha  + 2} right) = sin alpha  + 3cos alpha  + 6,,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,,9sin alpha  — 15cos alpha  + 6 = sin alpha  + 3cos alpha  + 6,,,,, Leftrightarrow ,,,,,8sin alpha  = 18cos alpha ,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{18}}{8},,,,, Leftrightarrow ,,,,,tgalpha  = 2,25.) Ответ: 2,25.

Задача 45. Найдите   значение   выражения   (7cos left( {{\pi } + beta } right) — 2sin left( {frac{{\pi }}{2} + beta } right)),  если   (cos beta  =  — frac{1}{3}) Ответ ОТВЕТ: 3. Решение (7cos left( {pi  + beta } right) — 2sin left( {frac{pi }{2} + beta } right) =  — 7cos beta  — 2cos beta  =  — 9cos beta  =  — 9 cdot left( { — frac{1}{3}} right) = 3.) Ответ: 3.

Задача 46. Найдите  значение  выражения   (5sin left( {alpha  — 7{\pi }} right) — 11cos left( {frac{{3{\pi }}}{2} + alpha } right)), если   (sin alpha  =  — 0,25) Ответ ОТВЕТ: 4. Решение (5sin left( {alpha  — 7pi } right) — 11cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) =  — 5sin alpha  — 11sin alpha  =  — 16sin alpha  =  — 16 cdot left( { — 0,25} right) = 4.) Ответ: 4.

Задача 47. Найдите   (3cos 2alpha ),   если   (cos alpha  = frac{1}{2}) Ответ ОТВЕТ: — 1,5. Решение Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha  = 2{cos ^2}alpha  — 1) (3cos 2alpha  = 3left( {2{{cos }^2}alpha  — 1} right) = 3 cdot left( {2 cdot {{left( {frac{1}{2}} right)}^2} — 1} right) = 3 cdot left( {2 cdot frac{1}{4} — 1} right) = 3 cdot left( { — frac{1}{2}} right) =  — 1,5.) Ответ: — 1,5.

 Тригонометрия. Методы
решения тригонометрических уравнений.

        
Тригонометрические выражения их преобразование.

             Формулы
тригонометрии (тригонометрические формулы) или тригонометрические тождества
описывают зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и
применяются при решении математических задач. Существуют основные
тригонометрические тождества (равенства), формулы понижения степени, формулы
двойного угла, косинус двойного угла, синус двойного угла, а также другие .
Применяя их, можно решать тригонометрические уравнения, упрощать
тригонометрические выражения и находить их значению.

Любой метод решения
тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их
к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a,
cos x = a, tg x = a,
ctg x = a. 

Основные методы решения
уравнений:

Замена переменной и
сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях —
степенных, показательных, тригонометрических,  логарифмических, каких
угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала
преобразовать.

1.     Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному
уравнению:

Решая его, получим:

t₁=, t₂=1
Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит
нас к уравнению sinx= . Оно
не имеет решений, поскольку          
Второй корень даёт простейшее уравнение sinx=1 

Решаем его:     Это
и есть ответ.

Разложение на множители

Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что
в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в
правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно
нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное
уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

1. Решим уравнение

Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае нельзя сокращать на косинус. Ведь может
случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем
целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель —
за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

  и 
Решаем каждое из них и берём объединение множества решений.

Ответ:​​+πn,  ​​+πn    n ∈ Z.

Однородные уравнения

Рассмотрим уравнение:

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в
обычном многочлене

 
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма
степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных
уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей
на . Возможность
этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус
равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать
его при решении однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда
в силу уравнения и , что
противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое
решение данного уравнения удовлетворяет условию , и
мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному
уравнению относительно тангенса:

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

Введение
дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида. Он
присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только
частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса
углов в 30°, 45° или 60°.

1.   Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:

Замечаем, что:

  
В левой части получили синус суммы:
,
откуда ​​ +2πn  и​​ +2πn  ,  n ∈ Z. 

Универсальная
подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту
же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили
название универсальной подстановки. Единственная неприятность,
о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены
при 

. Поэтому
если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то
данную серию нужно проверить непосредственно.

 Рассмотрим уравнение

А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала
непосредственно подставляем  в
уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем  и
применяем универсальную подстановку:

После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю

,
Следовательно,
 и
Ответ:  ,,

Учёт
тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

,,
Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не
удовлетворяет этому неравенству, а серия  удовлетворяет
ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: ,

Специальные
приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы
решения которых нужно знать обязательно.

cos

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;,3pi right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0, cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;, 3pi right].

x_1=fracpi 4+2pi =frac<9pi >4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac<7pi >3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac<5pi >3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac<5pi >3, frac<7pi >3, frac<9pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right] ;

Решение

а) ОДЗ: begin tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. endright.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi <12>+frac<pi n>2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; x=frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right].

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac<7pi >2;,frac<9pi >2right].

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_<1,2>=frac<1pmsqrt 9>4=frac<1pm3>4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac<2pi >3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac<11pi >3, x_2=4pi , x_3 =frac<13pi >3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac<11pi >3, 4pi , frac<13pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac<11+5ctgleft( dfrac<3pi >2-xright) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac<3pi >2right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac<3pi >2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что frac<11+5tgx><1+tgx>= frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac<6><1+tgx>. Отсюда cos x =frac<dfrac65><1+tgx>, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac<3sqrt 2>5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5 и b=fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что left( frac<3sqrt 2>5right) ^2=frac<18> <25>значит frac<3sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда fracpi 4+0

Аналогично, -fracpi 4

0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac<3sqrt 2>5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac<3sqrt 2>5Bigg). При этом -2pi

-2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac<3pi >2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac<7pi >2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac<3sqrt2>5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac<7pi>4pm arccosfrac<3sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x+2 sin x cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

x=(-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac<3pi ><2>; -frac<pi >2 right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1<1+cos 2x>=frac 1<1+cos (pi +x)>, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x , получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac<3pi >2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi

3) -frac<3pi >2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z.

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant frac13+2m leqslant -frac12 -frac<11>6 leqslant 2m leqslant -frac56 , -frac<11> <12>leqslant m leqslant -frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac<11><12>;-frac5<12>right] .

2) -frac <3pi>2 leqslant -frac<pi >3+2pi n leqslant -frac<pi ><2>, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1<6>, -frac7 <12>leqslant n leqslant -frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7 <12>; -frac1 <12>right].

3) -frac<3pi >2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac<pi >2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	$<π>/<6>$	$<π>/<4>$	$<π>/<3>$	$<π>/<2>$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ <1>/<2>$	$ <√2>/<2>$	$ <√3>/<2>$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ <√3>/<2>$	$ <√2>/<2>$	$ <1>/<2>$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ <√3>/<3>$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ <√3>/<3>$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус