Как решать задачи на детали егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Печать страницы

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа  и следовать трем простым шагам.

1. Формула, которую обязан знать каждый
2. Как решать задачи на работу: основные правила
3. Решение задачи на работу: 3 простых шага
4. Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
5. Пример решения задачи на совместную работу – 2 способа

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

1. Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
2. Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
3. За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

1. Задаем переменную Х и составляем таблицу
2. Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
3. Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Примеры решения задач на работу: от простого к сложному

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

Решение:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство:Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х² – 6х – 120х =0

2х² – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х² – 3х – 180 = 0

D = 729

х₁ =  15

х₂ = -12

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х₂ нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

 Задача 2 

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб  пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

Решение:

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Теперь решаем два уравнения:Решаем первое уравнение:

180/х = 120/ (х -1)

180 (х-1) = 120х

180х – 120х = 180

60х = 180

х₁ = 3

Решаем второе уравнение:

180/х = 120/ (х +1)

180 (х+1) = 120х

180х – 120х = -180

60х = -180

х₂ = -3

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х₂ нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

Решение:

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно:Решаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х² + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х² + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х² — 5х — 500 = 0

Находим дискриминант:

D = 2025

х₁ = 25

х₂ = -20

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х₁: 25 – 5 = 20

Подставляем х₂: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Примеры решения задачи на совместную работу

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15:Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

15 + 12 = х

х = 27

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Ответ: 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х₁, а производительность второго рабочего – за х₂. Следовательно, их общая производительность равна х₁ + х₂. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х₁ +  х₂) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х₁), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х₂). Таким образом:

4х₁ = 5х₂

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения:Из второго уравнения выразим х₁ = 5х₂ / 4 и подставим в первое уравнение:

15 * (5х₂ / 4) + 15 х₂ = 1

75 х₂ / 4 + 15 х₂ = 1

Умножаем обе части уравнения на 4:

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х₁. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х₁. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:Ответ: 27 часов.

 Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

 Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь. Еще больше материалов по подготовке к ЕГЭ

2-й способ решения – без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Задачи
на совместную работу с решением(ЕГЭ №13)

1.Заказ
на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 1 деталь больше?

2.Заказ
на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час
делает на 1 деталь больше?

3.На
изготовление 391 детали первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше,
чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей. Известно, что первый
рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в
час делает первый рабочий?

4.
На изготовление 16 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше,
чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый
рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в
час делает второй рабочий?

5.Двое
рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 дней. За сколько
дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за
2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня

6Двое
рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 дней. За сколько
дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за
2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

7Двое
рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 20 дней. За сколько
дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за
3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 4 дня?

Решение задачи№1(№2-4 решаются аналогично)

Работа
это количество деталей. В задаче спрашивается, сколько деталей в час
делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем
её  за х (деталей в час). Тогда производительность первого рабочего будет
равна х+1 (он делает на одну деталь в час больше).

Поскольку
t=A/p, то время работы первого рабочего будет равно:

время
работы второго равно:

Занесём
данные в таблицу:

Первый
рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он
затрачивает на 1 час меньше, чем второй.

Значит

Можем
записать:

Уравнение
сводится к квадратному:

Очевидно,
что производительность рабочего не может быть отрицательной
величиной. 

Ответ:
10

 Решение
задачи№5(№6,7 аналогично)

Пусть
x — число дней, за которое первый рабочий выполняет работу, работая отдельно, а
y — число дней, за которое второй рабочий выполнит работу, работая отдельно.
Тогда за один день первый выполнит часть работы, второй — часть
работы. По условию, работая вместе, за день они выполняют часть работы,
т.е.

Также
из условия известно, что первый рабочий за 2 дня выполняет такую же часть
работы, какую второй за 3 дня, т.е. 2 = 3

Подставим
последнее выражение в уравнение (1):

Ответ: 20

Примем объем работы за единицу. Пусть x — количество дней, за которое необходимо выполнить всю работу Виктору; за y дней работу выполнит Алексей, Андрей выполнит всю работу за z дней; тогда frac{1}{x} — производительность Виктора, frac{1}{y} — производительность Алексея, frac{1}{z} — производительность Андрея.

По первому условию Виктор и Алексей сделают всю работу за 8 дней, значит, их общая производительность frac18. Составим уравнение frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac18.

По второму условию Виктор и Андрей сделают всю работу за 8 дней. Значит, их общая производительность frac18. Составим уравнение frac{1}{x}+frac{1}{z}=frac18.

По третьему условию Андрей и Алексей выполнят всю работу за 12 дней. Значит, их общая производительность frac{1}{12}. Составим уравнение frac{1}{y}+frac{1}{z}=frac{1}{12}.

Получим систему уравнений:

begin{cases} frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac18,\ frac{1}{x}+frac{1}{z}=frac18,\ frac{1}{y}+frac{1}{z}=frac{1}{12}; end{cases}

2left( frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z} right )=frac18+frac18+frac{1}{12},

2left( frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z} right )=frac13,

frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}=frac16,

1:frac16=6 (дней).

Итак, всю работу Виктор, Алексей и Андрей сделают за 6 дней.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ.

1.На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение:

Пусть х деталей в час изготавливает первый рабочий;

(Х-12) деталей – изготавливает  в час второй рабочий;

540/х  час – время,  затраченное  первым  рабочим;

600/(х-10) час –  время, затраченное вторым рабочим;

Т.к. первым рабочим затрачено на 12 часов меньше, то

600/(х-10) – 540/х = 12.

Ответ: 30 деталей.

2. Два каменщика, работая вместе,  могут выполнить задание за 12 часов. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1:3. Каменщики договорились работать поочередно. Сколько времени должен проработать первый каменщик, чтобы это задание было выполнено за 20 часов ?

Решение:

Примем всю работу за 1.

Пусть х — производительность первого каменщика;

 3х – производительность второго каменщика;

Х + 3х = 4х – общая производительность;

12(х + 3х)= 1

48х = 1

Х = 1/48  

1/48 — производительность  первого каменщика;

3/48 – производительность второго каменщика;

у час – время работы первого каменщика;

(20 – у) час – время работы второго каменщика;

Т.к. вся работа 1, то

1/48 у + 1/16(20 – у) = 1

у = 6.

Ответ: 6.

3.Бак заполняется керосином за 3 часа 20 минут с помощью трех насосов работающих вместе.

Производительности насосов относятся как 2 :  5 : 8. Сколько процентов объема бака будет заполнено за 2 часа 24 минуты совместной работы второго и третьего насосов?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – одна часть.

2х – производительность первого насоса;

5х – производительность второго насоса;

8х – производительность третьего насоса;

15х – общая производительность.

 15х 10/3 = 50 х – вся работа

х =0, 02

0,02 – одна часть;

0,04 —  производительность первого насоса;

0,1 – производительность второго насоса;

0,16 – производительность третьего насоса;

0,04 + 0,1 + 0,16 =0,3 – общая производительность;

0,1 + 0,16 = 0,26 – совместная производительность второго и третьего насосов за 2,4 часа;

0,26 . 2,4 = 62,4

62,4 процентов объема бака будет заполнено.

Ответ: 62,4.

4.Заказ на изготовление партии стульев распределили между тремя бригадами. Первая бригада выполнила 50 процентов полученного ею задания. Вторая бригада выполнила 2/3 своего задания. Третья бригада, которой поручили выполнить ¼  всего заказа, выполнила свою работу полностью.  Сколько процентов заказа выполнено, если осталось выполнить 2/3 задания, полученного второй бригадой?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – часть задания, которое получила первая бригада;

у – часть задания, которое получила вторая бригада;

0,25 – часть задания, которое получила третья бригада;

х + у + 0,25 = 1.

Выполнено:

0,5 х – выполнила первая бригада;

2/3у – выполнила вторая бригада;

0,25 – выполнила третья бригада;

0,5 х + 2/3 у + 0,25  — выполнили три бригады вместе;

0,5 х + 2/3 у + 0,25 + 2/3 у = 1,

 Х + у + 0,25 = 1,

0,5 х + 4/3 у = ¾,

Х = ¾ — у.

Решая систему  уравнений, получим

х = 0,3;  у = 0,45,

подставим в уравнение эти значения, имеем:

осталось выполнить 30 процентов.

Выполнили 70 процентов.

Ответ: 70 .

5. Три машинистки распределили между собой срочную  работу. Первая выполнила 2/3 порученного ей задания. Вторая, которой поручили 1/6 часть задания, выполнила его полностью. Третья выполнила 75 процентов порученного ей задания.  Сколько процентов осталось выполнить, если  было сделано 1,5 задания, полученного первой машинисткой?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х –  часть работы, полученная первой машинисткой,

1/6 – часть работы, полученная второй машинисткой;

у – часть работы, полученная третьей машинисткой;

2/3 х – часть работы, выполненная первой машинисткой;

1/6 – работа, выполненная второй машинисткой;

0,75 у – часть работы, выполненная третьей машинисткой.

Т.к. было сделано 1,5 задания, полученного  первой машинисткой, то

2/3 х + 1/6 + 0,75 у = 1,5 х,

х + у + 1/6 = 1.

Решив систему полученных уравнений, получим 25 процентов.

Ответ: 25.

6. Два слесаря выполняли работу по замене труб в доме, работая вместе три дня, а затем  первый из них заболел, и второму пришлось отработать еще 17 дней для завершения работы. За сколько  дней первый слесарь смог бы заменить трубы в доме, работая один, если для выполнения этой работы  второму слесарю  потребовалось бы на шесть дней больше, чем первому?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть  х – количество дней, за которые первый слесарь сможет заменить трубы, работая один.

(х +  6) дней – потребуется второму слесарю для выполнения этой работы.

1/х – производительность первого слесаря;

1/(х + 6) – производительность второго слесаря;

т.к. по условию задачи время работы первого слесаря 3 дня, а второго  — 20 дней, то

3/х + 20/(х + 6) = 1.

Ответ: 18.

7.Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 20 дней.  За сколько дней, работая отдельно,  выполнит эту работу первый рабочий, если он за три дня выполняет такую же работу, какую второй рабочий выполняет за четыре дня?

Решение:

Примем  всю работу за единицу.

Пусть х – время выполнения всей работы первым рабочим;

у – время выполнения всей работы вторым рабочим;

1/х – производительность первого рабочего;

1/у – производительность второго рабочего;

Т.к. при совместной работе выполнена вся работа за 20 дней, то

 20/х + 20/у = 1.

По второму условию задачи:

 3/х  — объем работы,  выполненный первым рабочим за 3 дня;

4/у – объем работы, выполненный вторым рабочим за 4 дня;

3/х = 4/у.

Решая систему  уравнений, получим, что х = 35.

Ответ: 35.

8. Мастер и ученик, работая вместе, могут закончить работу за 14 часов. Если сначала будет работать один мастер, а потом его сменит ученик, то вся работа будет выполнена за 28 часов, причем мастер выполнит на 250 процентов больше, чем ученик. За сколько часов сможет выполнить всю работу один мастер?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х час – время, за которое

Сможет выполнить всю работу один мастер;

у час – время, за которое сможет выполнить всю работу ученик;

1/х – производительность мастера;

1/у – производительность ученика;

Т.к. по условию задачи , работая вместе они выполнили всю работу за 14 часов, то

14/х + 14/у = 1.

Второе условие в задаче: ученик выполнил 100 процентов задания, мастер выполнил 350 процентов задания. Вместе они выполнили 450 процентов задания, что составляет весь объем работы.

Составим пропорцию для ученика:

1 – 450

?   —  100

Т.е. ученик выполнил 2/9 части всей работы, мастер – 7/9 всей работы,  

Время, за которое ученик  выполнит  свою часть работы  ученик, составляет  2у/9 , а мастер  выполнит  7/9 части работы за 7х/9.

Второе уравнение задачи :

7х/9 + 2у/9 = 28.

Решая систему уравнений, получим х = 18.

Ответ: 18.

9.  После того,  как из котлована  выкачали  3/8  находившейся  в нем воды,  насос заменили на более мощный,  и вся работа двух насосов по осушению  котлована  заняла  15 часов.  Если бы оба насоса работали одновременно, котлован осушили бы за 5 часов. За какое время можно выкачать воду из котлована одним, более мощным насосом?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х час – время, за которое можно выкачать из котлована всю воду одним более  мощным насосом,

у час – время, за которое выкачает воду другой насос.

1/х – производительность более мощного насоса,

1/у – производительность второго насоса,

5х/8 + 3у/8 = 15.

Исходя из второго условия задачи, получим:

5/х + 5/у = 1.

Решая систему уравнений, получим х = 6.

Ответ: 6.

10.  Два каменщика работали вместе 12 дней на кладке стен дома, а затем один первый каменщик заканчивал работу еще 9 дней.  За сколько  дней сможет выполнить  эту работу первый каменщик, работая один, если второму потребуется для этого на 13 дней меньше?

Решение:

Пусть х час – потребуется первому каменщику для выполнения всей работы,

у час – потребуется второму каменщику для выполнения всей работы,

 1/х  —  производительность первого каменщика,

1/у – производительность второго каменщика,

12(1/х + 1/у) + 9/х = 1.

х – у = 13.

Решая систему уравнений, получим,  что х = 13.

Ответ: 13.

11.  Двое рабочих строили дом 8 дней, а затем один первый рабочий заканчивал строительство еще 4 дня. За сколько дней смог бы выполнить эту работу первый рабочий, работая один, если известно, что второму рабочему  пришлось бы работать  на шесть дней больше?

Решение:

8 ( 1/х + 1/у) + 4/х = 1,

х – у = 6.

Ответ: 14.

12. За шестичасовую смену рабочий сделал на 64 детали больше, чем его ученик, так как тратил на изготовление одной детали на 2 минуты меньше. Сколько деталей сделал ученик за смену?

Решение:

Пусть х минут — потребуется рабочему для изготовления одной детали,

(х + 2) минут – потребуется ученику для изготовления одной детали,

6 час = 360 минут – время работы рабочего и ученика,

360/х – количество деталей, изготовленных рабочим за шестичасовую смену,

360/ (х + 2) – количество деталей, изготовленных учеником за шестичасовую смену,

360/х – 360/(х + 2) = 64,

Ответ:  2,5.