Как решать задачи на дифференцированные платежи егэ

ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ                         ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

                                                                                
I.           
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ

Определение.

Дифференцированный
платёж – вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда сумма
долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц
(год).    

При решении экономических задач на дифференцированные
платежи примем следующие обозначения величин:

         Решение задач на дифференцированные платежи удобно
оформлять в виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата
таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 4 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей?

Решение.

         Пусть S = 4,5 млн. рублей.

n = 9 лет.

r –
процентная ставка;

р = r/100.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S = 1,4
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
9	S – 8у	p (S – 8у)	S – 9у = 0	у + p (S –8 у) = 0,6

1)    В выделенной
жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – 9 у = 0,

из которой следует, что

S = 9 у,

у = S : 9

у = 4,5 : 9,

у = 0,5.

2)    Понятно,
что наибольший годовой платеж по кредиту будет выплачен в первый год
(так как в этот год будут начислены самые большие проценты), а наименьший – в
последний год.

По этим двум условиям составим и решим систему уравнений:

       

Вычтем из
первого уравнения второе:

8
∙ p y = 0,8

p
y = 0,1

p
= 0,1 : у

p
= 0,1 : 0,5

p = 0,2.

Из
последнего получаем, что r = 20 %/

Ответ:
20 %.

Задача 2 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его
возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 9 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей?

Ответ:
25 %.

Задача 3.

Пётр взял кредит в
банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными
платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти
добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются
так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что
общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на
13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S –
сумма кредита.

n = 12 месяцев.

r –
процентная ставка;

р = r/100.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый месяц.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
12	S – 11у	p (S – 11у)	S – 12у = 0	у + p (S –11 у)

1)    В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – 12 у = 0,

из которой
следует, что

S = 12 у,

2)    Общая
сумма выплат составляется из суммы, взятой в кредит, и суммы начисленных
процентов за каждый месяц кредитования. Значит, общая сумма выплат больше суммы
S, взятой в
кредит, ровно на столько, сколько в сумме составляют начисленные проценты за
весь срок кредитования. Известно, что эта сумма больше суммы S, взятой в
кредит, на 13 %.

Значит,
сумма начисленных процентов как раз и составляет 13 % от суммы S.

Найдём сумму
начисленных процентов:

р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 11у)
=

=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 11у) =

=
р ∙
(12∙S
– ( у + 2у + … + 11у)) =

в
скобках представлена сумма 11-ти первых членов арифметической прогрессии, у
которой первый член равен у, а последний
– равен 11у.

=
р ∙
(12∙S
–  ∙
11) =

=
р ∙
(12∙S
–  ∙
12у) =

=
р ∙
(12∙S
– 5,5 ∙ 12у)
= р ∙
(12∙ S
– 5,5 ∙ S)
=
6,5 ∙
pS.

Поскольку
сумма начисленных процентов составляет 13 % от суммы S,
то

6,5
∙ pS
= 0,13 S.

Обе
части этого уравнения разделим на S (это можно сделать, так как S ≠
0):

6,5
∙ p
= 0,13,

откуда
p
= 0,02,

значит,
r
= 2 %.

Ответ:
2 %.

Задача 4 (для самостоятельного решения).

Алексей взял кредит в
банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит
ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей
погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи
подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц.
Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок
кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Ответ:
3 %.

Задача 5.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 38 млн. рублей?

Решение.

Пусть S = 16
млн. рублей.

n  лет.

r = 25%;

р = r/100 =
0,25 = 1/4.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.

Общая сумма выплат = 38 млн. рублей.

Тогда переплаты по кредиту (сумма начисленных
процентов за весь срок кредитования) составят сумму, равную 38 – 16 = 22 (млн.
рублей).

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
n	S – (n – 1) ∙ у	p (S – (n – 1) ∙ у)	S – nу = 0	у + p (S – (n – 1) ∙  у)

1)    В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – n у = 0,

из которой следует, что

S = n у,

значит, ny
= 16.

Найдём сумму
начисленных процентов и приравняем её 22 млн. рублей:

р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – (n – 1) ∙ у)
=

=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– (n – 1) ∙
у) =

=
р ∙
(n∙S
– ( у + 2у + … + (n
– 1) ∙ у))
=

в
скобках представлена сумма n
первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен (n – 1) ∙ у.

=
р ∙
(n∙S
–  ∙
(n
– 1)) =

=
р ∙
(n∙S
–  ∙
(n
– 1)) =

=
р ∙
(n ∙
16 – 8 ∙
(n
– 1)) =

=
р ∙ (16n
– 8n + = р ∙
(8n + 8).

р
∙ (8n
+ = 22,

 ∙
(8n + = 22.

2n
+ 2 = 22

n = 10.

Ответ:
10 лет.

Задача 6 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 47 млн. рублей?

Ответ:
8 лет.

Задача 7.

15 января планируется
взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34
млн. рублей?

Решение.

Пусть S –
сумма кредита.

n = 16
месяцев.

r = 2 %;

р = r/100 =
0,02.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.

Общая сумма выплат = 2,34 млн. рублей.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
16	S – 15 ∙ у	p (S – 15 ∙ у)	S – 16у = 0	у + p (S – 15 ∙  у)

1)    В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – 16у = 0,

из которой следует, что

S = 16 у.

Найдём сумму
начисленных процентов:

р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 15 ∙ у)
=

=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 15 ∙ у)
=

=
р ∙
(16∙S
– ( у + 2у + … + 15 ∙
у)) =

в
скобках представлена сумма 15 первых
членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен 15
∙ у.

=
р ∙
(16∙S –  ∙
15) =

=
р ∙
(16∙S
–  ∙
15) =

=
р ∙
(16∙S – 7,5 ∙ 16у))
=

=
р ∙ (16∙S
– 7,5∙S)
= р ∙ 8,5∙
S,

0,02
∙ 8,5∙
S
= 2,34

S = 2 млн. рублей.

Ответ:
2 млн. рублей.

Задача 8 (для самостоятельного решения).

15 января планируется
взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83
млн. рублей?

Ответ:
1 500 000 рублей.

Задача 9.

В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2021	Июль 2022	Июль 2023	Июль 2024
Долг (в тыс.рублей)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.

Решение.

Пусть S –
сумма кредита.

n = 3 года.

r = 15 %;

р = r/100 =
0,15.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (тыс. руб.)	Начисленные проценты (тыс. руб.)	Долг после выплаты (тыс. руб.)	Выплаты (тыс. руб.)
1	S	0,15 ∙ S	0,7 ∙ S	(S – 0,7 S) + 0,15 S = = 0,45 S
2	0,7 ∙ S	0,15 ∙ 0,7 ∙ S = 0,105 S	0,4 ∙ S	(0,7S – 0,4 S) + 0,105 S = = 0,405 S
3	0,4 ∙ S	0,15 ∙ 0,4 ∙ S = 0,06 S	0	(0,4S – 0) + 0,06 S = = 0,46 S

Запишем каждую из выплат в виде обыкновенной дроби:

0,45 S =  ∙ S =   ∙ S,

0,405 S =  ∙ S =   ∙ S,

0,45 S =  ∙ S =   ∙ S.

Для того,
чтобы каждое из этих чисел было целым, число S должно делиться
на знаменатель каждой из трёх дробей, т.е. должно равняться их наименьшему
общему кратному.

S = НОК
(20, 200, 50) = 200.

Ответ:
200 тысяч рублей.

Задача 10 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 17,5 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2021	Июль 2022	Июль 2023	Июль 2024
Долг (в тыс.рублей)	S	0,9 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.

Ответ:
400 тысяч рублей.

Задача 11.

15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль
Долг (в млн. рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наименьшее значение
r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн.  рублей.

Решение.

Пусть S = 1
млн. рублей.

n = 6
месяцев.

r –
процентная ставка,

р = r/100.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	1	1∙ p	0,6	(1 – 0,6) + 1∙ p = = 0,4 + 1∙ p
2	0,6	0,6∙ p	0,4	(0,6 – 0,4) + 0,6∙ p = = 0,2 +0,6∙ p
3	0,4	0,4∙ p	0,3	(0,4 – 0,3) + 0,4∙ p = = 0,1 +0,4∙ p
4	0,3	0,3∙ p	0,2	(0,3 – 0,2) + 0,3∙ p = = 0,1 +0,3∙ p
5	0,2	0,2∙ p	0,1	(0,2 – 0,1) + 0,2∙ p = = 0,1 +0,2∙ p
6	0,1	0,1∙ p	0	(0,1 – 0) + 0,1∙ p = = 0,1 +0,1∙ p

Общая
сумма выплат получается сложением суммы кредита и начисленных процентов за весь
срок кредитования.

1
+ (1∙ p
+ 0,6∙ p + 0,4∙ p
+ 0,3∙ p + 0,2∙ p
+ 0,1∙ p) = 1 + 2,6 ∙ p.

Согласно
условию, эта сумма меньше 1,25 млн. рублей.

1
+ 2,6 ∙ p < 1,25;

2,6
∙ p < 0,25;

p < 0,09615…

 < 0,09615…

r <  9,615…

r = 9 %.

Ответ:
9 %.

Задача 12 (для самостоятельного решения).

15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль
Долг (в млн. рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наименьшее
значение r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн.  рублей.

Ответ:
7 %.

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике

1.Дифференцированные платежи

Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.

Какие существуют виды платежей по кредитам?

В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?

Дифференцированные платежи

При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.

А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Аннуитетные платежи

Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.

Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.

При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.

Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.

В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.

Как рассчитать дифференцированный платеж?

Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

• основную, которая уходит на погашение тела кредита;
• процентную, которая является чистой прибылью банка.

Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:

Платеж =

Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:

300000 / 60 = 5000 рублей

Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:

Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12

Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:

300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей

Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.

Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:

Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).

Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:

(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675

общий размер платежа: 9675 рублей.

За 25-й месяц:

(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300

Общий размер платежа: 8300 рублей.

Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:

(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67

В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.

2. Решение задач. 

Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.

Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.

Решим несколько задач.

№1.

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.

Долг банку:

— это ежемесячные выплаты процентов банку.

Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:

(сумма арифметической прогрессии, где , n=19)

Ответ: 3%.

Примечание.

Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии, где

.(формула 1)

Тогда при , r=3

№2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда

Или по формуле (1)      n=25,    ,   r=1%.

Ответ: 1%

№3.

15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S
2
3
…….
23
24				0

Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):

Ответ: 2%

№4.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
3
…….
23
24				0

Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Sобщ=S+ 0,02S (. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.

S+0,02S (, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=тыс рублей

Ответ: 800000 руб

№5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	28млн	0,25·28=7млн
2
…….
n-1
n				0

Наибольший годовой платеж -первый.

7+= 9млн,  n=14

Sобщ=28+ 7 ()=28+7·+·7=80,5млн

Ответ: 80500000 рублей

№6.

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
………
11
…….
23
24				0

По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение

Ответ: 932,4 тыс рублей

№ 7.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Произведем некоторые вычисления.

1300 тыс-100 тыс=1200тыс.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемес)	Остаток
1	1300
2
…….
15
16				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: r = 3%

№ 8.

15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?

Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	800+x
2
…….
10
11				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ:  тыс. рублей

№ 9.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Считаем n.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	1000
2
…….
20
21

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

.

Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.

Ответ: %

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги. 

Методичка по решению экономических задач

(задание 17 ЕГЭ)

Составитель: Мокина В.С.,

учитель математики

МАОУ гимназия №83

Тюмень 2021 год

Содержание

l. Задачи на оптимальный выбор.

2. Задачи на кредит с аннуитетным платежом

3. Задачи на дифференцированный платеж 

4. Задачи на нахождение суммы кредита

5. Задачи на нахождение суммы вклада

Все представленные в банке ЕГЭ задачи (задание 17), можно условно разделить на группы и подгруппы:

Задачи, не связанные с банковскими операциями (задачи на оптимизацию)

Банковские задачи на вклады

1) нахождение срока вклада;

2) вычисление процентной ставки по вкладу;

3) нахождение суммы вклада;

4) нахождение ежегодной суммы пополнения вклада

Банковские задачи на кредиты:

1) нахождение количества лет выплаты кредита;

2) вычисление процентной ставки по кредиту;

3) нахождение суммы кредита;

4) нахождение ежегодного транша.

В методичке показаны методы решения задач экономического содержания, связанные с банковскими кредитами, оптимизацией производства товаров и услуг.

Рассмотрим решение задач (задание 17), в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

Величина дохода фермера будет зависеть от того как будет распределена площадь поля между картофелем и свёклой. Пусть х га, засажено картофелем на первом поле, тогда (10 – х) га, засаженных свеклой на первом поле. Полученная прибыль с первого поля, равна:

S(х) = х·500·5000 + (10 – х)·300·8000 = 24000000 + 100000х (руб.)

Функция возрастающая, т.к. к>0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наибольшем значении х = 10 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 24000000 + 100000·10 = 25000000 рублей.

Обозначим через у — количество гектар, засаженных картофелем на втором поле, а (10- у) — количество гектар, засаженных свеклой на втором поле. Прибыль со второго поля составит:

S(у) = 300·5000·у + (10 – у)·500·8000 = 40000000 – 2500000у ( руб.)

Функция убывающая, т.к. к<0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наименьшем значении х = 0 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 40000000 рублей.

Таким образом, максимальная прибыль с обоих полей, равна: S = 25000000 + 40000 = 65000000 рублей, что составляет 65 млн. рублей.

Ответ: 65млн. рублей.

Реши самостоятельно:

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 200 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 15 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 18 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

5) Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение:

Пусть у — число номеров «люкс», а  х — число стандартных номеров и S = 981м2. Тогда должно соблюдаться неравенство: 27х + 45у = 981

Выразим число обычных номеров т.е.

х = 981 – 45у, х = = 36 + = 36 +

Найдем решение этого уравнения подбором, где х, у N

Если у = 2, то х = 33 у = 14, то х = 15

у = 5, то х = 28 у = 17, то х = 8

у = 11, то х =18 у = 20, то х = 3

f(х,у) = 2000х + 4000у.

Очевидно, что максимальная прибыль будет при максимальном числе номеров «люкс», поэтому выбираем у = 20, х = 3.

Тогда в сутки предприниматель получит:

4000·20 + 2000·3 = 80000 + 6000 = 86000 рублей.

Проверим оставшиеся варианты

2·4000 + 33·2000 = 74000 рублей

5·4000 + 28·2000 = 76000 рублей

11·4000 + 18·2000 = 74000 рублей

2·4000 + 33·2000 = 80000 рублей

14·4000 + 15·2000 = 86000 рублей

17·4000 + 8·2000 = 84000 рублей

Ответ: 86000 рублей

Реши самостоятельно:

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 м2. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 м2. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2200 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0), но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Решение:

Обозначим Q(t) = 9000- 2t единиц товара, Q(t)- объем производства. Тогда налоговые сборы составляют S(t) = Q ·t, S(t) = (9000 — 2t)·t = 9000t – 2t2 руб. Рассмотрим функцию S(t) = 9000t – 2t2. Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимального значения эта функция достигает в вершине параболы. t = t = = 2250, 2250 руб. за единицу товара. При t= t0 налоговые сборы составляют 9000t0 – 2t02 руб. При t= 2,5t0 налоговые сборы составляют 9000·2,5t0 – 2·(2,5t0)2 = 22505t0 – 12,5t02 руб. Так как сумма налоговых поступлений не изменилась, то 9000t0 – 2t02 = 22505t0 – 12,5t02 / : t0 0 получим 9000 – 2t0 = 22505 – 12,5t0 , 10,5 t0 = 13500, t0 = 13500: 10,5 = , значит за единицу товара был налог руб., а стал руб. Теперь этот налог надо уменьшить на r%, чтобы налог стал равным 22500 руб. за единицу товара.

Значит государству необходимо на 30% уменьшить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов.

Ответ: уменьшить на 30%

Решить самостоятельно

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0),но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 7000–2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2t единиц и это число положительно?

lll. 1. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале каждого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Используем арифметическую прогрессию, в которой а1=11000 — цена за бумагу в первый год покупки году, d=4000 — увеличение стоимости бумаги, аn — пока еще неизвестный нам год продажи бумаги (по счету от года покупки), n — номер года.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии: an=a1+d(n-1).

Используя ее находим числа, отвечающие за стоимость бумаги на начало n-го года (по счету от года покупки).

Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10% = 0,1 от данной суммы, и эти 10% должны быть больше или равны 4000.

Составим неравенство: 0,1·(a1+d(n-1)) ≥ 4000.

Подставим а1=11000, d=4000 и решим неравенство:

0,1·(11000+4000(n-1)) ≥ 4000 обе части неравенства умножим на 10, чтобы избавится от десятичной дроби, получим

11000+4000(n — 1) ≥ 40000;

11000+4000n — 4000 ≥ 40000;

4000n ≥ 33000;

n ≥ 8,25, n ∈Ν ⇒ n=8

через 8 лет надо продать бумагу, т.е. в 2001+8=2009 году

Или рассуждаем так: на восьмом году (т.е. в 2008) 10% от стоимости будет больше 4000, значит бумагу надо продать в следующем (т.е. 2009)).

Ответ: 2009 год.

Другое решение этой задачи.

Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб. Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим: х·0,1 = 4000

х = 4000: 0,1 = 40000

То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через 40000 – 11000 = 4000·n

n = 29000: 4000 = 7,25 n ∈Ν ⇒ n=8

то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.

Ответ: 2009.

Реши самостоятельно:

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счет будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение экономических задач: банки, проценты, кредиты.

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные платежи, растянутые на весь срок кредитования. В сумму платежа включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер платежа всегда остается одинаковым.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев

Реши самостоятельно:

1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей.

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

1 ян­ва­ря 2019 года Павел Васильевич взял в банке 1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%), затем Павел Васильевич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Павел Васильевич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 125 тыс. руб­лей?

1 ян­ва­ря 2018 года Тимофей Ильич взял в банке 1,1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тимофей Ильич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тимофей Ильич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

IV.1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%) затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение:

Пусть S = 9282000 рублей  размер взятого в банке кредита. 31 декабря каждого года размер кредита увеличился на 10%, а затем, Алексей переводит в банк X рублей, т.е. остаток через четыре года будет равен нулю.

Решим уравнение: ((1,12 S – 1,1х –х)1,1 – х)1,1 – х = 0

1,14 S – 1,13 х — 1,12 х — 1,1х –х = 0

Х =

Х =

Х = 2928200

Ответ: 2928200.

31 декабря 2018 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2019 года Виктор взял в банке 3276000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем Виктор переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2020 года Георгий взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Георгий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Георгий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

IV.2. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга. Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 56 595 рублей, или за два года равными платежами по 81 095 рублей. Найдите r.

Решение:

Пусть S рублей сумма кредита, ежегодные выплаты x руб., r % годовых,

к = 1 + r/100. Выплаты: b = 81095 руб., х = 56595 руб. По условию долг на июль меняется так:

Если долг выплачен двумя равными платежами b руб., то (кS – b)к – b = 0

к2 S – кb — b = 0; к2 S = (к + 1)b; S = ((к+1) b)/к2

Если долг выплачен тремя равными платежами х руб., то

((кS – х)к – х)к – х = 0

к3 S – к2 х – кх — х = 0

S = ((к2 + к+1) х)/к3

Решим систему уравнений

=

(к+1)к b = х(к2 + к+1)

(к2 + к) b = х(к2 + к) + х

(к2 + к) b — х(к2 + к) – х = 0

(к2 + к)( b – х) –х = 0

(81095 – 56595) (к2 + к) – 56595 = 0

24500к2 + 24500к — 56595 = 0

100к2 + 100к – 231 = 0

D = 102400, к = 1,1 к = -21 не удовлетворяет условию

к = 1 + r/100, r = 10%

Ответ: 10

Реши самостоятельно:

31 декабря 2017 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей.

Найдите r.

В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы: — каждый год долг увеличивается на r — процентов с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга Кредит можно выплатить за 4 года равными платежами по 777600 руб. или за 2 года равными платежами по 1317600 руб. Найдите r.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

V. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.

Решение:

Пусть S млн. рублей сумма первоначального кредита. В середине каждого года действия кредита долг возрастает на 25 %, x млн.рублей заёмщик выплачивает в конце 3-го и 4-го годов. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.

В сумме за 2 года он погашает сумму 0,25S + 0,25S = 0,5S.

В последние два года (3-й и 4-й) сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза, а затем, погашается равными долями в x млн.рублей.

На конец 4-го года, сумма долга составляет 0 рублей. Отсюда получаем

1,252 S — 1,25 х –х = 0,

1,252 S — 2,25 х = 0, х = =

За 4 года сумма выплат составила 0,5S + 2х. По условию общая сумма выплат превышает 9 млн. рублей, то есть, 0,5S + 2>9, 4,5S + 12,5S > 81,

17S > 81, S > 4 . При минимальном целом значении S = 5 это неравенство выполняется, следовательно, размер кредита составил 5 млн. рублей.

Ответ: 5 000 000

Реши самостоятельно:

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 10 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 7 млн. рублей.

Планируется  выдать  льготный  кредит  на  целое  число  миллионов  рублей  на  четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 %  по сравнению  с  началом  года. По договоренности с  банком в конце 1-го и 3 – го года заемщик выплачивает только проценты  по  кредиту, начисленные  за  соответствующий  текущий  год.  В  конце  2‐го  и  4‐го  годов  заёмщик  выплачивает  одинаковые  суммы,  погашая  к  концу  4‐го  года  весь  долг  полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 100 млн. рублей. 

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 8 млн. рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы кредита

VI. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей.

Решение:

Долг перед банком (в млн. рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: S; 0,8S; 0,5S; 0

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен: 1,25S; 1,25∙0,8S; 1,25∙0,5S

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

1,25S — 0,8S = 0,45S 1,25∙0,8S — 0,5S = 0,5S 1,25∙0,5S – 0 = 0,725S

По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей. Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е.

0,725S< 4; S< 6,4 S = 6

Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей.

Ответ: 6 млн. рублей.

Реши самостоятельно:

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. рублей.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: ‐ каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ‐ в июле каждого года величина долга задается таблицей

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы вклада

VII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течении первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

Обозначим через Х размер кредита, взятого в банке. Во втором месяце долг увеличивается на 3% и, затем, осуществляется выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. в первый раз выплата будет составлять , и сумма долга во втором месяце составит:

1,03х – () = х — = . Аналогично для следующего месяца, только долг теперь будет составлять получаем остаток долга в размере

1,03· – () = — = .

Вторая выплата будет равна:

Аналогично третья выплата:

Аналогично четвертая выплата: и т.п.

………………………………………………………..

12- тая выплата:

Сумма выплат за первые 12 месяцев составит:

… + 13) =

В скобках получилась арифметическая прогрессия сумму, которой находим по формуле =

= + = = .

По условию в течении первого года нужно выплатить 466,5 тыс. руб.

= 466,5 Х= Х= 600 тыс. руб. или это 600000 руб.

Ответ: 600000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го января планируется взять кредит в банке на 20 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 10 месяцев нужно вернуть банку 1179 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно вернуть банку 1597,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 16 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 8 месяцев нужно вернуть банку 900 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

5-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

5)15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

VIII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1- го по 25 – й месяц долг должен быть на 40 тыс. руб. меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

— к 15 – му числу 26 – го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб.

Решение:

Обозначим через S исходную сумму кредита. В течение первого месяца эта сумма возрастает на 3%, становится равной S+0,03S = 1,03 S. Выплату нужно сделать так, чтобы исходная сумма S уменьшилась на 40 тыс. рублей, то есть, нужно выплатить

0,03S+40 тыс. рублей.

Оставшаяся сумма S-40 в следующем месяце снова увеличивается на 3%, становится равной 1,03(S-40), и следует выплатить0,03(S-40) + 40 тыс. руб., Таким образом, в течении 25-ти месяцев, сумма выплат составит:

0,03S+40 + (0,03(S-40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) +… + (0,03(S-24·40) + 40) = 0,03S·25 + 40·25 – 0,03·40·( 1 + 2 + 3 +… + 24) =

S24 = 1 + 2 + 3 +… + 24 =   24 = 25·12 = 300

= 0,75 S + 1000 – 360 =0,75 S + 640

В последний 26-й месяц выплачивается остаток  1,03(S -25·40) = 1,03(S – 1000)

В сумме за 26 месяцев имеем: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000). По условию общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб. Составим и решим уравнение: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000) = 1924

1,78 S = 1924 + 390

S = 2314/ 1,78

S = 1300 тыс.руб.

Ответ: 1300000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 11 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 10-й долг дол­жен быть на 80 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— к 15-му числу 11-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1198 тысяч руб­лей?

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 тысяч руб­лей на 21 месяц. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 20-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— 15-го числа 20-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 100 тысяч руб­лей;

— к 15-му числу 21-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Ответы:

1) 84 млн. руб., 2) 69 млн. руб., 3) 90 млн. руб., 4)53500 руб., 5) 2685000 руб.

1) 125000 руб., 2)104500 руб. 3)86600 рублей.

1) 2 2) 25

III. l. 1) 2008 2) 2005

1) 6 месяцев 2) 6 месяцев 3) 9 месяцев 4) 6 месяцев

IV.1. 1) 3703860 рублей 2) 155520 рублей 3) 1064800 рублей

IV.2. 1) 20% 2) 20% 3) 20% 4) 10%

1) 6 млн. руб., 2) 3 млн. руб., 3) 5 млн. руб., 4) 77 млн. руб.,

5 млн. руб.

VI. 1) 11млн.руб. 2) 200 тыс. руб. 3) 400 тыс. руб. 4) 36 млн.руб.

5) 8 млн.руб.

VII. 1) 1200000руб. 2) 3000000 руб. 3) 1200000руб. 4) 0,8 млн. руб.

5) 411000 руб.

VIII. 1) 200000 руб. 2) 384000 руб. 3) 1100000 руб.

Используемая литература:

Шестаков С.А. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задачи 17(профильный уровень)/Под ред.И.В.Ященко.-М.:МЦНМЩ, 2017

30 тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко» – 2021.