Как решать задачи на скорость время расстояние егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

В задачах на движение по прямой часто надо отыскать среднюю скорость транспортного средства.

Средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.

$v_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$

Пример:

Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для простоты решения задачи сделаем таблицу.

$S_1=140км$	$S_2=220км$	$S_3=30км$
$v_1=70$км/ч	$v_2=80$км/ч	$v_3=120$км/ч
$t_1-?$	$t_2-?$	$t_3-?$

Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.

$t_1={S_1}/{v_1}={140}/{70}=2$ часа

$t_2={S_2}/{v_2}={220}/{80}=2.75$ часа

$t_3={S_3}/{v_3}={30}/{120}=0.25$ часа

$v_{ср}={S_1+S_2+S_3}/{t_1+t_2+t_3}={140+220+30}/{2+2.75+0.25}={390}/{5}=78$ км/ч

Ответ: $78$ км/ч

Иногда встречаются такие задачи на движение, в которых учитываются размеры транспортного средства. Чаще всего в таких задачах необходимо рассчитать длину поезда, например.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.

Решение:

Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.

Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.

$3$ минуты $=3·60=180$ секунд

$60$ км/ч$={60}/{3.6}={600}/{36}={50}/{3}$ м/с

$S=v·t={50·180}/{3}=3000$ метров

Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:

$l=3000-200=2800$ метров.

Ответ: $2800$

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $х$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $(х+5)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

	$S$(км)	$v$(км)	$t$(ч)
Первый велосипедист		$(x+5)$
Второй велосипедист		$x$

Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $«S»$.

	$S$(км)	$v$(км)	$t$(ч)
Первый велосипедист	$84$	$(x+5)$
Второй велосипедист	$84$	$x$

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$.

	$S$(км)	$v$(км)	$t$(ч)
Первый велосипедист	$84$	$(x+5)$	${84}/{(x+5)}$
Второй велосипедист	$84$	$x$	${84}/{x}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения велосипедистов равна $5$ часов. Дольше в пути находился второй велосипедист, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

${84}/{х}-{84}/{(х+5)}=5$

Перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения

${84}/{х}-{84}/{(х+5)}-5=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $х(х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+5)$, ко второй $х$, а к третьему слагаемому $(х^2+5х)$.Получаем:

${84х+420-84х-5х^2-25х}/{х(х+5)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$84х+420-84х-5х^2-25х=0; х(х+5)≠0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$х(х+5)≠0$

$х≠0$ или $х+5≠0$

$х≠0$ или $х≠-5$

Найдем корни числителя.

$84х+420-84х-5х^2-25х=0;$

Приведем подобные слагаемые и расставим поставим их в порядке убывания степеней

$-5х^2-25х+420=0$

Разделим уравнение на $(-5)$

$х^2+5х-84=0$

По теореме Виета

$х_1=-12, х_2=7$

$х_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.

$х_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: $7$

Некоторые нюансы в задачах с круговым движением:

В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.
Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.
Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.
Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.

Пример:

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.

$S=18$ км

$t=45$мин$={3}/{4}$часа

Пусть $х$ км/ч — скорость второго автомобиля.

Скорость опережения равна разности скоростей.

Тогда скорость опережения равна $v_{опережения}=(92-х)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.

Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$={45}/{60}={3}/{4}$часа

$v_{опережения}={S}/{t}={18}/{{3}/{4}}={18·4}/{3}=24$

Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.

$92-х=24$

$-х=24-92$

$х=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.

Ответ: $68$

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки

$v=v_{собственная}+v_{течения реки}$

Чтобы найти скорость против течения, нужно отнять от собственной скорости транспортного средства скорость течения реки

$v=v_{собственная}-v_{течения реки}$

Пример:

Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.

Пусть $х$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $(х+4)$ км/ч – скорость катера по течению; $(х-4)$ км/ч – скорость катера против течения.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

	$S$(км)	$v$(км/ч)	$t$(ч)
По течению		$(x+4)$
Против течения		$(x-4)$

Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $«S»$

	$S$(км)	$v$(км/ч)	$t$(ч)
По течению	$120$	$(x+4)$
Против течения	$120$	$(x-4)$

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$

	$S$(км)	$v$(км/ч)	$t$(ч)
По течению	$120$	$(x+4)$	${120}/{(х+4)}$
Против течения	$120$	$(x-4)$	${120}/{(х-4)}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}=4$

Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.

${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}-4=0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(х-4)(х+4)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+4)$, ко второй $(х-4)$, а к третьему слагаемому $(х+4)(х-4)$. Получаем:

${120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)}/{(х-4)(х+4)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0; (х-4)(х+4)≠0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$(х-4)(х+4)≠0$

$х-4≠0$ или $х+4≠0$

$х≠4$ или $х≠-4$

Найдем корни числителя.

$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0$

Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$120х+480-120х+480-4х^2+64=0$

$-4х^2+1024=0$

$-4х^2=-1024$

Разделим обе части уравнения на $(-4)$

$х^2=256$

$х_{1,2}=±16$

Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $х=16$ км/ч

Ответ: $16$

Пример:

От пристани $А$ к пристани $В$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $В$ оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Пусть $х$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $(х+8)$ км/ч –это скорость второго теплохода.

Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $«S»$ и скорость $«v»$ по условию задачи, а третий столбец время $«t»$ заполним по формуле $t={S}/{v}$

	$S$(км)	$v$(км/ч)	$t$(ч)
Первый теплоход	$70$	$x$	${70}/{х}$
Второй теплоход	$70$	$(x+8)$	${70}/{(х+8)}$

Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен

${70}/{х}-{70}/{(х+8)}=1$

${70}/{х}-{70}/{(х+8)}-1=0$

Приводим дроби к общему знаменателю

${70(х+8)-70х-х(х+8)}/{х(х+8)}=0$

${70х+560-70х-х^2-8х}/{х(х+8)}=0$

Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)

$х(х+8)≠0$

$х≠0$ или $х+8≠0; х≠-8$

Найдем корни числителя

$70х+560-70х-х^2-8х=0$

$-х^2-8х+560=0$

$х^2+8х-560=0$

По т.Виета $х_1+х_2=-8$

$х_1∙х_2=-560$

$х_1=-28; х_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.

Ответ: $20$

Источник

Задача 1. Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 4. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны км/ч и км/ч?

Решение: + показать

Задача 6. Из городов A и B, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через часа на расстоянии км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 7. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 8. Товарный поезд каждую минуту проезжает на метров меньше, чем скорый, и на путь в км тратит времени на часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 9. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через часа следом за ним со скоростью км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Решение: + показать

Задача 10. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным метрам?

Решение: + показать

Задача 11. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью км/ч. Через час после него со скоростью км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через часа минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 12. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо придорожного столба за секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: + показать

Задача 13. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна метров, за секунд. Найдите длину поезда в метрах. Видео*

Решение: + показать

Задача 14. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина товарного поезда равна метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно минутам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

Задача 15. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина пассажирского поезда равна метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест по задачам на движение по прямой.

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на движение»

Открытый банк заданий по теме задачи на движение. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1105

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути frac{21}{x+3}ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути frac{21}{x}ч. Разница во времени равна 10 мин = frac16часа.

Составим и решим уравнение: frac{21}{x}-frac{21}{x+3}=frac16,

6(21(x+3)-21x)=x(x+3),

x^2+3x-378=0,

x_1=18, x_2=-21.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1101

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 — x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — frac{160}{15-x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{160}{15-x}-frac{160}{15+x}=8,

frac{20}{15-x}-frac{20}{15+x}=1,

20(15+x-15+x)= (15-x)(15+x),

20cdot2x=225-x^2,

40x=225-x^2,

x^2+40x-225=0,

x_1=5, x_2=-45.

Скорость течения положительна, она равна 5 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1100

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго мотоциклиста через x км/ч, тогда по условию скорость первого мотоциклиста (x + 40) км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первым мотоциклистом, равно frac{171}{x+40} ч. Время, затраченное на прохождение всего пути вторым мотоциклистом, равно frac{171}{x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{171}{x}-frac{171}{x+40}=2,5,

171(x + 40) — 171x = 2,5x(x + 40),

171x+171cdot40-171x = 2,5x^2 + 100x,

2,5x^2+100x-171cdot40 =0,

x^2+40x-171cdot16=0,

x_1 = 36, x_2 = -76.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго мотоциклиста

36 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1096

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Товарный поезд имеет длину 1100 метров. Какова длина пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минуты 6 секунд. Ответ дайте в метрах.

Показать решение

Решение

Скорость пассажирского поезда относительно товарного равна 80-50=30 (км/ч) = frac{30000}{60} (м/мин) =500 (м/мин). Обозначим длину пассажирского поезда через x метров, тогда пассажирский поезд пройдёт мимо товарного поезда расстояние, равное (1100 + x) метров, за 3 мин 6 сек (3 мин 6 сек = 3,1 мин).

Составим и решим уравнение:

frac{1100+x}{3,1}=500,

1100+x=500cdot3,1,

x=1550-1100,

x=450.

Длина пассажирского поезда 450 м.

Ответ

450

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1095

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо семафора за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Тогда время, за которое поезд проезжает мимо семафора, равно frac{x}{60}ч. По условию это 45 секунд, то есть frac{45}{3600}ч.

frac{x}{60}=frac{45}{3600},

x=frac{60cdot45}{3600},

x=0,75 (км).

Длина поезда равна 750 м.

Ответ

750

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1094

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна 150 метров, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Длина здания равна 150 метров, то есть 0,15 км. Путь, который поезд проехал мимо здания вокзала, равен (x+0,15) км. Время, за которое поезд проезжает мимо здания вокзала, равно frac{x+0,15}{63}ч. По условию это 1 минута (1 мин = frac{1}{60} часа).

оставим и решим уравнение: frac{x+0,15}{63}=frac{1}{60},

x=0,9 (км).

Длина поезда равна 900 м.

Ответ

900

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1093

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?

Показать решение

Решение

Обозначим время велосипедистов до встречи через x ч. Тогда первый велосипедист до встречи проедет 18x км, а второй велосипедист проедет до встречи 22x км.

Составим и решим уравнение:

8x + 22x = 88, 40x = 88, x = 2,2.

Велосипедисты встретятся через 2,2 часа.

Ответ

2,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №945

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость движения теплохода в воде без течения равна 15 км/ч. Стоянка длилась 7 часов. Найдите скорость течения реки, если в пункт отправления теплоход вернулся через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения через x км/ч, тогда скорость теплохода по течению реки равна (15+x) км/ч, скорость теплохода против течения (15-x) км/ч. Время движения теплохода равно 37-7=30 ч.

Составим и решим уравнение:

frac{221}{15+x}+frac{221}{15-x}=30,

221(15-x+15+x)=30(15-x)(15+x),

221=225-x^2,

x^2=4,

x_1=2,,x_2=-2.

Скорость течения положительна, она равна 2 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №944

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость велосипедиста на пути от A до B через x км/ч, x>0. Тогда его скорость на обратном пути будет (x+6) км/ч. Время, затраченное велосипедистом на путь от A до B, равно frac{288}{x}ч, время движения на обратном пути frac{288}{x+6}ч.

Составим и решим уравнение:

frac{288}{x}-frac{288}{x+6}=4,

288(x+6-x)=4x(x+6),

72cdot6=x^2+6x,

x^2+6x-432=0,

x_1=18,,x_2=-24.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №943

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из пункта A в пункт B одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт B обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость первой машины через x км/ч, путь от A до B s км, тогда путь от пункта A в пункт B она пройдёт за frac sxч. Половина пути пройдена второй машиной со скоростью 39 км/ч за frac{0,5s}{39}=frac{s}{78}ч. Скорость второй машины на второй половине пути равна (x+26) км/ч, таким образом, время, затраченное на вторую половину пути второй машиной, равно frac{0,5s}{x+26}ч.

Составим и решим уравнение:

frac sx=frac{s}{78}+frac{0,5s}{x+26},

frac 2x=frac{2}{78}+frac{1}{x+26},

frac 2x-frac{1}{39}-frac{1}{x+26}=0,

frac{2cdot39(x+26)-x(x+26)-39x}{39x(x+26)}=0,

78x+39cdot52-x^2-26x-39x=0,

x^2-13x-39cdot52=0,

x_1=52,,x_2=-39.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость первой машины 52 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

На чтение 9 мин Просмотров 18.1к. Опубликовано 16 ноября, 2020

Задачи на движение начинают проходить в 5 классе и решают все оставшиеся учебные годы вплоть до 11 класса. В ЕГЭ по математике вы найдете задачи на движение в задании 11, в котором собраны все текстовые задачи. Рассмотрим как надо решать задачи на движение из ЕГЭ. Но сначала немного теории.

Содержание

Как решать задачи на движение
Примеры решения
Виды задач на движение
Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях
Движение друг за другом (вдогонку)
Задачи на движение по кругу
Задачи на движение мимо объекта
Задачи на движение по течению и против течения
Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3
Задача 4
Задача 5

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

Анализ данных.
Составление таблицы.
Составление уравнения.
Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

S = v · t.

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Примеры решения

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10	$frac{60}{x+10}$	60
Второй велосипедист	x	$frac{60}{x}$	60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

$frac{60}{x+10}+3=frac{60}{x}$

$frac{60+3x+30}{x+10}=frac{60}{x}$

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При движении в противоположном направлении объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

v = v₁ + v₂.

Движение друг за другом (вдогонку)

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Таким образом:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

Задачи на движение по кругу

При движении по кругу объекты могут:

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S: S₁ – S₂ = m · S.

Задачи на движение мимо объекта

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:
S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

Задачи на движение по течению и против течения

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

112 ∙ $frac{4}{5}$ = v ∙ $frac{4}{5}$ = v ∙ $frac{4}{5}$ + 44 ⇔ 4 ∙ v = 112 ∙ 4 – 44 ∙ 5 ⇔ v = 57.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.

Ответ: 57 км/ч.

Задача 2.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна $vcdot (frac{1}{5}-frac{1}{30})=frac{1}{6}v$

Тогда если скорость велосипедиста – это 1 единица отношения, то скорость мотоциклиста – это 6 единиц отношения.

Так как они едут в одном направлении, их общая скорость 5 единиц отношения.

$frac{1}{20}$ ∙5 ед.отн. = 5

1 ед.отн. = 20

6 ед.отн. = 120

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 3

Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение: Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой ― 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

$frac{L}{1}=frac{L+3+96}{12}$ , отсюда , отсюда и .

Ответ: через 9 минут.

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данную задачу можно интерпретировать (представить её, как задачу на линейное движение): Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 80 км/ч. Через 40 минут он опережает второго на 14 км (т. к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в заданиях на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение так же производим по расстоянию.

За x принимаем искомую величину ― скорость второго. Время движения 40 минут (2/3 часа) для обоих. Заполним графу «расстояние»:

	v	t	S
1	80	2/3	$80 cdot frac{2}{3}$
2	x	2/3	$x cdot frac{2}{3}$

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 14 км.

80 ∙ $frac{2}{3}$ больше, чем x ∙ $frac{2}{3}$ больше, чем x ∙ $frac{2}{3}$ на 14.

80 ∙ $frac{2}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ + 14;

$frac{160}{3}$ – $frac{14 cdot 3}{3}$ – $frac{14 cdot 3}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ ;

160 – 42 = х ∙ 2;

х = 59.

Скорость второго автомобиля 59 (км/ч).

Ответ: 59 км/ч.

Задача 5

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна v + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Источник

В (9) задании ЕГЭ по математике предлагается решить текстовую задачу. За это задание можно получить (1) балл.

Пример:

группа туристов в 10 часов утра на катере по реке отправилась на экскурсию. До места экскурсии катер плыл (15) км. Экскурсия длилась 4 часа, после этого группа на этом же катере вернулась обратно в 18 часов того же дня. Определи скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 8 км/ч.

Алгоритм выполнения задания

Определим тип задачи.
Определим, какую величину удобно обозначить переменной. Заполним таблицу по условию задачи.
Выполним все необходимые вычисления, которые можно сделать по явно данным условиям.
Составим уравнение и решим его. Если получили два корня, то необходимо отобрать нужный.
Вернёмся к условию и вопросу задачи, чтобы понять: найдено нужное значение или нужны дополнительные вычисления.
Запишем ответ без единиц измерения и точки в конце.

Как решить задание из примера?

1. Обозначим искомую скорость течения за (x) км/ч.

2. По условию скорость лодки по течению —

(8+x)

км/ч, против течения —

(8−x)

км/ч. Занесём данные в таблицу. Время в каждой строчке выразим по формуле

t=Sv

	Скорость	Время	Расстояние
По течению	(8+x) км/ч	158+x ч	(15) км
Против течения	(8−x) км/ч	158−x ч	(15) км

3. Время на движение туда и обратно, исходя из показаний часов, составляет 4 часа, т. к. группа отправилась в 10 часов, вернулась в 18 часов и при этом потратила 4 часа на экскурсию.

4. Составим уравнение. В левой его части окажется сумма времени на путь к месту экскурсии и времени на путь обратно. В правой части уравнения — общее время, полученное при вычислениях в п. (2). Направление течения неважно, так как (15) км пройдено по течению и (15) км — против течения.

158+x+158−x=4;15(8−x)+15(8+x)(8−x)(8+x)=4;15⋅1664−x2=4;15⋅464−x2=1;x2=4;x=±2.

Отрицательный корень не подходит к условию задачи. Его исключаем.

5. В задаче требуется найти скорость течения реки. Это и есть (x), значит, ответ уже найден.

6. Запишем ответ: (2).

Обрати внимание!

В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.

Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!

Источник

Шагаева Анна
Борисовна

Учитель математики
МБОУ «Барагашская СОШ»

Подготовка
к ЕГЭ и ОГЭ по теме «Текстовые задачи».

По
данной теме у выпускников постоянно возникают трудности. В 9 классе есть
простейшие задачи в модуле «Реальная математика» и сложная во второй части
«Алгебры», в 11 классе текстовая задача есть в первой и второй частях. Для
того, чтобы научиться решать текстовые задачи, надо уметь логически рассуждать,
но самое главное – уметь составлять математические модели.

Все
задачи можно разбить на группы или типы:

1)
Простейшие
задачи.

2)
Задачи на
путь, время и скорость. (здесь же окажутся задачи на работу, на заполнение
бассейна…)

3)
Задачи на
проценты.

4)
Задачи на
прогрессию.

Простейшие
задачи большинство учеников решают без проблем, так как опыт решения получают и
развивают на уроках математики, составляя небольшие схемы и модели. Эта тема
хорошо представлена в учебниках математики 5-7 классов. На более сложные
задачи, как правило, времени на уроках не хватает (в общеобразовательных
школах). Сами дети освоить и разобраться в задачах не могут. Поэтому, я хочу
помочь выпускникам разобраться в более сложных задачах.

Задачи на путь, время, скорость (самая
распространенная задача на ЕГЭ и ОГЭ).

На
путь время скорость

На
работу средняя скорость

На
бассейн и трубы

На путь время скорость

1.
Готовим
таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.
Читаем
внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. «Из
пункта A в пункт B, расстояние между которыми
75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно,
что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в
пункт B на 6 часов позже автомобилиста.
Ответ дайте в км/ч.» )

3.
В таблицу в первую очередь заносим то, что точно
известно: Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно,
что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста.
Ответ дайте в км/ч.» То есть известно что выехали одновременно
из пункта А, и в пункт В уже не одновременно, но оба прибыли. Значит оба
проехали по 75 км. Это и заносим в таблицу.

	путь
Автомобилист	75км
Велосипедист	75км

4. Теперь думаем что взять за Х.
Чаще всего подсказка в вопросе — Определите скорость велосипедиста.
Заносим в таблицу Х – скорость велосипедиста, читаем снова
задачу, чтобы понять, а что со скоростью автомобилиста — за час
автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист.

	путь	скорость
Автомобилист	75км	Х+40
Велосипедист	75км	Х

5.
Третью колонку заполняем выражением, составленным
по формуле. В данном случае колонка осталась для времени, значит t=S/v.

	путь	скорость	t=S/v
Автомобилист	75км	Х+40
Велосипедист	75км	Х

6. Снова
читаем задачу и думаем, как связать в уравнении полученные выражения третьей
колонки, то есть, какое условие времени автомобилиста и мотоциклиста. «Из
пункта A в пункт B, расстояние между которыми
75 км, одновременно выехали автомобилист
и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на
40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста,
если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста.

7.
Так как
велосипедист ехал дольше, чем автомобилист, то от времени велосипедиста отнимем
время мотоциклиста и приравняем к 6.

Осталось только решить уравнение, но сначала проверим единицы: км, км/ч, ч. Все нормально, можно
решать. Ответ получится 10км/ч.

Если будете придерживаться этого алгоритма, то можно решить
большинство задач средней сложности. Для тренировки на сайте «Решу ЕГЭ или ОГЭ»
порешайте задачи, там в решениях вы увидите только готовое уравнение, а научиться
составлять его сможете по моему алгоритму.

Задача на
работу.

Решаем по такому же
алгоритму.

1.
Готовим
таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.
Читаем
внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. Заказ
на изготовление 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее,
чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий,
если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?

В таблицу в первую очередь
заносим то, что точно известно: Заказ на изготовление 110
деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее,
чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй
рабочий, если известно, что первый за час изготавливает
на 1 деталь больше?

3.
То есть известно что два рабочих выполнили заказ
по 110 деталей каждый. Это и заносим в таблицу.

	заказ
1 рабочий	110д
2 рабочий	110д

4. Теперь думаем что взять за Х.
Чаще всего подсказка в вопросе- Сколько деталей за час изготавливает
второй рабочий. Заносим в таблицу Х – скорость работы
второго рабочего, читаем снова задачу, чтобы понять, а что со скоростью работы
первого — первый за час изготавливает на 1 деталь
больше

	заказ	скорость
1 рабочий	110д	Х+1
2 рабочий	110д	Х

5.
Третью колонку заполняем выражением, составленным
по формуле. В данном случае колонка осталась для времени, значит t=S/v.
(Роль пути играет заказ, а скорость движения – это скорость работы)

	заказ	скорость	t=S/v
1 рабочий	110д	Х+1
2 рабочий	110д	Х

6.
Снова читаем задачу и думаем, как связать в
уравнении полученные выражения третьей колонки, то есть, какое условие времени двух
рабочих — первый рабочий выполняет на 1 час быстрее,
чем второй

7.
Так как второй
рабочий выполнял заказ дольше, чем первый, то от времени второго отнимем время
первого и приравняем к 1.

Осталось только решить уравнение, но сначала проверим единицы: детали, детали/ч, ч. Все нормально,
можно решать. Ответ получится 10 деталей/ч.

Задача на
заполнение бассейна водой

И опять
аналогично.

1.
Готовим
таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.
Читаем
внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. Бассейн наполняется водой через одну
трубу за 4 часа, а через другую за 6 часов. Через сколько часов заполнится
бассейн, если обе трубы будут работать одновременно.)

3.
В таблицу в первую очередь заносим то, что точно
известно: То есть известно время заполнения водой бассейна каждой трубой и (это
важно) заполняется один и тот же бассейн, который мы берем за 1 . Это и заносим
в таблицу.

	время	Бассейн
1 труба	4ч	1
2 труба	6ч	1

4.
У нас уже заполнились две колонки, поэтому пока
не будем думать про Х, а заполним третью колонку по формуле v=S/t.
Роль пути играет бассейн.

	время	Бассейн	v=S/t
1 труба	4ч	1	¼
2 труба	6ч	1	1/6

5.
Снова читаем задачу и думаем про Х, то есть
читаем вопрос. Через
сколько часов заполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно. По формуле времени t=S/v
составим выражение, где путь – это бассейн, а скорость – это их общая скорость.

. Х здесь и не понадобился. Вычисляем
полученное числовое выражение и получаем 2,4ч.

Все задачи так не решишь, но большинство без проблем решаются.
В сложных задачах еще добавляем схему дороги из А в В, которая поможет понять,
что заносить в таблицу. Однозначно можно сказать, таблица помогает все элементы
задачи разложить по полочкам и не запутаться.

Задача на
среднюю скорость.

Это особая задача, легко решается, если четко выполняешь
действия с преобразованием формулы: Средняя скорость – это весь путь поделенный
на все время. Многие путают со средним
арифметическим, поэтому почти всегда решают неправильно. Итак, начнем с
формулы:

, привычная формула из физики,
но надо помнить, что S – весь путь, а t — это все время. И если в задаче
несколько участков движения, то S=S₁+S₂+…. и t=t₁+t₂+…. Какие преобразования формулы получатся,
посмотрим на примере:

Итак, задача, которая уже два последних года подряд
попадалась на ОГЭ.

Первую треть пути автомобиль
ехал со скоростью 60 км/ч, следующую треть пути — со скоростью 100 км/ч,
а последнюю треть пути — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути.

из задачи видно, что весь путь
состоит из трех одинаковых участков, тогда формула превратится в . Так как все участки пути одинаковые, то
каждый участок обозначим за х, а время неизвестно, значит его представим по
формуле t=S/t. Получили , выносим х и сокращаем: =. Так
как скорость известна, то лучше сразу подставить и вычислять по действиям.

Для закрепления еще одна задача:

Первые 5 часов автомобиль
ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а
последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути.

каждый участок пути вычисляем,
так как все численные данные есть.

Прежде чем переходить к более сложным задачам, отработайте задачи
средней сложности по этим алгоритмам.

Источник