Как решать задачи на вероятность 11 класс егэ базовый уровень - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна .

Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.

Ответ: 0,25.

Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна

Ответ: 0,2.

Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов	Первое бросание	Второе бросание
1	Решка	Решка
2	Орёл	Орёл
3	Орёл	Решка
4	Решка	Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:

Ответ: 0,5.

Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна

Ответ: 0,75.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна .

Ответ: 0,25.

Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность .

Ответ: 0,5.

Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.

Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел По классической формуле вычисляем вероятность .

Ответ: 0,04.

Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.

Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего

Ответ: 0,03.

Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением

Ответ: 0,2.

Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: 0,35.

Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=

Ответ: 0,75.

Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: .

Ответ: 0,32.

Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: .

Ответ: 0,14.

Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:

Ответ: 0,75.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. . Здесь — вероятность события, противоположного событию А.

Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие — ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(

Ответ: 0,79.

Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Событие А — насос подтекает, событие – насос не подтекает.

Ответ: 0,95.

Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?

Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому .

Ответ: 0,92.

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: .

Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.

Ответ: 0,55.

Источник

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2 .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже 1/6 .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете яблок, из них — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25 , а зеленое — 17/25 .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно машин: красных, желтых и зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15 , то есть 0,6 .

В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25 , то есть 0,92 .

Родительский комитет закупил пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них с картинами известных художников и с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: 0,6 .

В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменок: — из России, — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — спортсменок). Ответ: 0,25 .

Ученика попросили назвать число от до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна 1/5 .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2 .

Ответ: 0,5 .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно, исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: 3/8 .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего возможных исходов, так как 6^2=36 .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1 . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

10. В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по рублей. Петя не глядя переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134 , а затем:

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

Всего возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20 .

Ответ: 0,6 .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

p_1 – вероятность того, что он сломается на второй год, p_2 – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна $frac{1}{2}.$ Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью $frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4}).$ На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна $frac{1}{2},$ а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна $frac{1}{32},$ то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 1-x .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 0,4 x.

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

16. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.

В фирме такси в данный момент свободно 20  машин: 10  черных, 2  желтых и 8  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинками известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Вероятность и статистика

В задании №10 ЕГЭ по математике базового уровня нам предстоит решить задачу по теории вероятности. Задачи довольно простые и адаптированы под реальные жизненные ситуации, что делает их решение интересным для школьников. Разберем с Вами несколько подробных примеров.

Разбор типовых вариантов задания №10 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 10МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

Вспомнить определение вероятности.
Определить из условия задачи необходимые величины.
Подставить значения и вычислить вероятность.

Решение:

Вспомним определение вероятности.

Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что первым будет россиянин) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 7, так как россиян 7 и каждый из них имеет равные шансы выступать первым.

Всего общее число вариантов 35, так как спортсменов всего 35 и каждый из них может выступать первым.

Подставим значения и вычислим вероятность.

7/35 = 1/5 = 0,2

Ответ: 0,2.

Вариант 10МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Олег, Петя, Миша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Миша.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

Вспомнить определение вероятности.
Определить из условия задачи необходимые величины.
Подставить значения и вычислить вероятность.

Решение:

Вспомним определение вероятности.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что игру должен будет начинать не Миша) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 3, так как «не Миш» трое и каждый из них имеет равные шансы начинать игру.

Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 4 и каждый из них может начинать игру.

Подставим значения и вычислим вероятность.

3/4 = 0,75

Вариант решения в общем виде:

При бросании жребия начинает игру один из 4 мальчиков. Вероятность этого события составляет P = 1/4 (для любого мальчика, в том числе и для Миши). Тогда обратная вероятность того, что Миша не будет начинать игру, равна:

Ответ: 0,75.

Вариант 10МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

Вася, Петя, Олег, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Вася или Петя.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

Вспомнить определение вероятности.
Определить из условия задачи необходимые величины.
Подставить значения и вычислить вероятность.

Решение:

Вспомним определение вероятности.

Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события(в данном случае – что игру должен будет начинать Вася или Петя) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.

Определим из условия задачи необходимые величины.

Вариантов благоприятного исхода 2, так как Вася и Петя – это два мальчика, каждый из них имеет равные шансы начинать игру.

Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 5 и каждый из них может начинать игру.

Подставим значения и вычислим вероятность.

2/5 = 0,4

Решение в общем виде:

Всего при бросании жребия может быть n = 5 исходов (для 5 человек). Обозначим через событие А – жребий выпал Васе или Пете. Число благоприятных исходов для события A равно m = 2. Следовательно, искомая вероятность, равна:

Ответ: 0,4.

Вариант 10МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

Определить вероятность каждого события в отдельности.
Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Решение:

Определим вероятность каждого события в отдельности.

Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,1. Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,1.

Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Ответ: 0,01.

Вариант 10МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

Определить вероятность каждого события в отдельности.
Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Решение:

Определим вероятность каждого события в отдельности.

Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,15. Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,15.

Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

Ответ: 0,0225.

Вариант 10МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

[/su_note]

Данная задача даже проще, чем предыдущая. В начале, нам необходимо найти количество исправных лампочек:

100 – 3 = 97

После этого находим вероятность, она равна отношению количества исправных лампочек к общему количеству:

97 / 100 = 0,97

Ответ: 0,97

Вариант 10МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

На семинар приехали 6 ученых из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый ученый подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Поскольку событие, описанное в условии, является независимым, то вероятность того, что ученый из России выступит именно 8-м, такая же, как и вероятность выступления под любых другим номером. Поэтому для решения можем применить формулу-определение для вероятности P=N_б/N, где N_б – кол-во благоприятствующих данному событию исходов, N – общее кол-во исходов.
Подсчитываем общее кол-во исходов. Оно равно сумме всех докладов.
Определяем кол-во благоприятствующих исходов как число докладов от российских ученых.
Подставляем полученные данные в формулу, вычисляем вероятность.

Решение:

P=N_б/N

N=6+5+9=20

N_б=5

P=5/20=0,25

Вариант 10МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 4 раза больше, чаем пакетиков с зеленым. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зеленым чаем.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Обозначаем через х кол-во пакетиков с зеленым чаем. Выражаем затем через х кол-во пакетиков с черным чаем.
Записываем ф-лу для нахождения вероятности, имея в виду, что число благоприятствующих исходов равно кол-ву пакетиков зеленого чая, а общее число исходов – общему кол-ву пакетиков.
Вычисляем вероятность.

Решение:

Пусть х – кол-во пакетиков зеленого чая. Тогда кол-во пакетиков черного составляет 4х.

Вероятность P=N_б/N. Здесь N_б=х, поскольку вероятность определяется именно для пакетиков с зеленым чаем. N=х+4х=5х.

Получаем: P=х/(5х)=1/5=0,2.

Вариант 10МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Из 1400 вычитаем 14. Получаем кол-во исправных насосов.
По ф-ле P=N_б/N (где N_б – кол-во исправных насосов, N – общее кол-во насосов) находим искомую вероятность.

Решение:

1400 – 14 = 1386 (шт.) – исправных насосов поступило в продажу.

1386 / 1400 = 0,99 – вероятность того, что случайно подобранный насос исправен (не подтекает).

Вариант 10МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

В кармане у Дани было пять конфет – «Ласточка», «Взлетная», «Василек», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлетная».

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Определяем общее кол-во конфет. Фиксируем, что упала единственная конфета.
Применяя ф-лу для вероятности P=N_б/N, находим искомую вероятность.

Решение:

В кармане у Дани находится 6 предметов – 5 конфет и ключи. Ключи для расчета не учитываем, поскольку их извлечение из кармана не является случайным событием. Тогда общее кол-во случайных событий N=5. Кол-во благоприятных исходов для этих событий в данном случае равно 1, т.к. падает 1 конфета. Отсюда N_б=1.

Вероятность находим по ф-ле P=N_б/N. Подставляем числовые данные, получаем: P=1/5=0,2.

Вариант 10МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

На борту самолета 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолете 300 мест.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Суммируем 26 и 10, чтобы найти общее кол-во удобных для пассажира Д. мест.
Используя ф-лу P=N_б/N, где N_б – кол-во удобных мест, N – общее кол-во мест, находим искомую вероятность.

Решение:

26 + 10 = 36 – кол-во мест, которые удобны для пассажира Д

Р = 36 / 300 = 0,12 – вероятность того, что при случайном выборе пассажиру достанется удобное место

Вариант 10МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель не глядя берет одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем ситуацию, описанную в условии. Определяем, что существует только 2 варианта возможных событий.
Находим искомую вероятность как разность единицы и вероятности того, что ручка пишет плохо.

Решение:

Вариантов событий в данном случае имеется два – ручка пишет хорошо или она пишет плохо. При этом ручка в любом случае будет из коробки взята, т.е. событие состоится. Это означает, что его вероятность равна 1.

Поскольку вероятность того, что ручка пишет плохо, составляет 0,21, то вероятность того, ручка будет писать хорошо, равна:

1 – 0,21 = 0,79.

Вариант 10МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Умножаем 130 на 2, получаем кол-во участников в первых двух аудиториях.
Из 400 вычитаем полученное произведение. Узнаем, сколько участников находилось в запасной аудитории.
Делим полученную разность на 400. Находим искомую вероятность.

Решение:

130 · 2 = 260 – участников писали олимпиаду в первых 2-х аудиториях.

400 – 260 = 140 – участников находилось в запасной аудитории.

Вероятность P = N_б / N. Здесь N_б = 140, N = 400.

Получаем: Р = 140 / 400 = 0,35.

Вариант 10МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Записываем ф-лу P=N_б/N, где N_б – кол-во благоприятных исходов для ситуации, N – общее кол-во исходов.
Благоприятным исходом в данном случае является попадание туриста Д. в группу из 2 человек, которым нужно идти в магазин. Т.е. N_б=2.
Общее кол-во исходов – число туристов, составляющих полную группу.
Подставляем определенные числовые величины в ф-лу, находим искомую вероятность.

Решение:

Вероятность равна: P = N_б / N.

N_б = 2, т.к. по условию для похода в магазин требуется 2 человека.

N = 8, т.к. всего в группе 8 туристов.

Р = 2 / 8 = 0,25.

Вариант 10МБ15

[su_note note_color=”#defae6″]

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 1 с мясом, 12 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что этот пирожок окажется с капустой.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Для вычисления вероятности используем ф-лу P=N_б/N, где N_б – кол-во благоприятных исходов ситуации, N – общее кол-во исходов.
Определяем кол-во благоприятных исходов. Здесь таковым является кол-во пирожков с капустой.
Находим общее кол-во исходов. Это – кол-во всех (любых) пирожков.
Подставляем числовые данные в формулы, определяем требуемую вероятность.

Решение:

Искомую вероятность найдем по ф-ле P=N_б/N.

В данном случае N_б = 12, поскольку именно столько на тарелке пирожков с капустой.

Общее число исходов N = 1 + 12 + 3 = 16 (пирожков).

Р = 12 / 16 = 0,75.

Вариант 10МБ16

[su_note note_color=”#defae6″]

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Какова вероятность того что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Из 50 вычитаем 14. Получаем кол-во незапланированных выступлений, которые приходятся на 2–5-й дни.
Полученную разность делим на 4, т.е. на кол-во дней, в течение которых будет заслушано выступление российского исполнителя. Получим кол-во выступлений, которые приходятся на каждый из этих дней.
По ф-ле P=N_б/N (где N_б – кол-во выступлений в каждый из дней, кроме первого; N – общее кол-во выступлений в эти дни) находим искомую вероятность.

Решение:

50 – 14 = 36 – кол-во незапланированных выступлений, в числе которых как раз и предполагается выступление россиянина.

5 – 1 = 4 – кол-во дней, в течение которых распределены поровну 36 выступлений.

36 : 4 = 9 – кол-во выступлений, приходящихся на каждый день, начиная со 2-го.

Поскольку выступление в 3-й день, равно как и в любой другой, начиная со 2-го, является независимым и равновероятным событием, то вероятность его положит.исхода можно определить по ф-ле P=N_б/N. Здесь N_б = 9, N = 36. Тогда: Р = 9 / 50 =0,18.

Даниил Романович | Просмотров: 9.3k

Источник

Сборник задач по теории вероятностей

(с решениями)

Разработка предназначена для учащихся 9–11 классов для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

УМК любой

Цель: показать решение типовых задач по данной теме, закрепить умение учащихся решать данные задачи, подготовить учеников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ

Методические рекомендации по использованию ресурса: Работу можно применить:

при проведении урока по систематизации и закреплении знаний учащихся
при проведении консультаций.

Источники информации: Открытый банк ЕГЭ ФИПИ http://fipi.ru/

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р (А) =
где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и
Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B: P(A U B) =P(A) + P(B)

Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A∩B) = P(A) • P(B)

Формула сложения вероятностей совместных событий:

P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
Решение. При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.

2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым? Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3. Ответ: 0,3.

3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение. Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое отношение равно 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности Р= 4: 16 = 0,25. Ответ:0,25

5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 9:20 = 0,45. Ответ: 0,45.

6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть 1000:1005=0,995.Ответ: 0,995.

7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? 6 : 8=0,75.

8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попадает в группу равна 1-0,25=0,75. Ответ:0,75

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы. Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52. Ответ:0,52

10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе. Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. Ответ:0,2

11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3. Ответ: 0,3

12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России? 6:15=0,4. Ответ:0,4.

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России? 2: 25=0,08. Ответ: 0,08.

14. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. Ответ 12 : 25 = 0,48.

15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3.

16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. Ответ: 2: 20 = 0,1.

17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1. Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25

При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=2ª, где α –количество бросков

19. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

Решение. Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна 2:4=0,5. Ответ: 0,5.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25

21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Решение. 1:8=0,125 Ответ. 0,125

22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза. Решение. Составим список возможных вариантов. Бросают 2 раза может выпасть О — Орел, Р — Решка:
ОО, ОР, РО, РР. Всего 4 исхода из них только один случай удовлетворяет условию. Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25. Ответ: 0.25

23. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Решение. Всего исходов = 16, благоприятных 1 ( ОООО). 1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625

При решении задач с кубиками число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=6ª, где α –количество бросков

24. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков. Решение. При бросании кубика равновозможных шесть различных исходов. Событию «выпадет нечётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

25. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3:6=0,5 Ответ: 0,5.

26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Решение. При бросании кубика 6²= 36 различных исходов. Событию «выпадет больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6; 6,4; 6,5; 6,6.) Ответ: 9: 36 = 0,25.

27. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение. При бросании кубика 6³= 216 различных исходов, благоприятных 14. 14 : 216 = 0,07. Ответ: 0,07.

28. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2. Ответ: 0,2.

29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9 были однозначными. Таким образом, вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер равна 9:50=0,18. Ответ: 0,18.

30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Решение. Всего в мешке жетонов — 50. Среди них 45 имеют двузначный номер. Таким образом, вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число равна 45 : 50 = 0,9. Ответ: 0.9.

31. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3? 3 : 10 = 0,3. Ответ: 0,3.

Противоположные события.

32. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81. Ответ: 0,81.

33. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше. Ответ. 1-0,87=0,13

34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

Несовместные и независимые события. 35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем. Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7. Ответ: 0,7.

36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.

37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач. Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 8: решить 9-ю, 10-ю … Больше 7: решить 8-ю, 9-ю, 10-ю …Вероятность решить 8-ю = 0,54-0,48=0,06. Ответ:0.06

38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4? Ответ: 4 : 10 = 0,4.

39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048. Ответ:0.02048.

40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91.

41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836. Ответ: 0,8836.

42. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ: 0,156.

43. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна (0,3)³ = 0,027. Ответ: 0,027.

44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.Ответ: 0,38.

45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

46.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)

откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08.

47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ: 0,392.

48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

49. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим событиеА = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52. Ответ: 0,9975.

50. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019.

51. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52

52. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6·0,8·0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.

53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02.

54.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: Р(А)=0,9•0.05=0,045; Р(В)= 0,01•0,95=0,0095 ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.

Ответ:0,0545.

56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296 Ответ: 0,0296.

57. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ: 0,91.

58.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.

· КомандаА в матче в обоих матчах первой владеет мячом.

· КомандаА в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.

· КомандаА в матче с командой В владеет мячом первой, а в матче с командой С — второй.

· КомандаА в матче с командой С владеет мячом первой, а в матче с командой В — второй.

Из четырех исходов один является благоприятным, вероятность его наступления равна 1:4=0,25. Ответ: 0,25.

59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероятность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна 0,53 = 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз промахивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625. Ответ: 0,0625.

60. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами

«Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой владеть мячом только в игре с «Амуром».

Решение. Монету бросают 3 раза.

Для команды «Байкал» возможные исходы в трех бросках {О О О},{Р О О}, {О Р О}, {О О Р}, {Р Р О},{Р О Р}, {О Р Р},{Р Р Р}. Всего исходов 8, благоприятныx1(выпадение орла в первой игре) {О Р Р, 1:8=0,125.Ответ 0,125.

61.У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение. Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4; двухрублевые – 5, 6. {123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}

n = 20 – число всех исходов .Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания,чтобы не пропустить комбинацию) m = 8 – число благоприятных исходов

(комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) не взяты или взяты обе. 8:20=0,4

Источник

Типовые задачи ЕГЭ по теории вероятностей
Информатика — Задачи на вероятность из ЕГЭ по математике.
Часть 5. Теория вероятностей на ЕГЭ. Трудные задачи. – МАТЕМАТИКА
- - - Теоретическая часть
    - Задачи о зависимых событиях
    - Задачи на проценты
    - Разные задачи
    - Подведем итог
Одиннадцатый класс (11 класс) Статистика и концепции вероятности Вопросы для тестов и рабочих листов
6.2 Использование нормального распределения
- - Введение
  - Расчеты вероятностей
  - ПРИМЕЧАНИЕ
  - Пример 6.7
  - Пример 6.8
  - Историческая справка
  - Пример 6.9
  - Пример 6.10
  - Пример 6.11
  - Пример 6.12
15 Вероятностных вопросов и практических задач (KS3, KS4, GCSE)
- - Вопросы вероятности KS3
    - Вопросы вероятности 8-го года
    - Вероятностные вопросы 9-го года
    - Вероятностные вопросы GCSE Foundation
    - GCSE вопросы с более высокой вероятностью что человек выбрал 100 м, нам нужно включить людей только в этот столбец.

Типовые задачи ЕГЭ по теории вероятностей

40 заданий с решением.

40tv.doc

№1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.Найдите вероятность того ,что всумме выпадет 5 очков.Результат округлите до сотых.

№2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

№3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

№4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

№5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

№6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

№7. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?

№8. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

№9. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

№10. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

№11. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

№12. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

№13. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

№14. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

№15. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

№16. В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе.

№17. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

№18. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

№19. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

№20. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

№21. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

№22. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

№24. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

№24. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

№25. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

№26. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежат 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

№27. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

№28. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

№29. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

№30. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

№31. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

№32. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

№33. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

№34. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

№35. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

№36. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

№37. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

№38. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

№39. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

№40. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Информатика — Задачи на вероятность из ЕГЭ по математике.

1. Что такое вероятность

Вот три задачи.

А. В корзине лежат елочные игрушки – 4 шарика разных цветов, красный, синий, зеленый и золотой. Вера наугад достает шарик из корзины. С какой вероятностью она достанет золотой шарик?

Б. В мешке лежат теннисные мячи разных сортов: 45 белых , 35 жёлтых и 20 светло-голубых. С какой вероятностью случайно вынутый из мешка мяч окажется желтым?

В. Для экзамена по информатике есть 30 билетов, в 27 из них встречается вопрос по алгоритмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по алгоритмам.

Во всех этих задачах описаны однотипные ситуации. А именно.

1. Совершается определенное действие (можно сказать и так: происходит событие):

А) Вера достает шарик из корзины.
Б) Кто-то достает мячик из мешка.
В) Школьник тащит билет.

2. У событие может быть несколько исходов.

!!! Все исходы – равно возможны (можно сказать – «равновероятны»).

А) Исход – какой шарик достала Вера. Количество исходов – 4.
Б) Исход – какой мячик достали. Количество исходов – 45+35+20 = 100.
В) Исход – какому билет вытянул школьник. Количество исходов – 30.

3. Некоторые исходы считаются «успешными» (в смысле задачи :), по жизни в таком «успехе» может ничего особенного не быть). Нам важно, сколько есть «успешных» исходов.

А) Успешный исход –Вера достала золотой шарик.
Количество успешных исходов – 1.

Б) Успешный исход – достали желтый мячик.
Количество успешных исходов – 35.

В) Успешный исход – школьник вытянул билет без вопроса по алгоритмам.
Количество успешных исходов – 30-27 = 3.

Так вот.

Вероятность успеха (иными словами – вероятность того, что произойдет один из исходов, которые мы считаем успешными) – это отношение числа успешных исходов к общему числу возможных исходов.

Схематично это можно записать так (знак # заменяет слово «количество»):

# успешных исходов

Вероятность = ——————————-

# всех исходов

Понятно, что вероятность не может быть меньше 0 или больше 1.

4. Таким образом, в задачах получаем такие ответы:

А) 1/4 = 0,25

Б) 35/100 = 0,35

В) 3/30 = 0,1

Вот, собственно говоря, и все. В заключение – два важных замечания.

Замечание 1: В основе определения вероятности – предположение о том, что все исходы равноправны (равно возможны). Например, в задаче В школьник не должен знать, что написано в билетах, а Вера не должна подсматривать. В условиях задач на это указывают слова «наугад», «по жребию», и т.п. Иногда таких слов в условии нет, равноправность исходов подразумевается по смыслу (например, в задаче В).

Замечание 2. Разбираясь, что считать исходом в конкретной задаче, нужно следить за тем, чтобы исходы было (по смыслу задачи) равноправны (равновероятны). Например, некто мог бы в задаче Б считать исходом цвет вытащенного мячика. Тогда исходов было бы 3 (белый, желтый, светло-зеленый), из них один успешный. Но эти исходы не равноправны – ведь мячиков разное число.

Упражнение. Вот известный анекдот.

Какова вероятность того, что первый человек, которого ты встретишь, выйдя из дома, будет королева Великобритании

Ответ. Есть 2 исхода – либо королева, либо не королева. Успешный исход – 1. Значит вероятность равна ½ = 0,5 = 50%.

Разберитесь – где в рассуждении ошибка.

2. Как решать задачи

Вероятность находим так.

Разбираемся, что в задаче является исходом и сколько их.

!!! Следим за тем, чтобы исходы были равновероятными.

2. Разбираемся в том, какие исходы считаются успешными. Находим количество успешных исходов.

3. Находим вероятность – делим количество успехов на количество всех возможных исходов.

При этом не ошибаемся в арифметике и записываем ответ ДЕСЯТИЧНОЙ дробью.

4. Радуемся, что решили задачу 🙂

3.   Еще два примера

3.1. На чемпионате по гимнастике выступают 50 спортсменов, среди них 6 спортсменов из Китая. Спортсменам по жребию дали номера – от 1-го до 50-го. Найдите вероятность того, что под номером 37 будет выступать гимнаст из прыгун из Китая.

В этой задаче исход – это спортсмен, которому достался 37-й номер. Всего исходов – 50. То, что говорится о 37-м номере, а не о, скажем, первом нас не смущает. У всех спортсменов равные шансы получить этот номер! Успешных исходов – 6 (спортсмены из Китая). Дальше – сами 🙂

3.2. Завод выпускает часы. В среднем на 1800 качественных часов приходится 200 часов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленные часы, сделанные на этом заводе, окажутся с дефектом.

В этой задаче – одна тонкость и одна ловушка (несложная).

Тонкость связана со словами «в среднем». По-хорошему, количество исходов, — это количество доступных покупателю часов этого завода. Количество «успехов» — количество доступных ему дефектных часов. Ни того, ни другого мы не знаем. Так в жизни бывает часто.

И часто поступают так.

1) Выбирают наугад достаточно большую группу часов, обозначим ее размер N.

2) Считают количество дефектных часов (т.е. успешных исходов) в этой группе, обозначим его G.

3) Вычисляем вероятность успеха по формуле (P – вероятность):

P = G/N

То есть, мы считаем, что вероятность успеха среди всех исходов (примерно) такая же, как и в выбранном наугад подмножестве всех исходов. Такое предположение выглядит разумно и может быть обосновано (если аккуратно разбираться, что значит «наугад», насколько большое подмножество нужно выбирать и насколько вероятность успеха для множества всех исходов может отличаться от вероятности, подсчитанной по подмножеству).

Слова «в среднем» и означают, что нужно применить такой подход. При этом в выбранном множестве исходов будет 1800 «неуспехов» (качественных часов 🙂 ) и 200 «успехов (дефектных часов). Ловушка в том, что общее количество исходов N здесь не указано. Его нужно подсчитать: N = 1800+200 = 2000. Таким образом, вероятность здесь считается по формуле P = G/N = 200/2000 = 0,1 = 10%/

Ответ: 0,1

  4. События, их пересечения, объединения и дополнения.

Вот письмо посетителя сайта http://ege-go.ru/math-ege/b10math/comment-page-1/#comment-1262 : «Помогите, пожалуйста, решить такую задачу.

Задача. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится, равна 0,4. Вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

Я рассуждаю, что исходя из того, что вероятность не может превышать 1:

1-0,2=0,8 — вероятность, того что чай останется в обоих автоматах. А в ответе 0,4. Не могу понять, где я ошибаюсь.»

Комментарий. Спасибо за письмо! Задача действительно трудная. А трудность в том, чтобы разобраться, что означают слова «вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится»; «вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах»; «вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах». Я чуть позже разберу задачу на сайте подробно Пока пишу коротко.

Ты ошибаешься вот в чем. Формула 1-0,2=0,8 означает, что события «к концу дня чай закончился в обоих автоматах» и «к концу дня чай остался в обоих автоматах» являются взаимно дополнительными, то есть в любой день происходит ровно одно из этих событий и они никогда не происходят одновременно. На самом деле, одновременно эти события, конечно произойти не могут, но может не произойти ни одно из них: в одном автомате чай может закончиться, а в другом – нет. Поэтому   вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах, заведомо меньше, чем 1-0,2=0,8. Насколько меньше – нужно разбираться.

Решение. Возьмем какой-то день. Для удобства, присвоим автоматам имена A и В. К концу дня может случиться ровно одно из четырех событий (говорят: эти события образуют полную систему)

1)      Чай закончился в обоих автоматах (обозначение: А+В+)

2)      Чай закончился в автомате А, но остался в автомате В (обозначение: А+В-)

3)      Чай закончился в автомате В, но остался в автомате А (обозначение: А-В+)

4)      Чай остался в обоих автоматах (обозначение: А-В-).

Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(А+В+), Р(А+В-), Р(А-В+), Р(А-В-).

Так, как перечисленные события образуют полную систему, то

Р(А+В+) + Р(А+В-) + Р(А-В+) + Р(А-В-) = 1                                                          (1)

Событие «чай закончился в автомате А» — это объединение двух дополнительных событий Р(А+В+) и Р(А+В-). Поэтому

Р(А+В+) + Р(А+В-) = 0,4                                                                              (2)

Аналогично, для автомата В получаем:

Р(А+В+) + Р(А-В+) = 0,4                                                                              (3)

              Наконец, по условию,

Р(А+В+) = 0,2                                                                                          (4)

                Нужную нам вероятность Р(А-В-) находим, решая систему (1)-(4).

Р(А-В-) = Р(А+В+) + Р(А+В-) + Р(А-В+) + Р(А-В-) –

— (Р(А+В+) + Р(А+В-) ) — (Р(А+В+) + Р(А+В-) ) +

+ Р(А+В+) =

= 1 -0,4 -0,4 +0,2 = 0,4.

Ответ:0,4

Замечание. Чтобы решать такие задачи, нужно уметь свободно рассуждать о событиях – множествах возможных элементарных исходов. В нашей задаче элементарные исходы – это дни. Например, событие А+В- — это множество всех дней, в которые чай в автомате А закончился, а в автомате В – нет. Про подсчет количества элементов в объединении и пересечении множеств – см. http://ege-go.ru/temy/sets/ .

Часть 5. Теория вероятностей на ЕГЭ. Трудные задачи. – МАТЕМАТИКА

Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда .

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42

2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

Второй автомат

кофе закончился кофе остался

Первый автомат кофе закончился 0,22

кофе остался

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат

кофе закончился кофе остался

Первый автомат кофе закончился 0,22 0,18

кофе остался

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат

кофе закончился кофе остался

Первый автомат кофе закончился 0,22 0,18

кофе остался 0,18

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Второй автомат

кофе закончился кофе остался

Первый автомат кофе закончился 0,22 0,18

кофе остался 0,18 0,42

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна  16 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого 0,0216 • 0,3 = 0,00648.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы

Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.

Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку 0, 5, по литературе 0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта

хорошая

1

отличная 0

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта

хорошая 1 0,9

отличная 0 0,1

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта

хорошая 1 0,9 0,82

отличная 0 0,1 0,18

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

11 марта 12 марта 13 марта 14 марта

хорошая 1 0,9 0,82

отличная 0 0,1 0,18 0,244

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Из них можно создавать печатные тесты и рабочие листы.
вопроса по статистике и теории вероятностей для 11 класса!
Выберите один или несколько вопросов, установив флажки над каждым вопросом.
Затем нажмите кнопку добавить выбранные вопросы в тест , прежде чем перейти на другую страницу.

Предыдущий
Страница 1 из 9
Следующий

Выбрать все вопросы
В шахматном клубе 5 первокурсников, 8 второкурсников и 7 юниоров. Для участия в конкурсе будет выбрана группа из 6 студентов.

Сколько комбинаций студентов возможно, если в группе должно быть ровно 3 первокурсника?

5000

4550

4000

3550

Какой график лучше всего использовать для сравнения цен на шесть разных автомобилей?

Линейный график

Круговая диаграмма

Таблица данных

Гистограмма

Вокруг круглого стола есть 10 посадочных мест. Если 8 мужчин и 2 женщины должны сидеть вокруг круглого стола так, чтобы двух женщин разделял хотя бы один мужчина. Если P и Q обозначают соответствующее количество способов рассадить этих людей вокруг стола, когда места пронумерованы и не пронумерованы, то чему равно P : Q?

9 : 1

72 : 1

10 : 1

8 : 1
9{-5}[/математика]

Госпожа Чой преподает английский язык в средней школе. {-6}[/математика]
9{-1}[/математика]

В шахматном клубе 5 первокурсников, 8 второкурсников и 7 юниоров. Для участия в конкурсе будет выбрана группа из 6 студентов.

Сколько комбинаций студентов возможно, если группа состоит ровно из 3 первокурсников и 3 второкурсников?

360

460

560

660

Если Анна подбросит монету 10 раз, какова вероятность того, что она выпадет 4 орла?

0,50

0,07

0,40

0,21

Для данного эксперимента два события называются A и B. Если P(A) = 0,86, P(B) = 0,18 и P(A и B) = 0,11, чему равно P(A|B) относительно равно?

0,86

0,18

0,13

0,61

Форма, полученная с помощью нормального распределения данных, обычно обозначается как

нормальный график.

кривая колокола.

нормальная карта.

кривая отклонения.

Когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности, мы выполняем то, что называется                .

t-тест

б-тест

h-тест

z-тест

Что указывает z-оценка на заданную точку данных (или исходную оценку) из нормального распределения?

Вероятность появления точки данных.

Процентиль, в котором находится точка данных.

Количество стандартных отклонений от среднего значения, в котором находится точка данных.

Частота точки данных.

В колледже учатся 10 баскетболистов. Из этих 10 игроков будет выбрана команда из 5 человек и капитан. Сколько различных выборов можно сделать?

1260

210

8300

340

В коробке 2 белых, 3 черных и 4 красных шара. Сколькими способами можно достать из коробки 3 шара, если в розыгрыше должен быть хотя бы один черный шар?

32

64

48

96

В школе Карен к каждому шкафчику прилагается кодовый замок. В замках используются четыре числа от 1 до 60, которые не повторяются. Карен надеется, что в ее комбинации шкафчиков есть числа 4, 10, 22 и 50, которые имеют для нее особое значение. Ей все равно, в каком порядке стоят эти числа. {-6}[/math]. Права ли она, а если нет, то почему? 9{-6}[/математика].

Да. Метод Карен правильный.

Определите следующую ситуацию как перестановку или комбинацию.
Сколькими способами можно получить три медали (золотую, серебряную и бронзовую) за забег с участием девяти бегунов?

Перестановка

Комбинация

Что из следующего лучше всего определяет стандартное нормальное распределение?

Нормальное распределение с [math]mu = 0[/math] и [math]sigma = 1[/math].

Нормальное распределение с [math]mu = 1[/math] и [math]sigma = 0[/math].

Нормальное распределение с [math]mu=1[/math] и [math]sigma=1[/math].

Нормальное распределение с [math]mu = 0[/math] и [math]sigma = 0[/math].

Что из следующего является эффективным способом визуализации выбросов?

Гистограмма

Точечный график

Коробка Сюжет

Все вышеперечисленное.

Стандартное отклонение лучше всего описывается как

разница между числом и средним значением.

сумма разностей между числами и средним значением.

квадратный корень из суммы разностей между числами и средним квадратом, деленный на количество членов.

квадратный корень из среднего, деленный на Z-показатель, умноженный на сумму чисел.

Сколькими способами можно составить комитет, состоящий из 5 мужчин и 6 женщин, из 8 мужчин и 10 женщин?

266

11 760

5040

86 400

Чтобы найти вероятность появления двух независимых событий, необходимо

умножить элементы вместе.

определите количество элементов, затем умножьте.

найти вероятность каждого элемента, а затем умножить.

разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов.

Предыдущий
Страница 1 из 9
Далее

У вас должно быть не менее 5 репутации, чтобы голосовать против вопроса.
Узнайте, как заработать значки.

6.2 Использование нормального распределения

Введение Расчеты вероятностей

Введение

Заштрихованная область на следующем графике обозначает область слева от x . Эта область может представлять процент учащихся, набравших меньше определенного балла на выпускном экзамене. Эта область представлена вероятностью Р ( х х). Обычные таблицы, компьютеры и калькуляторы используются для получения или вычисления вероятности P ( X x).

Рисунок 6.4

Площадь справа равна P ( X > x ) = 1 – P ( X x). Помните, P ( X x) = Площадь слева от вертикальной линии через x . Р ( Х х) = 1 – Р ( X x) = Площадь справа от вертикальной линии через x . P ( x x) то же самое, что P ( x ≤ x ) и P ( x > x ). То же самое, как и то же самое, как и так же, как 262626263> x ). То же самое. x ) для непрерывных раздач.

Предположим, что приведенный выше график представляет процент учащихся, набравших менее 75 баллов на выпускном экзамене, с вероятностью, равной 0,39.. Это также указывало бы на то, что процент учащихся, набравших более 75 баллов, был равен 1 минус 0,39 или 0,61.

Расчеты вероятностей

Вероятности рассчитываются с помощью технологии. Приведены необходимые инструкции для калькуляторов ТИ-83+ и ТИ-84.

ПРИМЕЧАНИЕ

Для расчета вероятности используйте таблицы вероятностей, представленные на рисунке G1, без использования технологии. Таблицы содержат инструкции по их использованию.

Вероятность представлена площадью под нормальной кривой. Чтобы найти вероятность, вычислите z -значение и найдите z -значение в таблице z в столбце z . Большинство таблиц z показывают площадь под нормальной кривой слева от z . Другие показывают среднее значение для области z . Используемый метод будет указан в таблице.

Мы обсудим таблицу z , которая представляет площадь под кривой нормали слева от z . После того, как вы нашли счет z , найдите соответствующую область. Это будет площадь под нормальной кривой слева от z -оценки. Эту площадь можно использовать для нахождения площади справа от z -счета или путем вычитания из 1 или общей площади под нормальной кривой. Эти площади также можно использовать для определения площади между двумя z -оценками.

Пример 6.7

Если площадь слева равна 0,0228, то площадь справа равна 1 – 0,0228 = 0,9772.

Пример 6.8

Итоговые баллы за экзамен по статистике были нормально распределены со средним значением 63 и стандартным отклонением, равным пяти.

а. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент наберет на экзамене более 65 баллов.

Раствор 6.8

а. Пусть X = балл на выпускном экзамене. X ~ N (63, 5), где μ = 63 и σ = 5.

Нарисуйте график.

Вычислите z -значение:

z=x−μσ=65−635=25=.40z=x−μσ=65−635=25=.40

Таблица z показывает, что площадь слева от z равна 0,6554. Вычитание этой площади из 1 дает 0,3446.

Затем найдите P ( x > 65).

P(x > 65) = 0,3446P(x > 65) = 0,3446

Рис. 6.5

Вероятность того, что любой выбранный наугад учащийся наберет больше 65 баллов, равна 0,3446.

Историческая справка

Программа вероятностей TI вычисляет z -оценку, а затем вероятность на основе z -оценки. До появления технологий z -оценка искалась в стандартной таблице нормальных вероятностей, также известной как Z-таблица — математика, используемая для определения вероятности, громоздка. В этом примере использовалась стандартная таблица нормалей с областью слева от z -оценки. Вы вычисляете z -score и ищете область слева. Вероятность – это площадь справа.

б. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент наберет меньше 85 баллов.

Решение 6.8

b. Нарисуйте график.

Затем найдите P ( x

Используя компьютер или калькулятор, найдите P ( x

normalcdf(0,85,63,5) = 1 (округляется до единицы)

Вероятность того, что один учащийся наберет меньше 85 баллов, приблизительно равна единице, или 100 процентам.

в. Найдите 90 ^й процентиль, то есть найти счет k , у которого 90% баллов меньше k и 10% баллов выше k.

Раствор 6.8

c. Найдите процентиль 90 ^th. Для каждой проблемы или части проблемы нарисуйте новый график. Нарисуйте ось x . Заштрихуйте область, соответствующую 90  перцентилю. На этот раз мы ищем оценку, которая соответствует заданной области под кривой.

Пусть k = 90 ^й процентиль. Переменная k расположена на оси x . P ( x k) — это область слева от k . 90 90 460 th 90 461 процентиль 90 262 k 90 263 разделяет экзаменационные баллы на те, которые равны или ниже 90 262 k 90 263, и такие же или выше. Девяносто процентов результатов теста равны или ниже k , а 10 процентов равны или выше. Переменная k часто называют критическим значением.

Мы знаем среднее значение, стандартное отклонение и площадь под нормальной кривой. Нам нужно найти оценку z , которая соответствует площади 0,9, а затем заменить ее средним значением и стандартным отклонением в нашу формулу оценки z . Таблица z показывает z-показатель приблизительно 1,28 для площади под нормальной кривой слева от z (большая часть) приблизительно 0,9. Таким образом, мы можем написать следующее:

1,28=x−6351,28=x−63,5

Умножение каждой части уравнения на 5 дает

6,4=x−636,4=x−63

Добавление 63 к обеим частям уравнения дает

9004x 69,002. 69,4=х.

Таким образом, наш счет k равен 69,4.

к = 69,4 к = 69,4

Рисунок 6.6

90 ^й процентиль равен 69,4. Это означает, что 90 процентов результатов тестов находятся на уровне 69,4 или ниже, а 10 процентов — на уровне или выше. Чтобы получить этот ответ на калькуляторе, выполните следующий шаг.

д. Найдите 70 ^-й-й процентиль, то есть найдите число 90 262 k 90 263, такое, что 70 % баллов меньше 90 262 k 90 263, а 30 % баллов больше 90 262 k 90 263.

Раствор 6.8

d. Найдите 70  перцентиль.

Нарисуйте новый график и подпишите его соответствующим образом. k = 65,6

70 ^-й процентиль равен 65,6. Это означает, что 70 % результатов тестов находятся на уровне 65,5 или ниже, а 30 % — на уровне или выше.

инвНорма(0,70,63,5) = 65,6

Пример 6.9

Персональный компьютер используется для офисной работы дома, исследований, общения, личных финансов, образования, развлечений, общения в социальных сетях и множества других целей. Предположим, что среднее количество часов, в течение которых домашний персональный компьютер используется для развлечения, составляет два часа в день. Предположим, что время развлечений распределено нормально, а стандартное отклонение времени составляет полчаса.

а. Найти вероятность того, что домашний персональный компьютер используется для развлечения от 1,8 до 2,75 часов в день.

Раствор 6.9

а. Пусть X = количество времени в часах, в течение которого домашний персональный компьютер используется для развлечения. X ~ N (2, 0,5), где μ = 2 и σ = 0,5.

Найти P (1,8 x

Сначала подсчитайте z -значения для каждого x -значение.

z=1,8−20,5=−0,20,5=−0,40z=2,75−20,5=0,750,5=1,5z=1,8−20,5=−0,20,5=−0,40z=2,75−20,5=0,750,5=1,5

Теперь используйте таблицу Z , чтобы найти площадь под нормальной кривой слева от каждой из этих z -оценок.

Площадь слева от z -значения -0,40 составляет 0,3446. Площадь слева от z с показателем 1,5 равна 0,9332. Площадь между этими показателями будет разницей между двумя областями, или 0,9332−0,34460,9.332−0,3446, что равно 0,5886.

Рисунок 6.7

normalcdf(1,8,2,75,2,0,5) = 0,5886

Вероятность того, что домашний персональный компьютер используется для развлечения от 1,8 до 2,75 часов в день, равна 0,5886.

б. Найдите максимальное количество часов в день, в течение которых нижний квартиль домохозяйств использует персональный компьютер для развлечения.

Раствор 6.9

б. Чтобы найти максимальное количество часов в день, в течение которых нижний квартиль домохозяйств использует персональный компьютер для развлечения, найти 25 ^-й процентиль, k , где P ( x k) = 0,25.

Рисунок 6. 8

invNorm(0.25,2,0.5) = 1,66

Мы используем invNorm, потому что ищем значение k .

Максимальное количество часов в день, в течение которых нижний квартиль домохозяйств использует персональный компьютер для развлечения, составляет 1,66 часа.

Пример 6.10

В США пользователи смартфонов в возрасте от 13 до 55+ примерно следуют нормальному распределению с приблизительным средним значением и стандартным отклонением 36,9.лет и 13,9 лет соответственно.

а. Определите вероятность того, что случайному пользователю смартфона в возрасте от 13 до 55+ лет будет от 23 до 64,7 лет.

Раствор 6.10

а. normalcdf(23,64,7,36,9,13,9) = 0,8186

z -оценки рассчитываются как

z=23−36,913,9=−13,913,9=−1z=64,7−36,913,9=27,813,9 =2z=23−36,913,9=−13,913,9=−1z=64,7−36,913,9=27,813,9=2

Таблица Z показывает область слева от z — оценка с абсолютным значением 1 должна быть 0,1587. Он показывает, что площадь слева от z — оценка 2 равна 0,9772. Разница в двух областях составляет 0,8185.

Это немного отличается от площади, указанной калькулятором, из-за округления.

б. Определите вероятность того, что случайно выбранному пользователю смартфона в возрасте от 13 до 55+ лет будет не более 50,8 лет.

Раствор 6.10

b. normalcdf(–10 ⁹⁹ ,50,8,36,9,13,9) = 0,8413

в. Найдите 80 90 460-й 90 461-й процентиль этого распределения и интерпретируйте его в виде полного предложения.

Раствор 6.10

c.

инвНорма(0,80,36,9,13,9) = 48,6

80 ^й процентиль равен 48,6 годам.

80 процентов пользователей смартфонов в возрасте от 13 до 55 лет старше 48,6 лет.

Пример 6.11

В США пользователи смартфонов в возрасте от 13 до 55+ примерно следуют нормальному распределению с приблизительным средним значением и стандартным отклонением 36,9. лет и 13,9 лет соответственно. Используя эту информацию, ответьте на следующие вопросы, округлив ответы до одного знака после запятой:

a. Рассчитайте межквартильный размах ( IQR ).

Раствор 6.11

а.

IQR = Q ₃ – Q ₁

Рассчитать Q ₃ = 75 ^th процентиль и Q ₁ = 25 ^th процентиль.

Вспомните, что мы можем использовать invNorm, чтобы найти k -значение. Мы можем использовать это, чтобы найти значения квартилей.

invNorm(0,75,36,9,13,9) = Q ₃ = 46,2754

invNorm(0,25,36,9,13,9) = Q ₁ = 27,5246

IQR = Q ₃ – Q ₁ = 18,8

б. 40% людей в возрасте от 13 до 55+ относятся к какому возрасту?

Решение 6.11

б.

Найдите k , где P ( x ≥ k ) = 0,40. По крайней мере преобразуется в больше или равно .

0,40 = площадь справа

Площадь слева = 1 – 0,40 = 0,60.

Площадь слева от k = 0,60

инвНорма(0,60,36,9,13,9) = 40,4215

к = 40,4.

Сорок процентов лиц в возрасте от 13 до 55 лет и старше составляют по крайней мере 40,4 года.

Пример 6.12

Фермер, выращивающий цитрусовые, который выращивает мандарины, обнаружил, что диаметры мандаринов, собранных на его ферме, подчиняются нормальному распределению со средним диаметром 5,85 см и стандартным отклонением 0,24 см.

а. Найти вероятность того, что случайно выбранный мандарин с этой фермы будет иметь диаметр больше 6,0 см. Нарисуйте график. 999,5,85,0,24) = 0,2660

Рисунок 6.9

б. Средние 20 процентов мандаринов с этой фермы имеют диаметр от ______ до ______.

Раствор 6.12

б.

1 – 0,20 = 0,80. За пределами средних 20 процентов будет 80 процентов значений.

Каждый хвост графика нормального распределения имеет площадь 0,40.

Найдите k ₁ , 40 ^й процентиль и k ₂ , 60 ^th процентиль (0,40 + 0,20 = 0,60). Это оставляет средние 20 процентов в середине распределения.

к ₁ = инвНорма(0,40,5,85,0,24) = 5,79 см

k ₂ = invNorm(0,60,5,85,0,24) = 5,91 см

Итак, средние 20 процентов мандаринов имеют диаметр от 5,79 см до 5,91 см.

в. Найдите 90 ^-й-й процентиль диаметра мандаринов и интерпретировать его в виде полного предложения.

Раствор 6.12

c. 6.16: Девяносто процентов диаметра мандаринов составляет не более 6,16 см.

Печать

Поделиться

15 Вероятностных вопросов и практических задач (KS3, KS4, GCSE)

Вероятностные вопросы и вероятностные задачи требуют, чтобы учащиеся определили вероятность того, что что-то произойдет. Вероятности можно описать словами или числами. Вероятности варьируются от 0 до 1 и могут быть записаны в виде дробей, десятичных знаков или процентов.

Здесь вы найдете подборку вероятностных вопросов различной сложности, показывающих разнообразие, с которым вы, вероятно, столкнетесь в KS3 и KS4, включая несколько вопросов в стиле экзамена GCSE.

В дополнение к обучению GCSE по математике, которое мы предоставляем средним школам, доступна дополнительная поддержка бесплатно для пересмотра GCSE по математике для экзаменов GCSE 2022, включая:
– Предыдущие работы GCSE по математике
– Рабочие листы GCSE по математике
– Вопросы GCSE по математике
– Контрольный список выпускных экзаменов по математике

Какие есть примеры вероятности из реальной жизни?

Чем более вероятно, что что-то произойдет, тем выше его вероятность. Мы все время думаем о вероятностях. Например, вы, возможно, заметили, что вероятность дождя в определенный день составляет 20%, или подумали о том, насколько вероятно, что вы выпадете 6 во время игры или выиграете в лотерее при покупке билета.

Как рассчитать вероятности

Вероятность того, что что-то произойдет, определяется следующим образом: общее количество возможных исходов}}]

Мы также можем использовать следующие формулы, которые помогут нам рассчитать вероятности и решить задачи:

Вероятность того, что что-то не произойдет = 1 – вероятность того, что произойдет ) = 1 — Р(А)

Для взаимоисключающих событий:
Вероятность возникновения события A ИЛИ события B = Вероятность события A +
Вероятность события B

P(A;или;B) = P(A)+P(B)

Для независимых событий:
Вероятность события A И события B = вероятность события A, умноженная на вероятность события B Загрузите этот рабочий лист 15 вопросов и практических задач на вероятность (KS3 и KS4)

Помогите своим ученикам подготовиться к экзамену по математике GSCE с помощью этого бесплатного рабочего листа с 15 вопросами и ответами с несколькими вариантами ответов.

Вопросы вероятности KS3

В вопросах вероятности KS3 вводится идея шкалы вероятности и тот факт, что сумма вероятностей равна единице. Мы рассматриваем теоретическую и экспериментальную вероятность, а также изучаем типовые пространственные диаграммы и диаграммы Венна.

Вероятностные вопросы для 7-го класса

В настоящее время существует два нечетных числа и два простых числа, поэтому шансы выпадения нечетного или простого числа одинаковы. Добавляя 3, 5 или 11, вы добавляете одно простое число и одно нечетное число, поэтому шансы остаются равными.

Добавляя 9, вы добавляете нечетное число, но не простое. Было бы три нечетных числа и два простых числа, поэтому счетчик с большей вероятностью выпадет на нечетное число, чем на простое.

frac{1}{6}

frac{1}{3}

frac{1}{2}

frac{2}{3}

A и E — гласные, поэтому 2 результата, которые являются гласными из 6 результатов в целом.

Следовательно, вероятность равна frac{2}{6}, что можно упростить до frac{1}{3} .

Вопросы вероятности 8-го года

frac{1}{2}

frac{26}{41}

frac{26}{67}

frac{26}{100}

Макс бросил монета 67 раз и орлом выпала 26 раз.

text{Относительная частота (экспериментальная вероятность) } = frac{text{количество успешных испытаний}}{text{общее количество испытаний}} = frac{26}{67}

Добавить их вместе

Вычтите число на кубике 2 из числа на кубике 1

Умножьте их

Вычтите меньшее число из большего числа

Для каждой пары чисел Грейс вычла меньшее число из большего числа.

Например, если она выбросила 2 и 5, она выкинула 5 − 2 = 3.

Вероятностные вопросы 9-го года

Поскольку вероятность взаимоисключающих событий прибавляется к 1:

begin{align}
х+4х&=1\\
5x&=1\\
х&=фракция{1}{5}
end{выровнено}

frac{1}{5} шаров красные, а frac{4}{5} шаров синие.

frac{4}{5} text{ из } 25 = 20

Нам нужно посмотреть на числа, которые не входят в кружок «Как наука». В данном случае это 9 + 7 = 16.

Вероятностные вопросы KS4

В KS4 вероятностные вопросы включают больше проблем, связанных с предсказанием вероятности события. Мы также узнаем о диаграммах дерева вероятностей, которые можно использовать для представления нескольких событий, и условной вероятности.

Один из первых слайдов вероятности на древовидных диаграммах для студентов GCSE в онлайн-вмешательстве Third Space Learning.
Вероятностные вопросы 10-го года

Количество различных комбинаций 2 × 3 × 2 = 12.

frac{12}{30}

frac{3}{7}

frac{1}{ 4}

frac{3}{12}

Сначала нам нужно определить, сколько учеников ходят в школу пешком:

frac{2}{9} text{ of } 18 = 4

frac{1}{4} text{ of } 12 = 3

4 + 3 = 7

7 учеников идут в школу пешком. 4 девочки и 3 мальчика. Таким образом, вероятность того, что студент — мальчик, равна frac{3}{7} .

0,7056

Нам дана вероятность выпадения двух решек. Нам нужно рассчитать вероятность выпадения орла при каждом подбрасывании.

Обозначим вероятность выпадения орла p.

Вероятность p выпадения орла И получения еще одного орла равна 0,16. 92 = 0,16\\
р = 0,4.
end{выровнено}

Вероятность выпадения орла равна 0,4, поэтому вероятность выпадения решки равна 0,6.

Вероятность выпадения двух решек равна 0,6 × 0,6 = 0,36.

Вероятностные вопросы GCSE Foundation

Сначала нам нужно рассчитать вероятность того, что мы сорвем апельсин. Сумма вероятностей равна 1, поэтому 1 — (0,2 + 0,15 + 0,1 + 0,3) = 0,25.

Вероятность сорвать апельсин равна 0,25.

Количество раз, которое я ожидаю выбрать апельсиновую мармеладку, равно 0,25 × 60 = 15. } times frac{4}{13} = frac{4}{26}

Если в игру сыграют 260 человек, Декстер получит 260 фунтов стерлингов.

Ожидаемое количество победителей будет frac{4}{26} times 260 = 40

Декстер должен будет раздать 40 × 3 фунта стерлингов = 120 фунтов стерлингов.

Следовательно, прибыль Декстера составит 260 фунтов стерлингов — 120 фунтов стерлингов = 140 фунтов стерлингов.

frac{1}{8}

frac{3}{8}

frac{1}{2}

frac{1}{6}

Есть три способа получить две головы и один хвост: HHT, HTH или THH.

Вероятность каждого из них равна frac{1}{2} times frac{1}{2} times frac{1}{2} = frac{1}{8}

Следовательно, общая вероятность равна frac{1}{8} +frac{1}{8} + frac{1}{8} = frac{3}{8}

GCSE вопросы с более высокой вероятностью что человек выбрал 100 м, нам нужно включить людей только в этот столбец.

Всего 88 человек выбрали 100 м, поэтому вероятность того, что это женщина, равна frac{32}{88} .

frac{12}{50}

frac{3}{50}

frac{12}{35}

frac{10}{35}

Нам нужно нарисовать диаграмму Венна для разберись с этим.

Начнем с того, что поместим 25 человек, которым нравятся оба варианта, в среднюю часть. Среди 37 человек, которым нравится овощная пицца, есть 25, которым нравится и то, и другое, так что еще 12 человек должны любить овощную пиццу. 3 тоже не нравится. У нас осталось 50 – 12 – 25 – 3 = 10 человек, так что это число должно нравиться только пепперони.

Всего 35 человек любят пиццу пепперони. Из них 10 не любят овощную пиццу. Вероятность равна frac{10}{35} .

frac{n(12-n)}{66}

frac{n(n-1)}{132}

frac{(12-n)(11-n)}{132}

frac{n(12-n)}{132}

Нам нужно подумать об этом, используя древовидную диаграмму. Если всего 12 шариков и n красных, то 12-n синих.

Чтобы получить один красный и один синий, Нико может выбрать красный, а затем синий или синий, а затем красный, поэтому вероятность:

begin{выровнено}
frac{n}{12} times frac{12-n}{11} + frac{12-n}{11} times frac{n}{11} &= frac{n(12- n)}{132} + frac{n(12-n)}{132}\\
&= frac{2n(12-n)}{132}\\
&=frac{n(12-n)}{66}
end{выровнено}

Ищете дополнительные вопросы и ресурсы по вероятности?

Бесплатная библиотека ресурсов по математике GCSE от Third Space Learning содержит подробные уроки с пошаговыми инструкциями по решению задач на пропорции, а также рабочие листы с практическими вопросами на пропорции и другие экзаменационные вопросы GCSE.

Источник

Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 10 проверяются навыки решения задач по теории вероятностей. Школьник должен знать основные формулы по теории вероятностей, а также уметь применять их на практике. Здесь вы можете узнать, как решать задание 10 ЕГЭ по математике базового уровня, а также изучить примеры и способы решения на основе подробно разобранных заданий.

Научная конференция проводится в K дней. Всего запланировано N докладов: в первый день — L докладов, остальные распределены поровну между остальными днями. На конференции планируется доклад профессора. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора окажется запланированным на последний день конференции?