Решение задач о бросании игральных костей
Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.
Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.
Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.
Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Одна игральная кость
С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.
Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?
Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.
Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.
Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.
Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.
Две игральные кости
Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):
А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?
Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.
Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).
Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:
Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:
Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.
Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.
Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:
Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.
Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).
Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.
Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:
Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.
Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).
Другие задачи про кости и кубики
Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.
Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.
В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.
Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6cdot 6cdot 6=216$ .
Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.
$$
(3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\
(4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\
(5,5,5).
$$
Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.
Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.
Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:
Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).
Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.
Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$
Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид:
$$
P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}.
$$
Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем:
$$
P(A)=frac{m(A)}{n}=frac{18}{36}=frac{1}{2}; quad P(AB)=frac{m(AB)}{n}=frac{12}{36}=frac{1}{3};\
P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}=frac{1/3}{1/2}=frac{2}{3}.
$$
Ответы совпали.
Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.
В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.
Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).
Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза:
$$
P_4(3)=C_4^3 cdot left(1/2right)^3 cdot left(1-1/2right)^1=4 cdot left(1/2right)^4=1/4=0,25.
$$
Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.
Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.
Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $kge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один…» удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного…». В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$:
$$
P_8(0)=C_8^0 cdot left(1/6right)^0 cdot left(1-1/6right)^8=left(5/6right)^8.
$$
Тогда искомая вероятность будет равна
$$
P_8(kge 1)=1-P_8(0)=1-left(5/6right)^8=0.767.
$$
А еще у нас есть онлайн калькулятор для формулы Бернулли
Полезные ссылки
Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.
В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.
Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.
Еще по теории вероятностей:
|
|
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.
Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 
.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 
(один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже .
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете 
яблок, из них 
— красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 
, а зеленое — 
.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 
.
БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ
Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
В фирме такси в данный момент свободно 
машин: 
красных, 
желтых и 
зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 
, то есть 
.
В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 
, то есть 
.
Родительский комитет закупил 
пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 
с картинами известных художников и 
с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
Ответ: .
В чемпионате по гимнастике участвуют 
спортсменок: — из России, 
— из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 
(поскольку из Китая — 
спортсменок). Ответ: 
.
Ученика попросили назвать число от 
до 
. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна 
.
Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
— нечетные числа; 
— четные. Вероятность нечетного числа очков равна .
Ответ: 
.
Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.
Две монеты — уже четыре исхода:
| орел | орел |
| орел | решка |
| решка | орел |
| решка | решка |
Три монеты? Правильно, 
исходов, так как 
.
Вот они:
| орел | орел | орел |
| орел | орел | решка |
| орел | решка | орел |
| решка | орел | орел |
| орел | решка | решка |
| решка | орел | решка |
| решка | решка | орел |
| решка | решка | решка |
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 
.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 
возможных исходов, так как 
.
А теперь — благоприятные исходы:
Вероятность выпадения восьми очков равна 
.
Стрелок попадает в цель с вероятностью 
. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.
Если вероятность попадания равна — следовательно, вероятность промаха 
. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 
. А вероятность четырех попаданий подряд равна 
.
Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей
ПОДРОБНЕЕ
Вероятность: логика перебора.
В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по 
рублей. Петя не глядя переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 
.
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), 
(это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 
. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 
и 
— это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
…
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 
, а затем:
.
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:
.
Всего возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 
нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 
.
Ответ: .
Сумма событий, произведение событий и их комбинации
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть 
– вероятность того, что чайник прослужил больше года.
– вероятность того, что он сломается на второй год, 
– вероятность того, что он прослужит больше двух лет.
Очевидно, 
Тогда 
Ответ: 0,06.
События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.
Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.
Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.
Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна 
Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью 
На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна 
а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна 
то есть 0,03125.
События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.
В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.
Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.
(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 
Для второго 
Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.
Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.
Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна 
. Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 
.
Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.
Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.
Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 
Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна 
Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.
Мы получили уравнение:
Решаем это уравнение и находим, что 
– вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).
Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:
Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.
Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.
Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 
), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 
). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна 
Ответ: 0,0545.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 
Это ответ.
Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.
Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».
Смотрите также: парадокс Монти Холла.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
4. Введение в теорию вероятностей
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Сложные задачи по теории вероятности
Общая памятка по всем разделам теории вероятностей:
Задание
1
#3858
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы (4) очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает (3) очка, в случае ничьей — (1) очко, если проигрывает — (0) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны (0,3).
Чтобы команда в двух играх набрала не менее (4) очков, ей нужно: либо 1) выиграть обе игры, либо 2) выиграть в одной из игр и сыграть вничью в другой игре.
Так как вероятности выиграть и проиграть одинакова и равна (0,3), то вероятность сыграть вничью равна (1-0,3-0,3=0,4).
Следовательно, вероятности в этих случаях равны соответственно:
1) (0,3cdot 0,3)
2) (0,3cdot 0,4+0,4cdot 0,3) (выиграть в первой игре и сыграть вничью во второй или сыграть вничью в первой и выиграть во второй).
Следовательно, вероятность того, что команда выйдет в следующий круг соревнований, равна [0,3cdot 0,3+0,3cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,33]
Ответ: 0,33
Задание
2
#2739
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник (ABCD), причём (AB = 5), (BC = 6), (CD = 4), (AD = 10). В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.
Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника (ABCD), проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину (B)?
Через вершину (A) проходят стороны (AB) и (AD), их сумма: (AB + AD = 15).
Через вершину (B) проходят стороны (AB) и (BC), их сумма: (AB + BC = 11).
Через вершину (C) проходят стороны (BC) и (CD), их сумма: (BC + CD = 10).
Через вершину (D) проходят стороны (CD) и (DA), их сумма: (CD + DA = 14).
Обозначим вероятность выбора вершины (A) через (P(A)) (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем: [P(A) = 15k,qquad P(B) = 11k,qquad P(C) = 10k,qquad P(D) = 14k,,] но (P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1), тогда (k = 0,02), откуда находим: (P(B) = 0,22).
Ответ: 0,22
Задание
3
#191
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 10 раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 9 орлов? Ответ округлите до тысячных.
Условие того, что выпало не менее 9 орлов эквивалентно тому, что выпало не более 1 решки, то есть либо ровно 1 решка, либо 0 решек.
Количество всевозможных различных исходов в серии из 10 испытаний равно (2^{10} = 1024).
Среди них есть 11 исходов, подходящих под условие: (Орёл; Орёл; …; Орёл), (Орёл; Орёл; …; Орёл; Решка), (Орёл; Орёл; …; Решка; Орёл), …, (Решка; Орёл; …; Орёл), следовательно, искомая вероятность равна [dfrac{11}{1024}.] После округления получим (0,011).
Ответ: 0,011
Задание
4
#190
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 3 орлов? Ответ округлите до тысячных.
Условие того, что выпало не менее 3 орлов эквивалентно тому, что выпали только орлы.
Количество всевозможных различных исходов в серии из 3 испытаний равно (2^3 = 
. Среди них есть ровно один исход, подходящий под условие: (Орёл; Орёл; Орёл). Таким образом, искомая вероятность равна [dfrac{1}{8} = 0,125.]
Ответ: 0,125
Задание
5
#189
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 2 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 1 орла? Ответ округлите до тысячных.
Всевозможных исходов в серии из 2 подбрасываний может быть (2^2 = 4): (Орёл; Орёл), (Орёл; Решка), (Решка; Орёл), (Решка; Решка).
Среди выписанных (всевозможных) исходов под условие задачи подходят первые 3, следовательно, искомая вероятность равна [dfrac{3}{4} = 0,75.]
Ответ: 0,75
Задание
6
#2658
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на (3)? Ответ округлите до сотых.
Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна (dfrac{1}{6}). Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на (3) остаток (0), два числа, дающих при делении на (3) остаток (1) и два числа, дающих при делении на (3) остаток (2).
Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на (3) остаток (1), равна (dfrac{1}{3}). С другими остатками аналогично.
Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на (3) которых будут содержать единственный (0) и два одинаковых числа?
Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на (3) которых будут иметь вид:
[begin{aligned}
&0,quad 1,quad 1\
&1,quad 0,quad 1\
&1,quad 1,quad 0\
&0,quad 2,quad 2\
&2,quad 0,quad 2\
&2,quad 2,quad 0,.
end{aligned}]
Вероятность любого из выписанных исходов равна [dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3},.] При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна [6cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3} = dfrac{2}{9},.] После округления получим ответ (0,22).
Ответ: 0,22
Задание
7
#2765
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна (0,6); вероятность выпадения числа, делящегося на (3), равна (0,3); вероятность того, что выпадет (1) или (5), равна (0,22). Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число (3). Ответ округлите до сотых.
Вероятность выпадения числа (n) обозначим через (P({n})), вероятность выпадения одного из чисел (m) и (n) обозначим через (P({m; n})), а вероятность выпадения одного из чисел (m), (n) и (k) обозначим через (P({m; n; k})). Тогда [P({2; 4; 6}) = 0,6qquadLeftrightarrowqquad P({1; 3; 5}) = 1 — 0,6 = 0,4]
При этом (P({1; 5}) = 0,22), но ведь (P({1; 3; 5}) — P({1; 5}) = P({3})), следовательно, [P({3}) = 0,4 — 0,22 = 0,18,.]
Ответ: 0,18
Если выпускник готовится к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня, ему необходимо научиться решать задачи на применение теории вероятности повышенной сложности. Как показывает практика многих лет, такие задания являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому если учащийся не до конца понимает принцип решения сложных задач на теорию вероятности, ему обязательно стоит вновь разобраться в данной теме.
Вместе с образовательным порталом «Школково» старшеклассники смогут качественно подготовиться к прохождению аттестационного испытания. Наш сайт позволит определить наиболее сложные темы и восполнить пробелы в знаниях. Опытные специалисты «Школково» подготовили весь необходимый материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли легко справиться с решением сложных задач ЕГЭ на теорию вероятности. Базовая информация по данной теме представлена в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы попрактиковаться в выполнении сложных задач ЕГЭ по теории вероятности, школьники могут выполнить соответствующие упражнения. Простые и сложные задания, подобранные нашими специалистами, содержат подробные алгоритмы решения и правильные ответы. База заданий регулярно обновляется и дополняется.
Выполнять упражнения школьники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. При необходимости задания по теории вероятности в ЕГЭ можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
ЕГЭ _ ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА _ Задание №4 _ Вероятности сложных событий _ Игральная кость
Задача 1. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение.
1 способ.
|
Ответ. 0,4 |
2
способ.
6
6
6
6
3
3
3
2
2
2
1
1
1
5
5
5
5
4
4
4
4
3
2
1
Ответ. 0,4
Реши самостоятельно.
|
№ п/п |
ЗАДАЧА |
ОТВЕТ |
|
1 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 2. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. |
0,31 |
|
2 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 4. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? |
0,5 |
|
3 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 5. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. |
0,56 |
|
4 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. |
0,58 |
|
5 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 7. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. |
0,42 |
|
6 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 8. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? |
0,28 |
|
7 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. |
0,17 |
|
8 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 10. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. |
0,08 |
|
9 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска? Ответ округлите до сотых. |
0,08 |
|
10 |
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 2. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска? Ответ округлите до тысячных. |
0,028 |
РЕШЕНИЯ.
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
10 |
|
Задача 2. Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».
Решение.
|
«Три очка не выпали ни разу» – 25 исходов (клетки закрашены серым цветом) «Сумма выпавших очков окажется равна 8» – 3 исхода (клетки отмечены символом +)
Ответ. 0,12 |
Реши самостоятельно.
|
№ п/п |
ЗАДАЧА |
ОТВЕТ |
|
1 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 2». |
0,04 |
|
2 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 12». |
0,04 |
|
3 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4». |
0,08 |
|
4 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 11». |
0,08 |
|
5 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 10». |
0,08 |
|
6 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 10». |
0,12 |
|
7 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4». |
0,12 |
|
8 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 7». |
0,16 |
|
9 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8». |
0,16 |
|
10 |
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 5». |
0,16 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
10 |
|
Задача 3. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.
Решение.
|
«В сумме выпало 8 очков» – 5 исходов (клетки закрашены серым цветом) «В первый раз выпало 6 очков» – 1 исход (клетки отмечены символом +)
Ответ. 0,2 |
Реши самостоятельно.
|
№ п/п |
ЗАДАЧА |
ОТВЕТ |
|
1 |
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 4 очка. |
0,2 |
|
2 |
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 2 очка. |
0,5 |
|
3 |
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 5 очков. |
0,5 |
|
4 |
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 2 очка. |
0,25 |
|
5 |
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 5 очков. |
0,25 |
|
6 |
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка. |
0,2 |
РЕШЕНИЯ.
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
6 |
|
Задача 4. При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 5 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 1 очко?
Решение.
|
«В сумме выпало 5 очков» – 4 исхода (клетки закрашены серым цветом) «Хотя бы раз выпало 1 очко» – 2 исхода (клетки отмечены символом +)
Ответ. 0,5 |
Реши самостоятельно.
|
№ п/п |
ЗАДАЧА |
ОТВЕТ |
|
1 |
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 11 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков? |
1 |
|
2 |
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 3 очка. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 2 очка? |
1 |
|
3 |
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 2 очка? |
0,4 |
|
4 |
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка? |
0,2 |
|
5 |
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 6 очков? |
0,4 |
|
6 |
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 4 очка? |
0,2 |
РЕШЕНИЯ.
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
6 |
|
Пояснения.
Всего исходов
при 1 броске – 6
при 2 бросках — 36
при 3 бросках — 216
Задача 5. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение.
|
1 бросок |
3 (1 случай) |
|
|
2 броска |
1+2, 2+1 (2 случая) |
|
|
3 броска |
1+1+1 (1 случай) |
|
|
4 броска |
нет таких случаев |
|
|
ВСЕГО ИСХОДОВ |
|
|
|
БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИСХОД (при 2-х бросках) |
|
|
|
|
Ответ. 0,24
Реши самостоятельно.
|
№ п/п |
ЗАДАЧА |
ОТВЕТ |
|
1 |
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых. |
0,73 |
|
2 |
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано три броска? Ответ округлите до сотых. |
0,02 |
|
3 |
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Ответ округлите до сотых. |
0,05 |
|
4 |
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых. |
0,63 |
РЕШЕНИЯ.
|
1 бросок |
3 (1 случай) |
|
|
2 броска |
1+2, 2+1 (2 случая) |
|
|
3 броска |
1+1+1 (1 случай) |
|
|
4 броска |
нет таких случаев |
|
|
ВСЕГО ИСХОДОВ |
|
|
|
БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИСХОД (при 2-х бросках) |
|
|
|
|
|
1 бросок |
3 (1 случай) |
|
|
2 броска |
1+2, 2+1 (2 случая) |
|
|
3 броска |
1+1+1 (1 случай) |
|
|
4 броска |
нет таких случаев |
|
|
ВСЕГО ИСХОДОВ |
|
|
|
БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИСХОД (при 2-х бросках) |
|
|
|
|
|
1 бросок |
4 (1 случай) |
|
|
2 броска |
1+3, 3+1, 2+2 (3 случая) |
|
|
3 броска |
1+1+2, 1+2+1, 2+1+1 (3 случая) |
|
|
4 броска |
1+1+1+1 (1 случай) |
|
|
5 бросков |
Нет таких случаев |
|
|
ВСЕГО ИСХОДОВ |
|
|
|
БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИСХОД (при 2-х бросках) |
|
|
|
|
|
1 бросок |
4 (1 случай) |
|
|
2 броска |
1+3, 3+1, 2+2 (3 случая) |
|
|
3 броска |
1+1+2, 1+2+1, 2+1+1 (3 случая) |
|
|
4 броска |
1+1+1+1 (1 случай) |
|
|
5 бросков |
Нет таких случаев |
|
|
ВСЕГО ИСХОДОВ |
|
|
|
БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИСХОД (при 2-х бросках) |
|
|
|
|
