Как решать задачи с растворами по математике егэ

Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.

Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Покажем правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.

. В сосуд, содержащий  литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили  литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

.

. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.

Получаем:

Ответ: .

. Виноград содержит  влаги, а изюм — . Сколько килограммов винограда требуется для получения  килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось  воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме  воды и  «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось  кг изюма. Тогда

 от  от 

Составим уравнение:

и найдем .

Ответ: .

. Имеется два сплава. Первый сплав содержит  никеля, второй —  никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой  кг, содержащий  никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что .

Ответ: .

. Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив  кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо  кг воды добавили  кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Ответ: .

Всего: 101    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 101    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Возможно, вам нужно заглянут сюда – “Простейшие задачи на проценты”

Задача 1. В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение: + показать

Задача 2. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение: + показать

Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит % никеля, второй  — % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение: + показать

Задача 4.  Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение: + показать

Задача 5.  Имеются два сосуда. Первый содержит кг, а второй — кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение: + показать

Задача 6. Виноград содержит % влаги, а изюм  — %. Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?

Решение: + показать

Задача 7. В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на %, а в 2010 году  — на % по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение: + показать

Задача 8. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.

Решение: + показать

Задача 9. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение: + показать

Задача 10.  Шесть рубашек дешевле куртки на %. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки? Видео*

Решение: + показать

Задача 11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на %. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение: + показать

Задача 12. Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом рублей. Дима внес % уставного капитала, Андрей  — рублей, Гриша  — уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.

Решение: + показать

Задача 13.  Клиент А. сделал вклад в банке в размере рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение: + показать

Вы можете пройти Тест по задачам на проценты,  сплавы, смеси

Задание 11. Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике: 

Решение задачи на растворы.

Задача 1. Смешали 3 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 30-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

3 л — 20%

12 л- 30%

1. 3*0,2+12*0,3=0,6+3,6=4,2 (л вещества в 15л раствора)

2. 3+12=15 (л раствора)

3. Пропорция

15л – 100%

4,2л – х%

Х% = 4,2*100% : 15 = 28%

Ответ: 28%.

 Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Х л — 15%

Х л – 19%

1. 0,15х+0,19х=0,34х (количество вещества в получившемся растворе)

2. х+х = 2х (количество раствора)

3. Пропорция

2х – 100%

0,34х – а%

а% = 0,34х*100% : 2х = 17%

Ответ: 17%.

 Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 15% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 45кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение:

Х кг – 15% (первый сплав)

(Х+45) кг – 40% (второй сплав)

(Х+Х+45) кг= (2Х+45) кг — 35% (третий сплав)

1. 0,15х + 0,4(х + 45) = 0,35(2х + 45)

0,15х + 0,4х — 0,7х = 0,35*45 — 0,4*45

0,15х = 2,25

х = 2,25 : 0,15

х = 15 (кг) масса первого сплава

1. 2*15 + 45 =75 (кг) масса второго сплава

Ответ: 75 кг.

Задача 4. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

(225-х) кг – 10% (первый сплав)

Х кг – 35% (второй сплав)

225 кг – 25% (третий сплав)

1. 0,1(225 – х) + 0,35х = 0,25*225

0,25х = 33,75

Х = 33,75 : 0,25

Х = 135 (кг) второй сплав

1. 225-135 = 90 (кг) первый сплав

2. 135 – 90 = 45(кг)

Ответ: на 45 кг.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и текущим членом прогрессии

$d=a_{n+1}-a_n$

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ — первый член геометрической прогрессии

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ — $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ — сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

В задачах на прогрессии важно:

1. Определить тип прогрессии
2. Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
3. Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.

Задачи на смеси и сплавы.

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

$m_{1 раствора}·%_{1 вещества}+m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$