В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.
Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.
1 способ – находим формулу по точкам
Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.
Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:
Алгоритм:
1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:
2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.
3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.
4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.
Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:
2 способ – преобразование графиков функций
Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).
Вот как выглядит применение этого способа:
Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:
И понимать, как меняются функции от преобразований:
Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:
Пример:
3 способ – гибридный
Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).
По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).
Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.
Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию
— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:
— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:
— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:
— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:
— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:
Графики функций.
Задание 10 ЕГЭ по
математике (профильный уровень)
Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который
дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле.
Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки
пересечения графиков функций.
Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами
обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть
получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по
ее графику.
Рекомендации:
Запоминай, как
выглядят графики основных элементарных функций.
Замечай
особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)
Проверь себя:
какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по
горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?
Разбирая решения
задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или
неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются
также в задачах с параметрами.
Важный
принцип — это логичность. В шутливой манере он говорит: «нормальные герои
всегда идут в обход». Нужно учиться использовать наличный запас знаний,
применяя различные «хитрости» и «правдоподобные
рассуждения» для ответа наиболее простым и понятным способом.
10 задание из ЕГЭ по математике — задача с прикладным содержанием. Выполнение связано с решением уравнений. Разбираемся, как сделать задачу из профиля и получить максимальный балл на экзамене.
Обращаем внимание
Обращаем внимание10 задачу из ЕГЭ по математике многие считают физической. Однако ее выполнение завязано на чистой математике. Единственный момент из физики — нужно понимать, что за процессы происходят, в чем особенность. Большинство величин не могут быть отрицательными. Ответ получился с минусом — нужно перепроверить.
В профильных заданиях нужно учитывать контекст. Представим, что вам досталась классическая задача на механику. Дано положительное ускорение, достаточно большая скорость… А пройденный путь оказывается с минусом. Это ошибка, нужно пересчитать. Не будете решать номер целиком, напишете неверное число — потеряете балл.
Решение уравнений
В 10 номере ЕГЭ по математике встречаются разные типы выражений. Если задание звучит как «определите наибольшее/наименьшее значение», составляйте неравенство. Важно правильно поставить знак. Если в задаче стоит вопрос «сколько?», то подойдет обычное уравнение. Чаще встречаются квадратные и линейные выражения.
|
Название |
Пример |
Принцип решения |
|
Линейное уравнение |
10 = 5x + 5 |
Проводим преобразования:
|
|
Квадратное уравнение |
2t2 + 4t + 8 = 0 Общий вид: ax2 + bx + c = 0 |
Можно решить уравнение графически. Тогда корнями будут точки пересечения графика с осью Ох. |
|
Линейное неравенство |
10(v — 500) < 3000 |
Выполняем те же преобразования, что и для уравнения. Важно:
|
|
Квадратные неравенства |
8t2 + t + 9 < 10 Общий вид: ax2 + bx + c < 0 Могут стоять знаки <, >, ≤, ≥, ≠ |
|
Пример из ЕГЭ
Попробуем решить задание профильного уровня.
Задача. Радиоактивный элемент переживает распад, при котором его масса уменьшается по закону: , где
m0 — начальная масса,
t — время, которое прошло от начала распада атома,
T — период полураспада.
Время полураспада составляет 10 минут. Начальная масса равна 40 мг. Определите, через какой промежуток масса уменьшится до 10 мг.
Решение. Суть задания — решение показательного уравнения. Нам нужно найти t. Поставляем известные величины:
Делим обе части на «10»:
Представляем «4» в виде степени с основанием «2»:
Правую часть записываем в виде степени с общим основанием:
Записываем единицу в виде степени с основанием «2»:
Приравниваем показатели степени и меняем местами правую и левую части:
Переносим «2» в правую часть и домножаем обе части на «-1»:
Находим t и записываем ответ:
t =20
Ответ: 20.
Мы разобрались, как решать 10 задание из профиля ЕГЭ по математике. У вас есть краткий план действий, осталось лишь практиковаться, выполняя номера с ФИПИ. Или можно записаться на курсы подготовки к ЕГЭ в центр «Уникум» при Российском университете дружбы народов. Преимущества курсов:
- разные форматы обучения: очный, онлайн и дистанционный;
- занятия проходят в главном здании РУДН. Поэтому можно сразу «окунуться» в студенческую жизнь.;
- предоставляется скидка на первый год обучения в РУДН.
Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. Для подготовки к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!
Профильная математика — один из самых сложных экзаменов для большинства выпускников, от которого зависит аттестат. Именно стоит узнать, как решается вторая часть профильной математики ЕГЭ, так как именно за нее даются баллы, необходимые для результата 85+.
Что из себя представляет вторая часть в 2021
В 2021 году вторая часть профильной математики ЕГЭ состоит из одиннадцати номеров (четыре с кратким ответом, семь — с развернутым). Для их решения необходимо приобрести определенные знания и навыки:
- умение решать задачи (текстовые, прикладные, экономические, олимпиадные),
- умение анализировать функции,
- умение составлять и решать выражения,
- умение решать уравнения,
- умение решать неравенства,
- умение работать с параметром,
- знание стереометрии,
- знание планиметрии.
Критерии оценивания
Вторая часть профильной математики ЕГЭ весит 24 первичных балла из 32 возможных:
- № 9-12 — 1б,
- № 13-15 — 2б,
- № 16-17 — 3б,
- № 18-19 — 4б.
Для получения балла за № 9-12 необходимо записать правильный ответ в бланк, решение номера не рассматривается, однако по сложности это все же вторая часть профильной математики ЕГЭ.
В №13 балл могут дать за написание верного ответа или верного хода решения при неверном ответе.
В №14 балл дадут за решение одного из двух пунктов.
В №15 балл дадут за вычислительную ошибку или неверное исключение точки.
В №16 можно получить баллы за решение одного из пунктов: более сложного (2 балла) или более простого (1 балл).
В №17 баллы дают за верную математическую модель: два — за доведенное до конца решение с вычислительной ошибкой или недостаточным обоснованием, один — за не доведенное до конца решение.
В №18 три балла можно получить, если назвать два верных решения (и два неверных или недостаточно их обосновать), два балла за одно верное решение и один балл за верный ход мысли.
В №19 три балла дадут за три верных ответа, два — за два, один — за один (с обоснованием, если решение легкое).
Как решать вторую часть ЕГЭ по профильной математике
Вторая часть профильной математики ЕГЭ требует углубленных знаний в области дисциплины. При этом, каждый номер направлен на отработку каких-то конкретных знаний и навыков. Поэтому готовиться стоит к каждому номеру отдельно.
Задание 9
Задание №9 — это проверка простейших вычислений, для которых необходимо знать свойства логарифмов, тригонометрических функций, корней и степеней. Чтобы решить этот номер, можно воспользоваться приложенным к КИМ списком формул. Заранее стоит научиться выводить из них другие полезные формулы, это избавит от лишнего заучивания и поможет подготовиться к решению более сложных задач.
Задание 10
Вторая часть профильной математики ЕГЭ включает также задачу прикладного характера с формулой для ее решения. Нужно проследить, чтобы все значения измерялись однотипно (все время в секундах, например), а переменные представлялись в общем виде. Также лучше попробовать сократить выражение, если это возможно: так можно исключить вычислительную ошибку при подставлении.
Обязательно следует перепроверять свое решение.
Задание 11
В №11 может встретиться задача на один из шести типов. Решение любой из этих типов задач начинается с составления уравнения: искомая величина — Х. Оно чаще всего выходит линейным или квадратным. Для составления уравнения стоит пользоваться основными формулами: пути, работы и концентрации.
Задание 12
Для подготовки к заданию на точки экстремумов необходимо изучить таблицу основных производных и их графики, а также их свойства. Помимо этого, стоит попрактиковаться в нахождении нулей производных. Они помогут определить все точки экстремумов, из которых можно будет найти наибольшее и наименьшее значения функций.
Задание 13
Задание № 13, с которого начинается настоящая (с проверкой решения) вторая часть профильной математики ЕГЭ, проверяет умение выпускников ориентироваться в тригонометрии. Чтобы выполнить этот номер на максимум, необходимо, во-первых, найти ОДЗ, а во-вторых, с ее учетом решить полученное уравнение. Для этого может пригодится огромное количество формул и свойств, запомнить которые поможет мнемотехника. Так, одним из полезный упражнений на запоминание будет правило лошади: если она качает головой по вертикали, получается кивок — «да», поэтому вдоль оси ординат функция меняется; а вот качание головой по горизонтали, это «нет», функция не меняется.
Задание 14
№14 содержит два задания: на доказательство и вычисление. С первым могут помочь теорема Фалеса и подобие треугольников, а в последнем очень выручают теоремы синусов и косинусов, Пифагора, о трех перпендикулярах и тригонометрические функции в частности.
Задание 15
Неравенства задания №15 решаются благодаря постоянности логарифмической функции. От изменчивого основания можно избавиться, если перейти к новому постоянному основанию. Отдельное внимание стоит уделить ОДЗ, которое может меняться.
При решении важно помнить про методы интервалов и рационализации, правила замены тригонометрических функций.
Задание 16
Лучше запомнить все теоремы, свойства и аксиомы, связанные с треугольниками, так как они содержатся в любой фигуре и, соответственно, будут полезны при решении любого номера, который содержит вторая часть профильной математики ЕГЭ. Также особое внимание в №16 следует уделить рисунку: он должен быть наглядным, содержать необходимые пометки. Это поможет в решении любой задачи по планиметрии.
Задание 17
Вторая часть профильной математики ЕГЭ под видом №17 может предложить три типа задач:
- вклад,
- кредит,
- оптимизация.
Для их решения следует постепенно преобразовывать каждое условие задачи в уравнение или его часть. При подготовке следует заранее ознакомиться со схемами кредитования (дифференцированные и аннуитетные платежи), к задаче на оптимизацию нужно будет попрактиковаться в работе с целевыми функциями с точками экстремумов.
Задание 18
Этот номер проверяет умение мыслить логически и составлять схему рассуждений. Каждая из задач под этим номером нестандартна, поэтому помочь в их решении может только регулярная практика по вариантам прошлых лет. Однако стоит отметить, что в задании допустимо и графическое решение: так, в уравнениях с двумя переменными часто прячутся фигуры, которые могут оказаться ответом на задание.
Задание 19
№19 — последний, который включает вторая часть профильной математики ЕГЭ. Это задание олимпиадного уровня, поэтому оно требует нестандартного мышления. Для подготовки к нему можно изучить признаки делимости чисел (четное окончание как признак деления на «2» — это недостаточно для экзамена), а также формулы арифметической и геометрической прогрессий. Отлично помогут также решение заданий из вариантов прошлых лет, разборы олимпиадных заданий похожего типа.
Таким образом, видно, что вторая часть профильной математики ЕГЭ — это действительно сложные задачи, решить которые под силу не каждому выпускнику. Поэтому для того, чтобы сдать экзамен на 85+ баллов, необходимо усердно готовиться.
9 марта 2023
В закладки
Обсудить
Жалоба
Теория и практика.
Содержание
1) Прямые
2) Параболы
3) Как искать пересечение параболы и прямой, двух парабол
4) Гипербола. Асимптотические точки гиперболы
5) Пересечение гиперболы и прямой
6) Иррациональные функции
7) Пересечение корня и прямой
Тригонометрические функции
9) Показательные функции
10) Логарифмические функции
10_zadacha.pdf
Источник: vk.com/profimatika
Лайфхаки ЕГЭ. Наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.
Автор: Новицкая Марина Викторовна
Название учреждения: КГБОУ «Бийский лицей—интернат Алтайского края»
Тема занятия: «Наибольшее(наименьшее) значение функции на отрезке»
Область применения разработки: школы, лицеи, гимназии на уровне среднего общего образования, в классах естественно—
научного и гуманитарного профиля
Возрастная группа обучающихся: 11 класс (16-17 лет)
При подготовке к сдаче ЕГЭ профильного уровня в ходе решения заданий на нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции, точек максимума и минимума функции (Задание №12) у учащихся возникают сложности и сомнения о
правильности выполнения задания.
Проанализировав задания №12 профильного ЕГЭ предлагаю Вам лайфхаки, позволяющие более ускоренно решить задачи
на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, точек максимума и минимума некоторых функций без
использования производной.
Задание 12 . Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.
ОТВЕТ: «красивое число», т.е. без радикалов, числа π, буквы е и т.д