Как решать задания с графиками функций егэ

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

Поиск

Всего: 32    1–20 | 21–32

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 32    1–20 | 21–32

---

Графики функций

---

В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.

---

Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 14МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ: А) 0 – 1 мин. Б) 1 – 3 мин. В) 3 – 6 мин. Г) 8 – 10 мин.

ХАРАКТЕРИСТИКИ: самый медленный рост температуры температура падала температура находилась в пределах от 40°С до 80°С температура не превышала 30°С.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
2. Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
3. С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.
4. Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

Решение:

Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.

Г – 2

Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.

Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.

А – 4

С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.

Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.

Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.

В – 3

Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

Б – 1

Ответ:

А – 4

Б – 1

В – 3

Г – 2

---

Вариант 14МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

[/su_note]

Алгоритм выполнения для каждой из функций:

1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.

Решение:

Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.

А – 3

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

Б – 4

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

В – 2

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.

Г – 1

А – 3

Б – 4

В – 2

Г – 1

Ответ: 3421.

---

Вариант 14МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

[/su_note]

Алгоритм выполнения для каждой из функций:

1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.

Решение:

Проанализируем график функции А.

Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

А – 4

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

Б – 2

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.

В – 1

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.

Г – 3

А – 4

Б – 2

В – 1

Г – 3

Ответ: 4213.

---

Вариант 14МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ
А
В
С
D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

[/su_note]

Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке – значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.

В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b) положительный – то прямая возрастает, если же он отрицательный – то прямая убывает.

Возрастающих прямых у нас две – в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?

Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).

Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой – D, а  k = 3 – A.

Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = – 4, а точке С – -1/2.

---

Вариант 14МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показаны объемы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж обогревателей.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем части графика, соответствующие разным временам года. Формулируем ситуации, отображенные на графике. Находим для них наиболее подходящие варианты ответов.

Решение:

Зимой кол-во продаж превысило 120 шт./мес., причем оно все время увеличивалось. Эта ситуация соответствует варианту ответа №3. Т.е. получаем: А–3.

Весной продажи постепенно упали со 120 обогревателей за месяц до 50. Наиболее приближенным к этой формулировке является вариант №2. Имеем: Б–2.

Летом кол-во продаж не менялась и была минимальной. 2-я часть этой формулировки не отражена в ответах, а для первой подходит только №4. Отсюда имеем: В–4.

Осенью продажи росли, однако их кол-во ни в одном из месяцев не превысило 100 штук. Эта ситуация описана в варианте №1. Получаем: Г–1.

---

Вариант 14МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной – время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем цену деления на горизонтальной и на вертикальной шкале.
2. Анализируем по очереди предложенные утверждения 1–4 из правой колонки («Характеристики»). Сопоставляем их с временными интервалами из левой колонки таблицы, находим пары «буква–число» для ответа.

Решение:

Цена деления горизонтальной шкалы составляет 1 с, вертикальной – 20 км/ч.

Далее анализируем характеристики, данные в правой колонке таблицы.

1. Когда автобус делает остановку, его скорость равна 0. Нулевую скорость в течение 2 минут подряд автобус имел только с 9-й по 11-ю минуту. Это время попадает в интервал 8–12 мин. Значит, имеем пару для ответа: Б–1.
2. Скорость 20 км/ч и больше автобус имел в течение нескольких временных промежутков. Причем вариант А здесь не подходит, т.к., к примеру, на 7-й минуте скорость составляла 60 км/ч, вариант Б – потому что он уже применен, вариант Г – потому что в начале и конце промежутка автобус имел нулевую скорость. В данном случае подходит вариант В (12–16 мин); на этом промежутке автобус начинает движение со скоростью 40 км/ч, далее ускоряется до 100 км/м и потом постепенно снижает скорость до 20 км/ч. Итак, имеем: В–2.
3. Здесь установлено ограничение для скорости. При этом варианты Б и В мы не рассматриваем. Оставшиеся же интервалы А и Г подходят оба. Поэтому правильно будет рассмотреть сначала 4-й вариант, а потом снова вернуться в 3-му.
4. Из двух оставшихся интервалов для характеристики №4 подходит только 4–8 мин, поскольку на этом промежутке остановка была (на 6-й минуте). На промежутке 18–22 мин остановок не было. Получаем: А–4. Отсюда следует, что для характеристики №3 нужно взять интервал Г, т.е. получается пара Г–3.

---

Вариант 14МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику прироста населения Китая в этот период.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем цену деления вертикальной шкалы рисунка. Находится она как разница пары соседних значений шкалы, деленная на 2 (т.к. между двумя соседними значениями имеется 2 деления).
2. Анализируем последовательно приведенные в условии характеристики 1–4 (левая табличная колонка). Сопоставляем каждую из них с конкретным периодом времени (правая табличная колонка).

Решение:

Цена деления вертикальной шкалы составляет 0,01%.

1. Падение прироста непрерывно продолжалось с 2004 по 2010 год. В 2010–2011 годах прирост был стабильно минимальным, и начиная с 2012 года оно начал увеличиваться. Т.е. остановка прироста произошла в 2010 году. Этот год находится в периоде 2009–2011 гг. Соответственно, имеем: В–1.
2. Наибольшим падением прироста следует считать самую «круто» падающую линию графика на рисунке. Она приходится на период 2006–2007 гг. и составляет 0,04%, за год (0,59–0,56=0,04% в 2006 г. и 0,56–0,52=0,04% в 2007 г.). Отсюда получаем: А–2.
3. Указанный в характеристике №3 прирост начался с 2007 года, продолжился в 2008 г. и завершился в 2009 году. Это соответствует периоду времени Б, т.е. имеем: Б–3.
4. Прирост населения начал увеличиваться после 2011 г., т.е. в 2012–2013 гг. Поэтому получаем: Г–4.

---

Вариант 14МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами А,В,С и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Рассматриваем пару касательных, имеющих острый угол с положит.направлением оси абсцисс. Сравниваем их, находим соответствие среди пары соответствующих значений производных.
2. Рассматриваем пару касательных, образующих с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. Сравниваем их по модулю, определяем соответствие их значениям производных среди двух оставшихся в правой колонке.

Решение:

Острый угол с положит.направлением оси абсцисс образуют производные в т.В и т.С. Эти производные имеют положит.значения. Поэтому выбирать тут следует между значениями №№1 и 3. Применяя правило о том, что если угол меньше 45⁰, то производная меньше 1, а если больше, то больше 1, делаем вывод: в т.В производная по модулю больше 1, в т.С – меньше 1. Это означает, что можно составить пары для ответа: В–3 и С–1.

Производные в т.А и т.D образуют с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. И тут применяем то же правило, немного перефразировав его: чем больше касательная в точке «прижата» к линии оси абсцисс (к отрицат. ее направлению), тем больше она по модулю. Тогда получаем: производная в т.А по модулю меньше, чем производная в т.D. Отсюда имеем пары для ответа: А–2 и D–4.

---

Вариант 14МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем последовательно характеристики 1–4 (правая колонка), используя график на рисунке. Ставим каждой из них в соответствие конкретный временной период (левая колонка).

Решение:

1. Рост температуры наблюдался только в конце периода 22–28 января. Здесь 27 и 28 числа она повышалась соответственно на 1 и на 2 градуса. В конце периода 1–7 января температура была стабильной (–10 градусов), в конце 8–14 и 15–21 января понижалась (с –1 до –2 и с –11 до –12 градусов соответственно). Поэтому получаем: Г–1.
2. Поскольку каждый временной период охватывает 7 дней, то анализировать нужно температуру, начиная с 4-го дня каждого периода. Неизменной в течение 3–4 дней температура была только с 4 по 7 января. Поэтому получаем ответ: А–2.
3. Месячный минимум температуры наблюдался 17 января. Это число входит в период 15–21 января. Отсюда имеем пару: В–3.
4. Температурный максимум пришелся 10 января и составил +1 градус. Эта дата попадает в период 8–14 января. Значит, имеем: Б–4.

---

Вариант 14МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох..

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и ее производной

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Значение функции в точке положительно, если эта точка расположена выше оси Ох.
2. Производная в точке больше нуля, если касательная к этой точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох.

Решение:

Точка А. Она находится ниже оси Ох, значит значение функции в ней отрицательно. Если провести в ней касательную, то угол между нею и положит.направлением Ох составит около 90⁰, т.е. образует острый угол. Значит, в данном случае подходит характеристика №3. Т.е. имеем: А–3.

Точка Б. Она находится над осью Ох, т.е. точка имеет положит.значение функции. Касательная в этой точке будет довольно близко «прилегать» к оси абсцисс, образуя тупой угол (немногим меньше 180⁰) с положительным ее направлением. Соответственно, производная в этой точке отрицательна. Т.о., здесь подходит характеристика 1. Получаем ответ: В–1.

Точка С. Точка расположена ниже оси Ох, касательная в ней образует большой тупой угол с положит.направлением оси абсцисс. Т.е. в т.С значение и функции, и производной отрицательно, что соответствует характеристике №2. Ответ: С–2.

Точка D. Точка находится выше оси Ох, а касательная в ней образует с положит.направлением оси острый угол. Это говорит о том, что как значение функции, так и значение производной здесь больше нуля. Ответ: D–4.

---

Вариант 14МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показаны объемы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных холодильников. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж холодильников.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. При необходимости найти кол-во холодильников за тот или иной период нужно определять их сумму за три месяца.
2. Анализировать следует характеристики 1–4 (правая колонка), находя для каждой из них соответствие в виде временного периода (левая колонка).

Решение:

Анализируем характеристики:

1. Меньше всего холодильников продано в начале и в конце года. Поэтому рассмотрим периоды январь–март и октябрь–декабрь. В январе–марте было продано примерно 250+250+300=800 холодильников, в октябре–декабре – примерно 350+200+100=650. Значит, здесь подходит все-таки последний период. Ответ: Г–1.
2. Длительный рост продаж наблюдался с апреля по июль. Это время охватывает полностью период апрель–июнь и захватывает начало следующего. Поэтому получаем: Б–2.
3. Тут тоже требуется найти сумму проданных единиц за целые периоды. Для 1-го и последнего периода она уже найдена (см.п.1). Считаем для 2-го и 3-го, получаем: 300+400+600=1300 – в апреле–июне, примерно 650+600+550=1800 – в июле–сентябре. К требуемым 800 холодильникам максимально приближен объем продаж в январе–марте. Поэтому имеем: А–3.
4. Одинаковое падение объема продаж означает, что разница между кол-вом проданных холодильников должна быть одинаковой. Падение продаж наблюдалось, начиная с конца июля. В августе падение составило 650–600=50 штук, в сентябре – 600–550=50 штук. Далее, в октябре, разница составила уже 550–350=200 холодильников, в ноябре 350–200=150, в декабре 200–100=100. Т.о., подходит в данном случаем период июль–сентябрь. Ответ: В–4.

---

Вариант 14МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показан годовой объем добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – объем добычи угля в миллионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику добычи угля в этот период.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Точки, которые не приходятся на точные значения шкалы вертикальной оси, определяем приблизительно.
2. Анализируем по очереди приведенные (в правом столбце) характеристики, используя данный график. Определяем соответствие каждой из них конкретного временного периода.

Решение:

Анализируем характеристики:

1. Объем добычи меньше 190 млн т приходился на период с 2001 года по 2005 год. Затем спад добычи зафиксирован в 2009 году, но один год не составляет периода. 2001–2005 годы полностью попадают в период А (2002–2004 гг.). Поэтому получаем ответ: А–1.
2. Такая формулировка «объем… сначала уменьшался, а затем начал расти» соответствует 2 периодам – 2002–2003 гг. и 2009–2010 гг. Но т.к. первый из этих периодов уже взят в качестве ответа, то правильно здесь использовать пару Г–2.
3. Ситуация, описанная в 3-й характеристике, наиболее точно отображена в периоде 2006–2008 гг. Именно в это время добыча сначала понемногу увеличивалась (примерно с 190 млн т до 210), а потом резко возросла до 250 млн т. Т.е. подходящий ответ здесь: 2006–2008 гг. и, соответственно, имеем: В–3.
4. Медленный рост следует искать в период, когда линия графика имеет наиболее пологий вид. Это: 2004–2006 год, что соответствует периоду Б, т.е. получаем: Б–4.

---

Вариант 14МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику температуры.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем сначала очередную характеристику, а затем сопоставляем ее с конкретным временным интервалом.

Решение:

1. Выше 60⁰ температура была с 4-й по 7-ю минуту. Поэтому здесь нужно взять интервал 4–6 мин. Получаем: В–1.
2. Температура падала только после 7-й минуты. Соответственно, тут подходит интервал 7–9 мин. Ответ: Г–2.
3. Самый быстрый рост температуры происходил там, где график имеет наиболее «крутой» вертикальный подъем. Это имеет место только в 1-ю минуту нагревания. Т.е. подходящим интервалом является 0–1 мин. Ответ: А–3.
4. В пределах 40–50 ⁰С температура имела место, начиная со 2-й по 3-ю минуту. Значит, нужно выбрать интервал 2–3мин. Ответ: Б–4.

---

Вариант 14МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время (в минутах), прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси – частота пульса (в ударах в минуту).

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику пульса гимнаста на этом интервале.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Для анализа характеристики нужно использовать только 1-ю половину графика.
2. Для точек графика, которые не попадают в «узлы» сетки рисунка (т.е. для которых невозможно определить точные значения), нужно определять значения приблизительно.
3. Величина роста пульса связана с пологостью (или, напротив, крутизной) линии графика. Это означает, что чем большее изменение значения функции происходит за тот или иной (но обязательно одинаковый) промежуток времени, тем больше величина роста.

Решение:

Анализируем предложенные характеристики:

1. Если частота пульса сначала падала, а затем росла, то на графике это должно выразиться в «прогибе» линии графика вниз. Такая кривизна наблюдается только в течение 3–4 минуты. Значит, получаем ответ: Г–1.
2. Самый большой «подъем» линии на 1-й половине графика имеет место с 1-й по 2-ю минуту. Отсюда получаем: Б–2.
3. Частота пульса падала, начиная со 2-й минуты. В течение 3–4 минут тоже наблюдалось падение, однако оно потом перешло в рост. Поэтому правильным здесь следует считать интервал В. Т.о., ответ: В–3.
4. Единственный интервал, на котором частота не превысила 100 ударов, – 0–1 мин. Отсюда имеем ответ: А–4.

Даниил Романович | Просмотров: 21.2k

Выпускнику

Система подготовки к ЕГЭ – 2022

ЗАДАНИЕ 9

Графики функций

(Учитель математики: Салтыкова Р.А.)

2021

СОДЕРЖАНИЕ

Номер урока	Тема урока	Страница
1.	Гиперболы	3
Типовые примеры	4
Задания для самостоятельного решения	11
2.	Кусочно-линейная функция	15
Типовые примеры	15
3.	Параболы	22
Типовые примеры	23
4.	Синусоиды	27
Типовые примеры	28
5.	Литература	57

Тема 1. Гиперболы

ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Функция вида

у = ,              (1)

где k –
число (причём k ≠ 0),
а x – переменная, называется обратной пропорциональностью.

Графиком прямой пропорциональности служит гипербола.

Заметим, что если известны координаты некоторой точки,
принадлежащей графику прямой пропорциональности, то из формулы (1) получаем
правило нахождения коэффициента k:

k = x ∙ y.

Если k>0, то
гипербола расположена в I и III координатных
четвертях.

Если k<0, то
гипербола расположена во II и IV координатных
четвертях.

У гиперболы есть асимптоты – координатные прямые Ох
(горизонтальная асимптота) и Оу (вертикальная асимптота).

Определение.

Функция вида

у = ,                     (2)

где a, b, c, d – числа, а x –
переменная, называется дробно-линейной функцией.

Графиком дробно-линейной функции также является
гипербола.

Для построения графика дробно-линейной функции с
помощью параллельного переноса графика прямой пропорциональности формулу (2)
удобнее записать в следующем виде:

у = ,                   (3)

где
a, b, c – числа, а
x –
переменная.

При этом коэффициент b
показывает, на сколько единиц необходимо перенести «основной» график по оси х,
а коэффициент с – по оси у.

Иными словами, в
точке (b; с) пересекаются асимптоты
графика функции

у = .                 

Например, для построения графика функции

у =

достаточно
построить график функции у = , а затем перенести его параллельно на
вектор (3; −2), то
есть на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

А для построения графика функции у =

надо
также построить график функции у =  и перенести его
параллельно на вектор (−3; −2), то есть на 3 единицы влево и на 2
единицы вниз.

Пример
1.1. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(13).

Решение.

1)    Заметим,
что асимптоты гиперболы пересекаются в точке (3; 2). Значит, b = −3, с = 2,
то есть гипербола задаётся формулой: f(х) =
.

2)    Для
нахождения коэффициента a перенесём систему
координат на вектор (3; 2), тем самым поместив её в точку пересечения
асимптот гиперболы. В новой системе координат данная функция «превращается» в
прямую пропорциональность у = , а значит, для нахождения
коэффициента a достаточно воспользоваться формулой а = x ∙ y,
подставив в неё координаты какой-нибудь точки графика вместо переменных х
и у. В новой системе координат выделенная на графике точка
имеет координаты (−1;−1). Значит, а = −1 ∙ (−1) = 1.

3)   
С
учётом полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде f(х)=. f(13)
=  =  = 0,1 + 2 = 2,1.

Ответ:
2,1.

Пример
1.2. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(10).

Решение.

1)    Асимптоты
гиперболы пересекаются в точке (2;−4). Значит, гипербола задаётся формулой:

f(х) =
.

2)    Перенесём
систему координат на вектор (2; −4), поместив её в точку пересечения асимптот
гиперболы. В новой системе координат выделим точку с координатами (3; 1).
Значит, а = 3 ∙ 1 = 3.

3)    С учётом
полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде у
=.

f(10)
=  =  = 0,375 – 4 = −3,625.

Ответ:
−3,625.

Пример
1.3. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(4).

Решение.

1)    Асимптоты
гиперболы пересекаются в точке (−1; −1). Значит, гипербола задаётся формулой:

f(х) =
.

2)    Перенесём
систему координат на вектор (−1;−1), поместив её в точку пересечения асимптот
гиперболы. В новой системе координат выделим точку с координатами (−3; 1).
Значит, а = −3 ∙ 1 = −3.

3)    С учётом
полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде у
=.

f(10)
=  =  = −0,6
– 1 = −1,6.

Ответ:
−1,6.

Пример
1.4. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите число a.

Решение.

1)   
Асимптоты
гиперболы пересекаются в точке (5;−1). Значит, гипербола задаётся формулой: f(х)=
.

2)    Перенесём
систему координат на вектор (5; −1), поместив её в точку пересечения асимптот
гиперболы. В новой системе координат выделим точку с координатами (−1; −1).

Значит, k = −1 ∙ (−1) = 1.

3)    С учётом
полученных коэффициентов заданная формула перепишется в виде:

f (х)
= =  = .

4)   Сопоставив полученную
формулу с исходной формулой f(х) = , получим, что a = −1.

Ответ:
−1.

Пример
1.5. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
, где числа a, b и c — целые.
Найдите значение х, при котором f(х) = −1,125.

Решение.

В примере 1.4 мы уже составили формулу, задающую
функцию, график которой изображён на рисунке:

f (х)
=,

f (х)
= ,

f (х)
=  .

По
условию, f (х)
= −1,125.

Составим уравнение:

 = −1,125.

Решение этого уравнения и является искомым значением х.

 =  .

−9 ∙ (х – 5) = 8 ∙ (−х + 6),

−9х + 45 = −8х + 48,

−х = 3,

х = −3.

Ответ:
−3.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Тема 2. Кусочно-линейная
функция

Пример 2.1. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.

Решение.

Вспомним, что график линейной функции
задаётся формулой вида у = kх
+ m,
где k – это угловой
коэффициент прямой, а m
– ордината точки пересечения графика с осью Оу.

1)  
Если х≤2,
то f(x) = − х + 3,
так как на этом промежутке k
=  =
−1, а ось Оу пересекается с графиком в точке с ординатой
3.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком минус:

f(x) = ax –
(bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax –
bx –
c + d = (а – b)х
+ (d
– c).

Имеем:

a – b = –1,
                                 d – c = 3.

2)  
Если х≥2,
то f(x) = 3 х −
5, так как на этом промежутке k
=  =
3, а ось Оу пересекается с продолжением этого графика в
точке с ординатой −5.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком плюс:

f(x) = ax + (bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax + bx + c + d =
(а + b)х
+ (d + c).

Имеем:

a + b = 3,                                  d + c = −5.

3)   
Решим две системы уравнений:

       и             

Получаем,
что a
= 1, b
= 2, c
= −4, d
= −1.

4)   
Решим уравнение ax
+ d = 0:

1 ∙ х
– 1 = 0,

х = 1.

Ответ:
1.

Пример 2.2. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения bx + c = 0.

Решение.

Графики функций, заданные формулой,
содержащей знак модуля, имеют точки излома в «нулях» модулей.

Заметим, что х = 2 – это точка, в
которой находится точка излома (вершина ломаной). Значит,

bx + c = 0 при
х = 2.

Ответ:
2.

Пример 2.3. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.

Решение.

1)   
Для точек, находящихся левее точки излома,
имеем: f(x) = − х – 7,

так
как на этом промежутке k
=  =
−4, а ось Оу пересекается с графиком в точке с ординатой
–7.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком минус:

f(x) = ax –
(bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax –
bx –
c + d = (а – b)х
+ (d
– c).

Имеем:

a – b = –4,
                                 d – c = –7.

2)   
Для точек, находящихся правее точки
излома, имеем:  

f(x) = − 5,

так
как на этом промежутке k
= 0,
а ось Оу пересекается с продолжением этого графика в точке с ординатой −5.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком плюс:

f(x) = ax + (bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax + bx + c + d =
(а + b)х
+ (d + c).

Имеем:

a + b = 0,                                  d + c = −5.

3)   
Решим две системы уравнений:

       и             

Получаем,
что a
= –3, b
= 2, c
= 1, d
= −6.

4)   
Решим уравнение ax
+ d = 0:

–2 ∙ х
– 6 = 0,

х = –3.

Ответ:
–3.

Пример 2.4. 
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax – |bx + c| + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.

Решение.

1)   
Для точек, находящихся левее точки излома,
имеем: f(x) = 4 х – 1,

так
как на этом промежутке k
=  =
4, а ось Оу пересекается с графиком в точке с ординатой
–1.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком минус:

f(x) = ax + (bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax + bx + c + d =
(а + b)х
+ (d + c).

Имеем:

a + b = 4,                                  d + c = –1.

2)   
Для точек, находящихся правее точки
излома, имеем: 

f(x) = − 2х
+ 5,

так
как на этом промежутке k
=  = −2,
а ось Оу пересекается с продолжением этого графика в точке с ординатой 5.

В то же время на этом промежутке модуль
раскрывается со знаком плюс:

f(x) = ax −
(bx + c) + d.

Упростим эту формулу:

f(x) = ax −
bx −
c + d = (а − b)х
+ (d −
c).

Имеем:

a – b = –2,                                  d – c = 5.

3)   
Решим две системы уравнений:

       и             

Получаем,
что a
= 1, b
= 3, c
= –3, d
= 2.

4)    Решим
уравнение ax
+ d = 0:

1
∙
х
+ 2 = 0,

х
= –2.

Ответ:
–2.

Пример
2.5. 
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки
пересечения графиков.

Решение.

1)   Для первого
графика k = , а ось Оу пересекается с графиком в точке
с ординатой 7. Значит,
уравнение данной прямой имеет вид у₁ = х + 7.

2)   Для второго
графика k =  = 1,  а ось Оу пересекается с графиком в
точке с ординатой 1. Значит, уравнение данной прямой имеет
вид у₂ = х + 1.

3)    В точке
пересечения должно выполняться условие

у₁
= у₂.

Составим
уравнение и решим его:

х + 7 = х + 1,

3х
+ 14 = 2х + 2,

х
= –12.

Ответ:
–12.

Тема 3. Параболы

Парабола – это график квадратичной функции, которую
можно задать формулой у = k∙(х – m)²
+ n, где (m; n) –
координаты вершины параболы, а k – коэффициент
растяжения.

         Чтобы
найти коэффициент k, систему
координат переносят параллельно в точку с координатами (m; n), то есть
в вершину параболы. В новой системе координат уравнение параболы будет записано
в виде у = k∙х², откуда k = . Подставив в эту формулу координаты
какой-нибудь точки параболы в новой системе координат, можно вычислить значение
коэффициента k.

Пример
3.1. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение
f(3,5).

Решение.

1)   
Вершина данной параболы находится в точке
(6; 8), поэтому она будет задана уравнением

f(х)
= k∙(х
– 6)² + 8.

2)   
В новой системе координат выделим на
графике точку с координатами (2; –1)
и подставим их значения вместо х и у в формулу k
= :

k =  = .

3)    Тогда
данная функция будет задана формулой

f(х)
= ∙(х – 6)² + 8
=  ∙
х ² + 3х – 1.

4)   
Вычислим значение f(3,5):

f(3,5)
= ∙(3,5 – 6)² + 8
= 6,4375.

Ответ:
6,4375.

Пример
3.2. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение
дискриминанта уравнения f(х) = 0.

Решение.

В
задаче 3.1 мы уже составили уравнение этой параболы:

f(х)
=   ∙
х ² + 3х – 1.

Составим
и решим уравнение f(х)
= 0:

 ∙
х ² + 3х – 1 = 0,

D
= 3² – 4 ∙
 ∙
(-1) = 9 – 1 = 8.

Ответ:
8.

Пример
3.3. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение f(0).

Решение.

1)   
Вершина данной параболы находится в точке
(6; 6), поэтому она будет задана уравнением

f(х)
= k∙(х
– 6)² + 6.

2)   
В новой системе координат выделим на
графике точку с координатами (2; –2)
и подставим их значения вместо х и у в формулу k
= :

k =  = .

3)    Тогда
данная функция будет задана формулой

f(х)
= ∙(х – 6)² + 6
=  ∙
х ² + 6х – 12.

4)   
Вычислим значение f(0):

f(0)
= – 12.

Ответ:
–
12.

Пример
3.4. 
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
 + bx
+ c, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение f(–18) – f(–3).

Решение.

1)   
Вершина данной параболы находится в точке
(2; 0), поэтому она будет задана уравнением

f(х)
= k∙(х
– 2)².

2)   
В новой системе координат выделим на
графике точку с координатами (2; 2) и подставим их значения вместо х
и у в формулу k
= :

k =  = .

3)    Тогда
данная функция будет задана формулой

f(х)
= ∙(х – 2)².

Вычислим значение f(–18) – f(–3):

f(–18)
=  ∙
(– 18 – 2)² =  ∙
(– 20)² = 200,

f(–3)
=  ∙
(– 3 – 2)² =  ∙
(– 5)² = 12,5,

f(–18) – f(–3) = 200 – 12,5 = 187,5.

Ответ:
187,5.

Тема 4. Синусоиды

Уравнение вида

f(х) = a ∙ cos (𝝎 x + 𝝋₀) + d

является уравнением гармонического
колебания.

Здесь
a – амплитуда колебаний (коэффициент
растяжения синусоиды вдоль оси Оу),

𝝎 – частота
колебаний (𝝎 = , где Т – период данной
функции),

𝝋₀
– начальная фаза колебаний (начальное отклонение по оси Ох от
состояния равновесия),

d – отклонение по оси Оу.

Пример
4.1.
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
a ∙
cos (b𝝅x + c) + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите
значение f .

Решение.

1)    Определим
характеристики гармонического колебания:

а
=  = 2,

Т
= 4 – 2 = 2,

b𝝅 =  =
 =
𝝅, откуда b = 1,

с
= 0,

d
= –1.

Таким
образом, формула, задающая синусоиду, имеет вид:

f(х)
= 2 ∙ cos 𝝅x – 1.

2)   
В силу периодичности данной функции (Т =
2) имеем:

f  = f  = f  = f  = f   

f   = 2 ∙
cos   – 1 = 2 ∙ cos   – 1 =

= –2 ∙ cos   – 1 = –2 ∙   – 1 = – 2.

Ответ:
– 2.

Пример
4.2.
На рисунке изображён график функции вида f(х) =
a ∙
cos (b𝝅x + c) + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите
значение f .

Решение.

1)    Определим
характеристики гармонического колебания:

а
=  = –1,

Т
= 1,5 – 0,5 = 1,

b𝝅 =  =
 =
2𝝅, откуда b = 2,

с
= 0,

d
= –2.

Таким
образом, формула, задающая синусоиду, имеет вид:

f(х)
= – cos 2𝝅x – 2.

2)   
В силу периодичности данной функции (Т =
2) и её чётности имеем:

f  = f  = f  = f  = f   

f   = – cos   – 2 = –  – 2 = – 2,5.

Ответ:
– 2,5.

Пример
4.3.
На рисунке изображён график функции
вида f(х) =
a ∙ cos  + d,
где числа a, b, c и d — целые. Найдите
значение f .

Решение.

1)    Определим
характеристики гармонического колебания:

а
=  = –2,

Т
= 6 – 2 = 4,

 =  =
 =
, откуда b = 2,

с
= 0,

d
= 1.

Таким
образом, формула, задающая синусоиду, имеет вид:

f(х) = –2 cos  + 1.

2)   
В силу периодичности данной функции (Т = 4)
и её чётности имеем:

f  = f  = f  = f  = f   

f   = –2 cos   +
1 = –2 ∙   + 1 = 0.

Ответ:
0.

Литература

СДАМ
ГИА: РЕШУ ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика
профильного уровня — https://ege.sdamgia.ru/

ДЛЯ
ЗАМЕТОК

3. На рисунке изображён график функции y=3x^2+bx+c . Найдите f(6) . [Ответ: 10]	Смотреть видеоразбор похожего >>
4. На рисунке изображён график функции y=ax^2+12x+c . Найдите f(7) . [Ответ: -74]	Смотреть видеоразбор похожего >>
5. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+12 . Найдите f(-7) . [Ответ: 19]	Смотреть видеоразбор похожего >>
6. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c . Найдите f(1) . [Ответ: 49]	Смотреть видеоразбор похожего >>
7. На рисунке изображён график функции y=ax^2+bx+c , где числа a , b и c — целые. Найдите f(-5) . [Ответ: -29]	Смотреть видеоразбор похожего >>
8. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите f(0.1) . [Ответ: -17]	Смотреть видеоразбор похожего >>
9. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a . Найдите, при каком значении x значение функции равно -4.4 . [Ответ: -12.5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
10. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите f(-3.5) . [Ответ: 6]	Смотреть видеоразбор похожего >>
11. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x+a} . Найдите значение x , при котором f(x) = 10 . [Ответ: 0.6]	Смотреть видеоразбор похожего >>
12. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите k . [Ответ: 1]	Смотреть видеоразбор похожего >>
13. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b} . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
14. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите f(frac{1}{9}) . [Ответ: 3]	Смотреть видеоразбор похожего >>
15. На рисунке изображён график функции f(x)=b+log_ax . Найдите значение x , при котором f(x)=-11 . [Ответ: 64]	Смотреть видеоразбор похожего >>
16. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите f(26) . [Ответ: -2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
17. На рисунке изображён график функции f(x)=log_a(x+b) . Найдите значение x , при котором f(x)=4 . [Ответ: 82]	Смотреть видеоразбор похожего >>
18. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите f(-2) . [Ответ: 22]	Смотреть видеоразбор похожего >>
19. На рисунке изображён график функции f(x) = a^x+b . Найдите значение x , при котором f(x) = 77 . [Ответ: -4]	Смотреть видеоразбор похожего >>
20. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите f(4) . [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
21. На рисунке изображён график функции f(x) = a^{x+b} . Найдите значение x , при котором f(x) = 64 . [Ответ: 8]	Смотреть видеоразбор похожего >>
22. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите f(8.41) . [Ответ: 8.7]	Смотреть видеоразбор похожего >>
23. На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x} . Найдите значение x , при котором f(x)=-6.75 . [Ответ: 7.29]	Смотреть видеоразбор похожего >>
24. На рисунке изображены графики функций f(x)=-4x+22 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
25. На рисунке изображены графики функций f(x)=-6x-28 и g(x)=ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 38]	Смотреть видеоразбор похожего >>
26. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: 0.2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
27. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x} и g(x)=ax+b , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: 20]	Смотреть видеоразбор похожего >>
28. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -2.08]	Смотреть видеоразбор похожего >>
29. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: -2.4]	Смотреть видеоразбор похожего >>
30. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. [Ответ: -11.3]	Смотреть видеоразбор похожего >>
31. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков. [Ответ: 6.8]	Смотреть видеоразбор похожего >>
32. На рисунке изображены графики функций f(x) = 2x^2+16x+30 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. [Ответ: -9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
33. На рисунке изображены графики функций f(x) = -2x^2-3x+1 и g(x) = ax^2+bx+c , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. [Ответ: -13]	Смотреть видеоразбор похожего >>
34. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A. [Ответ: 3.24]	Смотреть видеоразбор похожего >>
35. На рисунке изображены графики функций f(x)=asqrt{x} и g(x)=kx+b , которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A. [Ответ: 9]	Смотреть видеоразбор похожего >>
36. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
37. На рисунке изображён график функции f(x) = asin{x}+b . Найдите b . [Ответ: 1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
38. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите a . [Ответ: 1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>
39. На рисунке изображён график функции f(x) = acos{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1]	Смотреть видеоразбор похожего >>
40. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите a . [Ответ: 2]	Смотреть видеоразбор похожего >>
41. На рисунке изображён график функции f(x) = a;tg{x}+b . Найдите b . [Ответ: −1,5]	Смотреть видеоразбор похожего >>

ЕГЭ по математике профиль

Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи в разделе контакты