Как решить первую часть егэ по профильной математике - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

7 сентября 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория к заданиям первой части ЕГЭ по математике

Задачи 1-12 профильного уровня.

→ Решение задач на проценты: 1.pdf
→ Чтение графиков: 2.pdf
→ «Теория вероятностей»: 4.pdf
→ «Уравнения»: 5.pdf
→ Планиметрия: 6.pdf
→ «Производная»: 7.pdf
→ «Стереометрия»: 8.pdf
→ «Преобразование выражений»: 9.pdf
→ Задачи с физическим содержанием: 10.pdf
→ Движение. Работа. Смеси. Прогрессия: 11.pdf
→ Максимум (минимум) функции. Наибольшее (наименьшее): 12.pdf

Авторы: Александр и Наталья Крутицких | matematikalegko.ru

Источник

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ , BC = 15, . Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

$AC=frac{BC}{tgA}=frac{15}{0,75}=20.$

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен $90^circ, , tgA=frac{9}{40}, , AC=20$ . Найдите AB.

По определению косинуса угла, $cosA=frac{AC}{AB},AB=frac{AC}{{cos A}}.$

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

${tg}^2angle { A+1=}frac{{ 1}}{{cos}^2angle { A}}.$

Отсюда ${cos}^2angle { A=}frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}angle {A=}frac{{ 40}}{{ 41}},AB=frac{20}{40}cdot 41=20,5.$

Ответ: 20,5.

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен . Тогда угол CBA равен Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^circ , поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, ${ S}vartriangle { =}frac{{1}}{{2}}{ a}cdot {b}cdot { sin}angle { C}$ . Получим:

$S=frac{1}{2}cdot 10^2 cdot sin30^circ=25$ см2.

Ответ: 25.

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^circ , угол B равен 58^circ , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^circ . Отсюда

6. B остроугольном треугольнике ABC угол равен BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^circ . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и . Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^circ и 66^circ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

$angle MCH=angle C-angle ACM-angle BCH{ =90^circ -24^circ -}left({ 90^circ -66^circ }right){=42^circ }.$

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^circ угол B равен AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^circ и

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен $frac{1}{2}cdot (180^circ -x)$ .

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

$2x=frac{1}{2}cdot (180^circ -x).$
Отсюда ${x }= 36^circ.$

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD AB=3, AD=21, $sinA=frac{6}{7}.$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

$DH=ADsinA=21cdot frac{6}{7}=3cdot 6 =18.$

Ответ: 18.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда , и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b) , его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен

Получим: , тогда a+b = 4 ,

По формуле квадрата суммы,

Отсюда квадрат диагонали , и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, $HG = EF = frac{5}{2}.$

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны $frac{5}{2}.$ Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен $4cdot frac{5}{2}=10$ .

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: $AH=frac{AB-CD}{2}=frac{26-14}{2}=6.$

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции $DH=sqrt{AD^2-AH^2}=8.$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S=frac{left ( AB+CD right )cdot DH}{2}=160.$

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

$OF=FC=frac{1}{2}DC,$

$OE=AE=frac{1}{2}AB.$

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^circ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это . Из условия мы получим, что дуга ABC равна Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

Ответ: 40.

19. Угол ACB равен. 3^circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен , так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^circ , и тогда угол ОBA равен Угол ОAB также равен 58^circ , так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга равна

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна , и тогда угол AОB равен

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника $S_{ABC}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=sqrt{16cdot 9}=12.$

Тогда

$r=frac{2cdot 12}{16}=frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна

Периметр треугольника:

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, $frac{AB}{{sin C}}=2R.$ Тогда ${sin C}=frac{1}{2}.$

Угол C может быть равен 30^circ или — ведь синусы этих углов равны $frac{1}{2}.$ Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, $frac{AB}{{sin C}}=2R.$ Тогда ${sin C}=frac{1}{2}.$

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: $r=frac{a+b-c}{2}.$ Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в sqrt{2} раз больше катета. Получим:

$newline r=frac{a+b-c}{2}=frac{2left(82+41sqrt{2}right)-sqrt{2}(82+41sqrt{2})}{2}= newline frac{164+82sqrt{2}-82sqrt{2}-82}{2}=frac{82}{2}=41.$

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10 , CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

Тогда периметр четырехугольника равен

Ответ: 52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен $frac{1}{2}cdot left ( 145^circ + 71^circ right )=108^circ.$

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^circ . Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит,

$angle AOB=180^circ -angle ABO - angle BAO = 12^circ, , n=frac{360^circ}{angle AOB}=frac{360^circ}{12^circ}=30.$

Ответ: 30.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Профильный ЕГЭ по математике состоит из двух частей.

Первая часть – это 12 простых задач, за которые дают 1 первичный балл, а вторая часть это 7 задач повышенной сложности, за которые дают разное количество баллов.

В этом посте мы подробно разберем каждую задачу первой части отдельно.

Поехали!

Примечание. Этот разбор относится к ЕГЭ 2021 года. В 2022 году из ЕГЭ первой части убрали простые задачи и сделали акцента на теории вероятностей.

ЕГЭ по математике профильный. Разбор 1-й части пробного ЕГЭ 2020

В этом видео мы разберем 12 задач первой части профильного ЕГЭ. И это чаще всего ПРОСТЫЕ задачи. Не надо их боятся!

Вы можете переходить от одной задачи к другой, используя таймкоды на самом видео или перейти в наш канал YouTube по ссылкам ниже:

00:00 Начало
00:40 Задача №1. Найти наименьшее количество бумаги, которую можно купить в офис.
03:20 Задача №2. Задача на понимание графика.
05:50 Задача №3. Найти площадь треугольника на клетчатой бумаге.
09:30 Задача №4. Теория вероятностей.
16:17 Задача №5. Показательное уравнение
18:30 Задача №6. Вписанный угол. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82 и 58 градусов. Найдите больший из оставшихся углов.
24:30 Задача №7. Производная. Найти наименьшее значение производной по графику функции.
30:30 Задача №8. Стереометрия. Найти объем.
35:27 Задача №9. Тригонометрия. Нужно знать таблицы значений синусов, косинусов и тангенсов.
39:20 Задача №10. Задача на подстановку чисел в формулу.
41:28 Задача №11. Задача на движение по течению. Одна из самых сложных задач первой части.
49:33 Задача №12. Производная. Исследование функции. Найти точку минимума функции. Самая сложная задача.
59:40 Выводы

ЕГЭ 3. Длины, площади. Геометрия на клетчатой бумаге.

Клетчатая бумага очень удобная для геометрии. В основном тем, что на ней очень легко рисовать прямые углы.

А если прямой угол достроить к какому-то отрезку, то получится прямоугольный треугольник. А для прямоугольного треугольника можно записать теорему Пифагора – и вот уже мы определили длину нашего отрезка.

И хотя в 2021 году задача на геометрию на клечатой бумаге не будет входить в ЕГЭ, она очень полезна для того, чтобы начать изучать геометрию, для понимания планиметрии.

Площадь фигуры на клетчатой бумаге – это, по сути, сколько клеточек находится внутри фигуры. Да, конечно часть клеток туда попадают не целиком.

На этом уроке мы научимся находить длины отрезков; вспомним формулы площади треугольника, параллелограмма и трапеции. И не только вспомним, но и научимся применять в задаче №3 из ЕГЭ.

А также мы узнаем ещё два универсальных способа нахождения площадей любых многоугольников – с помощью прямоугольной рамки и с помощью разрезания.

00:00 Вступление
00:39 Решение простейших задач на основы геометрии (что такое биссектриса)
07:52 Найти длину медианы, доказательство равенства двух отрезков через признак равенства треугольников (две стороны и угол между ними)
13:37 Найти длину большей высоты параллелограмма
18:30 Найти длину средней линии трапеции
22:42 Найти среднюю линию треугольника
28:13 Найти высоту треугольника
30:15 Найти расстояние от точки до прямой
32:30 Найти медиану равнобедренного прямоугольного треугольника
37:10 Найти длину отрезка
40:20 Найти гипотенузу прямоугольного треугольника (пифагоровы тройки, египетский треугольник)
43:45 Далее более сложные задачи, где стороны квадратов на клечатой бумаге не равны единице.
50:45 Найти периметр 4-угольника (стороны квадратов на клечатой бумаге не равны единице)
54:35 Еще одна задача на периметр (стороны квадратов на клечатой бумаге не равны единице)
59:25 Найти высоту трапеции (стороны квадратов на клечатой бумаге не равны единице)
01:03:50 Задача на самостоятельную работу
01:04:40 Радиус описанной окружности
01:06:46 Найти площадь четырехугольника
01:07:45 Найти площадь прямоугольного треугольника
01:09:05 Найти площадь непрямоугольного треугольника (2 способа)
01:14:25 Найти площадь непрямоугольного треугольника
01:16:20 Найти площадь непрямоугольного тупого треугольника
01:19:30 Найти площадь непрямоугольного треугольника (неудобный треугольник), с помощью описанного прямоугольника.
01:23:43 Найти площадь “неудобного” квадрата (2 способа)
01:27:20 Найти площадь “неудобного” прямоугольника (2 способа)
01:30:10 Найти площадь ромба (2 способа)
01:33:40 Найти площадь произвольной фигуры (3 способа)
01:35:20 Найти площадь трапеции (3 способа)
01:37:30 Найти площадь трапеции (через две высоты)
01:40:05 Найти площадь трапеции по формуле
01:41:08 Найти площадь параллелограмма
01:42:55 Найти площадь ромба
01:45:10 Найти площадь “некрасивого” четырехугольника
01:47:15 Не стесняйтесь отказываться от способа, который вызывает большие расчеты!

ЕГЭ 4. Теория вероятностей

20% видео – теория

Мы разберём, что такое вероятность; –
Узнаем, что можно называть случайным событием;
Рассмотрим, на какие типы можно разделить события ( Что такое совместные и несовместные события. Что такое зависимые и независимые события);
Выучим формулы, которые нужно применять для разных типов событий.

80% видео – решение задач

Мы решим 54 задачи на первом уроке и ещё 22 (посложнее) на втором.
Мы отработаем все 6 типов задач, которые могут встретиться в ЕГЭ.

00:00 Вступление
00:58 Отношение благоприятных исходов ко всем возможным исходам
01:06:15 Выводы
01:06:40 Произведение вероятностей совместных независимых событий
01:32:38 Сумма вероятностей несовместных событий
01:53:50 Комбинация правил сложения и произведения

ЕГЭ 5, 9. Логарифм и его свойства

В этом видео мы разобрали свойства логарифмов на примере решения 35 задач. Начиная от самых простых логарифмов и заканчивая сложными.

00:00 Вступление
00:34 Что такое логарифм определение логарифма
05:00 8 простых задач вида log {5}{0,2} + log {0,5}{4}
09:09 Найти значение выражения: 7*5^(log {5}{4})
29:50 Сумма логарифмов с одинаковым основанием log {3}{8,1} + log {03}{10}
35:10 Сумма логарифмов с одинаковым основанием – правило №1
35:50 Еще пример на сумму логарифмов log {5}{40} + log {5}{1/8}
37:20 Разность логарифмов log {5}{60} – log {5}{12}
38:55 Разность логарифмов в общем виде
40:00 Логарифм от 1 с любым основанием = 0
40:50 Найти значение выражения log {0,3}{10} – log {0,3}{3}
43:00 Усложняем… деление логарифмов (log {3}{18} /(2 + log {3}{2})
47:30 Сумма и разность логарифмов (правило №2 и №3)
48:25 Правило №4 степень аргумента…
50:10 Три примера на логарифм, где аргумент находится в степени. log {2}{2^3}, lg {10}
53:50 Несколько более сложных задач из ЕГЭ на логарифмы
01:36:20 Найдите значение выражения: (1 – log {2}{12} )(1 – log {5}{12} )

ЕГЭ 5,9 Свойства степеней и логарифмов – продвинутый уровень

Решая логарифмические и показательные неравенства, почти всегда приходится упрощать сложные выражения.

А для этого нужно хорошо знать (и уметь применять) свойства степеней и логарифмов.

На этом видео мы повторим все эти свойства (которые мы выучили в предыдущем видео).

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но на этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой – почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую – прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 7. Геометрический смысл производной

Задачи по производной на ЕГЭ считаются сложными, но на самом деле это не так. Они будут сложными в институте. А пока, на этой теме можно получить легкие баллы на ЕГЭ. Но для этого нужно разобраться.

Чем мы и сейчас займемся! Это видео – первый вебинар нашего курса по производной.

На нем мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5.

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ.

Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – углы, расстояния. Комбинированные тела

На этом видео мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии – расстояния и углы в пространстве.

ЕГЭ 9. Тригонометрическая окружность, табличные значения

На этом видео мы узнаем, что такое тригонометрическая окружность и насколько она важна для тригонометрии.

Мы увидим, что она – основной инструмент в тригонометрии: с её помощью можно вывести любую формулу и найти любые значения.

Мы поймем, как “работает” окружность – а значит, поймём тригонометрию в целом.

ЕГЭ 11. Задачи на проценты и задачи на растворы, смеси и сплавы

В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы – на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении.

Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12).

Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений.

Также мы научимся решать сложные задачи на проценты – в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки.

Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической” задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).

Линейные уравнения. 65 решенных уравнений

Цель урока – научиться решать линейные уравнения любого уровня сложности.

Линейные уравнения – основа всей алгебры. Поэтому, эта тема настолько важна: научитесь решать линейные уравнения, и вам будет намного проще осваивать всё остальное.

Приёмы, которые мы узнаем на этом уроке, применяются не только в линейных, но во всех типах уравнений, от квадратных до логарифмических. Все приёмы будем разбирать на конкретных примерах и сразу же отрабатывать.

Мы решим 65 разных уравнений, разберём все возможные типы линейных уравнений.

Мы научимся:

приводить подобные слагаемые;
“переносить” слагаемые через знак равно;
избавляться от коэффициентов (и заодно узнаем, что это такое – коэффициент:);
раскрывать скобки (в том числе, если перед скобками минус);
справляться с дробями в уравнениях

Выделение полного квадрата

Это самое сложное и важное умение, относящееся к формулам сокращенного умножения.

Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла..

В общем, метод выделения полного квадрата – бесценный навык.

Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач

Цель этого видео в том, чтобы вы тему “Формулы сокращенного умножения” закрыли полностью, чтобы научились решать любую задачу на ЕГЭ.

Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто пригождаются в задачах №13 и 15.

А в 18 задаче без них вообще нечего делать.

Для этого вы, вместе с репетитором Алексеем Шевчуком, решите 119 задач, просматривая это видео.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж – c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Источник

Профильный уровень ЕГЭ по математике, в отличие от базового, более сложный и его должны сдавать выпускники, планирующие поступать в вузы на технические, инженерные, экономические специальности.

Задания в экзаменационной работе обычно выстроены от простого к сложному и первое задание это, как правило, самое легкое, как бы разминочное. Так и Задание 1 ЕГЭ по профильной математике – это задание базового уровня на знания элементарной математики, представляющее собой простейшую задачу на несложные арифметические действия.

• Вид задания — текстовая задача.

• Тип — с кратким ответом.

• Сложность — базовая.

• Максимальное количество получаемых баллов — 1.

• Период выполнения — 120 секунд.

Необходимые знания

1-е Задание по профильной математике — это текстовая задача базового уровня сложности. Ответ должен быть дан в краткой форме в виде целого числа или конечной десятичной дроби, оценивается в 1 балл.

Для выполнения задания необходимо знать:

арифметические действия;
простые и десятичные дроби и действия с ними;
проценты;
пропорции;
перевод одних единиц измерения в другие;
построение математической модели задачи;
интерпретация результата решения задачи;
учет реальных ограничений в интерпретации результата.

5 типов заданий

Наиболее часто встречаются задания пяти типов:

задачи, связанные с жизненными ситуациями (определение времени, веса, стоимости и т.д.);
на вычисление процентов;
на округление результата в большую или меньшую сторону;
на пропорции;
различные комбинации четырех предыдущих вариантов.

Опыт подготовки к ЕГЭ прошлых лет показал, что у учащихся часто возникают трудности с решением задач на перевод из одних единиц измерения в другие (часы в сек., км в см, кг в гр. и т. п.). Следует обратить внимание на то, что часы и минуты считаются не в десятичной системе, ведь в часе – 60 минут, а в минуте – 60 секунд. Наиболее эффективным способом подготовки к профильной математике являются курсы «Уникум» РУДН по математике. Здесь вы получите разбор всех типов заданий, теорию и практику, пробные варианты ЕГЭ на протяжении всей подготовки. Преподаватель курсов, в том числе, сделает разбор 1-го задания ЕГЭ по математике профильного уровня.

Примеры

Пример 1

Автомобиль проехал 80 миль, в 1 миле 1609,34 метров. Сколько километров проехал автомобиль? Ответ округлить до целого значения.

Решение:

Определяем сколько км в 1 миле: 1 миля=1609,34 м:1000 м=1,60934 км

Сколько км проехал автомобиль: 80 миль*1,60934 км=128,7472 км

Округляем до целого значения по правилам математического округления: 128,7472 км

Ответ: 129

Пример 2

В магазине по акции продаются шоколадки. Обычная цена 1 шоколадки 35 рублей. По акции 3 шоколадки продаются по цене 2-х. Какое максимальное количество шоколадок может по акции приобрести покупатель, если он готов потратить на них не более 300 рублей?

Решение:

Определяем стоимость 3 шоколадок по акции: 2 шок.*35 руб.+1 шок.*0 руб.=70 руб.

При продаже по акции 3 шоколадки являются одной товарной позицией. Определим, сколько таких товарных позиций можно купить на 300 руб.: 300 руб.:70 руб.=4,29

Округляем до целого, т.к. шоколадки продаются только по 3 шт.: 4*3 шок.= 12 шок.

Ответ: 12

Пример 3

Площадь стен в ванной составляет 23,8 м2. Сколько понадобится пластиковых панелей для отделки стен, если панель имеет размер 40 Х 120 см.

Решение:

Переведем размеры 1 панели из см в м: 40 см:100=0,4 м и 120 см:100=1,2 м

Площадь 1 панели в м2: 0,4м*1,2м=0,48 м2

В 23,8 м2 уложится: 23,8 м2:0,48 м2=49,58 шт.

Поскольку панели продаются целиком, для покрытия всей площади понадобится 50 панелей.

Ответ: 50

Пример 4

Средняя скорость полета самолета составляет 360 км/час. Определить его среднюю скорость в м/сек.

Решение:

Переводим км в метры: 360*1000 м=360 000 м

Часы в минуты: 1 час=60 мин, минуты в секунды: 60 мин=60*60сек= 3600 сек

Определяем скорость: 360 000 м:3600 сек=100 м/сек

Ответ: 100

Пример 5

Поезд отправился из Самары в Москву в 22 часа 10 минут (время московское) и прибыл в Москву в 10 часов 10 минут на следующие сутки. Сколько часов поезд находился в пути?

Решение:

В день отбытия из Самары поезд был в пути: 24 ч-22 ч 10 мин=23 ч 60 мин–22 ч 10 мин=1 ч 50 мин

В день прибытия поезд был в пути: 10 ч 10 мин

Общее время в пути: 1 ч 50 мин+10 ч 10 мин=11 ч 60 мин=12 ч

Ответ: 12

Пример 6

Олег живет в 9-этажном многоподъездном доме. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Олег живёт в квартире №81. Укажите номер подъезда, в котором живёт Олег?

Решение:

Количество квартир в одном подъезде: 9 * 4=32

Значит квартиры распределяются по подъездам так:

1-й подъезд – с 1-й по 32-ю

2-й – с 33-й по 64-ю

3-й – с 65-й по 96-ю

Квартира №81 находится в 3-м подъезде

Ответ: 3

В Задании 1 профильной математики как правило встречаются задачи на действия с дробями в том или ином виде.

Действия с дробями

Для того, чтобы получить правильный ответ на 1 задание ЕГЭ по математике, теорию нужно знать в первую очередь. Сложности у сдающих ЕГЭ возникают с дробями и задачами, где представлены дроби. Дробью называется форма представления числа. Сама дробная черта означает деление. Делимое — это числитель дроби, знаменатель — делитель. С дробями можно делать все то, что и с обычными числами: делить, умножать, складывать, вычитать.

Сложение дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример: сложить дроби

Числители 1-й и 2-й дроби складываются, знаменатель остается неизменным

Сложение дробей с различающимися знаменателями:

Пример: сложить дроби

Сначала дроби нужно привести к общему знаменателю, таким знаменателем является произведение знаменателей 1-й и 2-й дроби, а числитель 1-й дроби умножается на знаменатель 2-й, числитель 2-й дроби на знаменатель 1-й. Затем числители складываются:

Вычитание дробей проводится аналогично сложению. Просто числители не складываются, а вычитаются.

Умножение дробей

Пример: перемножить дроби:

Просто перемножаются числители и знаменатели

Деление дробей

Пример: разделить

Деление заменяем на умножение на дробь обратную дроби, на которую делим

Как видите, задачи из Задания 1 по профильной математике легкие, на знания математики из курса младших и средних классов, что, однако не отменяет необходимость освежить в памяти эти знания и еще раз порешать эти несложные задачи. Особенно полезно решать реальные варианты заданий прошлых лет под контролем опытных преподавателей. А такую возможность и дают подготовительные курсы «Уникум» РУДН по математике.

Источник

Представлено: текстовой задачей.
Тип задания: с кратким ответом.
Уровень сложности: базовый.
Количество баллов: 1.
Примерное время на выполнение: 2 минуты.

Предполагается, что большинство выпускников, сдающих математику профильного уровня, способны выполнить первое задание устно.

Необходимые для его выполнения знания ученик должен усвоить уже к 5-6 классу. А именно:

арифметические действия;
десятичные дроби;
округление десятичных дробей;
перевод одних единиц измерения в другие;
проценты;
пропорции;
построение математической модели задачи;
интерпретация результата решения задачи;
учет реальных ограничений в интерпретации результата.

В основном встречаются задания пяти типов:

бытовые задачи (необходимо что-то посчитать: время в пути, стоимость товара, расход электроэнергии и т.д.);
на округление результата с избытком или недостатком с учетом реальных ограничений (например, сколько булочек можно купить на 100 рублей – округляем с недостатком, а сколько потребуется для ремонта рулонов обоев – с избытком);
на вычисление процентов (сколько будет стоить товар со скидкой, сколько процентов учащихся успешно сдали экзамены, и т.д.)
на пропорции (сколько таких же книг можно купить на другую сумму, сколько времени потребуется на преодоление другого расстояния с той же скоростью, и т.д.)
различные комбинации четырех предыдущих вариантов.

Труднее всего выпускники справляются с заданиями, где нужно посчитать время или перевести единицы из одних в другие. Важно помнить, что время считается не в десятичной системе (в сутках 24 часа, а в часе 60 минут). При решении первого задания иногда требуются дополнительные знания, например, понятие о часовом времени. Однако все вполне решаемо.

Примеры заданий ЕГЭ по математике

Пример №1

Полет самолета происходит на высоте 39000футов. 1 фут равен 30,5 см. Найдите высоту полета в метрах. Ответ округлите до целых.

Решение: Вместо фута подставим равную величину в сантиметрах, затем сантиметры переведем в метры
39000футов=39000*30,5см=1189500см=1189500*0,01м=1189,5м
В данной задаче округление производим по правилу математического округления.
1189,5м≈1190м

Ответ: 1190

Пример №2

Спортсмен пробежал 500м за 1 минуту 12 секунд. Найдите его среднюю скорость. Ответ дайте в километрах в час.

Решение: Сначала переведем 1 минуту 12 секунд в секунды.
1мин+12с= 60с+12с=72с
Так как среднюю скорость надо дать в км/ч, можем поступить двумя способами.
1) Сначала вычислить скорость в м/с и затем перевести в км/ч.
2) Перевести время в часы, расстояние в километры и затем вычислить скорость.

В данной задаче во втором способе вычисления оказываются проще.
500м=500*0,001км=0,5км
72с=72*(1/3600)ч=0,02ч
0,5 км/0,02ч=25км/ч

Ответ: 25

Пример № 3

Пакет молока стоит 45 рублей. В первой половине дня для пенсионеров предусмотрена скидка в размере 10%. Сколько рублей заплатит пенсионер за 2 пакета молока в 11 часов утра?

Решение: Сначала определяем, получит ли пенсионер скидку. 11 часов утра – время до обеда, значит получит. Дальше возможны три способа решения.

1 способ: Определяем стоимость пакета молока в процентах
100-10=90%
Находим стоимость пакета молока в рублях
45р*0,9=40,5р
Вычисляем стоимость двух пакетов молока
40,5р*2=81р

2 способ: Находим размер скидки на один пакет
45р*0,1=4,5р
Определяем цену 1 пакета молока со скидкой
45р-4,5р=40,5р
Вычисляем стоимость 2 пакетов
40,5р*2=81р

3 способ: Находим стоимость двух пакетов без скидки
45р*2=90р
Определяем размер скидки на два пакета молока
90р*0,1=9р
Вычисляем стоимость покупки
90р-9р=81р

Ответ: 81

Пример №4

Оптовая цена общей тетради составляет 40 рублей. Розничный магазин продает тетради с наценкой 20%. Сколько тетрадей сможет купить школьник, имея 570 рублей?

Решение: Находим наценку в рублях
40р*0,2=8р
Вычисляем розничную стоимость тетради
40р+8р=48р
Определяем количество тетрадей
570/48=11,875
По смыслу ответ округлить надо в меньшую сторону, так как на 12-ую тетрадь денег недостаточно.

Ответ: 11

Пример №5

Для участников конференции закупается чай. В каждой упаковке 100 пакетиков чая. За день расходуется 130 пакетиков. Какое количество упаковок необходимо закупить, если конференция продлится 4 дня.

Решение: Находим необходимое количество пакетиков чая
130пакетиков*4дня=520пакетиков
Находим нужное количество упаковок
520пакетиков/100пакетиков в упаковке= 5,2 упаковки/ По смыслу этого задания результат надо округлить в большую сторону, т.к. 5 упаковок не хватит.

Ответ: 6

Пример №6

Поезд Москва-Нижневартовск отправляется в 13:25 и прибывает на следующий день в 12:25 по местному времени. Сколько часов поезд находится в пути, если время в Нижневартовске на два часа опережает московское. Ответ дайте в часах

Решение:
Переводим время в Нижневартовске в московское
12ч 25мин+2ч=14ч 25мин
Вычисляем время в пути с учетом, что поезд прибывает через сутки
14ч 25мин+24ч-13ч 25мин=25ч

Ответ: 25

Первое задание обычно не вызывает затруднений. Однако в нем бывает довольно много ошибок, вызванных банальной невнимательностью. Прежде, чем записать ответ, прочитайте еще раз задачу. Что требуется найти? Убедитесь, что вы нашли именно то, что спрашивается в задаче, и после этого записывайте ответ.

Источник

: ЕГЭ по математике профиль

Материал для отработки заданий №1 в ЕГЭ по профильной математике — теория и практика.

Задание №1 в варианте ЕГЭ по математике профильного уровня – одно из самых легких. И тем не менее ученики часто ошибаются, решая такие задачи. Почему?

Потому что не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку.

Внимательно читайте условие и проверяйте решение.

Задачи в разъяснениях специально подобраны так, чтобы представить все возможные типы заданий.

Автор: Алькаева Лариса Рахимовна

→ скачать конспект

→ скачать практические задания

Виды задач в задании №1:

— вычисления, простейшие уравнения и пропорции;

— задачи на округление (с недостатком, с избытком);

— задачи на проценты

Источник информации: vk.com/club169850563

Связанные страницы:

Источник

Профильная математика — самый популярный предмет по выбору в 2021 году: этот экзамен будут сдавать почти 408 тысяч выпускников. Разбираемся, в чём особенность каждого задания экзамена и как сдать ЕГЭ на максимальный балл.

Кто сдает профиль по математике

Профильную математику сдают те выпускники, которые планируют поступать на технические специальности и некоторые направления в области экономики, менеджмента, социологии и геологии. С полным списком подходящих специальностей можно ознакомиться на сайте любого вуза.

Остальные школьники могут ограничиться экзаменом базового уровня, но в этом году и его сдавать не нужно.

Профиль от базы отличается структурой, заданиями и критериями оценивания. Разберём форму экзамена, который состоит из 19 заданий и двух самостоятельных частей.

Что ждёт в первой части экзамена по профильной математике

В этом блоке заданий с кратким ответом экзаменаторы проверяют знание всей школьной программы по математике. Несмотря на то, что первая часть экзамена гораздо легче второй, правильно решённые 12 заданий принесут выпускнику 62 балла в копилку ЕГЭ.

В заданиях № 1, № 2 и № 5 можно встретить несложную текстовую задачу. Поэтому предлагаем повторить округление с недостатком и избытком, а также алгоритм решения задач на проценты, чтение графиков и диаграмм.

Для решения заданий № 3, № 6 и № 8 нужно хорошо помнить основы геометрии. Темы, которые могут встретиться в этих задачах, касаются координатной плоскости, планиметрии и стереометрии.

Задача № 4 всегда относится к теории вероятностей. Чтобы справиться с заданием на максимальный балл, нужно вспомнить классическое определение вероятности и теорему о вероятностях событий.

Наверное, самое неоднозначное задание первой части экзамена — задача № 7. Все зависит от варианта: условие может быть как очень простым, так и непонятным. Для решения задания необходимо знать геометрический и физический смысл производной, а также уметь выводить первообразную.

Задание № 9 требует от выпускника умения совершать действия со степенями и преобразовывать числовые и буквенные выражения. Эта тема редко вызывает проблемы, но при решении этой задачи нужно быть особенно сконцентрированным, чтобы не пропустить знак или цифру.

В заданиях № 10 и № 11 проверяют навык решения текстовых задачи на движение и задач с прикладным содержанием на неравенства.

В задание № 12 нужно будет найти наибольшее и наименьшее значение функций. Чтобы его выполнить, повторите степенные и иррациональные функции, исследование частных и произведений, а также логарифмические и тригонометрические функции.

Как справиться со второй частью профиля по математике

Задания второй части требуют от выпускника обоснованного и подробного решения. Обычно эти задачи касаются не одного блока тем, а сразу нескольких.

В задании № 13 вам встретится комбинаторное уравнение, которое может включать следующие типы:

Иррациональные уравнения;
Рациональные уравнения;
Тригонометрические уравнения, разложение на множители;
Логарифмические и показательные уравнения;
Тригонометрические уравнения;
Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ;
Уравнения смешанного типа.

Задание № 14 представляет собой стереометрическую задачу. Чтобы решить её, нужно потренировать каждый тип такой задачи. Обычно они касаются многогранников или круглых тел и проверяют умение находить углы и расстояние между прямыми и плоскостями, от точки до прямой и до плоскости.

В задании № 15 нужно будет решить неравенства. Чтобы написать структурированное решение, повторите, как решаются логарифмические уравнения, смешанные, с модулями и логарифмами, содержащие радикалы.

Задача № 16 всегда относится к планиметрии. Это задание проверяет умение находить элементы окружности в соединении с системой окружностей, треугольниками и четырёхугольниками. Вспомните все свойства многоугольников и окружности для решения этой задачи.

Задание № 17 относится к задачам на оптимальный выбор в финансовой сфере. Выпускнику могут предложить найти процентную ставку по кредиту или определить сумму вклада и платежа. Чтобы решить эту задачу, нужно быстро считать в уме и хорошо помнить алгоритм вычисления процентов.

Задача № 18 на параметр вызывает у школьников больше всего проблем и вопросов, многие даже не приступают к ней на ЕГЭ. Для выполнения этого задания необходимо развитое аналитическое мышление и умение решать все типы уравнений, неравенств и функций.

Олимпиадное задание № 19 требует нестандартного подхода и логического мышления. Справиться с ним поможет знание арифметической и геометрической прогрессии.

Советы, которые помогут сдать ЕГЭ по профильной математике 2021

Повторите теорию. Накануне экзамена структурируйте все знания в голове: повторите определения, табличные значения и формулы. Некоторую информацию вы получите на экзамене в виде раздаточного материала. Это, конечно, поможет в ответственный момент, но лучше повторить все формулы заранее, чтобы на ЕГЭ не тратить время на их преобразование и вывод.

Начните с первой части. Несмотря на то, что задания второй части сложнее и требуют больше времени на решение, начать стоит всё же с первой части. Во-первых, трудные задачи сразу могут поставить вас в тупик, тогда нервное напряжение скажется на результате. Во-вторых, не стоит недооценивать первую часть, ведь за первые 12 заданий можно получить 63 балла из 100!

Обращайте внимание на детали. Большинство выпускников отлично знают формат экзамена и все типовые задачи, но условие задания всё же важно дочитывать до конца. Так в задаче № 7, например, важно определить, какой график вам дан — производной или функции. А ответ текстовой задачи в неверных единицах измерения может стоить драгоценных баллов.

Оставьте время на проверку. В задании № 9 нужно уделить внимание арифметическим знакам, особенно если в варианте попались тригонометрические функции. А в № 13 — выделить верное ограничение. Часто выпускники делают ошибки в обычных расчётах, поэтому перепроверьте числа в задаче на экономику и движение.

Очень важно правильно занести информацию в бланк, ведь ответ другого формата просто не засчитают за верный. Поэтому обратите внимание, в какой графе вы оставили отрицательный знак и верно ли перевели обычную дробь в десятичную.

Не пугайтесь второй части. Не бойтесь приступить к заданиям второй части. Начните с того, в чём разбираетесь лучше всего. Обычно задания № 13 и № 15 не вызывают трудностей. Если ваш конёк — геометрия, начните с № 14 или № 16. Если вы мастер в алгебре, решайте задачи на параметр и свойства чисел — № 18, 19.

Находите время на отдых. Даже в период активной подготовки к экзаменам нужно находить время на отдых. Иначе вы рискуете забыть базовые правила в самый ответственный момент. Составьте комфортное расписание подготовки и даже в преддверии ЕГЭ не забывайте про сон — очень важно давать мозгу время осмыслить и уложить информацию.

Источник