Говорят, что задание 18 Профильного ЕГЭ по математике (на числа и их свойства) решить невозможно. Но это не так. Можно научиться! Можно сделать первый шаг – прочитать эту статью и узнать о секретах решения задачи 18.
Еще говорят, что это задача «на смекалку». Но и это не так. Дело не в загадочной «смекалке», а в знании определенных приемов, ключиков, хитрых инструментов. Некоторые из них вы сейчас увидите. Пусть это будет первое знакомство с нестандартными, ни на что не похожими задачами на числа и их свойства.
4. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 5 дней?
б) Могло ли это произойти за 9 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?
Пусть в первый день Маша делает х фотографий, а Наташа у фотографий.
На второй день: Маша 
, а Наташа 
фотографию.
В n-ный день Маша сделает 
, а Наташа 
фотографию.
По условию, число фотографий, которые ежедневно делает Маша, образует арифметическую прогрессию с разностью 1. Число Наташиных фотографий также образует арифметическую прогрессию. Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии:
За n дней Маша сделает 
, а Наташа 
фотографий. Разность этих величин 
Мы получили, что 
.
а) Случай n = 5 возможен. Это значит, что то 
. Каждый день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша.
б) Случай n = 9 невозможен. Уравнение 
не имеет целых решений, поскольку 935 не делится на 9.
Это один из приемов решения нестандартных задач. Часто мы получаем уравнение с двумя (тремя, четырьмя…) переменными. Помогает то, что эти переменные – натуральные. Мы внимательно смотрим на полученное уравнение. Если его левая часть положительна, то и правая должна быть положительна. Если левая четна, то и правая должна быть четна. Если левая часть кратна 9, то и правая часть должна быть кратна 9.
в) В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий.
Еще один лайфхак. В задачах на числа и их свойства строгие неравенства лучше заменять нестрогими:
.
Найдем, какое максимальное количество фотографий могла при этом сделать Наташа.
У нас есть единственное уравнение:
. Поскольку 
– целое, n должно быть делителем числа 935. Разложим 935 на множители: 935 = 5∙11∙17.
Числа 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 – делители числа 935.
При этом 
невозможно, поскольку по условию .
Составим таблицу для значений n, равных 1, 5, 11 и 17.
 |
 |
 |
 |
Количество фотографий,сделанных Наташей за дней: |
|---|---|---|---|---|
| 1 |  |
935 |  |
 |
| 5 |  |
187 |  |
 |
| 11 |  |
85 |  |
 |
| 17 |  |
55 |  |
 |
Количество фотографий, которые могла сделать Наташа, не превышает 1632. Если 
, то 
.
Ответ: 1632.
Посмотрите, как мы действовали. Сначала сделали «заготовку» для всех трех пунктов. Да, такой прием тоже часто применяется в нестандартных задачах.
Получили уравнение . Из одного этого уравнения (как в сказке про суп из топора) мы получаем всё, что нам нужно. В пункте (в) есть перебор вариантов, но не хаотичный, а умный. Иначе перебирать варианты можно бесконечно.
Вот еще одна задача на числа и их свойства:
2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа A за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа B будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа B входит на 7 человек
меньше, чем в автобус типа A?
Помните, как мы решали текстовые задачи? Мы записывали данные задачи в таблицу. Сделаем так же.
| Тип автобуса | Сколько автобусов | Сколько рейсов | Сколько человек в автобусе |
|---|---|---|---|
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же.
Оно равно 
. Отсюда 
.
Выразим одну из переменных через другую: 
Мы видим, что переменная n и в числителе, и в знаменателе дроби. Оценить m трудно, правда? Чтобы проще было это сделать, выделим в дроби 
целую часть.
Еще один прием решения нестандартных задач – выделение целой части. Это помогает сделать оценку какой-либо величины.
.
Поскольку m – натуральное число (количество школьников в автобусе типа В), выражение в правой части также должно быть целым положительным. Значит, 42 делится на 
без остатка.
Выпишем делители числа 42. Это 1; 2; 3; 6: 7; 14; 21; 42.
Заполним таблицу. Значения m вычисляем по формуле 
, а общее количество школьников – как 
.
 |
|
|
Общее количество школьников |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 56 | 504 |
| 2 | 5 | 35 | 420 |
| 3 | 6 | 28 | 420 |
| 6 | 9 | 21 | 504 |
| 7 | 10 | 20 | 540 |
| 14 | 17 | 17 | 816 |
| 21 | 24 | 16 | 1104 |
| 42 | 45 | 15 | 1980 |
Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно 1980.
Конечно, мы выбирали довольно простые задачи. И конечно, есть и другие приемы их решения.
Например, метод «Оценка плюс пример». Мы разбираем множество нестандартных задач на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике, задание 18. Секреты решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Мы знаем, что в ЕГЭ по математике вторая часть кажется значительно сложнее первой. Но особенно много вопросов вызывает задание №18. Многие думают, что решить его под силам только олимпиадникам.
Но так ли это?
Давай попробуем разобраться, почему эта задача кажется такой необычной и сложной. А еще разберемся, как ее решать!
Формат задачи
По формату задача абсолютно стандартная. Она состоит из нескольких пунктов, за каждый из которых можно получить баллы. Давай посмотрим подробнее:
Пункт А
В этой части задачи в большинстве случаев надо дать ответ на вопрос о возможности или невозможности какой-то ситуации. Если ты отвечаешь, что ситуация возможна, значит, ты можешь подтвердить ее каким-то примером.
Кстати, чаще всего эта часть решается довольно легко. Найти пример не составит труда.
Главное — не торопиться и внимательно прочитать условие задачи!
Пункт Б
Этот пункт очень схож с пунктом А. Но очень часто решение пункта Б сводится к тому, что ситуация невозможна. И тебе остается только это доказать. Но не забудь, что невозможность ситуации доказывается в общем виде, а не на конкретном примере.
А как доказать? Обычно такое доказывается с помощью рассмотрения оценок, делимостей, ограничений и т.д.
Но это только звучит сложно и страшно. Если немного потренироваться, ты научишься очень быстро решать такие задачи.
Пункт В
Последний пункт чуть-чуть посложнее, но и получить за него можно 2 балла! С наибольшей вероятностью в пункте В нужно будет найти наименьшее или наибольшее значение величины, связанной с условием задачи.
Тебе нужно будет сделать оценку на искомую величину и привести пример, когда эта оценка выполняется. За каждый правильно выполненный шаг ты получишь по 1 баллу.
Алгоритм решения задачи
К сожалению, эту задачу не получится решить, подобрав типовой алгоритм. Тут придется поразмышлять. Но от этого интереснее!
Мы подготовили для тебя подборку тем, которые пригодятся тебе для решения №18.
Разбирая задание №18, ты потренируешь свой мозг и научишься решать нестандартные задачи.
Если ты переживаешь, оставь эту задачку напоследок. Решишь ее, когда останется время.
Ну а раз ты здесь, значит, ты хочешь получить высокие баллы и максимально в этом заинтересован!
И мы знаем, что у тебя все получится!
2022-03-21 17:59
ЕГЭ
Математика
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.
2
Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим. Начинающий или его соперник победит в этой игре, как бы ни играл партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) у каждого по две горошины;
б) у каждого по три горошины;
в) у каждого по N горошин.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.
3
Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть
а) 34;
б) 35;
в) 56 игр?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.
4
Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает «тепло»; в остальных случаях Леша отвечает «холодно». (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ «тепло», а в остальных случаях услышит «холодно».)
а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).
в) А за 22 попытки получится?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.
5
У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.
а) При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?
б) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?
в) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 4.
Пройти тестирование по этим заданиям
Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
- Начать заниматься бесплатно.
Купить доступ к этой задаче в составе
экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.
Блок 1. Введение
| 1.1 | Решите уравнения с параметром а: а) ax = − 5; б) (a−1)x = −3; в) (a−2)x = 2−a г) (a−2)x = (a−2)(a+3) |
Смотреть видеоразбор |
| 1.2 | Определите при каких значениях параметра а: а) уравнение |x| = a−3 имеет один корень; б) уравнение |x| = a2−5 не имеет корней. |
Смотреть видеоразбор |
| 1.3 | Функция задана формулой y=x^2+ax+b. Найдите a и b, если: а) график функции проходит через точки (0;3) и (-1;8); б) наименьшее значение, равное −4, функция принимает при x = 1 |
Смотреть видеоразбор |
Блок 2. Координатно-параметрический метод
| 2.1 | Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение frac{|3x|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0 имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 2.2 | Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений begin{cases} frac{xy^2-3xy-3y+9}{sqrt{x+3}}=0 \ y=ax end{cases} имеет ровно два различных решения | Смотреть видеоразбор |
| 2.3 | Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение frac{x^2-4x+a}{5x^2-6ax+a^2} = 0 имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 2.4 | Найти все значения а, при каждом из которых уравнение sqrt{3x-2} cdot ln(x-a) = sqrt{3x-2} cdot ln(2x+a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] | Смотреть видеоразбор |
| 2.5 | Найти все значения а, при каждом из которых уравнение (4^x-3 cdot 2^x + 3a — a^2)cdotsqrt{2-x} = 0 имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 2.6 | Найти все действительные значения величины h , при которых уравнение x(x+1)(x+h)(x+1+h) = h^2 имеет 4 действительных корня | Смотреть видеоразбор |
Блок 3. Преобразование графиков
| 3.1 | Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 2ax+|x^2-8x+7| больше 1 | Смотреть видеоразбор |
| 3.2 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (|x-2|+|x+a|)^2-7(|x-2|+|x+a|)-4a(4a-7) = 0 имеет ровно два корня | Смотреть видеоразбор |
| 3.3 | Максимальное значение выражения x + 2y при условии log_{frac{x^2+y^2}{2}}ay ge 1 равно 4. Чему равно положительное значение параметра a? | Смотреть видеоразбор |
| 3.4 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение f(x) = |a+2|sqrt[3]{x} имеет 4 решения, где f — чётная периодическая функция с периодом T=frac{16}{3}, определённая на всей числовой прямой, причём f(x)=ax^2, если 0 le x le frac{8}{3} | Смотреть видеоразбор |
Блок 4. Системы с параметром
| 4.1 | Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система begin{cases} (|x|-5)^2+(y-4)^2=9 \ (x+2)^2+y^2=a^2 end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 4.2 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} frac{(y^2-xy-4y+2x+4)sqrt{x+4}}{sqrt{5-y}} \ a=x+y end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 4.3 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} (x-2a+3)^2+(y-4)^2=2,25 \ (x+3)^2+(y-a)^2=a^2+2a+1 end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 4.4 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ((x-5)^2+(y-3)^2-9)((x-2)^2+(y-1)^2) le 0 \ y=ax+a+3 end{cases} не имеет решений | Смотреть видеоразбор |
Блок 5. Квадратичная функция
| 5.1 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2+ax+1}{x^2+x+1}| lt 3 выполняется при всех значениях x | Смотреть видеоразбор |
| 5.2 | При каких значениях p вершины парабол y=-x^2+2px+3 и y=x^2-6px+p расположены по разные стороны от оси x? | Смотреть видеоразбор |
| 5.3 | Найти все значения a, при каждом из которых f(x)=x^2-|x-a^2|-5x имеет хотя бы одну точку максимума | Смотреть видеоразбор |
| 5.4 | Найдите все значения параметра a при каждом из которых множество значений функции y=frac{3x+3-2ax}{x^2+2(2a+1)x+4a^2+4a+2} содержит отрезок [0;1] | Смотреть видеоразбор |
| 5.5 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{5a-15x+ax}{x^2-2ax+a^2+25} содержит отрезок [0;1] | Смотреть видеоразбор |
| 5.6 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2+x-2a}{x+a}-1| le 2 не имеет решений на интервале (1;2) | Смотреть видеоразбор |
| 5.7 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение frac{a^3-(x+2)a^2+xa+x^2}{a+x} = 0 имеет ровно один корень | Смотреть видеоразбор |
| 5.8 | Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{cos{x}-a}{cos{2x}-4}содержит число −2 | Смотреть видеоразбор |
| 5.9 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4cos{x}-3-a)cos{x}-2,5cos{2x}+1,5=0 имеет хотя бы один корень | Смотреть видеоразбор |
| 5.10 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4^{|x|}=frac{7a}{a-5}cdot 2^{|x|}-frac{12a+17}{a-5} имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 5.11 | Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства frac{a-(a^2-2a-3)cos{x}+4}{sin^2{x}+a^2+1} lt 1 содержит отрезок [-frac{pi}{3}; frac{pi}{2}] | Смотреть видеоразбор |
Блок 6. Расположение корней квадратного уравнения
| 6.1 | Найти все значения параметра a, при которых разность между корнями уравнения x^2+3ax+a^4=0 максимальна | Смотреть видеоразбор |
| 6.2 | Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log_{1-x}(a-x+2) = 2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (-1;1] | Смотреть видеоразбор |
Блок 7. Аналитический метод
| 7.1 | При каких значениях а корни уравнения |x-a^2|=-a^2+2a+3 имеют одинаковые знаки? | Смотреть видеоразбор |
| 7.2 | Найти все значения параметра а, при которых неравенство x^2+2|x-a| ge a^2 справедливо для всех действительных x | Смотреть видеоразбор |
| 7.3 | Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |sin^2{x}+2cos{x}+a|=sin^2{x}+cos{x}-a имеет на промежутке (frac{pi}{2};pi] единственный корень | Смотреть видеоразбор |
| 7.4 | Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (x^2-4ax+a(4a-1))^2-3(x^2-4ax+a(4a-1))-|a|(|a|-3)=0 имеет более двух корней | Смотреть видеоразбор |
Блок 8. Функциональные методы
| 8.1 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7| имеет единственный корень | Смотреть видеоразбор |
| 8.2 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ax^2+4ax-8y+6a+28 le 0 \ ax^2-6ay-8x+11a-12 le 0 end{cases} имеет ровно одно решение | Смотреть видеоразбор |
| 8.3 | Найдите все значения параметра alpha из интервала (0; pi), при каждом из которых система begin{cases} x^2+y^2-4(x+y)sin{alpha}+8sin^2{alpha} = 2sin{alpha}-1 \ frac{x}{y}+frac{y}{x} = 2sin{alpha}+4sin^2{alpha} end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 8.4 | Найдите все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства 1 le frac{2a+x^2-4log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)}{5sqrt{18x^4+7x^2}+2a+4+(log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a+9))} состоит из одной точки и найти это решение. | Смотреть видеоразбор |
| 8.5 | Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x^6+(a-|x|)^3+2x^2-|x|+a=0 имеет более трёх различных решений. | Смотреть видеоразбор |
| 8.6 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^10+(a-2|x|)^5+x^2-2|x|+a=0 имеет более трёх различных решений. | Смотреть видеоразбор |
| 8.7 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 64x^6-(a-3x)^3+4x^2+3x=a имеет более одного корня. | Смотреть видеоразбор |
| 8.8 | Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y , удовлетворяющих неравенству 5|x-2|+3|x+a| le sqrt{4-y^2}+7 | Смотреть видеоразбор |
| 8.9 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (log_7(2x+2a)-log_7(2x-2a))^2-8a(log_7(2x+2a)-log_7(2x-2a))+12a^2+8a-4 имеет ровно два корня. | Смотреть видеоразбор |
| 8.10 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^2-10a+5sqrt{x^2+25}=4|x-5a|-8|x| имеет хотя бы один корень | Смотреть видеоразбор |
| 8.11 | Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a+2)^2 cdot log_3(2x-x^2)+(3x-1)^2 cdot log_{11}(1-frac{x^2}{2})=0 имеет решение | Смотреть видеоразбор |
| 8.12 | При каких значениях параметра a уравнение ax^6=e^x имеет одно положительное решение? | Смотреть видеоразбор |
Блок 9. Разные задачи с параметром
| 9.1 | Найти все значения параметра a, при которых уравнение sqrt{1-(x^2-4x-a^2+2a+3)^6}+sqrt{1+(x^2-4x-a^2+2a+3)^6} = 2 имеет только один положительный корень | Смотреть видеоразбор |
| 9.2 | Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=2x^3-3ax^2+5 на отрезке, заданном неравенством |x-2| le 1, не меньше, чем −3 | Смотреть видеоразбор |
| 9.3 | Найдите все значения параметра b , при каждом из которых для любого a неравенство (x-a-2b)^2+(y-3a-b)^2 lt frac{1}{2} имеет хотя бы одно целочисленное решение (x, y). | Смотреть видеоразбор |
| 9.4 | Найти все a, при каждом из которых уравнение sqrt{a-9cos^4{x}}=sin^2{x} имеет решение | Смотреть видеоразбор |
| 9.5 | Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение 3x^2-12x+3a+9=4sin{frac{4x-x^2-a-3}{2}} cdot cos{frac{x^2-2x-a-1}{2}} имеет ровно два различных решения | Смотреть видеоразбор |
| 9.6 | Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число b>a, что неравенство 21b ge 6|a+b|-3|b-2|-|a-b|-9|a^2-b+2|+16 не выполнено | Смотреть видеоразбор |
Параметрические уравнения
Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.
Способ решения параметрических уравнений
- Находим область определения уравнения.
- Выражаем a как функцию от $х$.
- В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
- Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
- Записываем ответ.
Общий вид уравнения с одним параметром таков:
$F(x, a) = 0$
При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.
Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.
ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):
1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.
${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$
2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$√{g(x)}; g(x)≥0$.
3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.
${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$
4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.
$log_{f(x)}g(x) {tableg(x) > 0; f(x) > 0; f(x)≠1;$
Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$
Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D < 0$;
Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда $D > 0$;
Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$
Тригонометрические тождества
1. $tgα={sinα}/{cosα}$
2. $ctgα={cosα}/{sinα}$
3. $sin^{2}α+cos^{2}α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^{2}α}$
$cosα=±√{1-sin^{2}α$
4. $tgα·ctgα=1$
5. $1+tg^{2}α={1}/{cos^{2}α}$
6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2}α}$
Формулы двойного угла
1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^{2}α-sin^{2}α=2cos^{2}α-1=1-2sin^{2}α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^{2}α}$
Формулы суммы и разности
$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$
$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$
Формулы произведения
$cosα·cosβ={cos{α-β}+cos{α+β}}/{2}$
$sinα·sinβ={cos{α-β}-cos{α+β}}/{2}$
$sinα·cosβ={sin{α+β}+sin{α-β}}/{2}$
Формулы сложения
$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$
$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$
$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$
$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$
Решение тригонометрического уравнения с параметром рассмотрим на примере.
Пример:
Найдите все значения параметра с, при каждом из которых уравнение $3cos2x-2sin2x=c$ имеет решение.
Решение:
Преобразуем данное уравнение к виду
$√{3^2+(-2)^2}(cos2xcosφ-sin2xsinφ)=c$
Воспользуемся тригонометрической формулой и свернем второй множитель как косинус суммы
$√{13}cos(2x+φ)=c$, где $φ=arccos{3}/{√{13}}$
Уравнение $√{13}cos(2x+φ)=c$ имеет решения тогда и только тогда, когда $-1≤ {c}/{√{13}} ≤ 1$, домножим полученное неравенство на $√{13}$ и получим
$-√{13} ≤ c ≤ √{13}$
Ответ: $-√{13} ≤ c ≤ √{13}$
Неравенства с параметром
Если имеется неравенство вида $F(a,x) ≤ G(a,x)$ то оно будет иметь одно решение, если $F'(a, x)=G'(a, x)$.
Системы уравнений:
Выделяют четыре основных метода решения систем уравнений:
- Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
- Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
- Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
- Графический метод решения: из каждого уравнения выражается $«у»$, получаются функции, графики которых необходимо построить и посмотреть координаты точек пересечения.
Логарифмические уравнения и системы уравнений
Основное логарифмическое тождество:
$a^{log_{a}b}=b$
Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠1$
Свойства логарифмов:
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$log_{а}b^m=mlog_{a}b$;
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b$.
$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
$log_a{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a, b, c, d >0, a≠1, b≠1$.
5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$
6. Формула перехода к новому основанию
$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$
При решении систем, содержащих логарифмические уравнения, часто удается, избавившись от логарифма, заменить одно или оба уравнения системы рациональными уравнениями. После этого надо выразить одну переменную через другую и после постановки получить уравнение с одной переменной. Кроме того, часто встречаются задачи на замену переменной в пределах одного или обоих уравнений системы и системы, требующие отбора решений.
Логарифмические неравенства:
1. Определить ОДЗ неравенства.
2. По свойствам логарифма преобразовать неравенство к простому виду, желательно получить с двух сторон логарифмы по одинаковому основанию.
3. Перейти к подлогарифмическим выражениям, при этом надо помнить, что:
а) если основание больше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства остается прежним;
b) если основание меньше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный;
с) если в основании находится переменная, надо рассмотреть оба варианта.
4. Решить неравенство.
5. Выбрать решения с учетом ОДЗ из п.1
При решении логарифмических неравенств с переменной в основании легче всего воспользоваться тождественными преобразованиями:
$log_{a}f > b ↔ {table (f-a^b)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$
$log_{a}f+log_{a}g > 0 ↔ {table(fg-1)(a-1)> 0; f > 0,g > 0; a > 0;$
$log_{a}f+b > 0 ↔ {table(fa^b-1)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$
Системы, содержащие показательные уравнения
Свойства степеней
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n·a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
Основные методы решения систем, содержащих показательные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – положительность выражения $a^{f(x)}$, которую полезно учитывать, вводя соответствующее ограничение при замене переменной.
Показательные неравенства, сводящиеся к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$:
1. Преобразовать показательное уравнение к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$
2. Перейти показателям степеней, при этом если основание степени меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный, если основание больше единицы – знак неравенства остается прежним.
3. Решить полученное неравенство.
4. Записать результат.
Показательные неравенства, которые можно разложить на множители или сделать замену переменной.
1. Для данного метода во всем неравенстве по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.
2. Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t>0$.
3. Получаем рациональное неравенство, которое можно решить методом интервалов путем разложения на множители выражения.
4. Делаем обратную замену с учетом того, что $t>0$. Получаем простейшее показательное неравенство $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.
Уравнения с многочленами
Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку $(х+1)$
Пример:
Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$
Решение:
В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.
Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».
$p(2x)=2х-6$
Аналогично $p(x+3)=(х+3)-6=х+3-6=х-3$
Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$
Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые
$4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х+6)=4·0=0$
Ответ: $0$
Системы иррациональных уравнений
Основные методы решения систем, содержащих иррациональные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – надо расписать ОДЗ каждого уравнения, а в конце решения выбрать решение системы с учетом ОДЗ.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду
$√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
2. Обе части уравнение возвести в квадрат
$√{f(x)}^2={g(x)}^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
3. Решить полученное рациональное уравнение.
4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решение 18 задания ЕГЭ по математике (профиль)
Разбор задания 18 ЕГЭ по математике
Задача 18 считается одной из самых сложных в профильном ЕГЭ 2023 г. по математике, однако набрать 1–2 первичных балла в ней вовсе не так уж сложно.
Согласно спецификации задание 18 имеет дело с построением математических моделей.
Традиционно задача 18 содержит в себе три подзадачи — пункты а), б) и в).
В пункте а) обычно предлагается решить несложную задачу на построение примера. За какой-либо правильный пример (а их может быть и несколько!) эксперт поставит 1 первичный балл. Особых обоснований в этом пункте не требуется, нужно лишь показать, что приведённый пример действительно удовлетворяет условию задачи.
Пункт б) существенно отличается от пункта а). В нём, как правило, требуется строго доказать, что требуемый пример построить нельзя. Стоит этот пункт тоже 1 балл.
Пункт в), оцениваемый в 2 первичных балла, уже немного сложнее. В нём требуется построение примера, обладающего в некотором смысле «экстремальными» характеристиками (например, задача на максимум или минимум выражения, принимающего дискретные значения), а также доказательство того, что именно этот пример, а не какой-то другой обладает данными характеристиками.
Рассмотрим методы решения 18 задачи:
На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?
Решение.
а) Да, может. Числа 27, 57 и 147 дают в сумме 231.
б) Предположим, что это возможно. Каждое число оканчивается на 7, а их сумма на 0. Такое возможно, если количество чисел кратно 10. Значит, таких чисел в любом случае не меньше 10.
Число, делящееся на 3, оканчивается на 7 только, если оно имеет вид 3n, где n – натуральное число, оканчивающееся на 9. Найдём сумму 10 наименьших чисел, оканчивающихся на 7:
27 + 57 + 87 + … = 3·(9 + 19 + … + 99) = 3·540 = 1620 > 1590.
Противоречие. Следовательно, требуемое невозможно.
в) Чтобы узнать последнюю цифру в сумме из n чисел, оканчивающихся на 7, нужно определить последнюю цифру в числе 7n. Последняя цифра равна 6, если n = 8, 18, … и т.д.
Найдём сумму 8 наименьших чисел, оканчивающихся на 7:
27 + 57 + 87 + …+ 237 = 3·(9 + 19 + … + 79) = 3·88·4 = 1056.
Это и будет примером в данной задаче.
Таким образом, наибольшее количество чисел на доске равно 8.
Ответ
: а) да; б) нет; в) 8.
Нетрудно убедиться в том, что в пункте а) здесь возможны и другие примеры. Так, числа
27, 87 и 117 тоже делятся на 3 и дают в сумме 231.
В пункте в) рассуждения, приводящие к тому, что количество чисел обязано оканчиваться на 8, т.е. n = 8, 18, … и т.д., называются оценкой. Однако одной лишь оценки достаточно только для получения 1 балла, ведь в реальности пример, реализующий эту оценку, может и не существовать. В данной задаче построение (единственного!) примера, реализующего эту оценку, т.е. 27, 57, …, 237, даёт ещё 1 балл в пункте в).
Если же в пункте в), подобно пункту а), ограничиться только построением примера, пусть и правильного, то без оценки это, скорее всего, приведёт к выставлению 0 баллов за пункт в).
Таким образом, типичные критерии по проверке задания 18 выглядят так:
|
Содержание критерия
|
Баллы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальный балл
|
4
|
Итак, в большинстве случаев для решения задания 19 нужно запомнить следующую структуру этой задачи:
— а) Да + пример;
— б) Нет + доказательство;
— в) Оценка + пример.
Отметим, что наиболее типичной ошибкой в этом задании является приведение только ответов, как в случае заданий с кратким ответом, не подкреплённых никакими рассуждениями. Т.е. просто за ответы а) да; б) нет; в) 8 в рассмотренной задаче никаких баллов Вы не получите.
Что требуется для успешного решения задания 18 ЕГЭ?
Если времени до ЕГЭ достаточно, то рекомендуется изучить внимательно темы, представленные в части 5 книги «Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развёрнутым ответом». Издательство «Легион».
Если времени мало, то рекомендуем
Повторить основные признаки делимости (на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11);
Изучить некоторые приёмы доказательств невозможности (от противного, принцип Дирихле, чётность–нечётность);
Повторить основные формулы, связанные с арифметической прогрессией и средним арифметическим.
Разберём пример:
