Как сдать переводной экзамен 8 класс по геометрии

Критерии
выставления оценки по итоговой аттестации по геометрии за курс 8 класса

Оценка «5», если
ученик:

—       
полно раскрыл содержание материала в объеме,
предусмотренном программой и учебником;

—       
изложил материал грамотным языком в определенной
логической последовательности, точно используя математическую терминологию и
символику;

—       
правильно выполнил рисунки, чертежи, графики,
сопутствующие ответу;

—       
показал умение иллюстрировать теоретические
положения конкретными примерами;

—       
отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов
учителя.

Возможны 1-2 неточности при освещении
второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по
замечанию учителя.

Оценка «4», если
он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один
из недостатков:

—       
в Изложении допущены небольшие пробелы, не
исказившие математическое содержание ответа;

—       
допущены 1-2 недочета при освещении основного
содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;

—       
допущена ошибка или более двух недочетов при
освещении второстепенных вопросов.

Оценка «3»:

—       
неполно или непоследовательно раскрыто содержание
материала, но показано общее понимание вопроса;

—       
имелись затруднения или допущены ошибки в
определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах,
выкладках;

—       
при знании теоретического материала выявлена
недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Оценка «2»:

—       
не раскрыто основное содержание учебного материала;

—       
обнаружено незнание или непонимание учеником
большей или наиболее важной части учебного материала;

—       
допущены ошибки в определении понятий, при
использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в
выкладках, которые не исправлены после некоторых наводящих вопросов учителя.

Пояснительная записка

к материалам для итоговой
аттестации за курс основной школы по геометрии за курс  класса

Данный
материал для итоговой аттестации по геометрии предоставлен для 9-х классов,
обучавшихся по программе Г.М. Кузнецовой, Н.Т. Миндюк, М. Просвещение 2008г.,
для общеобразовательных школ и базовому учебнику Л.С. Атанасяна, М. Просвещение
2005г. Курс общеобразовательный, Г.М. Кузнецовой, Н.Г. Миндюк, М. Просвещение
1008г. изучен в объеме 221 часов.

            Аттестационный
материал составлен на основе рекомендаций МО РФ, изложенных в пояснительной
записке к «Примерным экзаменационным билетам для проведения устного экзамена
учеников 8-х классов общеобразовательных учреждений в 2004-2005 учебном году»
(«Вестник образования» №4 за  2005 год). Кроме того при составлении билетов
были учтены рекомендации ЧИПКР0 (сборник «Итоговая аттестация в школах области
в 2000 г.) и письмо Департамента общего среднего образования МОРФ от 27.10.00
№3036/1113.

            Экзаменационные
билеты по геометрии для 9-х классов разработаны в соответствии с «Обязательным
минимумом, содержания образовательных программ для основной общеобразовательной
школы».

            Представленный
материал включает в себя 23 билета. Каждый билет состоит из 4 вопросов. 1-2
вопрос – теоретический; 3-4 вопрос – практические задания 1-2 задание отражают
содержание школьного образования по геометрии, содержат «Обязательный минимум,
содержания образовательных программ для основной общеобразовательной школы» и
проверяют уровни сформированности знаний теории. 3-4 вопросы (практические
задания) направлены на выявление уровня сформированности навыков и умений.

            При
выполнении практического задания выпускник, вправе выбрать из предложенных 4 заданий
от 1 до 2 заданий.

При
проведении устного экзамена по билетам выпускник отвечает на вопросы,
сформированные в билетах, выполняет, предложенное практическое задание. При
проведении итоговой аттестации по геометрии необходимо придерживаться следующих рекомендаций:

1.           
Собеседование и защита рефератов предлагаются
учащимся, имеющим отличные оценки по предмету и проявляющим склонность к 
исследовательской деятельности в данной области знаний.

2.           
При составлении вопросов для собеседования и тем
более для рефератов, а также при внесении каких либо изменений, дополнений
необходимо их обсуждение и утверждение на школьном методическом совете.

3.           
Содержание и структура билетов по геометрии должна
соответствовать основным линиям основного образования.

Геометрия 8 класс общеобразовательная школа.

Каждый
билет включает в себя четыре вопроса теоретического и практического характера.
При ответе на первый вопрос учащийся должен либо воспроизвести некоторые
теоретические факты, либо описать свойства одной из основных геометрических
фигур, либо воспроизвести формулу или алгоритм построения и проиллюстрировать
их на предметах.

При
ответе на второй вопрос учащийся должен доказать сформулированные свойства или
свойства (признаки) геометрических фигур.

Третий и четвертый вопросы билета представляют
собой задачи, уровень сложности которых определен программой как обязательный (в
третьем вопросе) и как повышенный (в четвертом вопросе). Право выбора задачи
предоставляется учащемуся.
Билет1

1. Признаки параллельности прямых (формулировки
   и примеры).
2. Решение треугольника по стороне и двум
   углам.
3. Углы
   ADC и ABC вписаны в окружность, ABC = 74⁰ (cм. рис.).
   Найдите градусную меру ADC.

1. Дуги AB и A₁B₁ равной
   длины принадлежат разным окружностям  с радиусами 3
   см и 4 см. Найдите отношение градусных мер центральных углов,
   соответствующих этим дугам.

 

Билет2

1.     
Свойство углов, образованных при пересечении двух
параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

2.     
Решение  треугольника  по двум сторонам и углу
между ними.

3.     
Диагональ квадрата равна 14
см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины
сторон квадрата.

4.     
Расстояния от точки А до точек В и С равны 3см и
14см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5
см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной
прямой.

Билет3

1.     
Третий признак равенства треугольников
(формулировка и пример).

2.     
Теорема об углах, вписанных в окружность.

3.     
Найдите площадь круга, вписанного в правильный
треугольник, сторона которого равна 6
см.

4.     
Докажите, что отрезок, соединяющий середины
диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и
равен полуразности оснований.

Билет4

1.     
Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и
пример).

2.     
Решение треугольника по трем сторонам.

3.     
В трапеции MLNK c основаниями
ML=12 см и NK=8 см  проведена средняя линия AB, которая
пересекает диагональ MK в точке С. Чему равны отрезки AC
и CB.

4.     
Из одной точки к двум касающимся внешним образом
окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку
касания окружностей. Докажите, что касательные равны.

Билет5

1.     
Определение синуса острого угла прямоугольного
треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2.     
Свойство углов равнобедренного
треугольника.

3.     
Из точки М, лежащей на катете АС прямоугольного
треугольника АВС, опущен на гипотенузу CВ перпендикуляр MK. Найдите отрезок СМ, если СВ= 10
см, АВ= 6 см и СК=2см.

4.     
В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм
так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а
вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр
параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.

Билет6

1.     
Определение косинуса острого угла прямоугольного
треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2.     
Признак равнобедренного треугольника.

3.     
Прямая, параллельная основанию равностороннего треугольника
АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках К и L.
Докажите, что треугольник КАL – равносторонний.

4.     
Стороны прямоугольника равны 8
см и 7 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большой стороне, делят
противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.

Билет7

1.     
Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2.     
Свойство медианы  равнобедренного треугольника.

3.     

В трапеции МNKL, проведены диагонали МК и NL. Докажите, что NOK~ MOL (см
рис.)

4.     
Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

Билет8

1.     
Теорема косинусов. Пример ее применения для решения
треугольников.

2.     
Окружность,
вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

3.     

Дано 1
≠ 2, 3 = 4. Определите какие из трех прямых m, n, l  параллельны (см рис.)

4.     
Две окружности,  радиусы которых равны 8см и 6
см., касаются внешним образом и имеют общую касательную MN. Найдите расстояние
между точками касания.

Билет9

1.     
Теорема синусов. Пример ее применения для решения
треугольников.

2.     
Окружность, описанная около треугольника. Теорема о
центре окружности, описанной около треугольника.

3.     
Найдите углы равнобедренного треугольника, если
угол АВС равен 84⁰.

4.     
В равнобокой трапеции ABCD, точка M- середина стороны AB, точка N- середина стороны  CD.
Высота BH делит нижнее основание на отрезки а и b (a>b).
Найдите расстояние между точками M и N.

Билет10

1.     
Построение с помощью циркуля и линейки треугольника
по трем сторонам.

2.     
Сложение векторов. Свойство сложения векторов.

3.     
Сторона правильного треугольника равна 6
см. Найдите длину, вписанной в него окружности.

4.     
В прямоугольном треугольнике АВС (B— прямой) проведена
высота BD. Докажите, что если катет AB больше высоты BD
в 2 раза, то AC:AD=4:3.

Билет11

1.     
Построение с помощью циркуля и линейки угла,
равного данному.

2.     
Умножение вектора на число. Свойство произведения
вектора на число.

3.     
Сторона квадрата равна  5
см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата.

4.     
Докажите, что в равностороннем треугольнике
расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в 2 раза меньше
расстояния от этой же точки до вершины.

Билет12

1.     
Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы
угла.

2.     
Неравенство
треугольника.

3.     
Сторона AD параллелограмма
ABCD равна 11 см., а его диагонали равны 16
см и 12 см. О- точка пересечения диагоналей. Чему равен
периметр ∆BOC.

4.     
На диаметре окружности построен треугольник, один
острый угол которого равен 40^о, а другой 80^о. Определите
градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

Билет13

1.     
Построение с помощью циркуля и линейки
перпендикулярной прямой.

2.     
Признаки подобия треугольников (доказательство
одного из них).

3.     
Меньшая сторона прямоугольника равна 8см. Найдите
длины диагоналей, если они пересекаются под углом 60^о.

4.     
На диаметре окружности построен равносторонний
треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника
делят полуокружность.

Билет14

1.     
Деление отрезка пополам с помощью циркуля и
линейки.

2.     
Теорема о средней линии треугольника.

3.     
В ромбе ABCD угол BAD равен 62^о. О- точка пересечения
диагоналей. Найдите углы треугольника BOC.

4.     
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС
проведены биссектрисы углов при основании AM и CN, которые пересекаются в точке O. Докажите, что ∆NOM — равнобедренный.

  Билет15

1.     
Свойство параллелограмма (формулировки и примеры)

2.     
Теорема о внешнем угле треугольника.

3.     
В треугольниках DAB и ACB стороны AD и BC, а также
углы DAB и ABC равны. Докажите
равенство треугольников ADB и ACB. (см рис.)

4.     
Около окружности, описана равнобокая трапеция, у
которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 5
см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Билет16

1.     
Теорема о средней линии трапеции (формулировка и
пример).

2.     
Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

3.     
Даны две концентрические окружности с центром в
точке О. MN и PK –диаметры этих окружностей. Докажите, что
∆MOP = ∆KON.

4.     
Один из углов равнобедренного треугольника 30^о.
Найдите отношение сторон этого треугольника. 

Билет17

1.     
Формулы для радиусов вписанных и описанных
окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

2.     
Свойство диагоналей ромба.

3.     
В равнобедренном треугольнике основание равно 10
см, а периметр равен 22 см. Вычислите боковую сторону треугольника.

4.     
Точки M, N, и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и АС треугольника АВС, причем
MN | | AC, NP
| | AB. Найдите
стороны четырехугольника AMNP, если АВ=8см, АС=12 см, PN:MN=2:3. 

Билет18

1.     
Формулы для радиусов вписанных и описанных
окружностей правильного треугольника, правильного  четырехугольника,
правильного шестиугольника (формулы и примеры)

2.     
Свойство диагоналей прямоугольника.

3.     
В равнобедренном треугольнике найдите внешний угол
при основании, если угол не при основании треугольника равен 64^о.

4.     
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

Билет19

1.     
Формула длины окружности (формула и пример).

2.     
Первый признак равенства треугольников.

3.     
Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее
основания равны 30см и 20 см, а боковая сторона образует с одним из оснований
угол, равный 45^о.

4.     
Около окружности описан многоугольник, все углы
которого равны. Является ли данный многоугольник
правильным?

Билет20

1.     
Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

2.     
Признак параллелограмма.

3.     
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
точки K и F принадлежат основанию, причем AK=FC. Докажите,
что ABK = CFB.

4.     
В окружности хорды AB и CD не имеют общих точек, но
прямые AB и CD пересекаются в точке М. Градусная мера дуги АС равна 96^о,
а градусная мера дуги BD равна 36^о. Найдите угол между прямыми AВ и
CD.

 

  Билет21

1.     
Формулы площади прямоугольника, параллелограмма(формулы
и примеры).

2.     
Второй признак равенства треугольников.

3.     
На сколько увеличится или уменьшится длина окружности,
если ее радиус уменьшить на 3 см?

4.     
Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции
являются вершинами ромба.

  Билет22

1.     
Формула площади трапеции (формула и пример)

2.     
Признак равенства прямоугольных треугольников.

3.     
Даны точки R(4;3) и P(8;0). Определите координаты и абсолютную величину
вектора RP.

4.     
Определите вид треугольника, если центр вписанной в
него окружности совпадает с центром описанной около него окружности.

  Билет23

1.     
Формула площади круга (формула и пример)

2.     
Теорема Пифагора.

3.     
Докажите, что центр окружности, описанной около
равностороннего треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию.

4.     
Найдите геометрическое место середин равных хорд
окружности.

Билет1

1. Признаки параллельности прямых (формулировки
   и примеры).
2. Решение треугольника по стороне и двум
   углам.

 

Билет2

1.     
Свойство углов, образованных при пересечении двух
параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

2.     
Решение  треугольника  по двум сторонам и углу
между ними.

Билет3

1.     
Третий признак равенства треугольников
(формулировка и пример).

2.     
Теорема об углах, вписанных в окружность.

Билет4

1.     
Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и
пример).

2.  Решение
треугольника по трем сторонам.

Билет5

1.     
Определение синуса острого угла прямоугольного
треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2.     
Свойство углов
равнобедренного треугольника.

Билет6

1.     
Определение косинуса острого угла прямоугольного
треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2.     
Признак равнобедренного треугольника.

Билет7

1.     
Определение тангенса острого угла прямоугольного
треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2.     
Свойство медианы  равнобедренного треугольника.

Билет8

1.     
Теорема косинусов. Пример ее применения для решения
треугольников.

2.     
Окружность,
вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

Билет9

1.     
Теорема синусов. Пример ее применения для решения
треугольников.

2.     
Окружность, описанная около треугольника. Теорема о
центре окружности, описанной около треугольника.

Билет10

1.     
Построение с помощью циркуля и линейки треугольника
по трем сторонам.

2.     
Сложение векторов. Свойство сложения векторов.

Билет11

1. Построение с помощью циркуля и линейки угла,
   равного данному.
2. Умножение вектора на число. Свойство
   произведения вектора на число.

Билет12

1.     
Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы
угла.

2.     
Неравенство
треугольника.

Билет13

1. Построение с помощью циркуля и линейки
   перпендикулярной прямой.
2. Признаки подобия треугольников
   (доказательство одного из них).

Билет14

1.     
Деление отрезка пополам с помощью циркуля и
линейки.

2.     
Теорема о средней линии треугольника.

  Билет15

1. Свойство параллелограмма (формулировки и
   примеры)
2. Теорема о внешнем угле треугольника.

Билет16

1.     
Теорема о средней линии трапеции (формулировка и
пример).

2.     
Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Билет17

1.     
Формулы для радиусов вписанных и описанных
окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

2.     
Свойство диагоналей ромба.

Билет18

1.     
Формулы для радиусов вписанных и описанных
окружностей правильного треугольника, правильного  четырехугольника,
правильного шестиугольника (формулы и примеры)

2.     
Свойство диагоналей прямоугольника.

Билет19

1.     
Формула длины окружности (формула и пример).

2.     
Первый признак равенства треугольников.

Билет20

1.     
Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

2.     
Признак параллелограмма.

  Билет21

1.     
Формулы площади прямоугольника,
параллелограмма(формулы и примеры).

2.     
Второй признак равенства треугольников.

  Билет22

1.     
Формула площади трапеции (формула и пример)

2.     
Признак равенства прямоугольных треугольников.

  Билет23

1.     
Формула площади круга (формула и пример)

2.     
Теорема Пифагора.

Экзаменационный
материал 8 класс

Билет1

1. Признаки
   параллельности прямых (формулировки и примеры).
2. Решение
   треугольника по стороне и двум углам.
3. Углы ADC
   и ABC вписаны в окружность, ABC = 74⁰
   (cм. рис.). Найдите градусную меру ADC.

1. Дуги AB и A₁B₁
   равной длины принадлежат разным окружностям  с радиусами 3
   см и 4 см. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих
   этим дугам.

Билет2

1.      
Свойство углов,
образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой
(формулировки и примеры).

2.      
Решение  треугольника  по
двум сторонам и углу между ними.

3.      
Диагональ квадрата равна 14
см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины
сторон квадрата.

4.      
Расстояния от точки А до
точек В и С равны 3см и 14см соответственно, а расстояния от точки D
до точек В и С равны 5
см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной
прямой.

Билет3

1.      
Третий признак равенства
треугольников (формулировка и пример).

2.      
Теорема об углах,
вписанных в окружность.

3.      
Найдите площадь круга,
вписанного в правильный треугольник, сторона которого равна 6
см.

4.      
Докажите, что отрезок,
соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

Билет4

1.      
Теорема о сумме углов
треугольника (формулировка и пример).

2.      
Решение треугольника по
трем сторонам.

3.      
В трапеции MLNK c
основаниями ML=12 см и NK=8 см  проведена средняя линия AB, которая
пересекает диагональ MK в точке С. Чему равны отрезки AC и CB.

4.      
Из одной точки к двум
касающимся внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна
из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные
равны.

Билет5

1.      
Определение синуса острого
угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения
прямоугольных треугольников.

2.      
Свойство углов равнобедренного треугольника.

3.      
Из точки М, лежащей на
катете АС прямоугольного треугольника АВС, опущен на гипотенузу CВ
перпендикуляр MK. Найдите отрезок СМ, если СВ= 10
см, АВ= 6 см и СК=2см.

4.      
В равнобедренный
треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с
углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на
основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для
данного треугольника.

Билет6

1.      
Определение косинуса
острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения
прямоугольных треугольников.

2.      
Признак равнобедренного
треугольника.

3.      
Прямая, параллельная
основанию равностороннего треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС
в точках К и L. Докажите, что треугольник КАL – равносторонний.

4.      
Стороны прямоугольника
равны 8 см и 7 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большой стороне, делят
противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.

Билет7

1.      
Определение тангенса
острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения
прямоугольных треугольников.

2.      
Свойство медианы 
равнобедренного треугольника.

3.      

В трапеции МNKL, проведены
диагонали МК и NL. Докажите, что NOK~ MOL (см рис.)

4.      
Докажите, что в ромб можно
вписать окружность.

Билет8

1.      
Теорема косинусов. Пример
ее применения для решения треугольников.

2.      
Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности,
вписанной в треугольник.

3.      

Дано
1 ≠ 2, 3 = 4.
Определите какие из трех прямых m, n, l  параллельны (см рис.)

4.      
Две окружности,  радиусы
которых равны 8см и 6 см., касаются внешним образом и имеют общую касательную
MN. Найдите расстояние между точками касания.

Билет9

1.      
Теорема синусов. Пример ее
применения для решения треугольников.

2.      
Окружность, описанная
около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

3.      
Найдите углы
равнобедренного треугольника, если угол АВС равен 84⁰.

4.      
В равнобокой трапеции ABCD,
точка M- середина стороны AB, точка N- середина стороны  CD. Высота BH делит нижнее основание на отрезки а
и b (a>b).
Найдите расстояние между точками M и N.

Билет10

1.      
Построение с помощью
циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

2.      
Сложение векторов.
Свойство сложения векторов.

3.      
Сторона правильного
треугольника равна 6 см. Найдите длину, вписанной в него окружности.

4.      
В прямоугольном
треугольнике АВС (B— прямой) проведена
высота BD. Докажите, что если
катет AB больше высоты BD в 2 раза, то AC:AD=4:3.

Билет11

1. Построение с
   помощью циркуля и линейки угла, равного данному.
2. Умножение вектора
   на число. Свойство произведения вектора на число.
3. Сторона квадрата
   равна  5 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата.
4. Докажите, что в
   равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух
   биссектрис до стороны в 2 раза меньше расстояния от этой же точки до
   вершины.

Билет12

1.      
Построение с помощью
циркуля и линейки биссектрисы угла.

2.      
Неравенство треугольника.

3.      
Сторона AD параллелограмма ABCD равна 11
см., а его диагонали равны 16 см и 12
см. О- точка пересечения
диагоналей. Чему равен периметр ∆BOC.

4.      
На диаметре окружности
построен треугольник, один острый угол которого равен 40^о, а другой
80^о. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника
делят полуокружность.

Билет13

1. Построение с
   помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.
2. Признаки подобия
   треугольников (доказательство одного из них).
3. Меньшая сторона
   прямоугольника равна 8см. Найдите длины диагоналей, если они пересекаются
   под углом 60^о.
4. На диаметре
   окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру
   дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

Билет14

1.      
Деление отрезка пополам с
помощью циркуля и линейки.

2.      
Теорема о средней линии
треугольника.

3.      
В ромбе ABCD угол BAD равен 62^о. О- точка пересечения диагоналей. Найдите углы треугольника
BOC.

4.      
В равнобедренном
треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектрисы углов при основании AM и CN,
которые пересекаются в точке O. Докажите, что ∆NOM —
равнобедренный.

  Билет15

1. Свойство
   параллелограмма (формулировки и примеры)
2. Теорема о внешнем
   угле треугольника.
3. В треугольниках DAB
   и ACB стороны AD и BC,
   а также углы DAB и ABC равны. Докажите равенство
   треугольников ADB и ACB. (см рис.)

1. Около окружности,
   описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания
   делится на отрезки 5 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Билет16

1.      
Теорема о средней линии
трапеции (формулировка и пример).

2.      
Теорема о сумме углов
выпуклого многоугольника.

3.      
Даны две концентрические
окружности с центром в точке О. MN и PK –диаметры этих окружностей. Докажите,
что ∆MOP = ∆KON.

4.      
Один из углов
равнобедренного треугольника 30^о. Найдите отношение сторон этого
треугольника. 

Билет17

1.      
Формулы для радиусов
вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

2.      
Свойство диагоналей ромба.

3.      
В равнобедренном
треугольнике основание равно 10 см, а периметр равен 22
см. Вычислите боковую сторону треугольника.

4.      
Точки M, N,
и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и АС треугольника АВС, причем
MN | | AC, NP | | AB. Найдите стороны четырехугольника AMNP,
если АВ=8см, АС=12 см, PN:MN=2:3.

Билет18

1.      
Формулы для радиусов
вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного 
четырехугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры)

2.      
Свойство диагоналей
прямоугольника.

3.      
В равнобедренном
треугольнике найдите внешний угол при основании, если угол не при основании
треугольника равен 64^о.

4.      
Докажите, что биссектриса
внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его
основанию.

Билет19

1.      
Формула длины окружности
(формула и пример).

2.      
Первый признак равенства
треугольников.

3.      
Найдите площадь равнобокой
трапеции, если ее основания равны 30см и 20
см, а боковая сторона образует с одним из оснований угол, равный 45^о.

4.      
Около окружности описан
многоугольник, все углы которого равны. Является ли данный многоугольник правильным?

Билет20

1.      
Формулы площади
треугольника (формулы и примеры).

2.      
Признак параллелограмма.

3.      
В равнобедренном
треугольнике АВС с основанием АС точки K и F принадлежат основанию, причем AK=FC. Докажите,
что ABK = CFB.

4.      
В окружности хорды AB и CD
не имеют общих точек, но прямые AB и CD пересекаются в точке М. Градусная мера
дуги АС равна 96^о, а градусная мера дуги BD равна 36^о.
Найдите угол между прямыми AВ и CD.

  Билет21

1.      
Формулы площади
прямоугольника, параллелограмма(формулы и примеры).

2.      
Второй признак равенства
треугольников.

3.      
На сколько увеличится или
уменьшится длина окружности, если ее радиус уменьшить на 3
см?

4.      
Докажите, что середины
сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

  Билет22

1.      
Формула площади трапеции
(формула и пример)

2.      
Признак равенства
прямоугольных треугольников.

3.      
Даны точки R(4;3) и
P(8;0). Определите координаты и абсолютную величину вектора
RP.

4.      
Определите вид
треугольника, если центр вписанной в него окружности совпадает с центром
описанной около него окружности.

  Билет23

5.      
Формула площади круга
(формула и пример)

6.      
Теорема Пифагора.

7.      
Докажите, что центр
окружности, описанной около равностороннего треугольника, лежит на медиане,
проведенной к основанию.

8.      
Найдите геометрическое
место середин равных хорд окружности.

Билеты по геометрии для переводного экзамена в 8 классе

(учебник Геометрия 7 – 9  Л. С. Атанасян.)

Каждый билет содержит 4 вопроса. В первом вопросе предлагается сформулировать и доказать теорему. Во втором вопросе даётся одно из следующих заданий: дать определение понятия, указать его основные свойства или привести примеры, описать этапы построения геометрических фигур. Третий и четвертый  вопросы — практические, они содержат задачи за курс 8 класса.  Задачи к билетам необходимо решить в тетради. К каждой задаче выполнить рисунок и необходимые пояснения. На экзамен надо принести эту тетрадь с решением и необходимые инструменты: линейка, карандаш, циркуль, ручка. Все билеты надо выучить, уметь ответить у доски и быть готовым к дополнительным вопросам.

Билет №1.

1.Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

2.Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Чему равны значения синуса для углов 300 , 450 , 600?

3. В выпуклом пятиугольнике длины сторон относятся как 5: 7: 8 : 9: 10, а его периметр равен 117 см. Найти наибольшую сторону пятиугольника.

4. В трапеции АВСД с большим основанием АД диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СД, углы ВАС и САД равны. Найти АД, если периметр трапеции равен 20см, а угол  Д равен 600.

Билет №2.

1.Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказать один из признаков).

2.Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Чему равны значения косинуса для углов 300 , 450 , 600?

3. В параллелограмме АВСД высота, опущенная на сторону СД, делит её пополам и образует со стороной ВС угол 300, АВ = 12см. Найти периметр параллелограмма.

4. Дан треугольник, стороны которого равны 5см, 8см, 7см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Билет №3.

1.Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Доказать, что диагонали прямоугольника равны.

2.Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Чему равны значения тангенса для углов 300 , 450 , 600?

3. В равнобедренной трапеции АВСД диагональ ВД перпендикулярна боковой стороне, угол  А  равен 600 , АД = 24см., ВС = 12см. Найти периметр трапеции.

4. Центральный угол АОВ на 300 больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найти каждый из этих углов.

Билет №4.

1.Ромб. Свойства ромба. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

2.Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников.

3.В ромбе АВСД биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВД соответственно в точках М и К, угол АМС равен 1200 . Найти величину угла АКВ.

4. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающие в точке С. Найти угол АСВ.

Билет №5.

1.Квадрат. Свойства квадрата. Доказать, что если в ромбе диагонали равны, то ромб является квадратом.

2.Центральный угол. Свойство центрального угла.

3. Высота ВД треугольника АВС делит сторону АС на отрезки, равные 7 см. и 4 см. Площадь треугольника равна 55см» . Найти длину ВД.

4. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найти углы треугольника, если дуга ВС равна 1020.

Билет №6.

1.Доказать теорему о вычислении площади параллелограмма.

2. Вписанная окружность, центр вписанной окружности. Свойство сторон четырёхугольника, описанного около окружности.

3.В треугольнике АВС угол А = 750 , угол В = 300 , АВ = 10см. Найти площадь треугольника.

4. Найти сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности около него окружности равен 10см.

Билет №7.

1.Доказать теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника?

2. Описанная окружность, центр описанной окружности. Свойство углов четырёхугольника, вписанного в окружность.

3. Основания прямоугольной трапеции равны 10см и 22см, а большая боковая сторона15см. Найти площадь трапеции.

4. Трапеция ВСНМ с основанием ВМ вписана в окружность. Найти углы  С, Н, М, если угол В равен 760 , и определите вид трапеции.

Билет №8.

1.Доказать теорему о вычислении площади трапеции.

2.Вписанный угол. Следствия, вытекающие из теоремы о вписанном угле.

3. Периметр треугольника равен 40см, две его стороны равны 15см и 9см. Найти отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

4. Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон 5 см, а угол между диагоналями равен 600.

Билет №9.

1.Доказать теорему Пифагора.

2.Биссектриса угла. Свойство биссектрисы угла.

3. Стороны параллелограмма равны 6см и 7см, угол между ними 600 . Найти высоты параллелограмма.

4. Площадь прямоугольной трапеции равна 120см2 , а её высота равна 8см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6см.

Билет №10.

1.Определение средней линии треугольника. Доказать теорему о средней линии треугольника.

2.Серединный перпендикуляр. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

3. АВ и ВС отрезки касательных, проведённых к окружности с центром О радиуса 6см. Найти периметр четырёхугольника АВСО, если угол АВС равен 600 .

4. Смежные стороны параллелограмма равны 32см и 26см., а один из его углов равен 1500 . Найти площадь параллелограмма.

Билет №11.

1.Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники. Сформулировать утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

2.Сформулировать теорему обратную теореме Пифагора.

3. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найти длину АВ, если СЕ = 8см, ДЕ = 9см, а длина АЕ в 2 раза больше длины ВЕ.

4. Одна из диагоналей ромба на 4см больше другой, а площадь ромба равна 96см2 . Найти сторону ромба.

Билет №12.

1.Касательная к окружности, точка касания прямой к окружности. Доказать теорему о свойстве касательной.

2.Дать определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно 20см. а угол между боковыми сторонами равен 1200 . Найти высоту, проведённую к основанию.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 24см2 , а один из его катетов равен 6см. Найти длину средней линии, параллельной другому катету.

Билет №13.

1.Доказать, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

2.Сформулировать свойство медиан треугольника пересекающихся в одной точке.

3. Один из углов ромба на 400 больше другого. Найти углы треугольника ВОС, если О – точка пересечения диагоналей.

4. Найти площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 5см и 17см, а боковая сторона равна 10см.

Билет №14.

1.Вписанный угол. Теорема о вписанном угле.

2.Трапеция. Виды трапеции. Свойства равнобокой трапеции.

3. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30см, боковая сторона равна 17см.

4. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, АД – его высота, ВД = 16см,

ДС =4см. Найти основание АС и высоту АД.

Билет №15.

1.Доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд.

2.Теорема Фалеса. Деление отрезка на п-равных отрезков.

3. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 40 см2 и одна сторона больше другой на 3 см

4. АМ и ВК – медианы треугольника АВС. Определить вид четырёхугольника АВМК и найти его периметр, если АВ =14см, ВС = 12см, АС = 18см.

Задачи к билетам  

1.В выпуклом пятиугольнике длины сторон относятся как 5:7:8:9:10, а его периметр равен 117 см. Найти наибольшую сторону пятиугольника.

2.В параллелограмме АВСД высота, опущенная на сторону СД, делит её пополам и образует со стороной ВС угол 300, АВ = 12см. Найти периметр параллелограмма.

3.В равнобедренной трапеции АВСД диагональ ВД перпендикулярна боковой стороне, угол   А равен 600 , АД = 24см., ВС = 12см. Найти периметр трапеции.

4.В ромбе АВСД биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВД соответственно в точках М и К, угол АМС равен 1200 . Найти величину угла АКВ.

5.Высота ВД треугольника АВС делит сторону АС на отрезки, равные 7 см. и 4 см. Площадь треугольника равна 55см» . Найти длину ВД.

6.В треугольнике АВС угол А = 750 , угол В = 300 , АВ = 10см. Найти площадь треугольника.

7.Основания равнобедренной трапеции равны 10см и 24см, а большее основание 15см. Найти площадь трапеции.

8.Периметр треугольника равен 40см, две его стороны равны 15см и 9см. Найти отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

9.Стороны параллелограмма равны 6см и 7см, угол между ними 600 . Найти высоты параллелограмма.

10.АВ и ВС отрезки касательных, проведённых к окружности с центром О радиуса 6см. Найти периметр четырёхугольника АВСО, если угол АВС равен 600 .

11.Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найти длину АВ, если СЕ = 8см, ДЕ = 9см, а длина АЕ в 2 раза больше длины ВЕ.

12.В равнобедренном треугольнике основание равно 20см. а угол между боковыми сторонами равен 1200 . Найти высоту, проведённую к основанию.

13.Один из углов ромба на 400 больше другого. Найти углы треугольника ВОС, если О – точка пересечения диагоналей.

14.Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30см, боковая сторона равна 17см.

15.АМ и ВК – медианы треугольника АВС. Определить вид четырёхугольника АВМК и найти его периметр, если АВ =14см, ВС = 12см, АС = 18см.

16. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 40 см2  и одна сторона больше другой на 3 см

Задачи к билетам

1.АВСД – ромб, угол АВС равен 1400 . Найти углы треугольника СОД, где точка О – пересечение диагоналей.

2.Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, АД – его высота, ВД = 16см, ДС =4см. Найти основание АС и высоту АД.

3.Найти площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 5см и 17см, а боковая сторона равна 10см.

4.Площадь прямоугольного треугольника равна 24см2 , а один из его катетов равен 6см. Найти длину средней линии, параллельной другому катету.

5.Одна из диагоналей ромба на 4см больше другой, а площадь ромба равна 96см2 . Найти сторону ромба.

6.Смежные стороны параллелограмма равны 32см и 26см., а один из его углов равен 1500 . Найти площадь параллелограмма.

7.Площадь прямоугольной трапеции равна 120см2 , а её высота равна 8см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6см.

8.Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон 5 см, а угол между диагоналями равен 600.

9.Трапеция ВСНМ с основанием ВМ вписана в окружность. Найти углы  С, Н, М, если угол В равен 760 , и определите вид трапеции.

10.Найти сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности около него окружности равен 10см.

11.В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найти углы треугольника, если дуга ВС равна 1020.

12.Центральный угол АОВ на 300 больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найти каждый из этих углов.

13.Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающие в точке С. Найти угол АСВ.

14.Дан треугольник, стороны которого равны 5см, 8см, 7см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

15.В трапеции АВСД с большим основанием АД диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СД, углы ВАС и САД равны. Найти АД, если периметр трапеции равен 20см, а угол Д равен 600.

Переводной экзамен по геометрии 8 класс

Пояснительная записка.

С 2008 года в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы проводится в новой форме, включена и геометрия. С 2011 года задания по геометрии включаются в экзамен по математике. С 2013 года КИМы по математике (за курс основной школы) состоят из трех модулей («Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»). Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в первой части – 6 заданий, во второй части – 2 задания. Причем оценка за экзамен будет неудовлетворительной, если не выполнено два задания по геометрии. Чтобы успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо провести экзамен на промежуточной аттестации за курс геометрии 8 класса.

Билеты составлены по курсу геометрии 8 класса. Всего 18 билета по четыре вопроса: первый вопрос предполагает, что учащийся должен сформулировать теорему, свойство (без доказательства), правильно и грамотно сформулировать определение, записать необходимую формулу, привести пример, или выполнить необходимый рисунок, второй вопрос требует развернутого, доказательного ответа, третий и четвертый вопросы практические – состоит из двух задач (одна базового уровня, вторая повышенного уровня).

Критерии оценивания:

Отметка 5 (отлично) – ставится за полный, логически обоснованный ответ на все четыре вопроса билета.

Отметка 4 (хорошо) – выставляется за обоснованный полный ответ на 1-2 вопросы и решение одной из задач третьего или четвертого вопросов; или за решение двух задач третьего и четвертого вопросов и правильно сформулированные теоремы, свойства, определения первого и второго вопросов (без доказательства).

Отметка 3 (удовлетворительно) – ставится за решение задачи базового уровня третьего вопроса и правильно сформулированные теоремы, свойства, определения первого и второго вопросов (без доказательства).

Отметка 2 (неудовлетворительно) – выставляется во всех остальных случаях.

Экзаменационные вопросы по геометрии 8 класс.

Вопрос 1.

1. Квадрат. Свойства квадрата.

2. Трапеция. Определение. Виды трапеций. Свойство равнобедренной трапеции.

3. Подобные треугольники. Определение. Коэффициент подобия.

4. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника.

5. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

6. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат.

7. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° , 45° , 60° .

8. Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник.

9. Ромб. Свойства ромба. Квадрат.

10. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника (периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

11. Свойство вписанного четырехугольника.

12. Свойства площадей.

13. Медиана треугольника. Определение. Свойство точки пересечения медиан треугольника.

14. Параллелограмм. Определение. Свойства.

15. Центральный угол. Вписанный угол.

16. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

17. Четырехугольник. Сумма углов четырёхугольника.

18. Свойство описанного четырехугольника.

Вопрос 2.

1. Площадь трапеции (формулировка и доказательство).

2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку (доказательство).

3. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки (формулировка и доказательство).

4. Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство).

5. Свойство касательной к окружности (формулировка и доказательство).

6. Площадь треугольника (формулировка и доказательство).

7. Признаки подобия треугольников. Доказать второй признак подобия.

8. Свойства ромба (формулировка и доказательство).

9. Свойства прямоугольника (формулировка и доказательство).

10. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство).

11. Теорема об окружности, описанной около треугольника (формулировка и доказательство).

12. Теорема о средней линии треугольника (формулировка и доказательство).

13. Теорема о вписанном угле (формулировка и доказательство).

14. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники.

15. Площадь прямоугольника (формулировка и доказательство).

16. Площадь параллелограмма (формулировка и доказательство).

17. Свойство биссектрисы угла (формулировка и доказательство).

18. Теорема об окружности, вписанной в треугольник(доказательство).

Вопрос 3.

1. В треугольнике АВС угол С=90⁰ , катет АС=6 дм, угол А =α. Найдите гипотенузу АВ.

2. Центральный угол опирается на дугу в 80⁰ , найдите вписанный угол, опирающийся на эту же дугу.

3. Угол В параллелограмма АВСD в 5 раз больше угла А. Найдите углы параллелограмма.

4. Из точки В к окружности с центром О проведена касательная, А – точка касания. Найдите радиус окружности, если ВО = 18 см. АВ= 9√3 см.

5. Сторона треугольника равна 14 см, а высота, проведенная к данной стороне равна 6 см. Найдите площадь треугольника.

6. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла А прямоугольного треугольника АВС (∟С=90⁰), если АВ = 13 см, ВС = 12 см.

7. Найдите среднюю линию трапеции, основания которой равны 6 и 8 см.

8. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 10 см.

9. Начертите отрезок и, используя циркуль, линейку и чертежный угольник разделите его в отношении 3:2.

10. Сторона треугольника равна 14 см, а высота, проведенная к данной стороне равна 6 см. Найдите площадь треугольника.

11. В окружности с центром О проведена хорда МК. Найдите угол МОК, если угол ОМК равен 51⁰.

12. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, катеты равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу.

13. Найдите площадь трапеции основания, которой равны 10 см и 16 см, а высота — 5 см.

14. В треугольнике АВС: угол С равен 90⁰ , угол А равен 45⁰ , гипотенуза равна 6√2 см. Найдите катеты треугольника.

15. Основания трапеции 18 см и 7 см, высота трапеции в 3 раза меньше большего основания. Найдите площадь трапеции.

16. Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

17. Окружность разделена точками А, В и С на три дуги пропорциональные числам 2:3:4. Найдите вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу.

18. Через точку М окружности с центром О проведена касательная МК. Найдите радиус окружности, если ОК = 10 см, угол МОК равен 60⁰.

Вопрос 4.

1. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна √10 см , а высота 2√2 см.

2. Площадь параллелограмма равна 25 см², а периметр 20 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная к одной из них, в 4 раза меньше этой стороны.

3. Из вершины А острого угла параллелограмма проведены перпендикуляры АН₁ и АН₂ к прямым ВС и СD. Найдите углы параллелограмма, если угол Н₁АН₂ равен 130⁰.

4. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8 см, а угол между ними 30⁰ .

5. В окружности радиуса 10,5 см проведены диаметр АВ и хорда СD, пересекающиеся в точке К, причем, АК=18см, СК= 9 см. Найдите длину хорды CD.

6. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона 2√3. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен 120⁰.

7. В прямоугольном треугольнике с углом 30⁰ и меньшим катетом 8 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

8. Продолжения боковых сторон трапеции АВСD, с основаниями ВС и АD, пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и АОD, если АD = 5 см, ВС=2 см, АО = 25 см.

9. Площадь параллелограмма равна 48 см², а периметр 40 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная к одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

10. В равнобедренной трапеции тупой угол равен 135⁰, меньшее основание равно 4 см, а высота 2 см. Найдите площадь трапеции.

11. В прямоугольном треугольнике с углом 30⁰ и меньшим катетом 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

12. Продолжения боковых сторон трапеции АВСD, с основаниями ВС и АD, пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и АОD, если АD = 10 см, ВС= 6 см, АО = 30 см.

13. В треугольнике АВС угол А равен 45⁰, а высота ВD = 2 см. Найдите площадь треугольника, если прямая ВС составляет с прямой АD угол 60⁰.

14. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные МА и МВ ( А и В – точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120⁰.

15. В треугольнике АВС угол А равен 45⁰, а высота ВD = 2 см. Найдите площадь треугольника, если прямая ВС составляет с прямой АD угол 30⁰.

16. Две окружности с центрами в точках О и О₁ и радиусами 5 см и 3 см соответственно касаются сторон угла А (В и В₁ – точки касания). Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ₁=4 см.

17. В треугольнике АВС проведен отрезок МК, параллельный стороне АС ( М лежит на стороне АВ, К – на стороне ВС). Найдите АВ, если МК = 16 см, АС = 24 см, АМ = 6 см.

18. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Отрезки АО и ВС пересекаются в точке К. Найдите радиус окружности, если ВС = 16 см, АК = 8 см.

Пояснительная записка.

В 2020 -2021учебном году промежуточную аттестацию по геометрии в 8 классе рекомендуем организовать в форме устного экзамена.

Целью устного экзамена является проверка уровня предметной компетентности учащихся 8 классов по геометрии за курс 8 класса.

Основные цели изучения геометрии:

1. Развитие пространственных представлений, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как умение:

• читать и делать чертежи, необходимые для решения;

• выделять необходимую конфигурацию при чтении чертежа;

• определять необходимость дополнительных построений при решении задач и выполнять их;

• различать взаимное расположение геометрических фигур.

1. Формирование и развитие логического мышления, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как владение методами доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т.д.), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Структура экзаменационного билета.

Билеты содержат три вопроса по различным темам курса геометрии за 8 класс (два теоретических вопроса и одна задача).

Первый вопрос. Базовый уровень.

В первом вопросе от учащихся требуется выполнить одно из трех возможных заданий: первое – дать определение фигуры; второе – воспроизвести одну из формул для вычисления длин отрезков, градусных мер углов, площадей; третье – воспроизвести формулировку одной из теорем о свойствах или признаках фигур, их элементов, отношениях фигур.

При ответе на первый вопрос учащиеся должны:

— дать четкое определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертеж, а также привести пример применения этого определения, верно иллюстрирующий его смысл.

-правильно воспроизвести одну из формул для вычисления значений геометрических величин (площадей), при этом, кроме записи формулы, необходимо выполнить чертеж и объяснить смысл формулы. Привести пример применения этой формулы, позволяющий сделать вывод об уровне сформированности умения применять эту формулу.

— воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав содержание теоремы выполнением чертежа; привести пример применения этой теоремы, верно отражающий ее содержание и смысл.

Второй вопрос. Продвинутый уровень.

Во втором вопросе учащиеся должны, как правило, дать определение фигуры, сформулировать ее свойство или признак, указанный в теореме, и доказать эту теорему.

При ответе на второй вопрос учащиеся должны:

• дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертеж;

• правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав ее выполнением чертежа по условию теоремы;

• привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если учащийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, еще и ход доказательства.

Практическая часть. Третий вопрос билета – задача. Цель включения этих заданий – проверка овладения учащимися основными практическими умениями, полученными в ходе изучения курса, эти задачи соответствуют уровню базовой подготовки.

С помощью заданий третьих вопросов проверяются знание и понимание важных элементов содержания (геометрических понятий, свойств основных фигур, отношений между фигурами, методов доказательств и пр.), владение основными формулами, умение применять полученные знания к решению геометрических задач. При выполнении этих заданий учащиеся также должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений, узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.

Время подготовки выпускника. Система оценивания ответа.

Примерное время, отводимое на подготовку выпускника к ответу, – 20–30 минут.

Оценивание ответа осуществляется по традиционной пятибалльной шкале. Ученик у доски отвечает на теоритические вопросы, дополняя свой ответ необходимыми чертежами и записями. Далее на доске рассматривается подробное решение задач, с ссылками на все используемые факты.

Критерии оценивания:

Отметка 5 (отлично) – ставится за полный, логически обоснованный ответ на все три вопроса билета.

Отметка 4 (хорошо) – выставляется за обоснованный полный ответ, но с допущением 1-2 негрубых недочетов на 1-2 вопросы с доказательством и решение задачи;

Отметка 3 (удовлетворительно) – ставится за решение задачи и правильно сформулированные теоремы, свойства, определения первого и второго вопросов (без доказательства).

Отметка 2 (неудовлетворительно) – выставляется во всех остальных случаях.

1. Вопросы без доказательства:

1. Сформулируйте определение многоугольника. Элементы многоугольника. Виды многоугольников. Сформулировать теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

2. Сформулируйте определение трапеции. Виды трапеции.Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции.

3. Сформулировать определение квадрата и перечислить все его свойства.

4. Приведите формулы площадей ромба, квадрата, параллелограмма, трапеции. Для ромба приведите несколько формул.

5. Сформулируйте определение подобных треугольников. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

6. Сформулируйте теорему Фалеса. Начертите чертеж.

7. Сформулируйте утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

8. Сформулируйте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите основное тригонометрическое тождество.

9. Сформулируйте определение окружности. Взаимное расположение прямой и окружности. Сформулируйте определение касательная к окружности и свойство касательной.

10. Сформулируйте свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

11. С формулируйте формулу нахождения величины угла между пересекающимися хордами через дуги окружности.

С формулируйте формулу нахождения величины угла между секущими, пересекающимися вне окружности 

1. Назовите формулу Герона. В каких случаях данную формулу применяют?

2. Назовите значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 , 45 , 60 .

3. Сформулируйте определения центрального угла окружности и угла, вписанного в окружность. Сформулируйте теорему об измерении вписанного угла и следствия из нее.

4. Сформулируйте условия, когда в четырехугольник можно вписать окружность и условие, когда около четырехугольника можно описать окружность.

1. Вопросы с доказательством

1. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте признаки параллелограмма и докажите один признак по выбору.

2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойства углов и сторон параллелограмма.

3. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей параллелограмма.

4. Сформулируйте определение ромба. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей ромба.

5. Сформулируйте определение прямоугольника. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

6. Приведите формулы площади прямоугольника и площади параллелограмма. Выведите одну из формул по выбору.

7. Запишите формулу площади треугольника и докажите теорему площади треугольника. Сформулируйте теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

8. Выведите формулу площади трапеции.

9. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

10. Сформулируйте определение подобных треугольников. Докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

11. Сформулируйте определение средней линии треугольника. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

12. Сформулируйте определение касательной к окружности. Сформулируйте и докажите свойство касательной к окружности.

13. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

14. Сформулируйте определение окружности, вписанной в многоугольник. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной треугольник. Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности?

15. Сформулируйте определение окружности, описанной около многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность?

1. Задача.

Задачи из образовательного портала по подготовке к экзаменам «РЕШУ ОГЭ»:

16.Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

• Многоугольники

• Параллелограмм

• Ромб

• Трапеция

17.Окружность, круг и их элементы

• Касательная, хорда, секущая, радиус

• Окружность, описанная вокруг многоугольника

• Центральные и вписанные углы

18.Площади фигур

• Квадрат

• Прямоугольник

• Трапеция

• Параллелограмм

 19.Фигуры на квадратной решётке

• Многоугольники

• Параллелограмм

• Ромб

• Трапеция

5

Промежуточная аттестация по математике за курс 8 класса

Ф.И._______________________________________________

ВАРИАНТ 1.

Модуль «Алгебра».

1. Найдите значение выражения   Ответ:________

2. Найдите значение выражения

1) 2 2) 2 3)12 4) 4

3.Найдите корни уравнения  +3x=18. Ответ:________

4. На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ А)    Б)    В)  КОЭФФИЦИЕНТЫ 1)  k, b   2)  k0, b   3)  k, b0

А Б В .

5. Найдите значение выражения — при а = 2 Ответ:______________

Модуль «Геометрия».

6. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 45° соответственно. Ответ дайте в градусах

. Ответ:_______________

7. Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.

Ответ:___________

8. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)  Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.  2)  Диагонали прямоугольника равны.  3)  У любой трапеции боковые стороны равны.

Модуль «Реальная математика»

9. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты 
над уровнем моря. По горизонтали указана высота над уровнем моря 
в километрах, по вертикали — атмосферное давление в миллиметрах ртутного столба. На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 220 миллиметров ртутного столба?

10. На диаграмме показано содержание питательных веществ в фасоли. Определите по диаграмме, содержание каких веществ превосходит 50%.    *к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества

1) белки 2) жиры 3) углеводы 4) прочее

11.Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий: высшая, отборная, первая, вторая и третья. Используя данные, представленные в таблице, определите, к какой категории относится яйцо массой 62,2 г. Категория Масса одного яйца, не менее, г Высшая 75,0 Отборная 65,0 Первая 55,0 Вторая 45,0 Третья 35,0 Ответ:____________

Промежуточная аттестация по математике за курс 8 класса

Ф.И._______________________________________________

ВАРИАНТ 2.

1.Найдите значение выражения  Ответ:_________

2. .Найдите значение выражения

1) 5 2)5 3)10 4)3

3.Решите уравнение  −5x−14=0. Ответ;____________

4.На рисунках изображены графики функций вида y=kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ А)    Б)    В)  КОЭФФИЦИЕНТЫ 1)  k, b0   2)  k, b   3)  k0, b

.А Б В

5. Найдите значение выражения  — при х = -1,8

Модуль «Геометрия».

6.Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Ответ:_________

7.Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.

Ответ:__________

8.Укажите номера верных утверждений.

1)  Диагонали любого прямоугольника равны.  2)  Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.  3)  Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Модуль «Реальная математика»

 9.На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты 
над уровнем моря. По горизонтали указана высота над уровнем моря 
в километрах, по вертикали — атмосферное давление в миллиметрах ртутного столба. На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 720 миллиметров ртутного столба?

10. На диаграмме показан возрастной состав населения Индонезии. Определите по диаграмме, население какого возраста преобладает.

 1. 0-14 лет 2. 15-50 лет 3. 51-64 лет 4. 65 лет и более

11. Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий: высшая, отборная, первая, вторая и третья. Используя данные, представленные в таблице, определите, к какой категории относится яйцо массой 72,5 г.

Категория	Масса одного яйца, не менее, г
Высшая	75,0
Отборная	65,0
Первая	55,0
Вторая	45,0
Третья	35,0

Ответ:___________

Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»
Свидетельство о регистрации средства массовой информации ЭЛ №ФС77-69741 от 5 мая 2017 г.

Почтовый и фактический адрес:
ул. Платовская, 4,
Москва,
Россия,
121151,
ИД «Первое сентября», Оргкомитет фестиваля «Открытый урок»