Как сдать устный экзамен по геометрии 8 класс

Пояснительная записка.

В 2020 -2021учебном году промежуточную аттестацию по геометрии в 8 классе рекомендуем организовать в форме устного экзамена.

Целью устного экзамена является проверка уровня предметной компетентности учащихся 8 классов по геометрии за курс 8 класса.

Основные цели изучения геометрии:

1. Развитие пространственных представлений, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как умение:

• читать и делать чертежи, необходимые для решения;

• выделять необходимую конфигурацию при чтении чертежа;

• определять необходимость дополнительных построений при решении задач и выполнять их;

• различать взаимное расположение геометрических фигур.

1. Формирование и развитие логического мышления, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как владение методами доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т.д.), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Структура экзаменационного билета.

Билеты содержат три вопроса по различным темам курса геометрии за 8 класс (два теоретических вопроса и одна задача).

Первый вопрос. Базовый уровень.

В первом вопросе от учащихся требуется выполнить одно из трех возможных заданий: первое – дать определение фигуры; второе – воспроизвести одну из формул для вычисления длин отрезков, градусных мер углов, площадей; третье – воспроизвести формулировку одной из теорем о свойствах или признаках фигур, их элементов, отношениях фигур.

При ответе на первый вопрос учащиеся должны:

— дать четкое определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертеж, а также привести пример применения этого определения, верно иллюстрирующий его смысл.

-правильно воспроизвести одну из формул для вычисления значений геометрических величин (площадей), при этом, кроме записи формулы, необходимо выполнить чертеж и объяснить смысл формулы. Привести пример применения этой формулы, позволяющий сделать вывод об уровне сформированности умения применять эту формулу.

— воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав содержание теоремы выполнением чертежа; привести пример применения этой теоремы, верно отражающий ее содержание и смысл.

Второй вопрос. Продвинутый уровень.

Во втором вопросе учащиеся должны, как правило, дать определение фигуры, сформулировать ее свойство или признак, указанный в теореме, и доказать эту теорему.

При ответе на второй вопрос учащиеся должны:

• дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертеж;

• правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав ее выполнением чертежа по условию теоремы;

• привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если учащийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, еще и ход доказательства.

Практическая часть. Третий вопрос билета – задача. Цель включения этих заданий – проверка овладения учащимися основными практическими умениями, полученными в ходе изучения курса, эти задачи соответствуют уровню базовой подготовки.

С помощью заданий третьих вопросов проверяются знание и понимание важных элементов содержания (геометрических понятий, свойств основных фигур, отношений между фигурами, методов доказательств и пр.), владение основными формулами, умение применять полученные знания к решению геометрических задач. При выполнении этих заданий учащиеся также должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений, узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.

Время подготовки выпускника. Система оценивания ответа.

Примерное время, отводимое на подготовку выпускника к ответу, – 20–30 минут.

Оценивание ответа осуществляется по традиционной пятибалльной шкале. Ученик у доски отвечает на теоритические вопросы, дополняя свой ответ необходимыми чертежами и записями. Далее на доске рассматривается подробное решение задач, с ссылками на все используемые факты.

Критерии оценивания:

Отметка 5 (отлично) – ставится за полный, логически обоснованный ответ на все три вопроса билета.

Отметка 4 (хорошо) – выставляется за обоснованный полный ответ, но с допущением 1-2 негрубых недочетов на 1-2 вопросы с доказательством и решение задачи;

Отметка 3 (удовлетворительно) – ставится за решение задачи и правильно сформулированные теоремы, свойства, определения первого и второго вопросов (без доказательства).

Отметка 2 (неудовлетворительно) – выставляется во всех остальных случаях.

1. Вопросы без доказательства:

1. Сформулируйте определение многоугольника. Элементы многоугольника. Виды многоугольников. Сформулировать теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

2. Сформулируйте определение трапеции. Виды трапеции.Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции.

3. Сформулировать определение квадрата и перечислить все его свойства.

4. Приведите формулы площадей ромба, квадрата, параллелограмма, трапеции. Для ромба приведите несколько формул.

5. Сформулируйте определение подобных треугольников. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

6. Сформулируйте теорему Фалеса. Начертите чертеж.

7. Сформулируйте утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

8. Сформулируйте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите основное тригонометрическое тождество.

9. Сформулируйте определение окружности. Взаимное расположение прямой и окружности. Сформулируйте определение касательная к окружности и свойство касательной.

10. Сформулируйте свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

11. С формулируйте формулу нахождения величины угла между пересекающимися хордами через дуги окружности.

С формулируйте формулу нахождения величины угла между секущими, пересекающимися вне окружности 

1. Назовите формулу Герона. В каких случаях данную формулу применяют?

2. Назовите значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 , 45 , 60 .

3. Сформулируйте определения центрального угла окружности и угла, вписанного в окружность. Сформулируйте теорему об измерении вписанного угла и следствия из нее.

4. Сформулируйте условия, когда в четырехугольник можно вписать окружность и условие, когда около четырехугольника можно описать окружность.

1. Вопросы с доказательством

1. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте признаки параллелограмма и докажите один признак по выбору.

2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойства углов и сторон параллелограмма.

3. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей параллелограмма.

4. Сформулируйте определение ромба. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей ромба.

5. Сформулируйте определение прямоугольника. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

6. Приведите формулы площади прямоугольника и площади параллелограмма. Выведите одну из формул по выбору.

7. Запишите формулу площади треугольника и докажите теорему площади треугольника. Сформулируйте теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

8. Выведите формулу площади трапеции.

9. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

10. Сформулируйте определение подобных треугольников. Докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

11. Сформулируйте определение средней линии треугольника. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

12. Сформулируйте определение касательной к окружности. Сформулируйте и докажите свойство касательной к окружности.

13. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

14. Сформулируйте определение окружности, вписанной в многоугольник. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной треугольник. Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности?

15. Сформулируйте определение окружности, описанной около многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность?

1. Задача.

Задачи из образовательного портала по подготовке к экзаменам «РЕШУ ОГЭ»:

16.Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

• Многоугольники

• Параллелограмм

• Ромб

• Трапеция

17.Окружность, круг и их элементы

• Касательная, хорда, секущая, радиус

• Окружность, описанная вокруг многоугольника

• Центральные и вписанные углы

18.Площади фигур

• Квадрат

• Прямоугольник

• Трапеция

• Параллелограмм

 19.Фигуры на квадратной решётке

• Многоугольники

• Параллелограмм

• Ромб

• Трапеция

5

Экзамен по геометрии в 8 классе, на мой взгляд, является неотъемлемой частью курса изучения геометрии. Значение такого экзамена обусловлено будущей итоговой аттестацией. Что же восьмиклассники должны получить во второй год изучения предмета.

Планируемые результаты освоения учебного предмета.

Обучающийся 8 класса научится:

— распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

— изображать геометрические фигуры;

— выполнять чертежи по условию задач;

— осуществлять преобразования фигур;

— распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их

— вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

— определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов;

— находить значения тригонометрических функций по значению одной из них,

— находить стороны, углы и площади треугольников,

— находить длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них.

— решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

Обучающийся 8 класса получит возможность научится:

владеть понятиями.

Многоугольники.

— Четырехугольник. Параллелограмм его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб их свойства и признаки. Трапеция, равнобедренная трапеция.

— Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.

Треугольник.

— Теорема Фалеса,

— Подобие треугольников: коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.

— Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°, приведение к острому углу.

— Замечательные точки треугольника: точки пересечения, серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.

Окружность и круг.

— Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда.

— Центральный, вписанный угол: величина вписанного угла.

— Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

— Касательная и секущая к окружности, равенство касательных, проведенных из одной точки. — — Метрические соотношения окружности: свойства секущих, карательных, хорд.

— Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.

— Вписанные и описанные четырехугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.

Измерение геометрических величин.

— Длина ломаной, периметр многоугольника.

— Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры.

— Площадь прямоугольника.

— Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы).

— Связь между площадями подобных фигур,

Геометрические преобразования.

— Симметрия фигур.

— Осевая симметрия и центральная симметрия.

Целью устного экзамена является проверка уровня предметной компетентности учащихся за курс 8 класса по геометрии в рамках проведения переводной аттестации. Ниже предложены билеты, которые содержат один теоретический вопрос и три задачи по готовым чертежам.

Билет №1.

1. Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.

2. 3. 4.

Билет №2.

1. Трапеция. Определение, свойства, виды трапеций.

2. 3. 4.

Билет № 3.

1. Прямоугольник, ромб, квадрат. Определение, свойства, признаки.

2. 3. 4.

Билет № 4.

1. Формулы площадей квадрата, прямоугольника, треугольника, трапеции и ромба.

2. 3. 4.

Билет № 5.

1. Теорема Пифагора, обратная теорема Пифагора (признак прямоугольного треугольника). Доказательство одной из теорем.

2. 3. 4.

Билет № 6.

1. О пределение подобных треугольников. Свойство площадей подобных треугольников. Свойства биссектрис. Три признака подобия треугольников.

2. 3. 4.

Билет № 7.

1. Средняя линия треугольника, свойство средней линии. Свойство медианы треугольника. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

2. 3. 4.

Билет № 8.

1. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов 30, 45, 60 градусов.

2. 3. 4.

Билет № 9.

1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности. Градусная мера дуги окружности. Теорема о внешнем угле окружности, следствия из неё. Свойства хорд окружности.

2. 3. 4.

Билет № 10.

1. Вписанная и описанная окружность. Свойства вписанной и описанной окружности.

2. 3. 4.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа №1

г.Зверева Ростовской области.

Билеты к устному экзамену по геометрии 8 класс

Работа педагога дополнительного

образования МБОУ ДОД ДДТ,

учителя математики МБОУ СОШ №1

Куца Фёдора Ивановича

г. Зверево

2014 г.

Билет №1.

1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника ( периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

2.Признаки подобия треугольников. Доказать один признак на выбор обучающегося.

3. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°;

Билет №2.

1.Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2.Площадь прямоугольника (формулировка и доказательство).

3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника

Билет №3

1.Параллелограмм. Определение. Свойства.

2.Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

3. Стороны прямоугольника равны 3 см и см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Билет № 4.

1.Четырехугольник. Сумма углов четырёхугольника.

2.Свойство касательной к окружности (формулировка и доказательство).

3. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Билет № 5.

1.Свойства площадей.

2.Теорема о средней линии треугольника (формулировка и доказательство).

3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Билет № 6

1.Трапеция. Определение. Виды трапеций. Свойство равнобедренной трапеции.

2.Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки (формулировка и доказательство).

3. Подобны ли треугольники ABC и МКР если:

АВ=3 см, ВС=5 см, СА=7 см, МК=4,5 см, КР=7,5 см, РМ = 10,5 см.

Билет № 7

1.Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат.

2.Теорема о вписанном угле (формулировка и доказательство).

3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см.

Билет № 8

1.Ромб. Свойства ромба. Квадрат.

2.Свойство биссектрисы угла (формулировка и доказательство).

3. Площади двух подобных треугольников равны 75 и 300. Одна из сторон второго треугольника равна 9 . Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Билет № 9

1.Квадрат. Свойства квадрата.

2.Свойство серединного перпендикуляра к отрезку (доказательство).

3. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Билет № 10.

1.Подобные треугольники. Определение. Коэффициент подобия.

2.Свойства прямоугольника.

3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см. а больший угол равен 135°.

Билет № 11.

1.Медиана треугольника. Определение. Свойство точки пересечения медиан треугольника.

2.Площадь параллелограмма (формулировка и доказательство).

3. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

Билет № 12.

1.Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

2.Теорема об окружности, описанной около треугольника (формулировка и доказательство).

3. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен

Билет № 13.

1. Свойство описанного четырехугольника.

2.Свойства ромба (формулировка и доказательство).

3. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1,2,4,5.

Билет № 14.

1. Свойство вписанного четырехугольника.

2. Площадь треугольника (формулировка и доказательство).

3. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Билет № 15.

1. Центральный угол. Вписанный угол.

2.Площадь трапеции (формулировка и доказательство).

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона

равна 13см.

Билет № 16.

1.Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45, 60.

2.Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство).

3.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см., гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.

Билет № 17

1.Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника.

2.Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство).

3. Найдите площадь трапеции с основаниями AD и BC, если АD=12см, ВС=6см, СD=5см, АС=13см.

Билет № 18

1.Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник.

2. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники.

3. Найдите площадь параллелограмма, если АD =12см, ВD=5см, АВ=13см.

.

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Якутская городская национальная гимназия им. А.Г. и Н.К. Чиряевых»

ГО «город Якутск»

Методическое пособие для проведения устного экзамена по геометрии

Автор: Габышевой Ольги Ксенофонтовны

                 2021 г.

Предисловие

Данное методическое пособие предназначено для учителей математики как общеобразовательных школ, так и в школах с углубленным изучением математики при работе с любым учебником.

О проведении экзамена по геометрии в 7-11 классах

Цель: проверка уровня предметной компетентности учащихся за курс 7-11 класса по геометрии в рамках проведения переводной аттестации.

Отличие геометрии от всех других общеобразовательных предметов состоит в том, что ее содержание практически не меняется в течение многих веков и основные цели ее изучения остаются неизменными:

1. Развитие пространственных представлении, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как умение:

• читать и делать чертежи, необходимые для решения;
•  выделять необходимую конфигурацию при чтении чертежа;
• определять необходимость дополнительных построений при решении задач и выполнять их;
•  различать взаимное расположение геометрических фигур.

2. Формирование и развитие логического мышления, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как владение методами
доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т. д.), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Билеты по геометрии составлены на основе Требований к результатам освоения основной общеобразовательной программы основного общего образования, представленных в Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования.

В билетах представлен материал, изучаемый в курсе геометрии 7-11класса. Практические задания составлены аналогично заданиям ГИА по математике. Устная форма проведения экзамена выбрана не случайно, именно она позволяет более правильно и глубоко оценить предметные знания и все виды умений (практические, теоретические, интеллектуальные, организационно – коммуникативные), которыми должен владеть учащийся, охватить все изучаемые темы.

Структура экзаменационного билета.

Билеты содержат два вопроса по различным темам курса геометрии 7-11 класса (один теоретический и один практический).

Теоретическая часть. В первом вопросе обучающиеся должны, как правило, дать определение фигуры, сформулировать её свойство или признак, указанный в теореме, и доказать эту теорему.

При ответе на первый вопрос обучающиеся должны:

• дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертёж;
• правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав её выполнением чертежа по условию теоремы;
• привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если обучающийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, ещё и ход доказательства.

Практическая часть. Второй  вопрос билета – задача. Цель включения этих заданий – проверка овладения обучающимися основными практическими умениями, полученными в ходе изучения курса.

Целью является проверка уровня сформированности логического мышления или логической интуиции. При выполнении второй части работы обучающиеся должны продемонстрировать умение геометрически грамотно записывать условие (что дано) и заключение (что требуется найти или доказать) задачи, её решение, сопровождая само решение необходимой аргументацией и доказательными рассуждениями. Кроме того, обучающиеся должны показывать умение геометрически грамотно выполнять чертежи.

Ответы на два практических задания билета позволяют судить об уровне сформированности предметной компетентности обучающегося.

Время подготовки учащегося. Система оценивания ответа.

Примерное время, отводимое на подготовку обучающегося к ответу, ‒ 20-25 минут. Оценивание ответа осуществляется по традиционной пятибалльной шкале. В одних случаях устный опрос производится по вопросам теории, а решения задач предъявляются комиссии без комментариев в письменной форме, в других случаях у доски рассматривается подробное решение задач со ссылками на все используемые факты, а теория оценивается по представленным записям. Поэтому и даны общие рекомендации по оцениванию ответов обучающихся.

Отметка «5» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос и решил  задачу.

Отметка «4» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос не достаточно хорошо и  решил задачу.

Отметка «3» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос и ли решил задачу

Во всех остальных случаях ставится отметка «2».

Билеты устного экзамена по геометрии

7 класс

Билет № 1

1. Первый признак равенства треугольников.

2. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если угол .

Билет № 2

1. Второй признак равенства треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике АВС (уголС=90°) биссектрисы CD  и AE пересекаются в точке О. Угол АОС равен 105°. Найдите острые углы треугольника АВС.

Билет № 3

  1. Смежные углы (определение). Теорема о сумме смежных углов.

  2. В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° больше угла В. Найдите углы В и С.

Билет № 4

1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из них).

2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Билет № 5

 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность                                        гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу.

Билет № 6

          1.Вертикальные углы (определение).  Свойства вертикальных углов.

          2. В треугольнике АВС угол а угол . Высота ВВ1 равна 2 см.

 Найдите АВ.

Билет № 7

1.Третий признак равенства треугольника

2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол В равен 35°,CD – высота. Найдите углы треугольника ACD.

Билет № 8

          1. Неравенство треугольника.

2.  В треугольнике АВС угол С равен 90°,  – высота,                             . Найдите угол САВ.

Билет № 9

1. Свойства равнобедренного треугольника (доказательство одного из них).

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а один из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Билет № 10

1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле  треугольника.

2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.

Билет № 11

1. Теорема о свойстве катета, лежащего против угла в 30º.

2. Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точку Dпроведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найти углы треугольника ADF, если угол ВАС равен 72°.

Билет № 12

1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника.

2. В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5:2. Найдите стороны треугольника.

Билет № 13

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников

2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 70° больше другого. Найдите эти углы.

Билеты устного экзамена по геометрии

 8 класс

Билет №1

1. Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24 см, угол А равен 35о. Найдите второй острый угол. Выразите катеты через гипотенузу и угол А.

Билет№2

1. Трапеция. Определение, виды, средняя линия.

2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если угол ОАВ равен 30о, АВ=5см.

Билет №3

1. Прямоугольник. Определение, свойства, признак.

2. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что угол АМС равен трем углам ВМС.

Билет№4

1. Ромб. Определение, свойства, признак.

2. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

Билет№5

1. Квадрат. Определение, свойства, признак.

2. Зная , что , найдите косинус и тангенс данного угла.

Билет№6

1. Теорема Пифагора.

2. Через точку А проведены касательные АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и Д. Найдите СД, если АВ = 4см и  АС = 2см.

Билет№7

1. Средняя линия треугольника.

2. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Билет№8

1. Свойство медиан треугольника.

2. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большой стороне, делит ее на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Билет№9

1. Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике.

2. В трапеции АВСД с большим основанием АД диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СД, угол ВАС равен углу САД. Найдите АД, если периметр трапеции равен 20 см, а угол Д равен 60о.

Билет№10

1. Касательная к окружности.

2. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140о и 52о.

Билет№11

1. Центральные и вписанные углы.

2. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Билет№12

1. Вписанная окружность.

2. Диагонали прямоугольной трапеции АВСД с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона АД равна 4см. Найдите ДС, ДВ и СВ.

Билет№13

1. Описанная окружность.

2. Диагональ АС квадрата АВСД равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и СД соответственно в точках М и N. Найдите MN.

Билеты устного экзамена по геометрии

9 класс

Билет № 1

1. Первый признак равенства треугольников.

2. Найдите координаты точки  А(х; у), если она симметрична точке В(–20; 11) относительно точки М (0; –5).

Билет № 2

1. Второй признак равенства треугольников.

2. В прямоугольном треугольнике АВС угол  В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

Билет № 3

1. Третий признак равенства треугольников.

2. Постройте фигуру, в которую перейдет квадрат АВСD при повороте вокруг точки D по часовой стрелке на угол 45°.

Билет № 4

1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

2. В треугольнике АВС углы А и С равны. На стороне АС взяты точки D и Е такие, что АD = СЕ. Докажите, что треугольник DВЕ — равнобедренный.

Билет № 5

1. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника.  

2.  В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 из вершин прямых углов С и С1 проведены высоты СН и С1Н1; СН = С1Н1, АН = А1Н1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Билет № 6

1. Теорема о средней линии треугольника.

2. Точки М и М1 симметричны относительно точки А. Точки М1 и М2 симметричны относительно точки В. Докажите, что отрезок ММ2 = 2АВ.

Билет № 7

1. Теорема о средней линии трапеции.

2. Окружность разделена тремя точками на части, которые относятся между собой как 2:3:5. Через точки деления проведены хорды. Определите вид получившегося треугольника.

Билет № 8

1. Теорема Фалеса.

2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает продолжение ВС в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ = 16 см, СЕ = 5 см.

Билет № 9

1. Теорема Пифагора.

2. На отрезке АВ взята произвольная точка С. Через точки А и В проведены по одну сторону от данного отрезка параллельные лучи. На них соответственно взяты точки D и Е таким образом, что АD = АС и ВЕ = ВС. Найдите угол DСЕ.

Билет № 10

1. Теорема синусов.

2. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30° и делится им на части, равные 12 см и 6 см. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.

Билет № 11

1. Теорема косинусов.

2.  Даны точки М(–2; 6), К(1; 2) и L(4; –2). Определите, принадлежат ли данные точки одной прямой.

Билеты устного экзамена по геометрии

10 класс

Билет №1.

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии и их следствия. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 
   10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Билет №2.

1. Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
2. В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30º. Сторона основания равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Билет №3.

1. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы

Билет №4.

1. Опишите взаимное расположение прямых в пространстве. Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве? Сделайте пояснения и чертежи.
2. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60º. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №5.

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №6.

1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Через вершину прямого угла К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ = 15 см, 
   FK = DK = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.

Билет №7.

1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Сделайте пояснения и чертежи.
2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60º. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №8.

1. Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки К, М и Т – середины ребер СС1, В1С1 и С1D1соответственно. Найдите АС1, если периметр сечения куба плоскостью КМТ равенсм.

Билет №9.

1. Тетраэдр и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения..
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна высоте и равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Билет №10.

1. Параллелепипед и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения.
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Диагональ АС1 равна .Найдите периметр сечения куба плоскостью РТН, где точки Р, Т и Н – середины ребер ВС, ВВ1 и АВ соответственно.

Билет №11.

1. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь полной и боковой поверхности призмы.
   

Билет №12.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Через вершину угла Е прямоугольного треугольника НРЕ с гипотенузой НЕ проведена прямая МЕ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки М до плоскости ЕРН, если ЕР = 5 см, а расстояние от точки М до прямой РН равно 10.

Билет №13.

1. Угол между прямой и плоскостью. Приведите примеры величины угла между прямой и плоскостью. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Через вершину прямого угла С равнобедренного треугольника DСЕ проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки К до прямой DЕ, если СК = 35 см, CD =  см.

Билет №14.

1. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Билет №15.

1. Призма и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения..
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро пирамиды равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билеты устного экзамена по геометрии

11 класс

Билет № 1

1. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Каждый из четырех равных шаров радиуса 6 касается двух других шаров и касается некоторой плоскости. Найдите радиус пятого шара, который касается той же плоскости и каждого из данных четырех шаров.

Билет № 2

1. Цилиндр. Боковая и полная поверхности цилиндра. Объем цилиндра.

2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 сечение BDD1B1 – квадрат и образует с сечением ACC1A1 угол 60°. Диагональ параллелепипеда равна  . Найдите объем параллелепипеда.

Билет № 3

1. Параллелепипед. Виды параллелепипеда. Формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда и объема наклонного параллелепипеда. Площадь полной поверхности.

2. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Первый шар вписан в этот тетраэдр. Второй шар касается вписанного шара и трех граней тетраэдра. Найдите объем второго шара.

Билет № 4

1. Призма. Виды призм. Формулы для вычисления объема прямой призмы и объема наклонной призмы.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна  см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет № 5

1. Пирамида. Виды пирамид. Формула для вычисления объема пирамиды.

2. Найдите угол развертки конуса, осевое сечение которого правильный треугольник.

Билет № 6

1. Цилиндр и его элементы. Объем цилиндра. Формула для вычисления объема цилиндра.

2. Основания наклонной призмы АВСА1В1С1 – правильные треугольники ABC и A1B1C1. Боковое ребро призмы вдвое больше ребра ее основания, а основанием высоты призмы, опущенной из вершины А1 на плоскость АВС, является точка В. Найдите косинус угла между скрещивающимися прямыми АВ и СС1.

Билет № 7

1. Конус и его элементы. Объем конуса. Формула для вычисления объема конуса.

2. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. Вершина А1 удалена от прямой ВС на расстояние 5 и от плоскости ВСС1 на расстояние 3. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, описанного около этого тетраэдра.

Билет № 8

1. Векторы в пространстве. Задание вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Определение суммы двух векторов в пространстве.

2. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.

Билет № 9

1. Усеченный конус и его элементы. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

2. Через образующую АВ цилиндра проведены осевое сечение ABCD и сечение ABFH, образующее с плоскостью АВС угол в 30°. Радиус цилиндра равен 5. Найдите расстояние между прямыми AF и CD.

Билет № 10

1. Правильный тетраэдр. Объем правильного тетраэдра.

2. Точка М, равноудаленная от вершин А1, В1, С правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, лежит в плоскости АВС. Высота призмы равна ребру ее основания и равна . Найдите объем пирамиды МА1В1С.

Билет № 11

1 . Усеченный конус и его элементы. Объем усеченного конуса.

2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1, АВ = 1, AD = 2, AA1 = 3. Точка М лежит на диагонали параллелепипеда и не совпадает ни с одной вершиной параллелепипеда. Докажите, что сумма расстояний от точки М до всех граней параллелепипеда не зависит от ее расположения на диагонали. Найдите эту сумму.

Билет № 12

1. Усеченная пирамида. Виды усеченных пирамид. Формула для вычисления объема усеченной пирамиды.

2. Точки А и В лежат в различных гранях двугранного угла, равного 60°, на расстояниях а и b от ребра t двугранного угла соответственно (а < b). Расстояние между ортогональными проекциями этих точек на ребро t равно d. Найдите АВ.

Перечень билетов для подготовки к экзамену по геометрии, 8 класс.

 Задачи будут взяты из сборника «Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра, геометрия» для 8-го класса (авторы А.И. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова.).

Билет 1

Вопрос 1.

            Какой четырехугольник называется ромбом? Свойства ромба. Какие вы можете указать сходства и различия свойств параллелограмма, ромба, квадрата?                 

Вопрос 2.

            Теорема об окружности, описанной около треугольника.       

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 2

Вопрос 1.

            Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой и центральной симметрией.              

Вопрос 2.

            Вписанные в окружность углы. Центральные углы.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 3

Вопрос 1.

            Что в геометрии понимается под площадью многоугольника? Площадь квадрата и прямоугольника. Основные свойства площадей геометрических фигур.

Вопрос 2.

            Касательная к окружности. Свойства касательной. Теорема о касательных, исходящих из одной точки.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 4

Вопрос 1.

            Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности?    

Вопрос 2.

            Признаки подобия треугольников.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 5

Вопрос 1.

            Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Сформулируйте основное тригонометрическое тождество. Укажите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60°.          

Вопрос 2.

            Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 6

Вопрос 1.

            Взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от ее центра до заданной прямой линии. Какая прямая линия называется секущей по отношению к окружности? 

Вопрос 2.

            Докажите теорему Пифагора и сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 7

Вопрос 1.

            Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Вопрос 2.

            Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 8

Вопрос 1.

            Четыре замечательные точки треугольника. Сделайте чертежи.        

Вопрос 2.

            Докажите теорему о вычислении площади треугольника.       

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 9

Вопрос 1.

            Как относятся периметры и площади подобных фигур? Приведите примеры. Где в практической жизни мы встречаемся с подобием геометрических фигур? 

Вопрос 2.

            Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма (доказательство – одного из признаков – на выбор).

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 10

Вопрос 1.

            Какой четырехугольник называется трапецией? Является ли трапеция выпуклым многоугольником и почему? Как называются стороны трапеции. Какие вы знаете виды трапеций? 

Вопрос 2.

            Площадь прямоугольника. Докажите теорему о вычислении площади параллелограмма

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 11

Вопрос 1.

            Какой четырехугольник называется прямоугольником? Свойства прямоугольника. Какие вы можете указать сходства и различия свойств прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата?

Вопрос 2.

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 12

Вопрос 1.

            Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым многоугольником и почему? Какие вы можете указать сходства и различия свойств параллелограмма, ромба, квадрата? 

Вопрос 2.

            Теорема о средней линии треугольника

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 13

Вопрос 1.

            Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым?       

Вопрос 2.

Вычисление площади трапеции.

Вопрос 3.

            Задача.

Билет 14

Вопрос 1.

            Дайте определение пропорциональных отрезков. Дайте определение подобных фигур. Дайте определение подобных треугольников. Что такое коэффициент подобия? 

Вопрос 2.

            Докажите, что в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.       

Вопрос 3.

            Задача.

Степаненко Валентина Федоровна, учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ СОШ № 122 Калининского района г. Новосибирска

Экзамен-собеседование по геометрии в 8 классе

С введением формы итоговой аттестации в виде ОГЭ и ЕГЭ для предмета «математика» возникла необходимость более глубокого изучения геометрии, т.к. часть заданий контрольно-измерительных материалов предлагает знание этого предмета.

Для более качественного изучения геометрии мы проводим зачеты в конце каждой четверти и мини-экзамен в конце года. Задания по геометрии, предлагаемые для учащихся восьмого класса в рамках экзамена-собеседования.

Работа предназначена для проверки уровня обученности учащихся по курсу геометрии 8 класса, для формирования устойчивых навыков при выполнении заданий базового уровня и для подготовки к сдаче ГИА по математике.

Приложение. Экзамен-собеседование по геометрии в 8 классе

Количество просмотров: 6759