Какие теоремы по геометрии нужно знать для егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Подготовка к ЕГЭ с преподавателем

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. И звучит так:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

c² = a² + b².

Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов. Это объясняется тем, что косинус 90 градусов равен нулю.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Демоурок по подготовке к экзаменам

Составим ваш личный путь к высоким баллам — учтем сроки, уровень знаний и цель.

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса — это свойство параллельных прямых, которые пересекают две секущие с общей точкой.

Вообще, есть две теоремы Фалеса — общая, на все случаи жизни, и частная — то, что нужно для решения задач на ЕГЭ по математике.

Через произвольные точки A₁, A₂, … A_n–1, A_n, лежащие на стороне AO угла AOB, проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках B₁, B₂, … B_n–1, B_n, соответственно. Тогда справедливы равенства:

В ЕГЭ по математике теорема Фалеса встречается чаще всего в параллелограмме, у которого проведена диагональ, — будьте начеку.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора — кайф, легко запомнить, часто встречается, применяем только тогда, когда у нас есть прямоугольный треугольник. Но на самом деле теорема Пифагора работает для любого треугольника, только называется она в этом случае теоремой косинусов.

Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.

a² = b² + c² – 2bc cos A

Собственно, по формуле сразу становится понятно, почему это соотношение называется теоремой косинусов. Ещё она крайне похожа на разность квадратов с учётом косинуса, поэтому запомнить её не очень сложно. И если вспомнить, что косинус 90 градусов — это 0, то мы увидим знакомую теорему Пифагора.

Теорема синусов

Казалось бы, синус — это что-то про тригонометрию, но на самом деле совсем не только. Планиметрия может с этим смело поспорить, и теорема синусов — явный аргумент в этом воображаемом споре. Если коротко, теорема синусов — это формула связи угла с противолежащей ему стороной в треугольнике.

Для любого треугольника справедливы равенства:

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

По теореме синусов, во-первых, можно быстро найти радиус описанной окружности по известной стороне и противолежащему ей углу. Во-вторых, если треугольник не прямоугольный, то в нём можно просто найти синус угла по известным стороне и радиусу описанной окружности. Ну и в конце концов, можно использовать отношение двух любых сторон и углов. Формула синусов в ЕГЭ по математике используется нечасто, но иметь её в своем арсенале полезно и обязательно.

Теорема Менелая

Её также называют теоремой о треугольнике и секущей, и звучит она так:

Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁ и A₁, а точка B₁ взята на продолжении стороны AC за точку C, то точки C₁, A₁ и B₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство:

Теорема Менелая пригодится для решения 2-й части ЕГЭ по математике. Она поможет уменьшить огромную кучу исписанных листочков при решении и сохранить время на экзамене, ведь помогает решать в несколько действий.

Чтобы с лёгкостью запомнить все основные теоремы из геометрии для ЕГЭ по математике, скачайте и распечатайте удобную шпаргалку. Кроме теорем из этой статьи, там есть ещё две редкие — теоремы Чевы и Вариньона, а также задачи на доказательства.

Математика — обязательный для сдачи на ЕГЭ предмет, без которого не получишь аттестат. Это также один из самых сложных экзаменов для выпускников. Делимся типичными ошибками в ЕГЭ по математике, а также ресурсами, которые помогут отработать теорию на практике.

Источник

Геометрия на ЕГЭ по математике

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три задачи в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая задача 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника ABC равны 4,6 и сантиметров соответственно. Постройте треугольник ABC с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике ABC угол равен градусов, сторона равна , равна . Постройте треугольник ABC .
в) В треугольнике ABC сторона равна , угол равен $26^{circ}$ , угол равен $58^{circ}$ . Постройте треугольник ABC .

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы $S=frac{1}{2}ah$ и $S=frac{1}{2}absin C$ .

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник ABC . Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Программа по стереометрии

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Геометрия на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Справочник

«ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ГЕОМЕТРИИ»

Содержание:

1.
Теоремы базового уровня……………………………………….3 – 11 стр.

1.1.
Теорема Фалеса Милетского……………………………..……3 стр. 1.2. Теорема
Пифагора………………………………………………3 стр. 1.3.
Теорема синусов………………………………………………..4 стр. 1.4. Теорема косинусов……………………………………………..4 стр.

1.5.
Теорема биссектрис…………………………………………….5 стр.

1.6.
Теорема о пересечении медиан треугольника……………..…5 стр. 1.7. Теорема о высотах
треугольника………………………………5 стр. 1.8.
Площади треугольников……………………………….………6 стр.

1.9.
Вписанный и центральный углы……………………………….7 стр.

1.10.
Вписанная окружность треугольника………………………..8 стр.

1.11.
Описанная окружность треугольника……………………..…8 стр.

1.12.
Вневписанная окружность треугольника……………………..8 стр. 1.13. Площади
четырехугольников……….……………………..….9 стр.

1.14.
Вписанный четырехугольник………………..………………10 стр.

1.15.
Описанный четырехугольник…………..……………………10 стр.

1.16.
Теорема о двух секущих……..………………………………11 стр. 1.17. Теорема о касательной и
секущей……………………………11 стр.

1.18. Теорема
о двух хордах………………………………………..11 стр.

2.
Теоремы профильного уровня…………………………………12 – 13 стр.

2.1.
Теорема Менелая………………………………………………12 стр. 2.2. Теорема
Чевы…………………………………………………..12 стр.

2.3.
Теорема Ван – Обеля………………………………………….12 стр.

2.4.
Теорема Стюарта………………………………………………13 стр.

2.5.
Теорема Птолемея…………………………………………….13 стр.

2.6.
Теорема Аполлония……………………………………………13 стр.

Теорема Фалеса
Милетского «Несколько параллельных прямых a║b║c║d и т.д., отсекающие на
одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекающие
на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекают
равные отрезки»

Теорема Пифагора

1. Квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2. Если
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то
треугольник – прямоугольный.

Теорема синусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ –
противолежащие им углы; R – радиус описанной окружности. Тогда:

Теорема косинусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α – угол,
противолежащий стороне a. Тогда:

Теорема биссектрис

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два
отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.

Теорема о пересечении медиан треугольника

В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка
пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, из
которой проведена медиана.

Теорема о высотах треугольника

В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Площади треугольников

;

(формула
Герона)

где:

•
a,b,c – стороны треугольника

•
h_a – высота треугольника

•
p – полупериметр треугольника

•
r – радиус вписанной окружности

•
R – радиус описанной окружности

•
β – угол между сторонами

Вписанный и центральный углы

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина
лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке вписанным углом является ABC.

Центральным называется угол вершиной в центре окружности. На
рисунке центральным углом является угол AOC.

Вписанная окружность треугольника

В любой треугольник можно
вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает
с точной пересечения его биссектрис.

Описанная окружность треугольника

Около любого треугольника можно описать
единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника,
совпадает с точкой пресечения серединных перпендикуляров к его сторонам

Вневписанная окружность треугольника

В любом треугольнике биссектрисы двух
внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются
в одной точке.

Площади четырехуголников

— площадь любого четырехугольника, где

•
d₁– первая диагональ

•
d2 – вторая диагональ

•
α – угол между диагоналями

— площадь четырехугольника,

вписанного в окружность (формула Герона), где

•
p – полупериметр четырехугольника

•
a, b, c и d – стороны четырехугольника

S = ah_a – площадь паралелограмма, где

•
a – основание паралелограмма

•
h_a – высота, проведенная к основанию

S = ab sinβ – площадь параллелограмма, где

•
a и b – стороны паралелограмма

•
β – угол между смежными сторонами

S = ab – площадь прямоугольника, где

 a и b – стороны квадрата

S = – площадь квадрата, где

 a – сторона квадрата

S = ah_a – площадь ромба, где

•
a – сторона ромба

•
h_a – высота, проведенная к стороне

S = – площадь ромба, где

•
a – сторона ромба

•
β – угол между сторонами ромба

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

Описанный четырехугольник

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и
только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

DC
+ AB = DA + BC

Теорема о двух секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие,
то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой
секущей на ее внешнюю часть:

MAMB = MC MD

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности
проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть

MC²
= MA MB

Теорема о двух
хордах Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке S, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. AS SD = CS SB

AS SD = CS SB

Теорема Менелая

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на
противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема Ван-Обеля

Теорема Стюарта

Теорема
Птолемея

Если
четырехугольник вписан в окружность, то

AB+ AD = AC

Теорема Аполлония

A
Если AD – медиана треугольника ABC, то

Желаем вам успехов!

Источник

Параллельность в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
Если прямая a, не лежащая в плоскости $α$, параллельна некоторой прямой $b$, которая лежит в плоскости $α$, то прямая a параллельна плоскости $α$.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Перпендикулярность в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90°$.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:

Перпендикуляр короче наклонных.
Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости.

Скрещивающиеся прямые

Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Угол между скрещивающимися прямыми – это острый угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Многогранники

Введем общие обозначения

$P_{осн}$ — периметр основания;

$S_{осн}$ — площадь основания;

$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;

$V$ — объем фигуры.

Название	Определение и свойства фигуры	Обозначения и формулы объема, площади
Прямоугольный параллелепипед	1. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. 2. Противоположные грани попарно равны и параллельны. 3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты). $B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$	$V=a·b·c$, где $a, b$ и $с$ – длина, ширина и высота. $S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ $S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.
Куб	1. Противоположные грани попарно параллельны. 2. Все двугранные углы куба – прямые. 3. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра. $B_1 D=АВ√3$ 4. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра. $DС1=DC√2$	Пусть $а$ — длина ребра куба, $d$ — диагональ куба, тогда справедливы формулы: $V=a^3={d^3}/{3√3}$. $S_{п.п}=6а^2=2d^2$ $R={a√3}/{2}$, где $R$ — радиус сферы, описанной около куба. $r={a}/{2}$, где $r$ — радиус сферы, вписанной в куб.
Призма	Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. В правильной четырехугольной призме диагонали точкой пересечения делятся пополам.	$S_{бок}=P_{осн}·h$ $S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$ $V=S_{осн}·h$
Пирамида	У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник). Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.	Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды. $h_a$ — высота боковой грани (апофема) $S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$ $S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$ $V={1}/{3} S_{осн}·h$
Усеченная пирамида	Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между пирамидой и секущей плоскостью, параллельной. Правильная усечённая пирамида получается при сечении правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. У правильной усеченной пирамиды апофемы равны	$V={h(F+f+√{Ff})}/{3}$ Где $F,f$ — площади оснований; $h$ — высота (расстояние между основаниями); Для правильной ус. пирамиды $S_{бок}={(P+p)·a}/{2}$, где $P$ и $p$ – периметры оснований; $а$ – апофема.
Цилиндр	Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра. Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра. $R_{сферы}=R_{цилиндра}={h_{цилиндра}}/{2}$	$S_{бок.пов.}=2πR·h$ $S_{полной.пов.}=2πR(R+h)$ $V=πR^2·h$
Конус	Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$. Если радиус или диаметр конуса увеличить в $n$ раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.	$S_{бок.пов.}=πR·l$ $S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$ $V={πR^2·h}/{3}$
Усеченный конус	Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.	$S_{бок}=πl(R+r)$ $S_{п.п.}=π(R^2+r^2+l(R+r))$ $V={πH(R^2+r^2+Rr)}/{3}$ Где $R$ и $r$ – радиусы оснований; $Н$ — высота усеченного конуса.
Сфера, шар	Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Если радиус или диаметр шара увеличить в $n$ раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.	$S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы $V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.

Тетраэдр

Радиус описанной сферы тетраэдра.

Вокруг тетраэдра можно описать сферу, радиус которой находим по формуле, где $R$ — радиус описанной сферы, $a$ — ребро тетраэдра.

$R={a√6}/{4}$

Радиус вписанной в тетраэдр сферы.

В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.

Где $r$ — радиус вписанной в тетраэдр сферы,

$a$ — ребро тетраэдра.

$r={a√6}/{12}$

Составные многогранники

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Пример:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

$S_1=6·6=36$

$S_2=2·4=8$

$S_осн=36+8=44$

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$

Ответ: $424$

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей

$АВ=a_n$ — сторона правильного многоугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$r$ — радиус вписанной окружности

$n$ — количество сторон и углов

$a_n=2·R·sin{180°}/{n}$;

$r=R·cos{180°}/{n}$;

$a_n=2·r·tg{180°}/{n}$.

Формула нахождения градусной меры угла в правильном многоугольнике:

$α={(n-2)·180°}/{n}$

Формулы площадей треугольников и многоугольников, которые могут находиться в основании многогранников

В основании лежит треугольник

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне а

2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a, b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.

3. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности

4. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности

5. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^{2}√3}/{4}={3·a^{2}√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.

Источник

Эта удобная шпаргалка поможет с лёгкостью запомнить все основные теоремы из геометрии для ЕГЭ по математике. В ней вы найдёте все нужные формулы и теоремы, а именно:

Теорема Фалеса;
Теорема Птолемея;
Теорема Чевы через треугольник;
Теорема Менелая через треугольник;
Теорема Чевы для линий треугольника;
Теорема Менелая для линий через треугольник;
Теорема Вариньона;
Задачи на доказательства.

Также в конце шпаргалки — видео от Эйджея с объяснениями этих теорем.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Источник

Алгебра — ЕГЭ Тригонометрия — ЕГЭ Геометрия — ЕГЭ Стереометрия — ЕГЭ Алгебра — ОГЭ Геометрия — ОГЭ

Шпаргалка по геометрии для ЕГЭ

Формулы по геометрии для ЕГЭ

Сборник формул по геометрии

Формулы для четырехугольников

Формулы для окружности

Источник

Теоремы и определения по Планиметрии

Теоремы и определения по Планиметрии. Справочник по геометрии для 7-11 классов, для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. Часть 1 «Планиметрия». Автор: Нелин Е.П. Использованы цитаты из пособия «Геометрия. 7-11 классы. Определения, свойства, методы решения задач в таблицах / М.: Илекса, 2018» из серии «Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА (ОГЭ). Цитаты использованы в учебных целях.