Какие вопросы могут быть на экзамене по математике

Copyright testserver.pro 2013-2021

ЕГЭ по математике профильного уровня — один из самых сложных экзаменов. Планируете сдавать его, но не знаете, с чего начать? Этот экзамен не покажется вам таким трудным, если вы узнаете про него побольше и грамотно подготовитесь. В этой статье обсудим, что нужно знать про ЕГЭ по математике 2023, из каких разделов он состоит и как к нему подготовиться.

Какие темы важно знать для ЕГЭ по математике 2023?

В математике, как и в любом предмете, есть опорные темы. Если вы их выучите, будет легче справиться с экзаменом.

Формулы тригонометрии

Очень важно знать формулы тригонометрии и уметь применять их. Хорошая новость: в справочных материалах можно найти несколько тригонометрических формул.

Но формул гораздо больше. Я советую не зубрить их, а научиться выводить: приходить к формулам шаг за шагом, опираясь на тождества. Кстати, мы учим выводить формулы на курсах подготовки к ЕГЭ: это полезно, чтобы оказаться на экзамене во всеоружии и ничего не перепутать.

Квадратные уравнения

Эти уравнения мы учимся решать еще в 7 классе. Они встречаются в ЕГЭ по математике постоянно: и как самостоятельные задания, и внутри более сложных уравнений или неравенств. Квадратные уравнения могут встретиться в математических моделях № 9 и № 15, в задачах на геометрию и стереометрию, в задании № 17 с параметром.

Самое главное — хорошо знать универсальные методы решения. Первый — через формулу дискриминанта, второй — через теорему Виета, которая может сэкономить время на экзамене.

Треугольники

Эта замечательная тема, которую проходят в 7 классе — основа основ всей геометрии. Она нужна и для решения стереометрии, и для простейших планиметрических задач. Еще треугольники необходимы, чтобы освоить огромное количество теорем. Выучите все, что с ними связано! Особое внимание обратите на прямоугольные треугольники, которые встречаются чаще остальных — тогда геометрические задачи сразу станут проще.

Проценты

Самая нелюбимая тема моих учеников после тригонометрии, которую необходимо хорошо знать. Проценты нужны для реальной математики — это № 9 (с кратким ответом) и № 15 (с развернутым ответом). Понимание этой темы может принести вам 3 первичных балла.

План успешной подготовки к ЕГЭ по математике 2023

Если вы хотите получить больше 80 баллов на ЕГЭ, нужно идеально решать часть с кратким ответом, а также справляться с большинством заданий с развернутым ответом.

Чтобы постепенно прорабатывать материал, воспользуйтесь кодификатором. В нем обратите внимание на таблицу 2, а именно на блоки:

• Алгебра
• Уравнения и неравенства
• Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
• Функции
• Начала математического анализа
• Геометрия

Ориентируйтесь на указанную последовательность, но геометрию изучайте параллельно с остальными блоками — на нее нужно больше времени.

Самое главное — ни в коем случае не ограничивайтесь теорией. Ее у вас не спросят на экзамене, а вот задания решать придется. Поэтому тренируйте практические навыки: актуальные задания вы сможете найти в открытом банке заданий на сайте ФИПИ или в нашем тренажере «Решутест».

Как решать часть с кратким ответом

Ни в коем случае не пренебрегайте частью с кратким ответом! Иначе будет обидно: например, вы наберете за экономическую задачу № 15 полные 2 балла, но потеряете их в двух заданиях первой части. Это актуально для всех ЕГЭ: подробнее о том, как идеально справляться с первой частью экзамена, читайте здесь.

Еще одно заблуждение: «часть с кратким ответом простая, к ней можно не готовиться». Даже в первой части иногда встречаются такие задания, которые ученики даже не решают, потому что не готовились к ним.

Как я уже говорила, часть с кратким ответом содержит 11 заданий. Начинать подготовку необходимо именно с заданий базового уровня сложности, потому что это та основа, на которую потом накладывается более сложная теория.

Что касается задач повышенного уровня сложности, то среди каждого номера есть лайфхаки, например, в этой статье я уже рассказывала про № 11, в котором нужно работать с производной.

Задания с развернутым ответом: немного статистики

Многие думают, что эта часть ЕГЭ по математике очень сложная. Поэтому ребята, которые не рассчитывают на высокие баллы, даже не приступают к ней. И очень зря! С помощью этих заданий можно заработать дополнительные баллы и побороться за высокое место в рейтинге.

Сейчас будет немного статистики. В среднем около 35% учеников получают полные 2 балла за решение № 12, а вот неравенство № 14 дается хуже, только около 12% с ним справляются на полный балл. Геометрия даётся ещё хуже: стереометрию № 13 полностью решают 2% выпускников, планиметрию (№ 16) менее 5%. А вот с экономической задачей (№ 15) справляются около 20%, а это целых 2 балла! Что касается № 17 и 18, то они даются ещё хуже, но на то они и самые сложные, хотя 1 балл за № 18 по статистике получают около 25% сдающих — там нужно просто привести пример.

Особенности уровней ЕГЭ по математике

В 2015 году ЕГЭ по математике разделили на базовый и профильный уровни. Это упростило жизнь выпускникам, которые не планируют поступать на специальности, связанные с математикой. Если ЕГЭ по математике нужен только для получения аттестата, можно сдать его облегченную версию, оставив время и силы для профильных экзаменов.

Базовый уровень ЕГЭ по математике

Как устроен базовый ЕГЭ по математике? Экзамен идет 180 минут, он состоит из 21 задания, за каждое из которых можно получить 1 балл. Этот экзамен единственный, который переводится не в 100-бальную систему, а в оценки.

В ЕГЭ по математике базового уровня 6 тематических блоков:

Также обратите внимание, что базовый ЕГЭ по математике не поменялся с точки зрения наполнения, изменился лишь порядок заданий. Вот что пишут ФИПИ:

Подробнее про базовый ЕГЭ по математике, включая разбор всех заданий, читайте здесь, а мы перейдём к профильному.

Профильный уровень ЕГЭ по математике

Данный экзамен, как и остальные ЕГЭ, переводится в 100-бальную систему:

Экзамен состоит из двух частей: Часть 1 с кратким ответом, а Часть 2 — с развернутым. Длится он 235 минут. Всего есть 18 заданий, которые разделены на 3 блока: алгебра, геометрия и реальная математика. Максимальное количество первичных баллов — 31.

Структура ЕГЭ по математике 2023

Часть 1:

• Приносит 11 баллов, то есть 35% всего экзамена
• 11 заданий с кратким ответом

Часть 2:

• Приносит 20 баллов, то есть 65% всего экзамена
• 7 заданий с развернутым ответом

Внимание! Вся нумерация заданий в статье соответствует ЕГЭ 2023 года.

В заданиях с кратким ответом нужно лишь записать верное число в бланк. Заданий с развернутым ответом 7, в них нужно подробно расписать решение, которое должно соответствовать критериям оценивания.

ЕГЭ — стандартизированный экзамен, поэтому каждое задание всегда соответствует определенной теме.

Обратите внимание, что по сравнению с 2022 годом, в части 1 изменился только порядок заданий. Сами сотрудники ФИПИ говорят следующее:

Задания с кратким ответом принесут вам до 11 первичных баллов (64 вторичных). Если не понимаете, что это за баллы и откуда они берутся, почитайте эту статью. Самая популярная цель на ЕГЭ по математике — набрать 80 баллов, для этого раньше было необходимо 19 первичных баллов. Ранее многие ученики пользовались рабочей стратегией — решить всю часть с кратким ответом, а также № 12, 14 и 15. Если хорошо разбирались в геометрии, выбирали № 13 и 16 — или использовали их как запасные задания. Сейчас стратегия должна быть другая, так как № 13 (стереометрия) стал стоить дороже — 3 балла вместо 2, а № 15 (экономическая задача) — подешевел с 3 баллов до 2. Изменилась также шкала перевода баллов, поэтому подумайте, какими заданиями вы сможете набрать необходимое количество первичных баллов.

Разделы ЕГЭ по математике

• Алгебра и начала анализа — 8 заданий, 13 первичных баллов
• Геометрия — 4 задания, 8 первичных баллов
• Реальная математика — 6 заданий, 10 первичных баллов

Какие задания входят в ЕГЭ по математике?

Здесь вам на помощь приходят документы с официального сайта ФИПИ: кодификатор, демоверсия и спецификация.

• Кодификатор — это краткий перечень всех блоков и тем, которые включены в экзамен.

  Сейчас кодификатор общий для обоих уровней экзамена, как базового, так и профильного. Он снова представляет собой единый документ, так что не запутаетесь.

• Демоверсия — типовой вариант ЕГЭ. Он показывает уровень экзамена и ориентировочную сложность заданий.
• Спецификация — это документ, описывающий структуру экзамена и разбалловку.

Что в итоге

Каким был ЕГЭ по математике в 2022 году?

Мы знаем, что в 2022 году формат ЕГЭ по математике изменился. Поменялась нумерация заданий. Добавились новые задачи: №9 (Функции и графики) и № 10 (Теория вероятностей). И в первой части стало на 1 задачу меньше.

Во второй части ЕГЭ также произошли изменения.

«Экономическая» задача, которая теперь под № 15, оценивается уже не в 3, а только в 2 первичных балла.

А вот задача по стереометрии, №13, наоборот, «подорожала» и теперь оценивается в 3 балла.

Расскажем о заданиях 2 части ЕГЭ, задачах 13-18, а затем подробно разберем различные типы таких задач.
Задание 12, уравнения. Все стандартно, просто тригонометрия.

Задание 13, стереометрия. По сравнению с прошлыми годами сложность значительно выше. Здесь и теорема Менелая, и произвольная призма, и пересечение сфер.

Задача 14, неравенство. Все стандартно – показательное неравенство, замена переменной. Помним о секретах решения таких задач! Сделав замену, сначала полностью решаем неравенство для новой переменной, затем возвращаемся к первоначальной.

Задача 15, экономическая. В 2022 году были только кредиты и вклады. Обошлись без задач на оптимизацию.

Задача 16, планиметрия. Простые задания, без затей. Подобные треугольники, теорема косинусов, свойство биссектрисы треугольника, в общем, обязательная школьная программа по геометрии.

Задание 17, задачи с параметрами. Составители вариантов порадовали разнообразием: был и графический метод, и аналитический. И решение квадратных уравнений с параметрами. И в каждом задании присутствовали модули, так что кто эту тему не знает, надо повторить!

Изучить «параметры» с нуля можно с помощью Видеокурса Анны Малковой

Полный курс, 26 часов видео, 13 видеоуроков. 11 методов решения задач с параметрами.

И наконец, задание 18, задачи на числа и их свойства. Все типы заданий – новые, нестандартные. Числа на круге, использование делимости и остатков.

Освоить эту необычную задачу можно с помощью видеокурса Анны Малковой.

Полный курс, 10 видеоуроков по 2 часа. 11 методов решения задач на числа и их свойства.

А теперь подробно о каждом задании ЕГЭ-2022, 2 часть.

Уравнения на EГЭ -2022 по математике, задача 12

Cтереометрия на EГЭ-2022 по математике, задача 13

Hеравенства на EГЭ-2022 по математике, задача 14

Экономические задачи и финансовая математика на ЕГЭ-2022, задача 15

Планиметрия на EГЭ-2022 по математике, задача 16

Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения

Задача 18 на числа и их свойства на ЕГЭ-2022 по математике

Экзаменационные билеты, вопросы и задачи по курсу высшей математики для студентов 1 курса (1 и 2 учебный семестр) и 2 курса (3 и 4 семестр) очной и заочной форм обучения технических и гуманитарных специальностей ВУЗов.

Допуск к экзамену получают учащиеся, выполнившие и сдавшие все контрольные и расчетные работы, предусмотренные учебным планом кафедры математики.

Для успешной сдачи экзамена необходимо выполнить 60 или более процентов заданий указанных в билете, решив минимум одну задачу.

Ответы на теоретические вопросы экзамена должны включать точные определения и основные положения рассматриваемой темы с выводами соответствующих формул.

Если Вам требуется помощь в решении задач, наши специалисты готовы ответить на все вопросы по математике.

Экзаменационный билет по высшей математике

Билет для сдачи экзамена по высшей математике включает решение задач и ответы на вопросы по темам, изучавшимся в пройденном учебном семестре, и может содержать от трех до 5, а в некоторых случаях и до 10 пунктов.

Например, в билете могут быть три теоретических вопроса и две задачи, либо задание в виде теста.

Пример экзаменационного билета

Примерный билет содержит задачи и вопросы по разделам высшей математики:

1. Определители. Свойства определителей.

2. Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

3. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

4. Найти обратную матрицу A^-1, если:

5. Вычислить неопределенный интеграл

Вопросы к экзаменам по математике

Примерный перечень экзаменационных вопросов по теории курса высшей математики, включаемых в билет:

Раздел матрицы и векторы

1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
2. Алгебраические дополнения и миноры.
3. Вычисление определителей методом треугольников и разложением по элементам строки или столбца.
4. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.
5. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.
6. Метод Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений.
7. Действия над векторами.
8. Линейная зависимость и независимость векторов.
9. Векторный базис. Координаты вектора.
10. Прямоугольная декартова система координат. Деление отрезка в заданном отношении. Определение расстояния между точками.
11. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
12. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Неопределённый интеграл

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Простейшие свойства неопределенного интеграла и его геометрический смысл.
3. Интегрирование методом разложения и методом замены переменной.
4. Метод интегрирования по частям.
5. Интегрирование простейших дробей.
6. Интегрирование дробно-рациональной функции.
7. Интегрирование тригонометрических функций.
8. Интегрирование иррациональных функций.

Определённый интеграл

1. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.
5. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей фигур в декартовых и полярных координатах.
6. Длина дуги плоской кривой в декартовых и полярных координатах, объем тела вращения.
7. Решение физических задач с помощью определенных интегралов.

Кратные интегралы

1. Определение двойного интеграла. Его геометрический смысл
2. Свойства двойного интеграла
3. Понятие о правильных областях. Двукратный интеграл
4. Сведение двойного интеграла к двукратному
5. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла полярных координатах
6. Вычисление объемов тел и площадей плоских областей
7. Задачи механики
8. Определение тройного интеграла. Его механический смысл. Свойства
9. Вычисление тройного интеграла
10. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
11. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
12. Приложения тройных интегралов к задачам геометрии и механики
13. Вычисление объемов тел
14. Задачи механики

Криволинейные и поверхностные интегралы

1. Криволинейные интегралы первого рода (или по длине дуги)
2. Определение и физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Свойства
3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
4. Криволинейный интеграл для пространственного случая
5. Некоторые применения криволинейного интеграла первого рода
6. Криволинейный интеграл второго рода (или по координатам)
7. Задача о работе силового поля. Определение криволинейного интеграла второго рода
8. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода
9. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
10. Формула Грина
11. Условия независимости интеграла от пути интегрирования
12. Поверхностный интеграл первого рода (или по площади поверхности). Теорема существования
13. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
14. Некоторые применения поверхностного интеграла первого рода
15. Поверхностный интеграл второго рода или по координатам. Физический смысл
16. Применение поверхностного интеграла второго рода

Экзаменационные задачи по математике

Примеры экзаменационных задач по курсу высшей математики, которые могут быть включены в билет для сдачи экзамена:

1. Решить систему уравнений методом Гаусса

2. Используя признаки сходимости несобственных интегралов, исследовать на сходимость

3. Применяя основные правила дифференцирования, найти производную функции

Ответы на экзаменационные вопросы по математике

Ответы на некоторые теоретические вопросы в экзаменационных билетах по высшей математике:

• Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения
• Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
• Уравнение Бернулли
• Уравнение в полных дифференциалах
• Интегрирующий множитель
• Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши
• Числовые ряды. Основные понятия
• Ряд геометрической прогрессии со знаменателем
• Остаток ряда
• Свойства, сходящихся числовых рядов
• Необходимый признак сходимости числового ряда
• Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
• Признак Даламбера
• Признак Коши

Другие ответы можно найти, воспользовавшись поиском на нашем сайте.

Наш коллектив математиков желает Вам успешной подготовки и сдачи экзамена, и в случае необходимости готов оказать студентам всю необходимую помощь.

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике для 11 класса за 2002-2009 годы включали в себя три раздела: А (задачи с выбором ответа из нескольких предложенных), В (задачи с кратким ответом) и С (задания, для выполнения которых требовалось привести полное решение задачи).

В 2010 году из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике были исключены задачи с выбором ответа, ранее составлявшие раздел А. Таким образом, демонстрационный вариант ЕГЭ стал состоять уже только из двух разделов В и С.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 года почти полностью совпадал с демонстрационным вариантом ЕГЭ 2010 года: были изменены лишь задания C1 и C5.

В 2014 году в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике тематических изменений по сравнению с предыдущим годом не было: задачи В3, В9, В14, С2 и С4 были заменены на другие задачи той же тематики. Кроме того, было добавлено задание базового уровня сложности с кратким ответом, проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни и изменен порядок заданий.

В 2015 году в порядке проведения ЕГЭ по математике произошли серьезные изменения: было решено проводить два отдельных экзамена – базового уровня и профильного уровня.

В связи с этим в 2015 году было представлено 2 демонстрационных варианта: новая модель демонстрационного варианта для ЕГЭ базового уровня и модернизированная модель демонстрационного варианта 2014 года для проведения ЕГЭ профильного уровня.

Демонстрационный вариант для ЕГЭ базового уровня содержал только задания базового уровня сложности с кратким ответом (20 заданий). В демонстрационном варианте было представлено по несколько примеров заданий на каждую позицию экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию было предложено только одно задание.

Демонстрационный вариант профильного экзамена 2015 года разработан на основе демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2014 года со следующими изменениями:

• Вариант стал состоять из двух частей (часть 1 — задания с кратким ответом, часть 2 — задания с кратким ответом и задания с развернутым ответом).
• Нумерация заданий стала сквозной по всему варианту без буквенных обозначений В, С.
• Во второй части добавлено 1 задание высокого уровня сложности с развёрнутым ответом, проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.
• Из первой части исключено 1 задание базового уровня сложности.
• Произведены несущественные изменения формы и тематики заданий 16 и 17

В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике базового уровня 2016 года изменений не было .

В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике профильного уровня 2016 года произошли следующие изменения:

• Из первой части варианта были исключены два задания: задание практического содержания базового уровня сложности и задание по стереометрии повышенного уровня сложности.
• Максимальный первичный балл за выполнение всей работы был уменьшен с 34 до 32 баллов.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ по математике 2017 — 2021 годов как базового уровня, так и профильного уровня, по сравнению с демонстрационными вариантами ЕГЭ по математике 2016 года изменений не было.

В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2022 года базового уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2021 года базового уровня произошли следующие изменения:

• Удалено задание 2, проверяющее умение выполнять вычисления и преобразования (данное требование внесено в позицию задачи 7 в новой нумерации).
• Добавлены задание 5, проверяющее умение выполнять действия с геометрическими фигурами, и задание 20, проверяющее умение строить и исследовать простейшие математические модели.
• Количество заданий увеличилось с 20 до 21, максимальный балл за выполнение всей работы стал равным 21.

В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2022 года профильного уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2021 года профильного уровня произошли следующие изменения:

• Удалены задания 1 и 2, проверяющие умение использовать приобретённые знания и умения в практической и повседневной жизни, и задание 3, проверяющее умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
• Добавлены задание 9, проверяющее умение выполнять действия с функциями, и задание 10, проверяющее умение моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий.
• Внесены изменения в систему оценивания: максимальный балл за выполнение задания повышенного уровня 13, проверяющего умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами, стал равен 3; максимальный балл за выполнение задания повышенного уровня 15, проверяющего умение использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, стал равен 2.
• Количество заданий уменьшилось с 19 до 18, максимальный балл за выполнение всей работы стал равным 31.

В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2023 года базового уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2022 года базового уровня изменений в содержании нет, однако задания перегруппированы: сначала идут практико-ориентированные задания, затем задания  по геометрии, по алгебре и началам математического анализа.

В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2023 года профильного уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2022 года профильного уровня также изменений в содержании нет, однако в части 1 задания перегруппированы: сначала идут задания  по геометрии, затем задания по элементам комбинаторики, статистике и теории вероятностей, а потом идут задания по алгебре и началам математического анализа.

• Скачать демонстрационный вариант по математике за 2023 год (базовый уровень)
• Скачать демонстрационный вариант по математике за 2023 год (профильный уровень)