Каждая буква слова экзамен написана на разных карточках

Задача ДР-4. (Письм., № 1.26, стр. 39)

В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-ой шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

Решение:

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А = <1-ый шар черный>, В = <2-ой шар белый>. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых.

Поэтому

2. Найдем Р(В|А) по формуле (1.22). очевидно, что найдем Р(АВ): общее число исходов (появление двух шаров) n = 9∙8 = 72. событию АВ благоприятствуют исходов. Поэтому Следовательно,

Задача 5. (Письм., № 1.26, стр. 39).

В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наугад последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой – синим, 3-ий – черным?

Решение. Введем следующие события: А₁— первым вытащили белый шар, А₂— вторым – синий, А₃— третьим – черный.

Тогда интересующее нас событие представится в виде А= А₁∙А₂∙А₃. По правилу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁)∙ Р(А₂| А₁) ∙Р(А₃| А₁ А₂).

Но Р(А₁)=4/9; Р(А₂| А₁)= 3/8, так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃| А₁∙ А₂) = 2/7, так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, искомая вероятность равна

Задача 6. (Зарубин, № 3.18, стр. 110).

Каждая буква слова «МАТЕМАТИКА» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются 4 карточки. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕМА».

Решение:

Пусть А₁, А₂, А₃ и А₄ – события, состоящие в последовательном извлечении букв «Т», «Е», «М», «А». Тогда соответствующие вероятности равны:

Так как эти события совместные, то согласно формуле умножения вероятностей (1.25) получим

Задача 7.

Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и 3-х цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

Задача 8.

Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

По условию Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно,

Отсюда q = =0,4. Искомая вероятность р =1–q =1– 0,4 = 0,6.

a = 2*R*Cos 30° = 2*R* ― = R

h = R + OD = R + R*Sin 30° = R + – R = – R

1 3 3

S_∆ = –– R* — R = ―― R 2

3 R 2 3

В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, во втором цехе – 95%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной.

В предыдущем примере найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

∑ P(H_i)* P(A/H_i) 0,4*0,9 + 0,6*0,95

Источник

$11$ cards each bear a letter, and together they can be made to spell the word «EXAMINATION». $3$ Cards are selected from the $11$ cards and the order of selection is not important. Find how many selections can be made if $2$ cards of the $3$ cards bear the same letter.

My approach.

I grouped the same letter together in a group and single letter is another group.

E X A M I N T O

AA II NN

This shows I got $8$ separate groups of different letters.

Now I understand I need cards from A, I or N first. So I need to choose $1$ from $3$ groups with the same letter. $to~_3C_1$

Now I am left with one more card I need to pick. This means I can’t pick any of the $2$ groups with same letter remaining. So total sets I can only choose from now is deducted by $3~to~5~to~_5C_1$

So the answer is $to~_3C_1 cdot _5C_1$

Why is this wrong?

The workbook answer shows $_3C_1 cdot _7C_1 $

For the second one, if I pick one card out of the remaining $7$ groups. There is a chance I may pick the group with $2$ same letters, meaning the total cards I have now is $4$ instead of the required $3$.

$11$ cards each bear a letter, and together they can be made to spell the word «EXAMINATION». $3$ Cards are selected from the $11$ cards and the order of selection is not important. Find how many selections can be made if $2$ cards of the $3$ cards bear the same letter.

My approach.

I grouped the same letter together in a group and single letter is another group.

E X A M I N T O

AA II NN

This shows I got $8$ separate groups of different letters.

Now I understand I need cards from A, I or N first. So I need to choose $1$ from $3$ groups with the same letter. $to~_3C_1$

Now I am left with one more card I need to pick. This means I can’t pick any of the $2$ groups with same letter remaining. So total sets I can only choose from now is deducted by $3~to~5~to~_5C_1$

So the answer is $to~_3C_1 cdot _5C_1$

Why is this wrong?

The workbook answer shows $_3C_1 cdot _7C_1 $

For the second one, if I pick one card out of the remaining $7$ groups. There is a chance I may pick the group with $2$ same letters, meaning the total cards I have now is $4$ instead of the required $3$.

1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых
   10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает
   три детали. Найти вероятность того,
   что извлеченные детали окажутся
   окрашенными.

2. В цехе работают 10 мужчин и 6 женщин. По
   табельным номерам отобраны 8 человек.
   Найти вероятность того, что среди
   отобранных лиц окажутся 2 женщины.

3. Монета брошена 3 раза. Найти вероятность
   того, что хотя бы один раз появиться
   герб.

4. Брошены две игральные кости. Найти
   вероятность того, что сумма выпавших
   очков равна 7.

5. Набирая номер телефона, абонент забыл
   последние три цифры и, помня лишь, что
   эти цифры различны, набрал их наудачу.
   Найти вероятность того, что набраны
   нужные цифры.

6. В группе 12 студентов, среди них 4
   отличника. По списку наудачу отобраны
   7 человек. Найти вероятность того, что
   среди отобранных студентов 2 отличника.

7. В коробке шесть одинаковых, занумерованных
   кубиков. Наудачу по одному извлекают
   все кубики. Найти вероятность того,
   что номера из влеченных кубиков появятся
   в возрастающем порядке.

8. Найти вероятность того, что при бросании
   трех игральных костей шестерка выпадет
   на одной кости, если на гранях двух
   других костей выпадут числа очков, не
   совпадающие между собой(и не равные
   шести).

9. Устройство состоит из 7 элементов, из
   которых 3 изношены. При включении
   устройства включаются случайным
   образом 5 элементов. Найти вероятность
   того, что включенными окажутся
   неизношенные элементы.

10. . Скольким способами можно составить
    флаг, состоящий из трех горизонтальных
    полос различных цветов, если имеется
    материал пяти различных цветов.

11. Сколькими способами можно расставить
    белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона,
    ферзя и короля) на первой линии
    шахматной доски.

12. . В чемпионате России по футболу
    участвуют 16 команд. Сколькими способами
    тройка призеров.

13. . Сколько разных «слов» можно образовать
    при перестановке букв слова «математика».

14. Паспорт гражданина Российской Федерации
    состоит из серии и номера. Серия
    представляет собой 4 цифры, а номер –
    6 цифр, расположенных в произвольном
    порядке. Определите возможное количество
    различных паспортов, которое может
    быть выдано гражданам Российской
    Федерации.

15. . В книжной лавке продавец студенту
    предлагает 8 различных книг по нужному
    предмету, цена на все книги одинакова.
    Однако студент располагает суммой
    денег, позволяющий купить только 4
    книги. Сколько существует способов
    случайного выбора 4 книг из 8 предложенных.

16. . Кодовый замок открывается последовательным
    набором 5 различных цифр. Требуется
    определить число возможных кодов,
    которые можно подобрать для этого
    замка.

17. . Каждая буква слова «статистика»
    написана на разных карточках. Сколькими
    различными способами можно переставить
    эти буквы.

18. . Организация по продаже бытовой техники
    открывает трое новые торговые точки
    и выбирает помещения для аренды из 7
    подходящих помещений. Сколько существует
    способов отбора, если выбор производится
    в случайном порядке.

19. .Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые
    должны набираться последовательно и
    могут повторяться. Чему в этом случае
    равно общее число всех возможных
    комбинаций шифра.

20. . На карточках разрезной азбуки написаны
    33 буквы алфавита. 5 карточек вынимают
    наугад и укладывают на стол в порядке
    появления. Сколько существует способов
    составить разные слова из 5 букв. Сколько
    способов будут содержать буквы А, Б, и
    В.

21. . Три работника строительной организации
    были награждены за хорошую работу
    туристической путевкой. Руководству
    организации представляют свои услуги
    5 различных туристических фирм по
    организации туристических поездок.
    Решено, что любая фирма может получить
    только один заказ на туристическую
    путевку. Сколько имеется способов
    получения путевок при случайном выборе
    фирм, если учитывать, что получение
    одним и тем же работником путевки от
    различных фирм неоднозначно.

22. . Три работника строительной организации
    были награждены за хорошую работу
    туристической путевкой. Руководству
    организации представляют свои услуги
    5 различных туристических фирм по
    организации туристических поездок.
    Решено, что любая фирма может получить
    только один заказ на туристическую
    путевку. В скольких случаях при случайном
    выборе воспользуются услугами первой
    фирмы.

23. . Числа 10,11,12….20 расставляют в один ряд.
    Сколько существуют способов расстановки
    этих чисел таким образом, чтобы все
    четные числа стояли подряд.

24. . Водительское удостоверение имеет
    номер, состоящий из трех букв и трех
    цифр. Чему равно общее число возможных
    номеров водительских удостоверений,
    считая, что число букв русского алфавита,
    используемых для составления шифра,
    -26, буквы занимают три первые позиции
    шифра и не повторяются, а цифры могут
    повторяться.

25. . В классе 12 девочек и 10 мальчиков.
    Классный руководитель выбирает 5
    человек, которые пойдут на концерт.
    Какова вероятность того, что это будет
    2 девочки и 3 мальчика.

26. . Из 30 вопросов по собеседованию студент
    знает 25 вопросов. Какова вероятность
    того, что взятый наудачу студентом
    билет, содержащий 3 вопроса, будет
    состоять из подготовленных им вопросов.

27. . В ящике для мячей находятся 7 мячей
    красного цвета, 5 мячей зеленого цвета,
    4 мяча синего цвета. Воспитатель наугад
    отбирает 5 мячей. Какова вероятность
    того, что это будет 2 мяча красного
    цвета, 2 мяча зеленого цвета и один мяч
    синего цвета.

28. . Бабушка вяжет свитер, состоящий из
    полос четырех разных цветов. У бабушки
    есть нитки 9 разных цветов. Сколькими
    способами можно составить цветовую
    гамму свитера.

29. . Брошены три игральные кости. Какова
    вероятность того, что сумма очков на
    гранях будет равна восьми.

30. . В ящике находятся 15 деталей 1 сорта,
    20 деталей второго сорта и 10 деталей
    третьего сорта. Наудачу извлекают две
    детали. Какова вероятность того, что:
    а) одна деталь первого сорта, вторая
    третьего сорта, б) две детали второго
    сорта

31. . В коробке находится 5 красных и 3 синих
    карандаша. Какова вероятность того,
    что три карандаша взятые наудачу будут
    одного цвета.

32. . Сколько различных четырехзначных
    чисел можно записать при помощи цифр
    1, 2, 3. Найти вероятность того, что
    записано число 1231.

33. . Букет составляют из цветов разного
    сорта. Всего имеется 9 разных сортов.
    В букет должно войти 5 различных сортов
    цветов. Сколькими способами можно
    букет.

34. . На полке стоят 25 книг, из которых 17 в
    переплете. Ученик берет наугад 4 книги.
    Какова вероятность того, что две из
    них в переплете.

35. . В кармане находится 4 монет достоинством
    5 рублей и 8 монет достоинством 2 рубля.
    Наудачу вынимают несколько монет.
    Какова вероятность того, что сумма
    будет составлять 14 рублей.