Книга по теории чисел егэ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
 
Г.А. КУЗИН 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 
ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ ЕГЭ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 51(075.8) 
         К 89 

Рецензенты: 

д-р физ.-мат. наук, профессор Е.В. Семенко 
учитель математики высшей квалификационной 
 категории Н.В. Мордвинова 

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ 
для учащихся 10–11-х классов Инженерного лицея НГТУ 

Кузин Г.А. 
К 89 
  
Математика. Решение задач по теории чисел профильного уровня 
ЕГЭ: учебное пособие / Г.А. Кузин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,  
2020. – 120 с. 

ISBN 978-5-7782-4097-1 

Задачи по теории чисел профильного уровня ЕГЭ требуют от учащегося 
знания различных приёмов и методов их решения. В учебном пособии приве-
дены примеры таких задач с подробными решениями. Ко всем задачам даны 
ответы или указания к решению. 
Пособие предназначено для учащихся 10–11-х классов Инженерного лицея 
НГТУ и может быть использовано на аудиторных и факультативных занятиях, 
а также при самостоятельной подготовке к ЕГЭ по математике. 

УДК 51(075.8) 

Кузин Геннадий Андреевич 

МАТЕМАТИКА 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 
 ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ ЕГЭ 

Учебное пособие 

Выпускающий редактор И.П. Брованова 
Корректор Л.Н. Киншт 
Дизайн обложки А.В. Ладыжская 
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская 
 
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции 
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) 
_________________________________________________________________________________ 
Подписано в печать  03.02.2020. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж  150  экз. 
Уч.-изд. л.  6,97.   Печ. л.  7,5.   Изд. №  6.  Заказ №  348.    Цена договорная 
_________________________________________________________________________________ 
Отпечатано в типографии 
Новосибирского государственного технического университета 
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 
 
ISBN 978-5-7782-4097-1  
 
 
 
 
 
© Кузин Г.А., 2020 
© Новосибирский государственный  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    технический университет, 2020 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
Предисловие ............................................................................................................. 4 

§ 1. Условия задач .................................................................................................. 7 
   1.1. Нахождение чисел по заданным свойствам ................................................. 7 
   1.2. Последовательности чисел .......................................................................... 10 
   1.3. Проценты, доли, части ................................................................................. 13 
   1.4. Среднее арифметическое чисел .................................................................. 14 
   1.5. Разные задачи ............................................................................................... 18 

§ 2. Ответы, указания к решению задач .......................................................... 21 
   2.1. Нахождение чисел по заданным свойствам ............................................... 21 
   2.2. Последовательности чисел .......................................................................... 38 
   2.3. Проценты, доли, части ................................................................................. 50 
   2.4. Среднее арифметическое чисел .................................................................. 56 
   2.5. Разные задачи ............................................................................................... 74 

§ 3. Задачи для самостоятельного решения .................................................... 93 
   3.1. Нахождение чисел по заданным свойствам ............................................... 93 
   3.2. Последовательности чисел .......................................................................... 99 
   3.3. Проценты, доли, части ............................................................................... 103 
   3.4. Среднее арифметическое чисел ................................................................ 105 
   3.5. Разные задачи ............................................................................................. 108 
Приложение .......................................................................................................... 112 
Библиографический список ................................................................................ 120 
 
 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Задачи по теории чисел (задача № 19) профильного уровня ЕГЭ отно-
сятся к числу наиболее «дорогих» задач, оценка решения которых прово-
дится экспертами от нуля до четырёх баллов. Формулировка некоторых 
задач порой носит олимпиадный характер. Решение таких задач требует 
от учащегося знания различных приёмов и методов решения. 
Необходимый и важнейший этап решения задачи – формализация, 
составление математической модели задачи. 
Ученик должен уметь: 
 моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять 
уравнения и неравенства по условиям задачи, исследовать построенные 
модели с использованием аппарата алгебры; 
 проводить доказательные рассуждения, оценивать логическую 
правильность рассуждения, распознавать логически некорректные рас-
суждения. 
Особенностью некоторых задач является исследование элементов 
заданной последовательности (чисел, ходов, набора чисел и т. д.) следу-
ющего вида: 
а) наличие элементов, обладающих заданным свойством; 
б) подсчёт количества таких элементов; 
в)  оценка (наименьшего или наибольшего) количества элементов, 
обладающих заданным свойством или некоторой числовой характери-
стикой; 
г) построение примера, подтверждающего полученную оценку. 
Отдельные пункты многих задач начинаются со слов: «Можно 
ли …». При этом существуют две возможности: 
 ответ в задаче «Нет, не может», и тогда нужно доказать, что не 
может; 

 ответ в задаче «Да, можно», и тогда нужно построить пример и 
показать, что он удовлетворяет условиям задачи. 
В задачах, объединенных условным названием «оценка + пример», 
требуется найти, какое наибольшее или наименьшее значение прини-
мает некоторая величина. Отметим важность доказательства того, что 
исследуемая величина не может быть в любом случае больше или 
меньше найденного значения, т. е. получена «оценка». Однако это не 
означает, что найденное значение и будет искомым. Необходимо ука-
зать пример, в котором реализуется найденное значение с проверкой вы-
полнения всех условий задачи. 
Отдельные пункты некоторых задач можно решить, не вводя бук-
венных обозначений переменных, без составления уравнений и нера-
венств. Задачу можно решить «по-нашему, по-неучёному», как говари-
вал литературный персонаж Удодов-старший из рассказа А.П. Чехова 
«Репетитор». 
Для ознакомления приведем таблицу критериев оценки решения за-
дачи № 19 экспертами в баллах (табл. 1). 

Т а б л и ц а  1 

Содержание критерия 
Баллы 

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) ре-
зультаты 
4 

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) ре-
зультатов 
3 

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) ре-
зультатов 
2 

Верно получен один из следующих результатов: 
– обоснованное решение пункта а; 
– обоснованное решение пункта б; 
– искомая оценка в пункте в; 
– пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 

1 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных 
выше 
0 

Максимальный балл 
4 

В пособии приведены задачи из материалов ЕГЭ прошлых лет, из 
тестовых вариантов и других источников. Целью пособия является зна-
комство учащихся с этими задачами, приёмами и методами решения 

таких задач. Разобраны типовые примеры, ко всем задачам даны ответы 
или указания к решению. 
Работая с пособием, можно отработать тему, устранить пробелы в 
знаниях, систематизировать материал и лучше подготовиться к ЕГЭ. 
В приложении приведены некоторые основные сведения и понятия 
из теории чисел. Отдельными пунктами даны свойства сравнений, ре-
шение неопределённых линейных уравнений с двумя переменными в 
целых числах. Автор считает, что знакомство с этими понятиями по-
лезно при решении задач по теории чисел. 
Несколько советов. Стремясь извлечь из своих усилий максималь-
ную пользу, старайтесь подметить в задаче, которую вы решаете, то, что 
может пригодиться и в будущем при решении других задач. 
Следует обратить внимание на оформление решения задачи с раз-
вёрнутым ответом. Оформление решения задачи должно быть аккурат-
ным, записи  разборчивыми, пояснения  максимально исчерпываю-
щими и логически обоснованными. 
Помните, что решение задачи  практическое искусство, которому 
можно научиться, подражая хорошим образцам и постоянно практику-
ясь. Решайте задачи, решайте как можно больше задач, и удача на экза-
мене не покинет вас. Успехов вам! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

§ 1. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 

1.1. Нахождение чисел по заданным свойствам 

1. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр 
которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа. 
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр 
которого в 17 раз больше суммы цифр этого числа? 
в) Найдите все четырёхзначные числа, для каждого из которых про-
изведение цифр в 50 раз больше суммы цифр этого числа. 
 
2. а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n2 и 
(n+16)2 дают одинаковый остаток при делении на 200. 
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а) 
свойством? 
в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых 
существует ровно 36 трёхзначных чисел n таких, что числа n2 и (n + m)2 
дают одинаковый остаток при делении на 200? 
 
3. Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной 
записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и по-
следняя цифры, вторая и предпоследняя, и т. д.). Например, 121 и 
953359 являются палиндромами, а числа 19 и 953953 не являются па-
линдромами. 
а) Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 45. 
б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся 
на 45? 
в) Найдите десятое по порядку число-палиндром, которое делится 
на 45. 

4. Пусть q  – наименьшее общее кратное, а d  – наибольший общий 
делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 
16
7
73
x
y


. 

а) Может ли быть q
d  равным 204? 

б) Может ли быть q
d  равным 2? 

в) Найдите наименьшее значение q
d . 

 
5. Про три различных натуральных числа известно, что они явля-
ются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника. 
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них 

быть равным 13
7 ? 

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них 

быть равным 8
7 ? 

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение боль-
шего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по 
величине из этих чисел равно 25? 
 
6. Известно, что a, b, c, d – различные двузначные натуральные 
числа. 

а) Может ли выполняться равенство 
7
19
a
c
b
d



? 

б) Может ли дробь a
c
b
d


 быть в 11 раз меньше, чем сумма a
c
b
d

? 

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь a
c
b
d


, если 

3
a
b

 и 
6
c
d

? 
 
7. Каждое из чисел 9, 10, …, 17 умножают на каждое из чисел 
3, 4, …, 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным 
образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных ре-
зультата складывают. 
а) Может ли полученная сумма по модулю быть равной нулю? 

б) Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в итоге? 
в) Какую наибольшую по модулю сумму можно получить в итоге? 
 
8. Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из 
чисел –4; –9; –6; –12; –1; 13; 7; 11; 2; 5. Карточки переворачивают и пе-
ремешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое 
из чисел –4; –9; –6; –12; –1; 13; 7; 11; 2; 5. После этого числа на каждой 
стороне карточки складывают, а полученные десять сумм перемно-
жают. 
а) Может ли в результате получиться 0? 
б) Может ли в результате получиться 1? 
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в резуль-
тате получиться? 
 
9. На доске написано более 55, но менее 65 целых чисел. Среднее 
арифметическое всех чисел равно 7, среднее арифметическое всех по-
ложительных из них чисел равно 15, среднее арифметическое всех от-
рицательных из них чисел равно –5. 
а) Сколько чисел написано на доске? 
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных? 
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть 
среди них? 
 
10. На доске написано несколько двузначных натуральных чисел  
(необязательно различных) без нулей в десятичной записи. Сумма напи-
санных чисел равна 363. В каждом числе поменяли местами первую и 
вторую цифры, например, вместо числа 71 написали 17. 
а) Может ли сумма полученных чисел быть ровно в два раза больше, 
чем сумма исходных чисел? 
б) Может ли сумма полученных чисел быть ровно в четыре раза 
больше, чем сумма исходных чисел? 
в) Найдите наибольшее значение суммы полученных чисел. 
 
11. На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из 
которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается циф-
рой 5. Сумма написанных чисел равна 1255. 
а) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5? 
б) Может ли на доске быть ровно 31 чётное число? 
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может 
быть написано на доске? 

12. Пусть 
( )
K n означает сумму квадратов цифр натурального числа n . 
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что 
( )
181
K n 
? 
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что 
( )
180
K n 
? 
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 
9
( )
K n
n
 , если n – трёхзначное число? 
 
13. На доске написано несколько различных натуральных чисел, про-
изведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100. 
а) Может ли быть на доске написано 5 чисел? 
б) Может ли быть на доске написано 6 чисел? 
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на 
доске, если их четыре? 
 
14. На доске написан ряд натуральных чисел 
1
2
,
,...,
,
n
a
a
a
 где n ≥ 7. 
Сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел данного ряда 
равна 100. 
а) Может ли быть на доске написано 35 чисел? 
б) Может ли быть на доске написано 50 чисел? 
в) Какое наименьшее количество чисел может быть в ряду? 
 
15. а) Можно ли число 2019 представить в виде суммы двух различ-
ных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? 
б) Можно ли число 100 представить в виде суммы двух различных 
натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? 
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно предста-
вить суммой четырёх различных натуральных чисел с одинаковой сум-
мой цифр. 

1.2. Последовательности чисел 

16. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из 
различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил раз-
ность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их 
квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий член 
и снова вычислил такую же разность. 
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность 
оказалась на 48 больше, чем в первый раз. 

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый 
раз. Могла ли прогрессия состоять из 12 членов? 
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый 
раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии? 
 
17. Конечная возрастающая последовательность 
1
2
,
,...,
n
a
a
a  со-
стоит из 
3
n 
 натуральных чисел, причём при всех 
2
k
n


 выполнено 
равенство 
2
1
3
5
2
k
k
k
a
a
a




. 
а) Приведите пример такой последовательности при 
4
n 
. 
б) Может ли в такой последовательности при некотором 
3
n 
 вы-
полняться равенство 
2
1
3
2
n
a
a
a


? 
в) Какое наименьшее значение может принимать 
1a , если 
667
n
a 
? 
 
18. В конечной последовательности 1
2
,
,...,
n
a a
a , состоящей из целых 
чисел, a1 = 1, an = 235. Сумма любых двух соседних членов последова-
тельности равна 3, 5 или 25. 
а) Приведите пример такой последовательности. 
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов? 
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая после-
довательность? 
 
19. Последовательность 
1
2
,
,...,
n
a
a
a состоит из 
3
n 
 натуральных 
чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и по-
следнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом 
с ним членов). 
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четы-
рёх членов, сумма которых равна 50. 
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и 
содержать два одинаковых члена? 
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов та-
кой последовательности при n = 10? 
 
20. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член ко-
торой равен 2014, а разность равна 13. Каждый член прогрессии заме-
нили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили