Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются

ПРИЛОЖЕНИЕ 7        

Задачи для самостоятельной работы

Правило умножения

1. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?
2. Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до друга?

3. Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?

4. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

5. Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?

6. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? 

Перестановки

1. Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

1. Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

4. Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в

5. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

6. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

9. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Сергей должен находиться в конце ряда;

б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.

     10. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом

матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

11. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Сочетания

1. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?

способа.

2. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах.

3. Володя идёт на день может сделать подарки братьям?

4. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?

5. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

6. В 9 «Г» классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

7. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

8. В 9 «Г» классе учатся  16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?

9. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

10. В 9 «Б» классе учатся 22 учащихся, в 9 «В» — 19 учащихся, а в 9 «Г» — 26 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «Б» класса, двух – из 9 «В» и одного – из 9 «Г». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

11. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии. Что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?

12. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Нужно выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы должны быть девочками; б) все члены этой группы должны быть мальчиками; в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик.

Подсчёт вариантов

1. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на

дежурство по столовой, если в классе 22 учащихся?

2. В шахматном турнире участвуют 9 старшеклассников. Каждый из них

сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

3. При встрече 8 друзей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

4. У Марины пять подруг: Наташа, Оля, Кристина, Ксения и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Сколько существует вариантов?

5. Учащиеся 9 «Г» класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 26 учащихся?

Разбиение на две группы

1. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?

2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?

3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Размещения

1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?

3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

4. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

5. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

6. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?

7 Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

8. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

9. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

Комбинированные задачи

1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?

2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?

в)  Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?

Задачи для самостоятельной работы. Решения и ответы

Правило умножения

1. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?

Решение: Согласно правилу умножения таких обедов можно составить 584 = 160.

Ответ: 160 вариантов обедов.

1. Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до друга?

Решение: Второй и последней цифрой могут быть все 10 цифр. По правилу умножения получаем 1010=100. Ответ: 100 звонков.

1. Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым – девятиклассник, подбежавший последним. По правилу умножения у четверых ребят существует 4321=24 способа занять очередь. Ответ: 24 способа.

1. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

Решение: По правилу умножения получаем 55=25 способов. Ответ: 25 способов.

1. Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?

Решение: По правилу умножения получаем: 42=8 вариантов. Ответ: 8 вариантов.  

1. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?
2. Решение: По правилу умножения получаем: 35=15.Ответ: 15 комбинаций.

Перестановки

1. Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

1 решение: Присвоим каждому месту за партой номер. Тогда Дима и Вова могут занять места за партой такими способами: 1. Дима. 2. Вова или 1. Вова.2. Дима. Других вариантов нет.

2 решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 2 элементов: Р2 = 2! = 12 = 2 способа. Ответ: 2 способа.

2. Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

Решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 3 элементов: Р3 = 3! = 123 = 6 способов.      Ответ: 6 способов.

1. Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

Ответ: 1) яблочный, сливовый; 2) сливовый, яблочный; 3) яблочный, абрикосовый; 4) абрикосовый, яблочный; 5) сливовый, абрикосовый;6) абрикосовый, сливовый.

4. Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Подсчитать их количество.

Решение: Сначала выбираем одного на первое место, а двух других меняем местами, потом берём на первое место другого и т.д.: СИМ; СМИ; ИСМ; ИМС; МСИ; МИС. Всего 6 вариантов расположения.       Ответ: 6 вариантов.

5. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

Решение: После пирожного Влад может выбрать любое из трёх блюд, затем – из двух, и закончит оставшимся. Общее число возможных вариантов обеда: 321=6.   Ответ: 6.

6. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

Решение: Четыре друга могут занять 4 разных места Р4=4!=1234=24 различными способами. Ответ: 24 способа.

8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:  Три последних цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из Р3=3!=123=6 возможных порядков, из которых только один верный. Ольга может сразу набрать верный вариант, может набрать его третьим, и т.д. Наибольшее число вариантов ей придётся набрать, если правильный вариант окажется последним, т.е. шестым. Ответ: 6 вариантов.

9. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Сергей должен находиться в конце ряда;

б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.

Решение: а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Сергей находится в конце ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих пред Сергеем: Р6=6!=123456=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Сергеем и Игорем: Р5=5!=12345=120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Сергей и Игорь стоят рядом в порядке СИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, представляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда будет Р6=6!=123456=720. пусть теперь Сергей и Игорь стоят рядом в порядке ИС. Тогда получим ещё Р6=6!=720 других комбинаций. Общее число комбинаций, в которых Сергей и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720+720=1440.

Ответ: а) 720;  б) 120;  в) 1440 комбинаций.

     10. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом

матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

Решение: После капитана и вратаря третий игрок может выбрать любое из 9 оставшихся мест, следующий – из 8, и т.д. Общее число способов построения по правилу умножения равно: 1987654321=362880, или 1 Р9=9!=362880.

Ответ: 362880.

11. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение: Всего 6 уроков, из них два урока математики должны стоять рядом. «Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом варианте «склеивания» получаем: Р5=5!=12345=120 вариантов расписания. Общее число способов составить расписание равно 120+120=240.

Ответ: 240 способов.

Сочетания

1. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?

1 решение: Два предмета можно выбрать так: берём поочерёдно один предмет из ряда (кроме последнего) и добавляем к нему по одному предметы, следующие за ним в ряду: карандаш, тетрадь; карандаш, линейка; тетрадь, линейка. Получаем 3 различных варианта.

2 решение:  способа. Ответ: 3 способа.

2. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах.

Решение: Расположим данные овощи по порядку: помидоры, огурцы, лук. Запишем все сочетания овощей в салатах. Будем брать поочерёдно каждый овощ (кроме последнего) и добавлять к нему по одному, только из последующих, поскольку порядок выбора не важен: 1) помидоры, огурцы; 2) помидоры, лук; 3) огурцы, лук.

Ответ: 3 вида салатов.

3. Володя идёт на день может сделать подарки братьям?

Решение: По условию задачи предусмотрены два последовательных выбора: сначала Володя выбирает 2 мяча из трёх, имеющихся в магазине, а потом решает, какому из братьев-двойняшек подать каждый из купленных мячей. Два мяча из трёх можно выбрать тремя способами ( способа). После этого каждую выбранную пару можно подарить двумя способами ( способа) (порядок важен). Тогда по правилу умножения искомое число способов равно . Ответ: 6 способов.

4. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?

Решение: В магазине продаются кепки трёх видов, поэтому девочки могут купить кепки одинаковых цветов, т.е. возможен выбор с повторением. Порядок выбора также важен и должен учитываться. Лена может сделать выбор  способами и Наташа также 3 способами. По теореме умножения получаем:  вариантов.

Ответ: 9 вариантов.

5. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

Решение: Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов.

6. В 9 «Г» классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: Выбираем 2 учащихся из 5, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 5 по 2: . Ответ: 10 способов.

7. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:  способов.

Ответ: 210 способов.

8. В 9 «Г» классе учатся  16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего способов ) и 3 девочек из 10 (всего способов ); порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку равноправные). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек, поэтому по правилу умножения общее число способов выбора равно: = способов. Ответ: 218400 способов.

9. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 (способов) и 2 журнала из 4 (способов); порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу умножения равно: =. Ответ: 720 способов.

10. В 9 «Б» классе учатся 22 учащихся, в 9 «В» — 19 учащихся, а в 9 «Г» — 26 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «Б» класса, двух – из 9 «В» и одного – из 9 «Г». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из первой совокупности () может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй () и с каждым вариантом выбора третьей (); по правилу умножения получаем: =способов выбора учащихся.

Ответ: 32522490 способов.

11. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии. Что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?

Решение: а) Выбираем 1 мальчика из 16 и 1 девочку из 10; общее число способов выбора пары: . б) Выбрать 2 дежурных из 16+10=26 учащихся класса (без учёта порядка) можно:   способами.

Ответ: а) 160; б) 325.

12. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Нужно выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы должны быть девочками; б) все члены этой группы должны быть мальчиками; в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик.

Решение: а) Выбрать 3 девочек из 10 имеющихся без учёта порядка можно

различными способами. б) Выбрать 3 мальчиков из 16

рождения к одноклассникам, двойняшкам Диме и Ивану. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи только 3 мяча разных цветов: белый, чёрный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Володя

имеющихся,  без учёта порядка, можно  различными способами. в) Выбрать 1 девочку из 10, а затем 2 мальчика из 16 без учёта порядка можно различными способами. г) Выбрать 2 девочек из 10, а затем 1 мальчика из 16 без учёта порядка можно  различными способами.

Ответ: а) 120; б) 560; в) 1200; г) 720.

Подсчёт вариантов

1. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на

дежурство по столовой, если в классе 22 учащихся?

Решение: Назначая двух дежурных по столовой, мы не учитываем порядок выбора пары из учащихся данного класса. Так как в классе 22 учащихся, то первого дежурного можно выбрать из 22 учащихся, а второго – из 21 учащегося. Так как порядок выбора не учитывается, то получаем 2221:2=231 способ. Ответ: 231 способ

2. В шахматном турнире участвуют 9 старшеклассников. Каждый из них

сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение: Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения. Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго – 8 оставшимися способами; по теореме умножения всего можно образовать 98=72 пары, но в это число каждая пара входит дважды: сначала Дроздов-Гончаров, затем Гончаров-Дроздов. Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно 98:2=36 партий. Ответ: 36 партий.

3. При встрече 8 друзей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение: Порядок выбора не имеет значения: если Агапеев пожимает руку Зайцеву, то одновременно и Зайцев пожимает руку Агапееву, поэтому общее количество рукопожатий (пар) равно 87:2=28. Ответ: 28 рукопожатий.

4. У Марины пять подруг: Наташа, Оля, Кристина, Ксения и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Сколько существует вариантов?

Решение: По условию ясно, что порядок выбора значения не имеет. По правилу умножения всего 54=20 вариантов выбора, но так как порядок выбора не имеет значения, то получаем: 20:2=10 вариантов. Ответ: 10 вариантов.

5. Учащиеся 9 «Г» класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 26 учащихся?

Решение: считаем, что в каждой паре происходит передача одновременно двух фотографий, т.е. учащиеся в паре равноправны, неразличимы. Тогда при образовании пар порядок выбора не имеет значения: 2625:2=325. Ответ: 325 фотографий.

Разбиение на две группы

1. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?

Решение: Задачу решаем разбиением на две группы: присутствующие и отсутствующие. Разбиение на группы однозначно определяется составом элементов в одной из групп (не попавшие в первую группу элементы автоматически образуют вторую группу). Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «присутствующих» или «отсутствующих»

 будет 215. Ответ: 215= 32768 вариантов

2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?

Решение: Задача сводится к подсчёту числа всевозможных способов разбиения шести различных элементов (карандашей) на две группы. Это число равно 26 = 64.

Ответ: 64 способами.

3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

Решение:  Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «посетивших кинотеатр» или «посетивших каток» будет 25. Ответ: 25= 32 варианта.

4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Решение: Разобьём множество из 6 элементов на две группы: приглашённых и неприглашённых. Расположим всех друзей в ряд, и под именем каждого друга будем писать 0, если этот друг не приглашён, и 1, если он приглашен. Получим шестизначные наборы нулей и единиц. Общее количество таких наборов по правилу умножения равно: 26=64, но среди этих наборов есть один, состоящий из 6 нулей, т.е. никто не приглашён. Этот набор нужно исключить (по условию задачи число приглашённых не менее одного), в результате получим: 64-1=63. Ответ: 63 варианта.

Размещения

1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Это задача о выборе двух элементов из трёх с учётом порядка выбора. Число способов равно   способов. Ответ: 6 способов.

2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?

Решение: Это задача о выборе трёх элементов из шести с учётом порядка выбора. . Ответ: 120 способов.

3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 26 учащихся выбираем 2, причём порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно . Ответ:  650 способов.

5. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

Ответ: 5040 способов.

6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия):  способов. Ответ: 1716 способов.

7. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?

Решение: Выбираем 6 столов для девятиклассников из 15 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя, и т.п.):

 способов. Ответ: 3603600 способов.

8. Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

Решение: Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две игры (на своём и чужом поле), то выбор пары осуществляется с учётом порядка, т.е. составляются всевозможные размещения из n по 2. По условию задачи =30, отсюда n(n-1) = 65, n = 6.

Ответ: 6 команд.

9. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

 Решение: Искомые команды будут отличаться между собой или учащимися, или их порядком, который указывает, на какую олимпиаду пойдёт ученик. Поэтому искомое число равно числу размещений из 30 по 4 и по формуле получаем:  способов. Ответ: 657720 способов.

10. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

Решение: Выбираем 6 предметов из 14 имеющихся с учётом выбора предметов. Получаем  способов. Ответ: 2162160 способов.

Комбинированные задачи

1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?

Решение: а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов . б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде; количество способов

Ответ: а) 1820 способов; б) 43680 способов.

2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?

в)  Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?

Решение: а) для составления билета выбираются 3 вопроса из 20 имеющихся, при этом порядок выбора значения не имеет. Общее число вариантов билетов равно: .

б) Саша выучил 12 вопросов; из этих вопросов можно составить  разных билетов.

в) Количество билетов, в которых есть вопросы всех трёх типов равно: 12 вариантов выбора вопроса, который выучил, умножить на 5 вариантов выбора вопроса, который совсем не смотрел, и умножить на 20-12-5=3 варианта выбора вопроса, в котором что-то знает, всего 1253=180 разных билетов.

г) Билеты, в которых Саша выучил большинство вопросов, это билеты, в которых он знает два или три вопроса. Билеты, в которых Саша выучил все три вопроса – 220 (см.пункт б). Найдём сколько есть билетов, в которых Саша выучил 2 вопроса: выбрать 2 вопроса из 12 выученных можно  разными способами; третий вопрос можно выбрать из 8 остальных вопросов (8 вариантов выбора). По правилу умножения количество билетов, в которых Саша выучил два вопроса равно . Таким образом, количество билетов, в которых Саша выучил большинство вопросов, по комбинаторному правилу сложения равно 220+528=748.

Ответ: а) 1140; б) 220; в) 180; г) 748.

Приложени 1.

Решение задач.

 Устный счет:

=

=

= =

1! = 1

3! = 1۰2۰3=6

Р₂ =2!=1۰2=2

Р₄ = 4!=1۰2۰3۰4=24

= = 3!=6

= = 60

= = 4

= = 1

 Тест

1. При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся: перебором.

2. Комбинаторика изучает: способы решения задач на различные комбинации объектов.

3. Множество – это: совокупность объектов произвольного рода.

4. Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно воспользоваться правилом: умножения.

5. Вычисляя количество всевозможных пар нашей группы необходимо знать формулы: сочетаний.

6. 5! – это: произведение натуральных чисел от 1 до 5 (=120).

7. Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой (n!).

8. Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера-визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, специалиста по теории кодов.

 Задачи на карточках

1. 5۰4=20

2. Я мою руки. Руки мою я. Мою я руки. Я руки мою. Руки я мою. Мою руки я.

3. 3۰5=15

4. = 10

5. 2۰5=10

6. Сколько уч-ся занимаются в 2 кружках одновременно? 20+11-(35-10)= 6 (уч-ся)

7. = 24

8. = 10

9. 1 цифра – выбираем из 3(кроме 0) , 3 цифра – выбираем из 2 (0 или 2, так как число четное), 2 цифра – выбираем из 2 : 3۰2۰2=12 чисел

10. 10۰9۰8۰7=5040 видов расписания

 Задачи на закрепление изученного материала

1. Простые делители 30: 2, 3, 5. Тогда 30 = 235, = 253, =325, =352, =523, =532 – всего 6 способов.

2. Из одной вершины можно провести 10-3=7 диагоналей, 10۰7:2=35 диагоналей

3. Составим уравнение (х – количество друзей)

, х(х-1)= 30, х²-х-30=0, х₁=6, х₂= -5

Значит, было 6 друзей.

1. = 4۰5=20

2. Согласно условию только два языка не знает никто. Пусть х человек знают все 3 языка, тогда верно 85+80+75-3х+х =100, х = 70.

Пример призового балла за работу на уроке.

(Желательно распечатать на цветной бумаге, внутри квадратика можно писать фамилию ученика и ставить подпись учителя, а сам балл вклеивать в тетрадь)

Т Ы ЛУЧШИЙ!

Т Ы ЛУЧШИЙ!

Т Ы ЛУЧШИЙ!

Т Ы ЛУЧШИЙ!

Число, положение и комбинация —
три взаимно пересекающиеся,
но различные сферы мысли, к которым можно отнести
все математические идеи».
Английский математик Джеймс Джозеф
Сильвестр (1814-1897)

Тип занятия: закрепление ЗУН по
пройденному материалу

Форма занятия: практикум по решению
задач

Цели урока:

образовательная

• обучать решению задач по комбинаторике

развивающая

• развивать логическое мышление
• расширять математический кругозор
• развивать навыки научно-исследовательской
  деятельности

воспитательная

• воспитывать культуру письма, речи
• развивать умения работать в группе
• формировать чувство ответственности за
  принятое решение

Задачи урока:

• отработать умения решать простейшие
  комбинаторные задачи
• проверить понимание материала, изученного на
  уроках
• готовить учащихся к защите задач

ТСО

Используется мультимедийная презентация, в
которой сохранена структура занятия, изложенная
в данной разработке (приложение 1). В
презентации имеется приложение, состоящее из
исторической справки и шпаргалки для учащихся,
испытывающих затруднения при решении задач. На
приложения сделаны гиперссылки. В конце занятия
(при наличии выхода в интернет) удобно
использовать полезные гиперссылки, чтобы
продемонстрировать учащимся, где они могут
почерпнуть материал по интересующим их темам
курса комбинаторики.

Общие рекомендации к проведению данного
занятия (можно использовать ко всему курсу)

Еще Конфуций сказал: «Три пути ведут к знанию.
Путь размышлений — самый благородный, путь
подражания — самый лёгкий, путь опыта — самый
горький». Поэтому для организации занятия
целесообразно использовать групповую форму
работы, которая является частью проектного
метода обучения и в последнее время пользуется
все большей популярностью среди педагогов. В
зависимости от общего количества учащихся, для
оптимальной работы, в составе группы должно быть
не более 5-7 человек. Заранее необходимо
договориться о правилах работы в группе (их
устанавливает учитель, или — учитель совместно с
учащимися, если они готовы такому выбору и с
целью развития самостоятельности). Уровень
учащихся в группе, по моему глубокому убеждению,
должен быть разнородным. Это позволяет
«сильным» ученикам учиться оказывать помощь,
консультировать, оценивать других ребят, а
«слабым» — не только повысить уровень знаний,
умений, навыков, но и научиться принимать помощь,
рассуждать, спорить, высказывать свою точку
зрения. Как правило, учащиеся в группах чувствуют
себя более свободно, не боятся высказать
неверное суждение, с удовольствием делятся
своими идеями. После таких уроков у многих ребят
меняется само- и взаимооценка в лучшую сторону. В
группе обязательно выбирается старший (или
руководитель). Необязательно им становится
учащийся с высоким уровнем знаний по теме. Право
выбора руководителя лучше оставить за членами
группы, ведь это должен быть человек, кого они
уважают и кому доверяют. Оценивание в группе
должно быть трехсторонним: учитель — самооценка
— взаимооценка. Конечно, это усложняет работу
учителя, но только на первых порах. Форму
оценивания тоже удобнее выбрать нестандартную,
например, призовой балл (обязательно именной:
словесный, бумажный и т.д. — фантазия
безгранична). Учитель сам решает, за какой объем
заданий ученики получают этот балл, определяет
шкалу перевода баллов в школьную отметку. Иногда
полезно оценить даже идею решения задачи — это
стимулирует у ребят желание мыслить. Замечу, что
уровень большинства задач в данной разработке
таков, что выполнить их могут даже учащиеся 5
класса. Данная разработка использовалась для
учащихся 9 кл. Время занятия — 1-2 урока.

Ход занятия

1. Организационный момент, постановка целей
и задач урока.

2. Активизация познавательной
деятельности.

Историческая справка (дается учащимися), или
организуется собеседование учителя с учащимися,
или заслушиваются сказки, рассказы, стихи,
мини-сообщения по теме «Комбинаторика в
профессии моих родителей, знакомых, друзей» и
т.д. для активизации внимания и актуализации
знаний по теме (выбор зависит от уровня
подготовленности учащихся, возраста, количества
часов, отведенных на изучение курса, формы
проведения занятий — урок, занятие спецкурса,
факультатива, кружка).

3. Проверка усвоения материала (приложение 2).

• Разминка проводится в форме устного счета, при
  выполнении заданий повторяются, проговариваются
  все изученные формулы и свойства; можно
  использовать опорные конспекты, вызвать 1
  ученика и записать все формулы на доске; в
  презентации имеется слайд — шпаргалка, для
  учащихся, испытывающих затруднения:
• Ответить на вопросы теста (тесты раздаются
  группам в печатном виде, учащиеся самостоятельно
  выбирают и подчеркивают верные варианты ответа;
  можно выдать 2 варианта теста — один для
  самопроверки, один — для оценивания учителем;
  можно использовать мультимедийную презентацию).

1. При выборе подходящего комплекта одежды мы
   пользуемся: сочетанием, перебором, пересечением
   множеств.
2. Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов
   бытового обслуживания, способы пошива
   комбинезонов, способы решения задач на различные
   комбинации объектов.
3. Множество — это: совокупность объектов
   произвольного рода, умножение чисел, большое
   количество предметов.
4. Подсчитывая число маршрутов следования из
   пункта А в пункт В через пункт С, можно
   воспользоваться правилом: сложения, умножения,
   возведения в степень.
5. Для вычисления количества всевозможных пар
   вашей группы необходимо знать формулы:
   сочетаний, сокращенного умножения, теорему
   Пифагора.
6. 5! — это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5,
   произведение натуральных чисел от 1 до 5
   (вычислите).
7. Количество способов занять очередь на экзамен n
   учащимися определяются: перестановкой,
   переэкзаменовкой, экзаменационной комиссией
   (как?).
8. Комбинаторные задачи встречаются в
   профессиональной деятельности:
   парикмахера-визажиста, диспетчера автовокзала,
   завуча школы, экономиста, повара (добавьте свой
   пример)

• Устные упражнения на повторение (руководитель
  группы выбирает случайным образом карточки с
  заданиями, количество карточек определяется
  количеством групп, временем, количеством
  учащихся в группе; желательно, чтобы карточку
  получил каждый член группы).

1. В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида марок.
   Сколькими способами можно купить конверт и
   марку?
2. Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте
   всевозможные предложения.
3. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по
   цвету. Сколько различных комбинаций одежды
   имеется у Светланы?
4. При встрече 5 человек обменялись рукопожатиями.
   Сколько сделано рукопожатий?
5. Сколькими способами можно выбрать гласную и
   согласную буквы из слова «конверт»?
6. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в
   математическом кружке, 11-в биологическом, а 10
   ничем не занимаются. Поставьте вопрос к задаче и
   ответьте на него.
7. Сколько существует способов выбора трёх ребят
   из 4-х желающих дежурить в столовой?
8. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из
   3 человек, можно создать из 5 преподавателей?
9. Сколько различных четных трехзначных чисел, в
   каждом из которых все цифры различны, можно
   составить из цифр 1, 2, 3, 0?
10. Сколькими способами можно составить расписание
    на день из 4 различных уроков, если изучается 10
    предметов?

4. Упражнения на закрепление навыков
решения задач (группы решают задачи разными
способами и предлагают свои решения классу,
обсуждаются достоинства и недостатки), решения
оформляются в тетрадях и на доске.

1. Сколькими способами можно записать в виде
   произведения простых множителей число 30?
2. Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике?
3. Встретились несколько друзей и все обменялись
   рукопожатиями. Всего было сделано 15 рукопожатий.
   Сколько встретилось друзей?
4. Сколько словарей надо создать, чтобы можно было
   непосредственно выполнять перевод с любого из
   пяти языков на любой другой из этих языков?
5. Из 100 человек 85 знают английский, 80 — испанский, 75
   — немецкий. Сколько человек заведомо знают все
   три языка?
6. Придумайте как можно больше комбинаторных
   задач с использованием данных объектов: Четверо
   друзей: Катя, Олег, Света, Андрей.
7. Придумайте, какую комбинаторную задачу может
   решать: повар, диспетчер автовокзала,
   домохозяйка, завуч школы:

5. Заключительный этап занятия.

• Консультация по содержанию, защите задач и
  оформлению итоговых зачетных работ (информация о
  защите сообщается на первом занятии)
• Подведение итогов урока в форме фронтальной
  беседы. Оценивание учащихся проводится по
  количеству баллов, полученных на занятии, с
  учетом мнения руководителя, членов группы и
  учителя.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. «Индукция. Комбинаторика», М.
   «Просвещение», 1976 г.
2. Глейзер Г.И. «История математики в средней
   школе», М., «Просвещение», 1970 г.
3. Материалы учителя Тарасовой А.М., сош № 46,
   г.Белгород
4. Шарафутдинова Р.Ю., учитель математики, МОУ
   «Лицей г. Вольска», элективный курс «Секреты
   комбинаторики»
5. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
6. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 1994.
7. http://combinatorica.narod.ru/
8. http://mmmf.math.msu.su/
9. http://portfolio.1sept.ru/

повысить уровень знаний, умений, навыков, но и научиться принимать помощь, рассуждать,

спорить, высказывать свою точку зрения. Как правило, учащиеся в группах чувствуют себя более

свободно, не боятся высказать неверное суждение, с удовольствием делятся своими идеями. После

таких уроков у многих ребят меняется само— и взаимооценка в лучшую сторону. В группе

обязательно выбирается старший (или руководитель). Необязательно им становится учащийся с

высоким уровнем знаний по теме. Право выбора руководителя лучше оставить за членами группы,

ведь это должен быть человек, кого они уважают и кому доверяют. Оценивание в группе должно

быть трехсторонним: учитель – самооценка – взаимооценка. Конечно, это усложняет работу

учителя, но только на первых порах. Форму оценивания тоже удобнее выбрать нестандартную,

например, призовой балл (обязательно именной: словесный, бумажный и т.д. – фантазия

безгранична). Учитель сам решает, за какой объем заданий ученики получают этот балл,

определяет шкалу перевода баллов в школьную отметку. Иногда полезно оценить даже идею

решения задачи – это стимулирует у ребят желание мыслить. Замечу, что уровень большинства

задач в данной разработке таков, что выполнить их могут даже учащиеся 5 класса. Данная

разработка использовалась для учащихся 9 кл. Время занятия — 1-2 урока.

Ход занятия

1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.

2. Активизация познавательной деятельности.

Историческая справка (дается учащимися), или организуется собеседование учителя с

учащимися, или заслушиваются сказки, рассказы, стихи, мини—сообщения по теме

«Комбинаторика в профессии моих родителей, знакомых, друзей» и т.д. для активизации

внимания и актуализации знаний по теме (выбор зависит от уровня подготовленности учащихся,

возраста, количества часов, отведенных на изучение курса, формы проведения занятий — урок,

занятие спецкурса, факультатива, кружка).

2. Проверка усвоения материала (приложение 2).

 Разминка проводится в форме устного счета, при выполнении заданий повторяются,

проговариваются все изученные формулы и свойства; можно использовать опорные конспекты,

вызвать 1 ученика и записать все формулы на доске; в презентации имеется слайд – шпаргалка,

для учащихся, испытывающих затруднения:

 Ответить на вопросы теста (тесты раздаются группам в печатном виде, учащиеся

самостоятельно выбирают и подчеркивают верные варианты ответа; можно выдать 2 варианта

теста – один для самопроверки, один – для оценивания учителем; можно использовать

мультимедийную презентацию).

o При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся: сочетанием, перебором,

пересечением множеств.

o Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов бытового обслуживания, способы пошива

комбинезонов, способы решения задач на различные комбинации объектов.

o Множество – это: совокупность объектов произвольного рода, умножение чисел, большое

количество предметов.

o Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно

воспользоваться правилом: сложения, умножения, возведения в степень.

o Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать формулы:

сочетаний, сокращенного умножения, теорему Пифагора.

o 5! – это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5, произведение натуральных чисел от 1 до 5

(вычислите).

o Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой,

переэкзаменовкой, экзаменационной комиссией (как?).

o Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера—

визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, повара (добавьте свой пример)

 Устные упражнения на повторение (руководитель группы выбирает случайным образом

карточки с заданиями, количество карточек определяется количеством групп, временем,

количеством учащихся в группе; желательно, чтобы карточку получил каждый член группы).

Урок в 9 классе

Учитель: Ахрамеева Н.В.

Цели урока:



Создать условия для обобщения и расширения математических знаний

в области комбинаторики;

Познавательные УУД:

осуществлять анализ объектов, самостоятельно искать и отбирать необходимую

информацию.

Регулятивные УУД:

определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного

результата, составлять план последовательности действий.

Коммуникативные УУД:

организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и

одноклассниками.

Ход урока

Сегодня мы подведем итоги изучения темы «Элементы комбинаторики и теории

вероятностей». Мы будем говорить о законах комбинаторики и применении их в

деятельности человека.

И

начнем

мы

урок

с

практического

задания.

У

вас

на

партах

лежат

фигуры:

треугольники, ромбы, круги. Составьте из них следующие комбинации: перестановки,

сочетания, размещения. (один ученик выполняет на доске). (5 мин)



Какое количество перестановок у вас получилось?



Чем размещения и сочетания отличаются от перестановок?



Чем размещения отличаются от сочетаний?



К какому типу задач относится данное задание?



Что изучает комбинаторика?



Для чего нужна эта область математики?

Комбинаторика — один из разделов

математики, который приобрел большое

значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической

логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике. Но когда начала

зарождаться эта наука? Об этом нам расскажет…(исторические сведения)

В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как

факториал ( в переводе с английского « factor» – множитель)

Обозначается

она

n!.

Знак

факториала

«!»

был

введён

в

1808

году

во

французском учебнике Хр. Крампа.

Устный счет:

Найти значение выражения:

2!=

3!=

4!=

5!=

6!=

0!=

А

сейчас

мы

переходим

к

основной

части

нашего

урока

–

решению

комбинаторных задач



В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый

вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько

дней члены семьи смогут делать

это без повторений?



У Минотавра в лабиринте томятся 25 пленников.

а) Сколькими способами он может выбрать себе трёх из них на завтрак,

обед и ужин?

б) А сколько существует способов, чтобы отпустить трёх пленников на

свободу?



В

отделе

работают

5

ведущих

и

8

старших

сотрудников.

В

командировку

надо

послать

двух

ведущих

и

двух

старших

научных

сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор?

Работа

в

группах: Каждая из групп получила в начале урока тексты. Задача

каждой группы: сформулировать и решить комбинаторную задачу, определить

область

человеческой

деятельности,

к

которой

относится

данная

задача.

Наметить пути решения задачи.

Группа 1. Отрывок из статьи популярного журнала 80-х годов.

«…В середине 60-х годов в CCCР появились две лотереи, которые по недоразумению

были названы «Спортлото»: лотерея 5 из 36 и лотерея 6 из 49. Играющий в лотерею 6

из 49 покупает билет, на котором имеется 49 клеточек. Каждая клеточка соответствует

какому-либо виду спорта. Нужно зачеркнуть 6 из этих клеточек и отправить



!

0

!

5



!

99

!

100



!

8

!

10



!

8

!

11

организаторам лотереи. После розыгрыша лотереи объявляется 6 выигрышных

номеров и награждается угадавший все 6 номеров. Сколько возможных вариантов

выбора 6 видов спорта из 49 существует?…»

Группа 2. Отрывок из статьи научного журнала.

«…Одной из наиболее сложных загадок в науке ХХ века было строение «нитей

жизни» — молекул белка и нуклеиновых кислот. Оказалось, что молекулы белка – это

объединения нескольких длинных цепей, составленных из 20 аминокислот.

Торжеством исследования нуклеиновых кислот можно считать расшифровку строения

дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК), сделанную в Кембридже Ф. Криком и Дж.

Уотсоном в 1953 г. Ведь ДНК играет важную роль в наследовании свойств организмов.

Чтобы разгадать структуру хотя бы одной цепи (белковой или нуклеиновой), её

отделяют от остальных и подвергают действию ферментов, разрывающих цепь на

строго определенные части. Эти части уже можно подвергнуть химическому анализу и

выяснить в них порядок аминокислот. Но предварительно, выясняют, какого

количество возможных вариантов состава этих частей, которые еще называют

полипептидными цепями.

Пусть, например, имеются пять видов аминокислот – А, В, С, D и E . Сколько

вариантов полипептидных цепей, состоящих из четырех аминокислот, можно

построить из этих аминокислот? Именно таким был один из первых вопросов,

который ставил перед собой исследователь «цепей жизни»…»

Группа 3. Отрывок из романа Умберто Эко «Маятник Фуко».

«…Больше ничего на поверхности не было. Предстояло разбираться в дискетах. Они

были перенумерованы, и я начал с первой. Но Бельбо предупреждал что-то насчет

пароля. Он всегда был ревнив к секретам Абулафии.

И действительно, едва я зарядил машину, на экране появилась строка: «Вы знаете

пароль?» Формулировка не обидная. Бельбо был тактичный человек. Машина вела

себя безучастно, она знала, что требуется пароль, и, не получая пароля, скучала. Но в

то же время как-то подзуживала: «Вот так-то! То, что тебя интересует, у меня тут, в

брюхе, да только как ты ни пыхти, старый крот, все равно ничего не узнаешь».

Пароль на Абулафии мог быть длиной в семь букв. Сколько шарад, сколько семерок

способен дать наш двадцатипятибуквенный алфавит с учетом возможности повторов,

ибо ничто не препятствует таинственному слову выглядеть как «кадабра»? Есть

формула подсчета вариантов. В общем, результат будет где-то шесть миллиардов и

хвостик…»

Слово предоставляется представителю первой группы ________________, которая

работала над отрывком из статьи популярного журнала 80-х годов.

Слово предоставляется представителю второй группы ________________, которая

работала над отрывком из статьи научного журнала.

Слово предоставляется представителю третьей группы ________________, которая

работала над отрывком из романа Умберто Эко «Маятник Фуко».

Закончите предложение

1)

При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся:

сочетанием.

2)

Комбинаторика изучает: способы решения задач на различные комбинации

объектов.

3)

Множество – это: совокупность объектов произвольного рода.

4)

Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С,

можно воспользоваться правилом: умножения.

5)

Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать

формулы: сочетаний.

6)

5! – это: произведение чисел от 1 до 5, 5

.

4

.

3

.

2

.

1 =120.

7)

Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются:

перестановкой, Р = n!.

Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности:

парикмахера-визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста,

повара

Уважаемые учащиеся! Давайте подведем итоги нашего урока. Я попрошу Вас, коротко

высказаться, ответив на следующие вопросы:

9)

Как вы думаете, необходимо ли знать каждому человеку хотя бы основные законы

комбинаторики? Почему?

Слайды презентации