Комбинаторика в задачах егэ математика

5 ноября 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи по комбинаторике

Подборка задач по комбинаторике с краткими пояснениями и ответами.

Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать трёх дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

В ЕГЭ по математике базового уровня — задача №10.

komb.docx
komb.pdf

Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?

Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.

Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?

Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?

Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?

Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?

Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом?

Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?

Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные?

Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Без метода (8 шт.)

Категория:
Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Элементы
комбинаторики

Комбинаторика – это
раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций,
подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного
конечного множества элементов (безразлично, какой природы; это могут быть
буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

1. Непосредственные подсчеты

Для решения комбинаторных задач существуют различные
способы грамотного подсчета, исключающие возможность потери какой-либо
комбинации элементов.

Логический перебор: При
логическом переборе выписывают все комбинации элементов, придерживаясь
некоторого правила.

Пример 1. В случайном
эксперименте симметричную монету бросают: а) дважды; б) трижды. Определите все
возможные комбинации выпадения орла и решки.

Решение. Выпадение
орла обозначим буквой О, решки – буквой Р.

а)
Записываем на первом месте букву О: ОО, ОР. Теперь на первом месте записываем
букву Р: РО, РР. В итоге получаем 4 комбинации  выпадения орла и решки: ОО, ОР,
РО, РР.

б)
В каждой комбинации, полученной в предыдущей задаче, добавляем слева букву О: ООО,
ООР, ОРО, ОРР. Аналогично слева приписываем букву Р: РОО, РОР, РРО, РРР.
В итоге получаем 8 комбинаций.

Ответ:
8.

Пример 2. Сколько четных
двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 8, 9?

Решение. Составим
таблицу: слева от первого столбца таблицы поместим цифры десятков двузначных
чисел, выше первой строки – цифры единиц.

	0	2	8
2	20	22	28
5	50	52	58
8	80	82	88
9	90	92	98

Искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице,
то есть 5·3=15.

Ответ:15.

Иногда подсчет вариантов облегчают графы. Так
называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами)
и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). Для удобства
иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки могут быть
заменены кругами или прямоугольниками, а ребра-отрезки – любыми линиями.

Полный граф: При
решении задач с помощью полного графа проводят все возможные ребра.

Пример 3. Андрей, Борис,
Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько
партий было сыграно?

Решение.
Рассмотрим полный граф с четырьмя вершинами, обозначенными по первым буквам
имен каждого из 4 мальчиков. Отрезки-ребра обозначают шахматные партии,
сыгранные каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер,
следовательно, и партий было сыграно 6.

Ответ:
6.

Граф-дерево

При
решении некоторых задач удобно использовать граф, называемый деревом (за внешнее
сходство с деревом).

Пример 4. Антон, Борис и Василий
купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами
они могут занять имеющиеся три места?

Решение. Изобразим
перебор способов с помощью графа-дерева, помещая в вершины графа первые буквы
имен друзей А, Б и В.

В
итоге получаем 6 способов.

Ответ: 6.

2. Правило умножения

Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из
данных элементов, используя наглядные средства, несложно, когда их количество
невелико. Однако при большом количестве элементов этот перебор затруднителен, и
тогда используют правила комбинаторики. Правило умножения (правило «и») — одно
из основных правил комбинаторики.

Согласно
ему, если элемент множества А может быть выбран m способами,
а элемент множества B — n способами,
то упорядоченная пара (A, B) может
быть составлена m•n способами. Правило
обобщается на произвольную длину последовательности.

Пример 5. Сколько
трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если:

а)
числа не повторяются;

б)
числа могут повторяться.

Решение.

а)
Первую цифру выбираем 5 способами, вторую цифру – 4 способами, третью – 3
способами. Всего 5•4•3 =60 трехзначных
чисел.

б)
Всего 5•5•5 =125
трехзначных чисел.

Ответ: а) 60;
б) 125.

3. Правило сложения

Правило
сложения (правило «или») – одно из основных правил комбинаторики, утверждающее,
что, если элемент множества A можно выбрать m способами,
элемент множества B можно выбрать n способами,
и множества A
и
B
не
имеют общих элементов, то выбор одного из элементов множеств A или B осуществляется
m+n способами.

Пример 6. На блюдце лежит 8
яблок и 6 груш. Сколькими способами можно

взять
плод с блюдца?

Решение. Всего
способов 6 +8 =14 .

Ответ: 14.

4. Перестановки

Перестановками называют
комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов
и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных
перестановок из n различных элементов P_n= n!, где n!=1•2 •3•…• (n —1) • n ; 1!11; 0!=0.

Например,
из трех элементов a, b и c можно
образовать 3!=1•2•3 = 6
перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Пример 7. Сколькими
способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

Решение. Число
способов обозначить восемь вершин куба данными различными буквами (которых
также восемь) равно P₈ = 8!= 40320

Ответ:
40320.

5. Размещения

Размещениями называют
комбинации, составленные из n различных элементов по
m
элементов,
которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех
возможных размещений

В
частности, при m = n получаем = n!=P_n .

Например,
из четырех элементов a, b, c и d можно образовать

размещений по два элемента: ab, ba,
ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db,
cd, dc.

Пример 8. Сколько можно
составить сигналов из 6 флажков различного цвета,

взятых
по 2?

Решение.

Ответ:
30.

1.6. Сочетания

Сочетаниями называют
комбинации, составленные из n различных элементов по
m
элементов,
которые отличаются только составом элементов. Число всех возможных сочетаний

Например,
из пяти элементов a, b, c, d и e можно
образовать

сочетаний
по три элемента: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Числа
размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Пример 9. Сколькими способами
читатель может выбрать две книжки из пяти

имеющихся?

Решение.

Ответ:
10.

Подготовка к ЕГЭ по математике (В4) Решение комбинаторных задач

Зарьянцева В.П.

Комбинаторика

Правило

Формулы

суммы

произведения

Перестановки

Размещения

Сочетания

Правило суммы

• Если элемент x можно выбрать способами n x и если элемент y можно выбрать n y способами, то выбор «либо x , либо y » можно осуществить способами n x + n y .

Любой цвет

Выбираем один шар

Nx +N y =4+5=9 способов

N x =4

N y =5

Пример 1

• В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать одну тетрадь?
• Решение: или – логическая сумма
• 10+5=15 (выбор неважен)

• Пример1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

• Решение:
• к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),

к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)

• к1+к2 = 5+4 = 9

Правило произведения

• Если элемент x можно выбрать n x способами и если после его выбора элемент y можно выбрать n y способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить n x ∙ n y способами.

Синий и рыжий

Выбираем пару шаров

Nx ∙N y =4∙5=20 способов

N x =4

N y =5

Пример 2

• В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

• 5*3=15

Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.

На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.

N= 5 х1 =5

• Пример5 . Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

• а ) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

• Решение : Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N= 4х3х2х1=24

• б ) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

• Решение : Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12

• Пример7 . Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?

• Решение : Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

• Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего

4х2х4х3х2х1=192 способами.

• По правилу сложения 48+192= 240 способов

Определите n (общее количество объектов) и m (сколько объектов выбираем)

ПОРЯДОК ВАЖЕН?

НЕТ

ДА

НУЖНО ВЫБРАТЬ ВСЕ n ЭЛЕМЕНТОВ

ПОВТОРЕНИЯ ЕСТЬ?

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

СОЧЕТАНИЯ

Повторения есть

Повторения есть

ДА

ДА

НЕТ

НЕТ

Перестановки с повторениями

Размещения с повторениями

Размещения

Перестановки

13

Перестановки

Перестановки без повторений

• Перестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется

по определению

Перестановки без повторений

6 различных перестановок

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?

Задача 19 . Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.

Примеры: 1234567, 2354167, 7546321 .

Перестановка-упорядоченное множество.

Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле P n =n! .

По условию n=7

Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.

Перестановки с повторениями

• Перестановки с повторением из n элементов k типов
• число элементов 1-го типа n 1 ; число элементов 2-го типа n 2 ; …; число элементов k -го типа n k ,
• все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают
• подсчитывают так:

Перестановки с повторениями

n=n 1 +n 2 = 2+1 = 3

n 2 = 1

n 1 = 2

3 различные перестановки

Пример 4

• Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать, если в команде 11 человек?

Пример 5

• Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных, 7 синих и 4 желтых светодиода?

Пример Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.

Примеры: 1223334, 4232331,2233314.

Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняются.

По условию n = 7, n1=2 , n2 =3

• Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

• Сколько различных гирлянд получится, если замкнуть гирлянду из предыдущей задачи в кольцо?

Размещения

(выборки)

Размещения без повторений

• Размещениями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
• Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом

Размещения без повторений

Выбираем два шара

n= 3

Порядок выбора важен!

m=2

6 различных выборок

Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин .

Пример

• Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Размещения с повторениями

• Размещения с повторениями из элементов k типов по m элементов ( k и m могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.

Размещения с повторениями

n= 3

8 вариантов выборок

k= 2

Пример 8

• Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных «симпатичных» чисел?
• k=5 порядок важен

Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?

Сочетания

Сочетания без повторений

• Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга составом элементов.

Сочетания без повторений

Выбираем два шара

Порядок выбора не важен!

n= 3

3 сочетания

m=2

Пример 9

• Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков.

Сочетания с повторениями

• Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов ( m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.

Сочетания с повторениями

m= 3

4 варианта сочетаний

k= 2

Пример 10

В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?

Решение Так как по условию задачи все цветы на внешний вид одинаковы, то мы получаем формулу без повторений. Вы выбираем цветы в букет, порядок выбора не важен, следовательно, мы получаем формулу сочетаний без повторений: два типа цветов, выбираем три цветка.

В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?

• Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3
• Каким союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И» – правило произведения, «или» – правило суммы.

Для каждого выбора задаются следующие вопросы:

• Все элементы используются? Если «да», то это перестановки. Переходим к п. 5.
• Порядок выбора элементов важен? Если «да», то это размещения, «нет» – сочетания.
• Есть ли одинаковые элементы? Если «да» – то формула с повторениями, «нет» – без повторений.

Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?

При замыкании линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими сдвигами относительно друг друга, становятся одинаковыми. Возьмем, например, следующую перестановку и посмотрим, сколько других перестановок явлюяются ее циклическим сдвигом: 1. ккккксссссссжжжж 2. кккксссссссжжжжк 3. ккксссссссжжжжкк … 15. жжккккксссссссжж 16. жккккксссссссжжж Следовательно, все перестановки разбиваются на группы по 16 цепочек в группе. Итак, число кольцевых гирлянд будет

13

Пример 11

• Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

• У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
• а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
• б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение 25*24*23 = 13800 способов. 

Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали  3·2·1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число  13800 : 6 = 2300.

Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди них только 4 знакомы с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего их 16 человек?

Решение Мы делим всех волонтеров на две равные группы, то есть выбираем участников первой группы, а все остальные переходят в другую группу. Один выбор. Теперь рассмотрим этот выбор первой группы. Выбор состоит из выбора волонтеров, знающих местность, и выбора волонтеров, незнающих местность. Следовательно, будем соединять эти два числа правилом произведения . Найдем число выборов волонтеров, знающих местность. Всего таких волонтеров 4 человека. Нам нужно 2. Порядок выбора не важен. Сочетания без повторений.

Найдем число выборов волонтеров, незнающих местность. Всего их 16-4=12 , выбираем шесть человек (ровно половину). Общее число выборов:

• Сколько существует натуральных чисел, меньших 256 10 , таких, что в записи каждого числа в двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите целое число.

Решение Переведем данное число из десятичной системы счисления в двоичную. 256 10 =100000000 2 Следовательно, числа меньше данного состоят из восьми, семи, шести, пяти, четырех, трех, двух и одного разряда.

1) Рассмотрим восьмиразрядные числа. 1ХХХХХХХ. Так как мы точно знаем сколько нулей и единиц, то мы используем формулу перестановки с повторениями.

2) Рассмотрим семиразрядные числа. Очевидно, что такие числа не удовлетворяют условию задачи, так как не могут состоять из одинакового числа единиц и нулей. Аналогичный вывод можно сделать о пятиразрядных, трехразрядных и одноразрядных числах.

3) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем:

4) Четырехразрядные числа.

5) Двухразрядное число только одно 10 2

Итак, у нас может быть или восьмиразрядное число, или шестиразрядное число, или четырехразрядное число, или двухразрядное число. Правило суммы.

Пример 15

• В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. Из коробки наугад вынули два шарика. Какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации?
• Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего;
• Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного;
• Оба вынутых шарика красного цвета;
• Оба вынутых шарика черного цвета;
• Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга;
• Вынуты шарики одного и того же цвета.

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2 слонов и 2 коней) на первой линии шахматной доски?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Решение

В этой задаче нам обязательно нужно использовать цифры 2, 4 и 5. Но они могут стоять на разных местах и в разном порядке. У нас три «важные» и две «неважные» цифры в числе — два типа цифр. Это перестановки с повторениями.

Теперь посчитаем сколько различных перестановок «важных» цифр между собой. Это перестановки без повторений

Итак у нас 60 различных перестановок. Теперь посчитаем, сколько различных «неважных» цифр может быть в каждой из этих перестановок. Мы выбираем две «неважные» цифры из шести. Порядок выбора важен . Это размещения без повторений .

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

• Решение:
• Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380.
• Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

29 декабря 2011

Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:

где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов (см. «Тест по теории вероятностей»).

И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.

Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на помощь приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.

В сегодняшнем уроке не будет строгих формулировок и длинных теорем — они слишком сложны и, к тому же, совершенно бесполезны для решения настоящих задач B6. Вместо этого мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ. Итак, поехали!

Число сочетаний и факториалы

Пусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из n элементов по k. Это число обозначается C_n^k и считается по специальной формуле.

Обозначение:

Выражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 · 2 · 3 · … · n.

Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1 — подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.

Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.

К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает число n, а где — k. Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).

Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:

Задача. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?

Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:

Задача. В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:

Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.

Задача. На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги своровал и купил дочке шубу из меха соболя за 200 000 рублей. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?

В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть n = 17 серверов, а директору надо k = 14 серверов. Считаем число сочетаний:

Красным цветом снова обозначены множители, которые сокращаются. Итого, получилось 680 комбинаций. В общем, директору есть из чего выбрать.

Как видите, число сочетаний из n по k считается достаточно просто. Проблема в том, что многие школьники никогда не работали с факториалами. Для них это новый и незнакомый математический объект, и для его освоения требуется некоторая тренировка.

Хорошая новость состоит в том, что во многих задачах формулы C_n^k оказывается вполне достаточно для нахождения ответа. Но есть и плохая новость: в тех редких случаях, когда нужны дополнительные правила, решение задачи резко усложняется. Эти правила мы сейчас и рассмотрим.

Закон умножения

Закон умножения в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.

Другими словами, пусть имеется A способов выполнить одно действие и B способов выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить первое и второе действие по формуле: C = A · B.

Задача. У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить сигарету за 11 рублей у бабули в подземном переходе. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?

Итак, сначала Петя достает k = 1 монету из n = 4 имеющихся монет номиналом 1 рубль. Число способов сделать это равно C₄¹ = … = 4.

Затем Петя снова лезет в карман и достает k = 1 монету из n = 2 имеющихся монет номиналом 10 рублей. Здесь число сочетаний равно C₂¹ = … = 2.

Поскольку эти действия независимы, общее число вариантов равно C = 4 · 2 = 8.

Задача. В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?

Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C₈² = … = 28 различными способами.

Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равно C₁₂² = … = 66.

Поскольку выбор белого шара и выбор черного — события независимые, общее число комбинаций считается по закону умножения: C = 28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.

Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых — при условии, что все они независимы.

Именно этой формулы многим не хватило для решения задачи B6 на пробном ЕГЭ по математике. Разумеется, существуют и другие методы решения, в которых комбинаторика не используется — и мы обязательно рассмотрим их ближе к настоящему экзамену. Однако ни один из них не сравнится по надежности и лаконичности с теми приемами, которые мы сейчас изучаем.

Закон сложения

Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.

Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» — это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

Аналогично, события «Выбранный наугад шар — белый» и «Выбранный наугад шар — черный» также являются взаимоисключающими.

Закон сложения в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить A и B способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить X = A + B способами.

Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

Можно сказать, что закон сложения — это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения — это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.

Задача. В корзине лежат 9 черных шаров и 7 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?

Если шары одинакового цвета, то вариантов немного: оба они либо черные, либо красные. Очевидно, что эти варианты — взаимоисключающие.

В первом случае мальчику предстоит выбирать k = 2 черных шара из n = 9 имеющихся. Число способов сделать это равно C₉² = … = 36.

Аналогично, во втором случае выбираем k = 2 красных шара из n = 7 возможных. Число способов равно C₇² = … = 21.

Осталось найти общее количество способов. Поскольку варианты с черными и красными шарами — взаимоисключающие, по закону сложения имеем: X = 36 + 21 = 57.

Задача. В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет?

По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае, k = 3.

В случае с розами придется выбирать из n = 15 вариантов, поэтому число сочетаний равно C₁₅³ = … = 455. Для тюльпанов же n = 18, а число сочетаний — C₁₈³ = … = 816.

Поскольку розы и тюльпаны — это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов X = 455 + 816 = 1271. Это и есть ответ.

Дополнительные условия и ограничения

Очень часто в тексте задачи присутствуют дополнительные условия, накладывающие существенные ограничения на интересующие нас сочетания. Сравните два предложения:

1. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?
2. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?

Чувствуете разницу? В первом случае мы вправе брать любые цвета, какие нам нравятся — дополнительных ограничений нет. Во втором случае все сложнее, поскольку мы обязаны выбрать ручку красного цвета (предполагается, что она есть в исходном наборе).

Очевидно, что любые ограничения резко сокращают итоговое количество вариантов. Ну и как в этом случае найти число сочетаний? Просто запомните следующее правило:

Пусть имеется набор из n элементов, среди которых надо выбрать k элементов. При введении дополнительных ограничений числа n и k уменьшаются на одинаковую величину.

Другими словами, если из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется из n = 5 − 1 = 4 элементов по k = 3 − 1 = 2 элемента. Таким образом, вместо C₅³ надо считать C₄².

Теперь посмотрим, как это правило работает на конкретных примерах:

Задача. В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, надо выбрать 4 человека для участия в конференции. Сколькими способами можно выбрать этих четверых, если отличники обязательно должны попасть на конференцию?

Итак, есть группа из n = 20 студентов. Но выбрать надо лишь k = 4 из них. Если бы не было дополнительных ограничений, то количество вариантов равнялось числу сочетаний C₂₀⁴.

Однако нам поставили дополнительное условие: 2 отличника должны быть среди этих четырех. Таким образом, согласно приведенному выше правилу, мы уменьшаем числа n и k на 2. Имеем:

Задача. У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?

Итак, есть n = 8 монет. Петя перекладывает k = 3 монеты, из которых 2 — десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа n и k надо уменьшить на 2. Имеем:

В обоих примерах я намеренно пропустил детали работы с факториалами — попробуйте выполнить все расчеты самостоятельно. Разумеется, для этих задач существуют и другие способы решения. Например, с помощью закона умножения. В любом случае, ответ будет один и тот же.

В заключение отмечу, что в первой задаче мы получили 153 варианта — это намного меньше, чем исходные C₂₀⁴ = … = 4845 вариантов. Аналогично, 3 монеты из 8 можно переложить C₈³ = … = 56 способами, что значительно больше 6 способов, которые мы получили в последней задаче.

Эти примеры наглядно демонстрируют, что введение любых ограничений значительно сокращает нашу «свободу выбора».

Смотрите также:

1. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
2. Задачи B6 с монетами
3. Что такое логарифм
4. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
5. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
6. Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов

Решение заданий ЕГЭ
Элементы комбинаторики,
статистики и теории
вероятностей

Айшаев Мухадин Муратович

Айшаев Мухадин Муратович
учитель математики
МКОУ «Средняя общеобразовательная школа с.п.Кара-Суу» и преподаватель «Лицея для одаренных детей» г.Нальчик Айшаев Кязим Мухадинович
«Решение заданий ЕГЭ по теме «Элементы комбинаторики,
статистики и теории
вероятностей»

Введение

• Задания открытого банка заданий ЕГЭ. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика), а также задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Для успешного решения задач этого типа необходимо:

• Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
• Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
• Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
• Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

Повторить материал по темам:

• Элементы комбинаторики
• Поочередный и одновременный выбор
• Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
• Элементы статистики
• Табличное и графическое представление данных
• Числовые характеристики рядов данных
• Элементы теории вероятностей
• Вероятности событий
• Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Классическое определение вероятности

• Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.

• Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Формула классической теории вероятностей

Число благоприятных исходов

Число всех равновозможных исходов

Вероятность события =

Вероятность события — это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки

• Перестановкой множества из n  элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число перестановок можно вычислить по формуле Pn=n!

Размещения

• Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетания

• Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).

Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

• Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36.
  Из них благоприятные исходы можно перечислить: 2+6;6+2; 3+5;5+3; 4+4.
• Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36.
  = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.

•  

Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

• Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
• Решение: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет
• 1 раз равна ,
• 2 раза равна =(Теорема об умножении вероятностей),
• 3 раза равна =,
• а 4 раза равна ()4==0,0625.
• Ответ: 0,0625

•  

Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.

• Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36.
  Из них благоприятные исходы можно перечислить:
  1-й кубик 2-й кубик
  1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5.
  2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5.
  3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5.
  4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5.
  5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5.
  6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5.
  Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
• Ответ. 0,83

Для самостоятельного
решения

• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)

Задача 4: Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

• Решение: По условию индекс может стоять либо на первом, либо на втором месте:
• H2NO HNO2
• H3NO HNO3
• 2 + 2 = 4
• Ответ: 4

Задача 5: Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?

• а, в, с – признаки
• 1 случай – гамета не обладает ни одним из этих признаков – только 1тип
• 2 случай – одним из этих признаков: а; в; с – 3 типа
• 3 случай — двумя из трех признаков: ав, ас, вс – 3 типа
• 4 случай – всеми тремя признаками: авс – 1 тип
• 1+3+3+1=8 типов гамет
• Ответ: 8

Задача 6: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

• 111 сотни десятки единицы
• 112 а в с
• 121 1 1 1
• 122 8 2 2 2
• 211 222=8
• 212
• 221
• 222

•  

Задача 7:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

• А Б В
• (АБ)
• (АВ) 3 варианта посещения
• (БВ)
• Сочетание из 3 по 2
• С3= =3
• Ответ: 3

•  

2

Задача 8: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

• А Г С Ф – число сочетаний из 4 по 2
• АГ
• АС
• АФ С4==6
• ГС
• ГФ
• СФ
• Ответ: 6

•  

2

Задача 9: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?
Число размещений: А5= =20
Ответ: 20

•  

2

Задача 10: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

• А Б В
• Число сочетаний из 3 по 2: 3 способа
• Количество перестановок: Р2=2!=2
• СР=3
• или А-размещения
• А3==6

•  

2

Задача 11: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

• 12 21 23 32 13 31
• А3=
• Ответ: 6

•  

2

Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

• Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
• Решение: Всего участвует 20 спортсменок, из них из Китая 20-(8+7)=5 спортсменок.
• Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая будет
• Р =
• Ответ: 0,25

•  

Задача 13: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

• n=25
• m=23 билета без вопроса о грибах
• P(A)===0,92
• Ответ: 0,92

•  

Для самостоятельного
решения
1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (0,2)
2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.(0,16)
3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.(0,18)
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.(0,475)
5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. (0,25).
Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

• Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
• А = {Насос не подтекает}
• n=1000
• m=1000-5=995насосов не подтекают
• P(A)===0,995
• Ответ: 0,995

•  

Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

• Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
• А={Сумка качественная}
• n=100
• m=100-8 без скрытых дефектов
• P(A)===0,92
• Ответ: 0,92

•  

Задача 16: В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

• Решение: 50-7=43 – исправных аккумуляторов
• Вероятность – покупка исправного аккумулятора

43 — Число благоприятных исходов
50 — Число всех равновозможных исходов
Р =
Ответ: 0,86

•  

Для самостоятельного решения

• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96 )
• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
• В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (0,995)
• В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.(0,992)
• Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. (0,875)
• В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. (0,4)

Произведение вероятностей

• Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
• Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Сложение вероятностей

• Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
• Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Список использованной литературы

• А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2015. Математика»;
• http://mathege.ru/ — открытый банк заданий по математике.