Константину на экзамене попалось задание на тригонометрическое тождество он в ужасе ведь

Найдём производную исходной функции:

y’= (12x)’-12(tg x)’-(18)’= 12-frac{12}{cos ^2x}= frac{12cos ^2x-12}{cos ^2x}leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Найдём производную исходной функции:

y’= 32(tg x)’-(32x)’-(8pi )’+(103)’= frac{32}{cos ^2x}-32= frac{32-32cos ^2x}{cos ^2x}geqslant0. Значит, исходная функция является неубывающей на рассматриваемом промежутке и принимает

наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=-frac{pi}{4}. Наименьшее значение равно yleft(-frac{pi}{4}right)= 32tgleft(-frac{pi}{4}right)-32cdotleft(-frac{pi}{4}right)-8pi+103= -32+103= 71.

Найдём производную исходной функции: y’= (0,7-x)’ cos x,+ (0,7-x)(cos x)’+(sin x)’+(2)’ = -cos x+(0,7-x)cdot (- sin x)+ cos x= (x-0,7) sin x. Найдём нули производной на интервале left(0; frac{pi}{2}right), учитывая, что на этом множестве sin x>0.

Имеем (x-0,7) sin x=0;

x-0,7=0;

x=0,7.

Значение x=0,7 принадлежит интервалу left(0; frac{pi}{2}right). При x in (0; 0,7) выполняется неравенство y'(x)<0. При x in left(0,7; frac{pi}{2}right) выполняется неравенство y'(x)>0.

Отсюда x=0,7 является единственной точкой минимума на рассматриваемом интервале.

Найдём производную исходной функции: y’=-9+9sqrt 2 sin x. Вычислим нули производной: y’=0;

-9+9sqrt 2sin x=0;

sin x=frac{sqrt2}{2}.

На отрезке left[0; frac{pi}{2}right] этому уравнению удовлетворяет только x=frac{pi}{4}. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.

Из рисунка видно, что при x<frac{pi}{4} выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Аналогично, при x>frac{pi}{4} выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при x=frac{pi}{4} и равно yleft(frac{pi}{4}right)= 24+frac{9pi}{4}-9cdotfrac{pi}{4}-9sqrt2cos frac{pi}{4}= 24-9=15.

Найдём производную исходной функции: y’= (4x-5)’cos x+(4x-5)(cos x)’-4(sin x)’+(12)’= 4cos x+(4x-5)cdot(-sin x)-4cos x= -(4x-5)sin x.

Найдём нули производной на интервале left ( 0; frac{pi}{2} right ), учитывая, что на этом множестве sin x>0.

Имеем -(4x-5)sin x=0,

4x-5=0,

x=frac54.

Значение x=frac54 принадлежит интервалу left ( 0; frac{pi}{2} right ). При xinleft ( 0; frac54 right ) выполняется неравенство y'(x)>0. При xinleft ( frac54; frac{pi}{2} right ) выполняется неравенство y'(x)<0. Отсюда x=frac54=1,25 является единственной точкой максимума на рассматриваемом интервале.

Найдём производную исходной функции: y’=-18sin x+9sqrt3. Вычислим нули производной: y’=0.

-18sin x+9sqrt3=0,

sin x=frac{sqrt3}{2}.

На отрезке left [ 0; frac{pi}{2} right ] этому уравнению удовлетворяет только x=frac{pi}{3}. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.

Из рисунка видно, что при x<frac{pi}{3} выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Аналогично при x>frac{pi}{3} выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при x=frac{pi}{3} и равно yleft ( frac{pi}{3} right )= 18cosfrac{pi}{3}+9sqrt3cdotfrac{pi}{3}-3sqrt3 pi+16= 9+16=25.

Вычислим производную функции.

y’=frac{13}{cos^2x}-13=13(frac{1}{cos^2x}-1)=13tg^2x

Производная функции на всем промежутке возрастает, значит наибольшее значение функции она достигает на правом конце отрезка. Вычислим значение функции в этой точке.

y(0)=13tg0-13cdot0+5=5

Точка 5 – наибольшее значение функции.

Вычислим производную функции.

y’=-8sin x-17

Так как выражение -8sin x при любых значениях x всегда не больше чем 8, то полученная разность меньше нуля, а это говорит о том, что функция убывает. Следовательно наименьшее значение функция достигает на правом конце отрезка. Вычислим это значение.

y(0)=8cos0-17cdot0+6 = 8+6=14

Точка 14 – наименьшее значение функции.

Вычислим производную функции.

y’=2cos x-(2x-3)sin x-2cos x

y’=-(2x-3)sin x

y’=(3-2x)sin x

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(3-2x)sin x=0

left [begin{array}{l} 3-2x=0 sin x=0 end{array} right .

left [begin{array}{l} x=1,5 x=pi n, n in mathbb{Z} notin left ( 0; frac{pi}{2} right) end{array} right .

На числовой оси отложим граничные точки промежутка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 1,5 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 1,5 – точка максимума функции.