Контрольная работа по математике в форме егэ 11 класс профильный уровень

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 1.

1. Найдите корень уравнения 

2. В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Пифагор». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Пифагор».

3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 20,   Найдите BC.

4.

Найдите значение выражения 

5.  Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

6.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−5; 4].

7. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта   Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

8. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 90 км/ч, а последнюю — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

9.

На рисунке изображён график функции   Найдите 

10. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

11. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и  Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

14. Решите неравенство: 

15. Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не большее 270 тысяч рублей?

16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и 

17. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок 

18. Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 2.

1.

Решите уравнение 

2. В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Пифагор». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Пифагор».

3.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите значение выражения 

5.  Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6. На рисунке изображён график   — производной функции   определенной на интервале (−11; 2). В какой точке отрезка [−9; 1] функция   принимает наибольшее значение?

7. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением   где p (атм.) — давление газа, V — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

8. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15 минут, а первый и третий — за 24 минуты. За сколько минут три эти насоса заполнят бассейн, работая вместе?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения  .

10. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

11.

Найдите точку минимума функции 

12. Решите уравнение 

13. ABCA₁B₁C₁ — правильная призма, сторона AB равна 16. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB₁ соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.

а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 40.

б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 46.

14. Решите неравенство

15. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды – 14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится?

16. Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O₁ касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO₁ прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 15 и AK = 32.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет более одного корня.

18. На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 3.

1. Найдите корень уравнения 

2. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

3.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 2. Найдите гипотенузу этого треугольника.

4. Найдите   если 

5.  Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

6.

Прямая   параллельна касательной к графику функции   Найдите абсциссу точки касания.

7.

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.

В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение   где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

8. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b, c и d — целые. Найдите 

10. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °C, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

11. Найдите точку максимума функции 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.

а) Докажите, что KM перпендикулярно AC.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC, если AB = 12, AC = 16 и AA₁ = 6.

14. Решите неравенство: 

15. У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

16. Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

18. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 4.

1.

Решите уравнение   Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

2. Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,091. В некотором городе из 1000 проданных ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую поступило 96 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, угол A равен     Найдите 

4. Найдите значение выражения 

5.  Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6.  На рисунке изображён график y = f‘(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = 6 − 2x или совпадает с ней.

7. Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону   где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний,   м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле   где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

9.

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

10. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

11. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 12. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 : 1, считая от вершины M.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

14. Решите неравенство 

15. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 15 млн рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 110 млн, а к концу проекта — больше 190 млн рублей.

16. В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B.

а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABM, если MK = 9, PK = 6, MP = 5.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].

18. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100.

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 5.

1. Найдите корень уравнения 

2.

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выступать после группы из Канады и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.

3.  Сторона AB треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

4. Найдите значение выражения 

5.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   B, C,    прямоугольного параллелепипеда   у которого     

6.  На рисунке изображен график производной функции  определенной на интервале   Найдите точку экстремума функции   на отрезке 

7. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле   где   r_пок — средняя оценка магазина покупателями, r_экс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 49, их средняя оценка равна 0,88, а оценка экспертов равна 0,38.

8. Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения  .

10. Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 5».

11.

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

а) Докажите, что AA₁ = AС.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 7, BC = 8.

14. Решите неравенство: 

15. 5 января 2020 года Андрей планирует открыть вклад на сумму 3 миллиона рублей. Первые три года 2 января банк будет начислять 10% на сумму вклада, а в последующие годы банк будет начислять 5% на сумму вклада.

4 января каждого года Андрей будет делать дополнительный взнос на вклад так, чтобы после этого величина вклада на 5 января была больше величины вклада на 5 января прошлого года на одно и то же число. Определите общий размер начислений банка, если 3 января 2031 года на вкладе будет лежать 24,15 миллиона рублей.

16. В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = 10, AC = BC = 13, вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₂ и О₃ центры этих окружностей. Найдите:

а) радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) площадь треугольника О₁, О₂, О₃.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

18. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a  b  c  d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a² − b² + с² − d² = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a² − b² + с² − d² = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a² − b² + с² − d² = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 6.

1. Найдите корень уравнения 

2.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет 1?

3.

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

4.

Найдите значение выражения 

5.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен 

6.  На рисунке изображены график функции   и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции   в точке x₀.

7. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель − целое число от –2 до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид 

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.

8. Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения  .

10. Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

11.

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

13. На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 10, а B₁Q = 4. Плоскость A₁PQ пересекает ребро CC₁ в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки С₁ до плоскости A₁PQ.

14. Решите неравенство

15. Строительство нового завода стоит 192 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x² + 4x + 18 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x² + 4x + 18). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет?

16. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

б) Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN = 1, AM + PN = 3 .

17. Найдите все значения a, при которых неравенство   выполняется для всех действительных значений 

18. Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, …, a_n, … состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, …, a₇ ровно три числа делятся на 36?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, …, a₃₀ ровно 9 чисел делятся на 36?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, …, a_2n больше кратных 36, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, …, a_5n?

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 7.

1. Найдите корень уравнения 

2. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 спортсмена из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России.

3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите 

4. Найдите значение выражения 

5.  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

6.  На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

7. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле   где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на холме, видит горизонт на расстоянии 8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 11,2 километров?

8. Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

10. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

11. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

14. Решите неравенство: 

15. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использоваться или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

16. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что 

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если 

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

меньше 2.

18. Возрастающие арифметические прогрессии   и   состоят из натуральных чисел.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых 

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых  ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение   если  ?

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА ЕГЭ профильный уровень

ДЕКАБРЬ 2021

Вариант 8.

1. Найдите корень уравнения 

2. На конференцию приехали 6 ученых из Швейцарии, 3 из Болгарии и 6 из Австрии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что третьим окажется доклад ученого из Болгарии.

3.

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 9. Найдите сторону ромба.

4. Найдите значение выражения: 

5.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁прямоугольного параллелепипеда   у которого     

6.  На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

7. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле   где  (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 16 километров? Ответ выразите в километрах.

8.

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

9.  На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

10. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

11. Найдите точку минимума функции 

12. 

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМпроведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20, а боковое ребро — 

а) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.

б) Найдите площадь этого сечения.

14. Решите неравенство: 

15. В июле планируется взять кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

16. Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

18. Последовательность a₁, a₂, …,a_n,… состоит из натуральных чисел, причем a_n+2 = a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б) Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 

Ответы Вариант 1

№ п/п	№ задания	Ответ
1	523392	-201
2	286325	0,78
3	29749	16
4	90983	64
5	74663	2,5
6	9049	-2
7	319859	35
8	525066	60
9	508896	-10,5
10	321163	0,28
11	26691	-1
12	505547	а)   б)
13	513097
14	508423
15	515690	6.
16	519685
17	507235
18	548484	а) нет, б) да, в) 106

Вариант 2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	102379	10
2	286325	0,78
3	502085	34
4	26847	1,5
5	27210	78
6	561723	-3
7	42963	7,6
8	504259	9,6
9	562294	20
10	509531	0,65
11	127993	-5
12	511289
13	559408	б)
14	507661
15	513717	125 месяцев.
16	513368	б) 240.
17	512996
18	528993	а) нет, б) нет, в)

Вариант 3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	26651	4
2	1004	0,9
3	52649	4
4	26786	-2,5
5	519535	29
6	6041	-4
7	325728	8,39
8	5913	10
9	564589	-0,5
10	541813	0,09
11	77465	9
12	522094	а)   б)
13	526591	б)
14	511539
15	517222	30 млн рублей.
16	517535	б) 30.
17	526679
18	513371	а) Да, например, 7124 и 7119; б) нет; в) 11.

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

№ п/п	№ задания	Ответ
1	39003	226
2	320849	0,1
3	27615	3
4	541256	2
5	73945	0,75
6	525690	42
7	319860	10
8	119153	27
9	562293	8
10	508778	0,16
11	70537	23
12	519828	а)   б)
13	514631
14	507667
15	530903	14.
16	525748	б) 14.
17	513452	а) Да, например, прогрессия 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, …; б) нет; в)23

Вариант 7

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511021	-3
2	286209	0,08
3	27337	0,6
4	26987	2
5	73455	2
6	520183	-7
7	525065	4,8
8	110543	9
9	564649	-61
10	509569	0,06
11	77445	-25
12	546982	а)   б)
13	510460	19.
14	508353
15	515652	165 кг.
16	513627	б) 175°.
17	526018
18	517186	а) 1, 3, 5,… и 1, 4, 7,…; б) нет; в) 98.

Вариант 8

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510900	8,75
2	286125	0,2
3	53471	36
4	16125	425
5	245335	30
6	530551	1,25
7	263803	0,02
8	99619	6
9	564647	61
10	509078	0,192
11	124267	9
12	517746	а)   б)
13	552931	б) 250.
14	508509
15	519832	254 100 рублей.
16	517535	б) 30.
17	501693
18	520501	а) да; б) нет; в) при

Контрольная мониторинговая работа ЕГЭ 2022 по математике 11 класс профильный уровень 3 варианта заданий с ответами за 1 полугодие 56 регион Оренбургская область, официальная дата проведения работы 4 декабря 2021 год.

• Скачать задания 1 варианта

• Скачать задания 2 варианта

• Скачать задания 3 варианта

• Скачать ответы и решения 1 вариант

• Скачать ответы и решения 2 вариант

• Скачать ответы и решения 3 вариант

Контрольная работа ЕГЭ 2022 по математике профиль за 1 полугодие 11 класс вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

1)В соревновании по биатлону участвуют спортсмены из 25 стран, одна из которых — Россия. Всего на старт вышло 60 участников, из которых 6  — из России. Порядок старта определяется жребием, стартуют спортсмены друг за другом. Какова вероятность того, что десятым стартовал спортсмен из России?

2)Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

3)На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

4)Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

5)Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

6)Для перевозки 500 маленьких и 26 больших блоков был выделен автомобиль грузоподъемностью 9,75 т. По техническим условиям он может перевозить не более 38 маленьких блоков. Габариты блоков таковы, что перевозка одного большого блока приравнивается к перевозке 18 маленьких. Большой блок весит 3,5 т, а маленький 0,25 т. Какое минимальное количество перевозок потребуется для перемещения всех блоков?

7)В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую. а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках? б) Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний? в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

8)Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, перейдя отметку 10 часов, но не дойдя до отметки 1 час.

9)Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

10)Имеется два сплава. Первый содержит 10% меди, второй — 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% меди. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

11)Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

12)В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб. — суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1 млн. рублей.

13)Агата добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института. а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч? б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час? в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?

14)У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

15)Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите тупой угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

16)На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

17)Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

18)При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

19)В аграрной стране А производство пшеницы на душу населения в 2015 году составляло 192 кг и ежегодно увеличивалось на 20%. В аграрной стране В производство пшеницы на душу населения в 2015 году составляло 375 кг. В течение трех лет производство зерна в стране В увеличивалось на 14% ежегодно, а ее население увеличивалось на m% ежегодно. В 2018 году производство зерна на душу населения в странах А и В стало одинаковым. Найдите m.

20)На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АC1 : С1B = 21 : 10, ВА1 : A1C = 2 : 3, АВ1:В1С = 2 : 5. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D. а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1  — параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25.

21)Первый набор чисел состоит из чисел 2, 4, 8, …, . Второй набор состоит из чисел 3, 9, 27, …, . Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте  — число из первого набора, а на втором  — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили. а) Может ли полученная сумма делиться на 9? б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000? в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике 11 класс:

• Пробный вариант №211122 ЕГЭ 2022 по математике профиль 11 класс 100 баллов с ответами

• Тренировочный вариант №152 ЕГЭ 2022 по математике 11 класс профильный уровень

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

• Мне нравится 

 

Контрольная работа №1

 по теме « Тригонометрические функции»

Вариант 1

.Вычислите: 
tg 390

  Решить
уравнение: 

Найти
множество значений функции:  y=

 Найти
наибольшее целое значение функции: y=3,9

 Найдите
наибольшее значение функции  y=  

 Найдите
наименьший положительный период:   y=

. 
Найдите наибольшее значение  функции  y=3 +4.

. 
Найдите область определения функции   y=

  Сколько
целых чисел содержится во множестве значений функции  y=3.

 При
каких значениях  а  функция y= +  будет
четной?

  Пусть
f(x)=  g(x)=2x.
Найдите  f(g(0)).

  Решить
уравнение: 

Вариант 2

 Вычислить 
ctg(-300

B₂
Решить уравнение:

 Найдите
множество значений функции  у=5

  Найдите
наибольшее целое значение функции   у=5

 Найдите
наибольшее значение функции у =   на
отрезке

  Найдите
наименьший положительный период функции  у=

 Найдите
наименьшее значение функции   у=5 

 Найдите
область определения функции  у =

 Сколько
целых чисел содержится во множестве значений функции   y=

.
При каких значениях  а функция у = a   будет
нечетной?

  Пусть
f(x)=   g(x)=.  Cравнить  
f(f(0))  и g(g(0)).

 Решить
уравнение: 

Контрольная работа №  2

 по теме « Производная  и ее
геометрический смысл»

Вариант 1

 Для функции у = найдите предел разностного отношения при h

. Найдите производную функции:

Найдите значение производной функции у = f(x) в точке ,  если  f(x) = 2.

 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) =  в точке с абсциссой      

Найдите угол между касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой  и осью  Ох:

f(x) =2

 Найдите значения x,  при которых значение производной функции  равно 0:   f(x)= +2x-12 

 Найдите значение производной функции у = точке

 Выяснить, при каких значениях  x значение производной функции f(x)  положительно: f(x)=.

 Записать  уравнение касательной к графику функции  f(x)= в точке

 Найдите значения x, при которых значения производной функции f(x)=  положительны.

 Найдите точки графика функции f(x)=  в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

 Найдите все значения а, при которых  для всех действительных значений x, если   f(x)= а

Вариант 2

 Для функции у = найдите предел разностного отношения при h

. Найдите производную функции:

Найдите значение производной функции у = f(x) в точке , если f(x) = 2.

 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) =  в точке с абсциссой      

Найдите угол между касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой  и осью  Оx:

f(x) =4

 Найдите значения x,  при которых значение производной функции  равно 0:  f(x)= 

 Найдите значение производной функции у =точке 

 Выяснить, при каких значениях  x  значение производной функции f(x)  положительно: f(x)=.

 Записать  уравнение касательной к графику функции  f(x)=в точке

 Найдите значения x, при которых значения производной функции f(x)=  отрицательны.

 Найдите точки графика функции f(x)= в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

 Найдите все значения а, при которых  для всех действительных значений x, если   f(x)=

Контрольная работа №3

по теме « Применение
производной к исследованию функции»

Вариант 1

 Найдите интервалы возрастания функции f(x) = 2

 Найдите интервалы убывания функции  f(x) =

  Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у =  на отрезке

 Найдите точки экстремума функции: у = 2

 Найдите вторую производную функции f(x) =

 Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x) =

 Найдите значение функции в точках  экстремума f(x) =

 Построить график функции f(x) = 

 На рисунке изображен график производной функции. Найдите
число точек максимума функции.

 Из всех прямоугольников с периметром p найти прямоугольник наибольшей
площади.

 Установить, при каких значениях  а функция  f(x) =   убывает на всей области определения.

Найти наименьшее значение функции у =27(

Вариант 2

 Найдите интервалы возрастания  функции f(x) = 3

 Найдите интервалы убывания функции  f(x) =

  Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у =  на отрезке

 Найдите точки экстремума функции: у = 3

 Найдите вторую производную функции f(x) =

 Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x) =

 Найдите значение функции в точках  экстремума f(x) =

 Построить график функции f(x) = 

 На рисунке изображен график производной функции .  Найдите
число точек минимума функции.

 Из всех прямоугольников с площадью  9 найти прямоугольник с  наименьшим периметром.

 Установить, при каких значениях  а функция  f(x) = аx —  возрастает  на всей области определения.

Найти наименьшее значение функции y =27(

Контрольная работа №4

 по теме «Первообразная и
интеграл»

Вариант 1

 Найдите все первообразные для функции у =

 Для функции  f(x) = 2x+3  найдите первообразную, график
которой проходит через точку А(1;2).

йной трапеции, ограниченной прямыми x =2, x = 4, осью  Оx и графиком функции  f(x) =

 Вычислить интеграл:

 Найдите площадь фигуры, ограниченной осью  Оx и параболой 

y = .

 Найдите одну из первообразных функции .

 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y =

 Найдите интеграл.

 Тело движется прямолинейно со скоростью  V(t) =  .  Вычислите путь, пройденный телом за промежуток времени
от  t=2 до t=5.

.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = ,

y =

Решить неравенство: 

 Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
вычислите  dx.

Вариант 2

 Найдите все первообразные для функции 

 Для функции  f(x) = 4x-1  найдите первообразную, график
которой проходит через точку А(-1;3).

айдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x =3, x = 4, осью Оx и графиком функции  f(x) =

 Вычислить интеграл:

 Найдите площадь фигуры, ограниченной осью  Оx и параболой

 у = .

 Найдите одну из первообразных функции .

 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

у =

 Найдите интеграл .

 Тело движется прямолинейно со скоростью  V(t) =  .  Вычислите путь, пройденный телом за промежуток времени
от  t=1  до  t=3.

.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ,

у =

Решить неравенство: 

 Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
вычислите  dx.

Контрольная работа №5

 по теме « Комбинаторика»

Вариант 1

Вычислить:

Упростить выражение:

Вычислить:  .

айдите значение
выражения:

.

ешите уравнение
относительно n: 

айти:

 Сколькими способами из
числа 15 учащихся класса  можно выбрать культорга и казначея?

 Сколько различных
шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 таким
образом, чтобы все цифры в числах  были различны?

 Записать разложение
бинома:

 Решить систему
уравнений: 

колько существует
различных кодов, состоящих из двузначного числа, цифры которого выбираются из
цифр 1, 2, 3, и следующего за ним трехбуквенного слова, буквы которого 
выбираются из гласных букв русского алфавита?

Вариант 2

Вычислить:

Упростить выражение:

Вычислить:  .

айдите значение
выражения:

.

ешите уравнение
относительно n: 

айти:

 Сколькими способами 
7детей ясельной группы можно рассадить на 7 стульях?

 Сколькими способами
можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся карандашей
восьми различных цветов?

 Записать разложение
бинома:

 Решить систему
уравнений:  

Шифр сейфа образуется из
двух чисел. Первое, двузначное число, образуется из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры в
числе могут повторяться). Второе, трехзначное число, образуется из цифр 7 и 6.
Сколько различных шифров можно использовать в таком сейфе?

Контрольная
работа №6

по
теме «Элементы теории вероятностей»

Вариант
1

 Какова вероятность того,
что при бросании игральной кости выпадет четное число очков?

  Бросили 2 монеты. Какова
вероятность того, что на каждой монете выпал герб?

 В лотерее из 1000
билетов имеются 2оо выигрышных. Вынимают наугад 1 билет. Чему равна вероятность
того, что этот билет выигрышный?

 Из урны, в которой
находится 5 белых и 3 черных шара вынимают 1 шар. Найти вероятность того, что
шар окажется черным.

 Бросают 2 игральных 
кубика.  Какова вероятность того, что  на обоих кубиках появятся в сумме 4
очка?

  Бросают 2 игральных 
кубика – большой и маленький.  Какова вероятность ого, что на большом кубике
появится 2 очка, а на маленьком – четное число очков.

Вероятность попадания по
мишени стрелком равна. Какова вероятность
непопадания по мишени при одном выстреле?

 Из урны, в которой
находятся 12 белых и 8 черных шаров наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность
того, что оба шара окажутся черными?

Талоны, свернутые
трубочкой, занумерованы всеми двузначными числами. Наугад берут один талон.
Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых цифр?

  В одной урне находится
4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных . Из каждой урны
вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

 В партии из 40 деталей ,
5 оказались с дефектами .Какова вероятность того, что взятые наугад  4 детали
окажутся без дефектов?

 В  урне  3 красных  и  4
желтых шара .Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара  будут 
одинакового цвета?

Вариант
2

 Какова вероятность того,
что при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков?

  Бросили 2 монеты. Какова
вероятность того, что на каждой монете выпала решка?

 В лотерее из 1200
билетов имеются 3оо выигрышных. Вынимают наугад 1 билет. Чему равна вероятность
того, что этот билет выигрышный?

 Из урны, в которой
находится 5 белых и 3 черных шара вынимают 1 шар. Найти вероятность того, что
шар окажется белым.

 Бросают 2 игральных 
кубика.  Какова вероятность того, что  на обоих кубиках появятся в сумме 5
очков?

  Бросают 2 игральных 
кубика – большой и маленький.  Какова вероятность того, что на большом кубике
появится 5 очков, а на маленьком кубике появится кратное 3 число очков.

Вероятность попадания по
мишени,  стрелком равна. Какова вероятность
непопадания по мишени при одном выстреле?

 Из урны, в которой
находятся  14 белых и 6 черных шаров наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность
того, что оба шара окажутся белыми?

 Талоны, свернутые
трубочкой, занумерованы всеми двузначными числами. Наугад берут один талон.
Какова вероятность того, что номер взятого талона окажется кратным 5?

  В одной урне находится
4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных.  Из каждой урны
вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

 В партии из 40 деталей ,
4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что взятые наугад  3  детали
окажутся без дефектов?

 В  урне  5  красных  и 
3 синих  шара. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара будут 
одинакового цвета?

Контрольная
работа №7

 по
теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

Вариант
1

 Является ли решением
уравнения  5x +2y-12=0
пара чисел (12;5).

 Для данного уравнения  6x+2y-1=0 
найдите значение y,
соответствующее заданному значению  x,
если x=
— 0,1.

При каких значениях
коэффициентов  a,b,c
прямая  ax+by+c=0
 параллельна оси Оу?

 Найдите значение k,
если известно, что график линейной функции y=kx+4
 проходит через точку  С (3;5).

 Определите знаки
коэффициентов k
и m
, если известно что график линейной функции y=k x+m
проходит через первый, третий и четвертый координатные углы  плоскости  xOy.

 Найти множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:    x—y+2=0.

айти множество точек координатной
плоскости, удовлетворяющих уравнению:     .

айдите множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

  

 Найдите множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

+

 Изобразить на
координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
системе неравенств:

 Найти площадь фигуры,
заданной на координатной плоскости системой неравенств:

 Найдите все значения a,
при которых система уравнений   имеет  три решения.

Вариант
2

 Является ли решением
уравнения  7x -5y-3
=0 пара чисел (2;8).

 Для данного уравнения  3x+5y-10
=0  найдите значение y,
соответствующее заданному значению  x,
если x= 
0,5.

При каких значениях
коэффициентов  a,b,c  прямая 
ax+by+c=0
 параллельна оси Ox?

 Найдите значение k,
если известно, что график линейной функции y=kx+4
 проходит через точку  С (-6;-8).

 Определите знаки
коэффициентов k
и m
, если известно что график линейной функции y=kx+m
проходит через первый,  второй и третий  координатные углы  плоскости  xOy.

 Найти множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:   x+y-3=0.

айти  множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:   .

айдите множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

  

 Найдите множество точек
координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

+

 Изобразить на
координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе
неравенств:

 Найти площадь фигуры,
заданной на координатной плоскости системой неравенств:

 Найдите все значения a,
при которых система уравнений 

 имеет  три решения.

Ответы
к контрольным работам

№1.

№	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	C1	C2	C3
I	1			3	0,5	4	7		11	1	1	х = у
II	2			5	1		-7		27	0	f(f(0))g(g(0))

№2.

№

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

C1

C2

C3

I

2x

6(3x-6)

4

3

-3;2

21

x

y=2-3x

(-3;1)

(0;0) (2;-4)

a

II

2x

10(5x+3)

1

2

-0,5

-11

x

y=4x

(-2;4)

(0;0) (-2;4)

a

№3

№	I	II
B1	x	x
B2	x	x
B3	81-наиб., 0-наим.	3-наиб., -1 наим.
B4	x=5	x=-6
B5	20x3+12x-2	12x2-18x
B6	возраст.,  убыв.	возраст., убыв.
B7	3;	; 1
B8	—	—
B9	2	3
C1	Квадрат со стороной	Квадрат со стороной 3 см
C2	a	а
C3	-176	-176

№4.

№	I	II
B1
B2		2
B3	60	12
B4	54	9
B5	10	10
B6	-1,5 cos (	—
B7	2	3
B8
B9	43,5м	6
C1	2	4
C2	t=0 t	z
C3

№5.

№	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	C1	C2	C3
I	720	22	336	100	120	6	35	210	720	—	m=5 n=2	6480
II	5040	19	42	64	56	11	47	5040	56	—	x=12 y=5	96

№6.

№	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	C1	C2	C3
I	0,5	0,25	0,2	0,375			0.05		0,1		0,573
II	0,5	0,25	0,25					0.48	0,2		0,72

№7.

№	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	C1	C2	C3
I	Нет	0,8	в=0 а с		m	—	—	—	—	—	2,28	-2
II	Нет	1,7	b a=0 c	2	m	—	—	—	—	—	10,28	3

Контрольные работы

по геометрии

Контрольная работа № 1

по теме «Метод координат в пространстве»

1 вариант

            В 1. Даны точки Е(-1; 2; 3) и F(1; -1; 4). Разложите вектор  по векторам .

            В
2. Найдите угол между векторами  и

            В
3. Найдите скалярное произведение векторов .

            В
4. Даны векторы . Вычислите .

            В
5. Даны векторы . Выяснить, какой угол между
этими векторами (острый, тупой или прямой)?

            В
6. Даны векторы . При каком значении х
выполняется условие  ?

            В
7. Даны точки: С(3; -2; 1), D(-1; 2; 1), М(2; -3; 3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами .

            В
8. При каких значениях k векторы  перпендикулярны?

            В
9. При каком значении а векторы  коллинеарны,
если А(-2; -1; 2),

В(4;
-3; 6), С(-1; а-1; 1), D(-4; -1; а)?

С 1.  Вычислите скалярное
произведение векторов , если

С 2.  Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AD₁ и BM, где М –
середина ребра DD₁.

            С
3. При движении прямая а отображается на прямую а₁,
а плоскость α на плоскость α₁. Докажите, что если а║α, то а₁║α₁.

2 вариант

            В 1. Даны точки К(2; -1; 3) и М(1;
-2; 1). Разложите вектор  по векторам .

            В
2. Найдите угол между векторами  и

            В
3. Найдите скалярное произведение векторов .

            В
4. Даны векторы . Вычислите .

            В
5. Даны векторы . Выяснить, какой угол между
этими векторами (острый, тупой или прямой)?

            В
6. Даны векторы . При каком значении х
выполняется условие  ?

            В
7. Даны точки: А(1; -1; 4), В(-3; -1; 0), С(-1; 2; 5), D(2; -3; 1). Найдите косинус угла между векторами .

            В
8. При каких значениях m векторы  перпендикулярны?

            В
9. При каком значении а векторы  коллинеарны,
если С(-3; 2; 4),

D(1;
-4; 2), М(1; -2; а), N(-1; а+3; -1)?

С 1. Вычислите скалярное произведение
векторов , если

С 2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AС и DC₁.

            С
3. При движении прямая а отображается на прямую а₁,
а плоскость α на плоскость α₁. Докажите, что если аα, то а₁α₁.

Контрольная работа № 2

по теме «Цилиндр, конус, шар»

1 вариант

            В 1. Дан цилиндр. Диагональ
осевого сечения равна 5, диаметр цилиндра равен 4. Найти высоту цилиндра.

            В
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Высота цилиндра равна 10. Найти
площадь основания цилиндра.

            В
3. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 12, а
радиус равен 4.

            В
4. Найти высоту конуса, если его образующая равна 13, а радиус равен 5.

            В
5. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник, образующая конуса . Найти высоту конуса.

            В
6. Найти площадь полной поверхности конуса, если его образующая равна 6 и
образует с плоскостью основания угол 60⁰.

            В
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна дм²,
а площадь основания цилиндра равна 25 дм². Найти высоту цилиндра.

            В
8. Длина образующей конуса равна см, а угол при вершине
осевого сечения равен 120⁰. Найдите площадь основания конуса.

            В
9. Сфера проходит через вершины квадрата ABCD, сторона
которого равна 12 см. Найдите расстояние от центра сферы – точки О до плоскости
квадрата, если радиус OD образует с плоскостью квадрата
угол, равный 60⁰.

С 1. Осевое сечение цилиндра –
квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см². Найдите площадь
полной поверхности цилиндра.

С 2. Высота конуса равна 6
см, угол при вершине осевого сечения равен 120⁰. Найдите: а)
площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между
которыми равен 30⁰; б) площадь боковой поверхности конуса.

            С
3. Диаметр шара  равен 2m. Через конец диаметра
проведена плоскость под углом 45⁰  к нему. Найти длину линии
пересечения сферы этой плоскостью.

2 вариант

            В 1. Дан цилиндр с высотой, равной
3. Диагональ осевого сечения равна 5. Найти диаметр цилиндра.

            В
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Образующая цилиндра равна 16. Найти
длину окружности основания цилиндра.

            В
3. Найти площадь полной поверхности цилиндра, если его высота равна 7, а
радиус равен 2.

            В
4. Найти радиус основания конуса, если его высота равна 12, а образующая
равна 13.

            В
5. Найти площадь основания конуса, если его осевое сечение –
прямоугольный треугольник, образующая конуса .

            В
6. Найти площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна 6 и
образует с высотой угол 30⁰.

            В
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна дм²,
а площадь основания цилиндра равна 64 дм². Найти высоту цилиндра.

            В
8. Высота конуса равна см, а угол при вершине
осевого сечения равен 120⁰. Найдите площадь основания конуса.

            В
9. Сфера проходит через вершины квадрата CDEF, сторона
которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы – точки О до плоскости
квадрата, если радиус OЕ образует с плоскостью квадрата угол,
равный 30⁰.

С 1. Осевое сечение цилиндра –
квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности
цилиндра.

С 2. Радиус основания конуса
равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30⁰.
Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие,
угол между которыми равен 60⁰; б) площадь боковой поверхности
конуса.

            С
3.Диаметр шара равен 4m. Через конец диаметра
проведена плоскость под углом 30⁰  к нему.  Найдите площадь сечения
шара этой плоскостью.

Контрольная работа № 3

по теме «Объёмы тел»

1 вариант

            В 1. Найти объём прямоугольного
параллелепипеда, длины рёбер которого 25
см, 300 мм и 4 см.

            В
2. Дана правильная треугольная призма. Сторона основания равна 4
см, высота призмы 8 см. Найти объём призмы.

            В
3. Найти объём цилиндра с радиусом 3 дм и высотой 10 дм.

В 4. В основании наклонной
призмы – прямоугольник со сторонами 4
см и 3 см. Высота призмы 2 см. Найти объём призмы.

            В
5. В основании пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 16
см и 12 см. Высота пирамиды равна 9 см. Найти объём пирамиды.

            В
6. Найти объём конуса с радиусом 5
см и высотой 9 см.

            В
7. В наклонной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием является прямоугольник со сторонами AB
= 6 см и CD = 8 см, боковая грань ABB₁A₁ –
квадрат, двугранный угол с ребром AB равен 60⁰.
Найти объём призмы.

            В
8. Основанием пирамиды служит равнобедренный прямоугольный треугольник с
катетом 6 см. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 30⁰.
Найти объём пирамиды.

            В
9. Площадь боковой поверхности конуса равна 65π см², а его
образующая равна 13 см. Найти объём конуса.

С 1. Диаметр шара равен высоте
конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60⁰.
Найти отношение объёмов конуса и шара.

С 2. Объём цилиндра равен 96π
см³, площадь его сечения –  48 см². Найти площадь сферы,
описанной около цилиндра.

С 3. В цилиндр вписана призма.
Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а,
а прилежащий угол равен 60⁰. Диагональ большей боковой грани призмы
составляет с плоскостью её основания угол 45⁰. Найдите объём
цилиндра.

2 вариант

            В
1. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого 22 дм, 500
см и 45 дм.

            В
2. Дана правильная треугольная призма. Сторона основания равна 6
см, высота призмы 4 см. Найти объём призмы.

            В
3. Найти объём цилиндра с радиусом 5
м и высотой 6 м.

В 4. В основании наклонной
призмы – квадрат со стороной 10 см. Высота призмы

8 см. Найти объём призмы.

            В
5. В основании пирамиды – ромб с диагоналями 4
см и 6 см. . Высота пирамиды равна 10
см. Найти объём пирамиды.

            В
6. Найти объём конуса с радиусом 6
см и высотой 5 см.

В 7. В наклонной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием является квадрат со стороной AB = 4 см, боковая грань ABB₁A₁ – прямоугольник со сторонами 4см и 6
см, двугранный угол с ребром DC равен 45⁰.
Найти объём призмы.

            В
8. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5
см и прилежащим углом 30⁰. Боковые рёбра наклонены к плоскости
основания под углом 45⁰. Найти объём пирамиды.

            В
9. Площадь боковой поверхности конуса равна 136π см², а радиус
его основания 8 см. Найти объём конуса.

С 1. В конус, осевое сечение
которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найти отношение площади сферы
к площади боковой поверхности конуса.

С 2. Диаметр шара равен высоте
цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найти отношение объёмов шара и
цилиндра.

С 3. В конус вписана пирамида.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а,
а прилежащий угол равен 30⁰. Боковая грань пирамиды, проходящая
через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 45⁰.
Найдите объём конуса.

Ответы
к контрольным работам по геометрии

Контрольная
работа №1

Контрольная
работа №2

Контрольная
работа №3

         ЛИТЕРАТУРА

1.    
Гометрия, 10 – 11: Учебник
для общеобразовательных учреждений/(Л. С. Атанасян, В. Ф. Кадомцев и др.). –
М.: Просвещение, 2006 – 2008.

2.    
Бутузов В. Ф. Геометрия:
рабочая тетрадь для 11 класса/ В. Ф.Бутузов, Ю. А. Глазков. – М.: Просвещение,
2004 – 2008.

3.    
Зив Б. Г. Геометрия: дидактические
материалы для 11 класса. – М.: Просвещение, 2007 – 2008.

4.    
Программы
общеобразовательных учреждений. Геометрия 10 – 11 классы/Составитель Т. А.
Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2009.

5.    
Программы
общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала анализа 10 – 11 классы/Составитель
Т. А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2009.

6.    
Алгебра и начала
математического анализа, 11: Учебник для общеобразовательных учреждений/(Ю. М.
Колягин, М. В. Ткачёва и др.). – М.: Просвещение, 2010.

7.    
Алгебра и начала анализа,
11: Учебник для общеобразовательных учреждений/(Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и
др.). – М.: Мнемозина, 2007.

8.    
Самое полное издание
типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2011:Математика/ авт.-сост. В. И.
Ишина, Л. О. Денищева и др. М.: АСТ:Астрель, 2011.

Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2022 из различных источников.

 Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике (профиль)

egemath.ru
Вариант 1	скачать
Вариант 2	скачать
Вариант 3	скачать
Вариант 4	скачать
Вариант 5	скачать
Вариант 6	скачать
Вариант 7	скачать
variant 8	скачать
variant 9	скачать
variant 10	скачать
variant 11	скачать
variant 12	скачать
variant 13	скачать
variant 14	скачать
variant 15	скачать
variant 16	скачать
variant 17	скачать
variant 18	скачать
variant 19	скачать
variant 20	скачать
yagubov.ru
вариант 21	ege2022-yagubov-prof-var21
вариант 22	ege2022-yagubov-prof-var22
вариант 23	ege2022-yagubov-prof-var23
вариант 24	ege2022-yagubov-prof-var24
вариант 25	ege2022-yagubov-prof-var25
вариант 26	ege2022-yagubov-prof-var26
вариант 27	ege2022-yagubov-prof-var27
вариант 28	ege2022-yagubov-prof-var28
Досрочный Москва 28.03.2022	скачать
egemathschool.ru
вариант 1	ответ
вариант 2	ответ
вариант 3	ответ
вариант 4	ответ
ЕГЭ 100 баллов (с решениями)
Вариант 1	скачать
Вариант 2	скачать
Вариант 3	скачать
Вариант 4	скачать
Вариант 5	скачать
Вариант 6	скачать
Вариант 7	скачать
Вариант 8	скачать
Вариант 9	скачать
Вариант 10	скачать
variant 11	скачать
variant 12	скачать
variant 13	скачать
variant 14	скачать
variant 15	скачать
variant 16	скачать
variant 17	скачать
variant 18	скачать
variant 20	скачать
variant 21	скачать
variant 23	скачать
variant 24	скачать
variant 25	скачать
variant 26	скачать
variant 29	скачать
variant 30	скачать
math100.ru (с ответами)
Вариант 140	скачать
Вариант 141	скачать
Вариант 142	скачать
Вариант 143	math100-ege22-v143
Вариант 144	math100-ege22-v144
Вариант 145	math100-ege22-v145
Вариант 146	math100-ege22-v146
variant 147	math100-ege22-v147
variant 148	math100-ege22-v148
variant 149	math100-ege22-v149
variant 150	math100-ege22-v150
variant 151	math100-ege22-v151
variant 152	math100-ege22-v152
variant 153	math100-ege22-v153
variant 154	math100-ege22-v154
variant 155	math100-ege22-v155
variant 156	math100-ege22-v156
variant 157	math100-ege22-v157
variant 158	math100-ege22-v158
variant 159	math100-ege22-v159
variant 160	math100-ege22-v160
variant 161	math100-ege22-v161
variant 162	math100-ege22-v162
variant 163	math100-ege22-v163
variant 164	math100-ege22-v164
variant 165	math100-ege22-v165
variant 166	math100-ege22-v166
variant 167	math100-ege22-v167
variant 168	math100-ege22-v168
variant 169	math100-ege22-v169
variant 170	math100-ege22-v170
variant 171	math100-ege22-v171
variant 172	math100-ege22-v172
variant 173	math100-ege22-v173
variant 174	math100-ege22-v174
alexlarin.net
Вариант 358	скачать
Вариант 359	скачать
Вариант 360	скачать
Вариант 361	скачать
Вариант 362	проверить ответы
Вариант 363	проверить ответы
Вариант 364	проверить ответы
Вариант 365	проверить ответы
Вариант 366	проверить ответы
Вариант 367	проверить ответы
Вариант 368	проверить ответы
Вариант 369	проверить ответы
Вариант 370	проверить ответы
Вариант 371	проверить ответы
Вариант 372	проверить ответы
Вариант 373	проверить ответы
Вариант 374	проверить ответы
Вариант 375	проверить ответы
Вариант 376	проверить ответы
Вариант 377	проверить ответы
Вариант 378	проверить ответы
Вариант 379	проверить ответы
Вариант 380	проверить ответы
Вариант 381	проверить ответы
Вариант 382	проверить ответы
Вариант 383	проверить ответы
Вариант 384	проверить ответы
Вариант 385	проверить ответы
Вариант 386	проверить ответы
Вариант 387	проверить ответы
Вариант 388	проверить ответы
vk.com/ekaterina_chekmareva (задания 1-12)
Вариант 1	ответы
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7	ответы
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
vk.com/matematicalate
Вариант 1	matematikaLite-prof-ege22-var1
Вариант 2	matematikaLite-prof-ege22-var2
Вариант 3	matematikaLite-prof-ege22-var3
Вариант 4	matematikaLite-prof-ege22-var4
Вариант 5	matematikaLite-prof-ege22-var5
Вариант 6	matematikaLite-prof-ege22-var6
Вариант 7	matematikaLite-prof-ege22-var7
Вариант 8	matematikaLite-prof-ege22-var8
vk.com/pro_matem
variant 1	pro_matem-prof-ege22-var1
variant 2	pro_matem-prof-ege22-var2
variant 3	pro_matem-prof-ege22-var3
variant 4	разбор
variant 5	разбор
vk.com/murmurmash
variant 1	otvet
variant 2	otvet
→  Купить сборники тренировочных вариантов ЕГЭ 2022 по математике

Структура варианта КИМ ЕГЭ

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:

– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;

– часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.

Связанные страницы: