Координатный метод егэ стереометрия

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все стереометрические задачи второй части профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но…  координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.

       Будем разбираться!

Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у.   Это точки M(x_m; y_m)   и N(x_n; y_n)

Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.

Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении  этой системы.

Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:

Ax + By + C = 0,       (A² + B² ≠ 0)

И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно.

Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где каждая точка описывается уже тремя координатами – (x, y, z).

Привязка фигур к  системе координат позволяет не только определять координаты точек, но и записать уравнение плоскости. Как известно, на трех точках можно построить плоскость, притом, только одну. Соответственно, можно и записать плоскость уравнением. Выглядит это уравнение следующим образом:

  Ax + By + Cz + D = 0

 Очень похоже на вторую запись уравнения прямой на плоскости. Значит, и коэффициенты  А, В, С и D мы будем находить также, как и коэффициенты для прямой на плоскости, по точкам.

Это действие сродни тому, что вы производили, определяя уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами.

Прямую можно провести через две точки, и мы составляли два уравнения для двух точек.

Плоскость можно провести через три точки, значит, и уравнений будет три!

Но уравнений три, а неизвестных – четыре! Ну, и что! Мы же можем разделить все уравнения на D, при этом они не изменятся, будут равнозначны первоначальным! Так и будем поступать! Тогда   вместо D   будет единица, а все остальные коэффициенты будут делиться на D,  назовем их также, А, В, С. И это уже вполне решаемая система!

Здесь значения всех x, y и z известны, это координаты точек, принадлежащих данной плоскости.

Итак, точку описать можем, прямую описать можем, плоскость –  можем. Осталось вспомнить сами векторы и их координаты, они нам тоже пригодятся при решении задач.

Векторы и их координаты

          Вектор – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой.

Мы можем «привязать» вектор к системе координат, т.е. мы можем его определять в пространстве координатами его проекций на координатные плоскости.

Если даны две точки в пространстве А(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b), то дан и вектор

, где а_х, а_у и а_z – координаты вектора.  Осталось определить значения а_х, а_у и а_z. Определяем:

а_х = x_b – x_a

а_у = y_b – y_a

а_z = z_b  –  z_а

       Теперь, зная длины проекций вектора, мы можем легко найти длину вектора, которая, как видно из чертежа, есть не что иное, как диагональ параллелепипеда, сторонами которого являются координаты этого вектора. Его длина, модуль вектора, будет равна:

А что есть длина вектора, как не расстояние между двумя точками: началом и концом вектора? То есть выведенная формула определяет расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.

Метод координат

Примеры решения задач →

МБОУ «Раздорская СОШ им. А.П.Гужвина

Решение задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Методические рекомендации

Серия «Школьник —
школьнику»

С.С.Уразалиева

Решение заданий
№14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Методические
рекомендации.

   С помощью
данных методических рекомендаций можно научиться решать задачи на вычисление
углов и расстояний в стереометрии с помощью координатно-векторного метода. Для
учеников 10-11 классов самой главной проблемой является подготовка к ЕГЭ.
Причем не все ученики уверенно решают задания II части , а
некоторые и не берутся за их решение.         

   Координатно-векторный 
метод  основан  на введении   прямоугольной системы координат и создании
геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая 
громоздкие и достаточно сложные преобразования и выкладки.

   Достоинство
метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости
прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

   Выражаю
огромную благодарность своим ученикам 11 класса 2016 – 2017 учебного года:  Комаровой
Ангелине, Тарбаеву Наилю, Бекмурзаеву Тимуру, Утегеновой Аимгуль, Абылхатаевой
Карине, Кункашевой Арине, Юсуповой Аделине, Успанову Гелиму, которые
сыграли большую роль в создании данного методического сборника

Уважаемые ребята!

   Если у вас
имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с  чтением или построением
сложного стереометрического рисунка, если вам  никак не удается подобрать
необходимые дополнительные построения, мне кажется, что стоит заняться
изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях
экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца.

   Данный курс не
претендует на научность, а является небольшим   методическим пособием при
подготовке к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче
экзамена. Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто
встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-измерительных
материалах.

   Метод координат
— это довольно несложный способ, но в настоящих задачах №14 никаких координат и
векторов нет. Поэтому их придется вводить: указать начало отсчета, единичный
отрезок и направление осей x, y и z.

   Самое
замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого
значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут
правильными, то и ответ будет правильным.

   Успехов!

§1.
Основные понятия.

   Метод координат
—эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между
стереометрическими объектами в пространстве.  Данный метод заключается во
введении  декартовой системы координат, а затем – нахождение образующихся
векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в
том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному
представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода
координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

—  Выбираем в
пространстве систему координат

—  Находим
координаты необходимых, по условию задачи, точек.

 —  Решаем задачу,
используя основные задачи метода координат.

 — Переходим от
аналитических соотношений к геометрическим.

    Для начала
разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим, что же
представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки
О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно
перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (называемых осями координат: Ox – ось
абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано
направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют
координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие
тройка чисел, называемых её координатами.

  
                             z

                                  
0                                     у   

                     
х

Для того чтобы
использовать метод координат, надо хорошо знать формулы:

1. Нахождение
расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

 , где

D=AB,
A(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂)

2. Нахождение
координат середины отрезка

A(x₁;y₁;z₁),
B(x₂;y₂;z₂)  
      

3. Нахождение
косинуса угла между векторами

 , где

4. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок ,
ограниченный точками А(х₁, у₁,z₁ ) и B(x₂,y₂,z₂ ), в отношении , определяется по формулам

5. Расстояние от точки до плоскости

   Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин
основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

   Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников,
помещенных в систему координат.

Координаты
куба

Это
самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система
координат также вводится очень просто:

1.        
Начало координат —
в точке A;

2.        
Чаще всего ребро куба не указано,
поэтому принимаем его за единичный отрезок;

3.        
Ось x направляем
по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z —
по ребру AA₁.

Обратите
внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это
несколько непривычно, но на самом деле очень удобно и логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба
есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней
плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

И для верхней:

Точка	A1	B1	C1	D1
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются от
соответствующих точек нижней только координатой z. Например,
B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1).

Координаты 
правильной треугольной призмы

При правильном подходе достаточно
знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться
автоматически.

В задачах №14
встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы,
в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система
координат вводится почти так же, как и для куба.

Вводим
систему координат:

1.        
Начало координат —
в точке A;

2.        
Сторону призмы принимаем за единичный
отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3.        
Ось x направляем
по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y
расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью
основания ABC.

Получаем
следующие координаты точек:

Как
видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих
точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это
точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, и
для того чтобы довольно просто решить задание №14 эти иррациональные координаты
надо просто запомнить. Или можно вывести.

Координаты
 правильной шестиугольной призмы

Шестиугольная
призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это
происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его
ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF.
Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например,
треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь
введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим
в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет
вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB
и DE. Получим такую картинку:

Нужно
обратить внимание на то, что  начало координат не совпадает с вершиной
многогранника. На самом деле, при решении настоящих задач выясняется, что
это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений. Осталось
добавить ось z. Проводим ее перпендикулярно плоскости OXY
и направляем вертикально вверх. Получим картинку:

Запишем
теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной
шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты
верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты
 правильной четырехугольной пирамиды

Итак,
правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD,
где S — вершина. Введем систему координат: начало
в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим
вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх,
перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется
высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь
найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все
просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы
возникают с точкой S. Поскольку SH — высота
к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь
координатой z. Длина отрезка SH — это и есть
координата z для точки S, поскольку
H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим,
что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам
(AS = CS = AB = CB = 1,
а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH.
Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е.
BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Ниже
представлено, как найти определитель третьего порядка по правилу Саррюса,
составить уравнение плоскости и найти вектор нормали.

§2
Практическая часть

Ниже представлены
задачи:

— на нахождение
угла между прямыми;

— угла между
прямой и плоскостью; 

— угла между плоскостями;

— расстояния от
точки до прямой;

— расстояния от
точки до плоскости.

Эти
задачи решили мои ученики 11 класса

Вариант 13. Задача
№14 по сборнику Ф.Ф.Лысенко

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁,
ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка BC₁.
Найдите расстояние между прямыми А₁В и АМ.

Задача №14 по
сборнику ФИПИ 2016

В правильной
шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁
E₁F₁
все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой C₁F_.

Задача №14 по
сборнику ФИПИ 2017

Дана правильная четырёхугольная
призма ABCDA₁B₁C₁D₁.
Найдите расстояние от точки B₁ 
до плоскости AD₁
C ,
если АВ равно 5, АА₁равно 6.

Задача №14 ЕГЭ по
сборнику ФИПИ 2017

В правильной
шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁
E₁F₁
все рёбра равны 4.

а) Докажите, что
угол между прямыми АD₁
и DC₁
равен 90⁰.

б) Найдите угол
между плоскостями FAC₁
 и AA₁D.

Задача №14 ЕГЭ по
сборнику ФИПИ 2017

Вывод

Мы изучили метод координат на более
высоком уровне по сравнению со школьной программой по геометрии.  Познакомились
и научились применять новые формулы: на нахождение расстояния от точки до
плоскости, от точки до прямой, угла между прямыми, угла между прямой и
плоскостью, угла между плоскостями. Мы узнали, что для
составления уравнения плоскости можно использовать матрицу и определитель
третьего порядка, который можно посчитать правилом Саррюса.

Мы
пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика
внимательности, хороших вычислительных навыков. Мы убеждены в том, что   координатно-векторный метод в школьном
курсе геометрии необходимо изучать на глубоком уровне и увеличить количество
часов на изучение данной темы.

 Нами
подобраны задания из сборников ФИПИ 2016г и 2017г, которые мы самостоятельно решили
и которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно
подготовиться к сдаче экзамена.

Мы
надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решать задание
№14 и достичь более высоких результатов на ЕГЭ по математике

Список литературы

1.     ЕГЭ
2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

2.   ru.wikipedia.org – Система
координат.

3.   Смирнова, И.М. C50         Геометрия.
Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие  / И.М. Смирнова,
В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –
158, [2]
с.
(Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

4.   Геометрия, 10 – 11
: Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 206 с.: ил.

5.   Корянов А.Г,
Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА
ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач
и методы их решения» www.alexlarin.narod.ru

6.   Корянов А.Г, «
Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru

7.      В.В.
Леваков «Решение задач координатно-векторным методом»

Стереометрия

Метод координат

в задачах № 14 ЕГЭ

Координаты точки в декартовой системе координат

Координаты вектора

=

Координаты середины отрезка

Угол между прямыми

— направляющий вектор прямой а

— направляющий вектор прямой b

— угол между прямыми

Уравнение плоскости, проходящей

через три заданных точки

-нормальный

вектор плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

-нормальный

вектор плоскости

, где

Уравнение плоскости

, где

Если плоскость проходит через начало координат, то d=0

Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости в отрезках

Угол между прямой и плоскостью

— направляющий вектор прямой

— нормальный вектор плоскости

Угол между плоскостями

Вектор нормали плоскости

Вектор нормали плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между параллельными плоскостями

Задача 1

В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение (1 способ)

К — середина

По теореме косинусов для

Решение (2 способ)

Задача 2

В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE , где D и E — соответственно середины ребер и

Решение.

Координаты правильной треугольной призмы

Решение.

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF .

Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Решение.

Е — середина SB

F — середина SC

Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали.

Решение.

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE, где Е — середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC

Решение.

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой DE

Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD

Решение.

Решение.

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение.

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Задачи для самостоятельного решения

• В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием

ABCD точка М – середина ребра SA, точка К – середина ребра SC.

Найдите угол между плоскостями МВК и АВС, если АВ=4, SC=7.

2. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра ВC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Слайд 1

Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод.

Слайд 2

Координаты многогранников.

Слайд 3

Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0 ) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1 ; 1) B 1 (1; 1; 1)

Слайд 4

Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b ; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c ) B 1 (a; b ; c ) a b c

Слайд 5

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

Слайд 6

Правильная треугольная призма. С 1 А В С А 1 В 1 c a х у z O

Слайд 7

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Слайд 8

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Слайд 9

Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

Слайд 10

Расстояние от точки до плоскости.

Слайд 11

Расстояние от точки М( x 0 ;y 0 ;z 0 ) до плоскости ax + by + cz + d = 0 . Например:

Слайд 12

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений

Слайд 13

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки — уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Слайд 14

№ 1 В единичном кубе АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости (BDC 1 ) . х у z A 1 (1; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1 ; 1) Запишем уравнение плоскости DBC 1 .

Слайд 15

A 1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 16

х у z № 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 ) F 1 (- 1; 0;1) Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1 . C 1 (1; 0;1) 1 1

Слайд 18

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 19

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Слайд 20

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c A B

Слайд 21

№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми А D 1 и В D . х у z

Слайд 22

A (1; 0; 0 ) D (0; 0; 0 ) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости BDC 1 . Найдем искомое расстояние по формуле

Слайд 23

A (1; 0; 0 ) Ответ:

Слайд 24

№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми А S и ВС. х y z 1 1 h O

Слайд 25

Запишем уравнение плоскости ADS .

Слайд 26

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 27

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) 18.02.2011 www.alexlarin.narod.ru

Метод координат в пространстве

30 мая 2011

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

1. Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):

   

2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую…

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены прямые AC и BD₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD₁. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D₁ = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD₁ = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB₁. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B₁ = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC₁. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C₁ иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB₁ = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x_a; y_a; z_a) и B = (x_b; y_b; z_b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ = (0; 0; 1), C₁ = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)

Смотрите также:

1. Введение системы координат
2. Четырехугольная пирамида в задаче C2
3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром