Координатный метод решения стереометрических задач егэ по математике профильного уровня

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все стереометрические задачи второй части профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но…  координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.

       Будем разбираться!

Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у.   Это точки M(x_m; y_m)   и N(x_n; y_n)

Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.

Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении  этой системы.

Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:

Ax + By + C = 0,       (A² + B² ≠ 0)

И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно.

Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где каждая точка описывается уже тремя координатами – (x, y, z).

Привязка фигур к  системе координат позволяет не только определять координаты точек, но и записать уравнение плоскости. Как известно, на трех точках можно построить плоскость, притом, только одну. Соответственно, можно и записать плоскость уравнением. Выглядит это уравнение следующим образом:

  Ax + By + Cz + D = 0

 Очень похоже на вторую запись уравнения прямой на плоскости. Значит, и коэффициенты  А, В, С и D мы будем находить также, как и коэффициенты для прямой на плоскости, по точкам.

Это действие сродни тому, что вы производили, определяя уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами.

Прямую можно провести через две точки, и мы составляли два уравнения для двух точек.

Плоскость можно провести через три точки, значит, и уравнений будет три!

Но уравнений три, а неизвестных – четыре! Ну, и что! Мы же можем разделить все уравнения на D, при этом они не изменятся, будут равнозначны первоначальным! Так и будем поступать! Тогда   вместо D   будет единица, а все остальные коэффициенты будут делиться на D,  назовем их также, А, В, С. И это уже вполне решаемая система!

Здесь значения всех x, y и z известны, это координаты точек, принадлежащих данной плоскости.

Итак, точку описать можем, прямую описать можем, плоскость –  можем. Осталось вспомнить сами векторы и их координаты, они нам тоже пригодятся при решении задач.

Векторы и их координаты

          Вектор – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой.

Мы можем «привязать» вектор к системе координат, т.е. мы можем его определять в пространстве координатами его проекций на координатные плоскости.

Если даны две точки в пространстве А(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b), то дан и вектор

, где а_х, а_у и а_z – координаты вектора.  Осталось определить значения а_х, а_у и а_z. Определяем:

а_х = x_b – x_a

а_у = y_b – y_a

а_z = z_b  –  z_а

       Теперь, зная длины проекций вектора, мы можем легко найти длину вектора, которая, как видно из чертежа, есть не что иное, как диагональ параллелепипеда, сторонами которого являются координаты этого вектора. Его длина, модуль вектора, будет равна:

А что есть длина вектора, как не расстояние между двумя точками: началом и концом вектора? То есть выведенная формула определяет расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.

Метод координат

Примеры решения задач →

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №2

Мастер-класс по теме 
«Применение координатно-векторного метода при решении стереометрических задач»

Подготовила

учитель математики МБОУ СОШ №2

Гергель Анна Анатольевна

11 ноября 2020

 Если ученик берется за решение стереометрической задачи, то в большинстве случаев действует поэтапно-вычислительным методом, используя определения, признаки и свойства различных фигур. Однако этот метод требует безупречного знания и понимания основных теорем, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве и не всегда оказывается эффективным.

Целью моего выступления является рассмотреть и проанализировать координатно-векторный метод решения стереометрических задач. Координатный метод позволяет избежать указанных трудностей. Основная нагрузка при решении задачи координатным методом приходится на вычислительную часть. Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма:

– рационально расположить фигуру относительно системы координат;

– вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках;

– применить соответствующую формулу.

Координатным методом можно вычислять расстояния: между скрещивающимися прямыми, между точкой и плоскостью, между плоскостями. Следует отметить, что координатный метод в чистом виде применяется редко. На практике используют комбинированный, то есть координатно-векторный метод, который позволяет расширить спектр решаемых задач. Использование векторов позволяет находить углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. Рассмотрим использование координатно-векторного метода для решения стереометрических задач, предлагаемых на ЕГЭ по математике профильного уровня. Для начала разберем наиболее удобные способы расположения системы координат относительно различных видов многогранников. 

1. Куб.

При таком расположении системы координат (рис. 4) вершины куба будут иметь следующие координаты: А(0;0;0), В(0;а;0), С(а;а;0), D(а;0;0), А1(0;0;а), В1(0;а;а), С1(а;а;а), D1(а;0;а).

Такое же расположение системы координат удобно использовать для прямоугольного параллелепипеда. Еще один вариант расположения кубаотносительно системы координат связан с размещением начала координат в точке пересечения диагоналей основания.

2. Правильная треугольная призма. Пусть в правильной треугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна а, а боковое ребро равно b. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс будет направлена вдоль ребра АС, ось ординат проходит через точку А перпендикулярно АС, ось Оz направлена вдоль бокового ребра АА1 (см. рис. 5).

Тогда вершины призмы будут иметь координаты: А(0;0;0), В(𝑎/2; 𝑎 √3/2;0), C(a;0;0), A1(0;0;b), B1(𝑎/2;𝑎√3/2;𝑏), C1(a;0;b).

Другой возможный вариант расположения правильной треугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 6.

3. Правильная шестиугольная призма.

Пусть в правильной шестиугольной призме АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1 сторона основания равна а, а боковое ребро равно b. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс направим вдоль ребра АF, ось Оу – через точку А перпендикулярно АF, ось Оz – вдоль бокового ребра АА1 (смотри рисунок 7).

Тогда вершины призмы будут иметь координаты: А(0;0;0), В(−𝑎/2;𝑎√3/2;0),

C(0; a√3;0), D(а; a√3;0), Е(3а/2;𝑎√3/2;0), F(а;0;0), A1(0;0;b), B1(−𝑎/2;𝑎√3/2;𝑏),

C1(0; a√3;b), D1(а; a√3;b), Е1(3а/2;𝑎√3/2;𝑏), F1(а;0;b).

Другой вариант расположения правильной шестиугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат представлен на рисунке 8.

4. Правильная треугольная пирамида.

Пусть в правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна а, а высота равна h. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс

направим вдоль ребра АС, ось Оу – через точку А перпендикулярно АС, ось Оz– через точку А перпендикулярно плоскости АВС (смотри рисунок 9).

Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(𝑎/2;𝑎√3/2;0), C(а;0;0), М(𝑎/2;𝑎√3/6;ℎ).

Еще один вариант расположения правильной треугольной пирамиды относительно системы координат представлен на рисунке.

5. Правильная четырехугольная пирамида.

Пусть в правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна а, а высота равна h.

Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс направим вдоль ребра АD, ось Оу – вдоль ребра АВ, ось Оz – через точку А перпендикулярно плоскости АВС. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(0;а;0), С(а;а;0), D(а;0;0), М(𝑎/2;𝑎/2;ℎ).

6. Правильная шестиугольная пирамида. Пусть в правильной шестиугольной пирамиде МАВСDЕF сторона основания равна а, а высота равна h. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс направим вдоль ребра АС, ось Оу – через точку А перпендикулярно АС, ось Оz – проходит через точку А перпендикулярно плоскости АВС (смотри рисунок 12).

Тогда вершины пирамиды имеют координаты А(0;0;0), В(−𝑎/2;𝑎√3/2;0),

C(0; a√3;0), D(а; a√3;0), Е(3𝑎/2;𝑎√3/2;0), F(а;0;0), М(𝑎/2;𝑎√3/2;ℎ).

Еще один вариант расположения правильной шестиугольной пирамиды относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 13

Примеры решения задач

(Сборник Лысенко Ф. Ф., Кулабухова С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2021. Профильный уровень.)

1. Вариант 16 № 14.

ABCDA1B1C1D1  — правильная четырехугольная призма, на ребре СС1 отмечена точка Р такая, что СР:РС1  =3:5. Плоскость проходит через точки D  и Р и параллельна прямой АС. Эта плоскость пересекает ребро ВВ1 в точке F.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью  является ромбом.

б) Найдите длину ребра ВВ1, если АВ=6, а площадь сечения призмы плоскостью  равна 72.

а) Т. к. противоположные грани параллелепипеда параллельны, то по свойству параллельных плоскостей сечение является параллелограммом. Для доказательства перпендикулярности диагоналей воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Тогда D (6;0;0), К (0; 0; 3а), Р (6; 6; 3а), F (0; 6; z).  Значение z вычислим из равенства векторов DK и PF. DK{-6; 0; 3a},  PF {-6; 0 z-3a}. Z=6a.

 Вычислим скалярное произведение DF * KP. DF {-6; 6; 6a}, KP {6; 6; 0}.
DF * KP= -36+36+0=0, значит DF  KP, а значит параллелограмм DKFP – ромб.

б) Sp = .

 (по условию)

2 + а2 =8

, ВВ1 = 8а = 8

Ответ: 8

2. Вариант 33 №14

Диаметр АВ верхнего основания цилиндра перпендикулярен диаметру СD нижнего основания, при этом диаметр основания цилиндра в раз больше высоты цилиндра. Докажите, что тетраэдр АВСD – правильный.

Задачи для самостоятельного решения

1. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найти угол между прямой АD1 и плоскостью α, проходящей через точки А1, Е и М, где точка Е – середина ребра С1D1, а точка М лежит на ребре DD1, так, что D1М = 2DМ.

2. В правильной шестиугольной призме АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1.

3. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСК, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой КЕ, где Е – середина апофемы МР грани АМВ, и плоскостью АМС.

Справочный материал

1. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором  

2. Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ

3. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

4. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

5. Сложение векторов:

Правило треугольника:

— отложить от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а (см. рис.);

— отложить от точки В вектор ВС, равный в;

— вектор АС , называется суммой векторов а и в .

Правило параллелограмма

— отложить векторы а   и в  от одной точки;

— построить на векторах а и в  параллелограмм;

— диагональ полученного параллелограмма будет суммой векторов 𝑎а  и в (см. рис.).

Правило многоугольника:

построение суммы трех и более векторов выполняют по правилу

многоугольника, состоящему в использовании правила треугольника нужное число раз.

6. Произведением ненулевого вектора а  на число к называется такой вектор в , длина которого равна |к|∙|в |, причем векторы а и в сонаправлены при k > 0 и противоположно направлены при k < 0.

7. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом

8. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

9. Условие перпендикулярности векторов: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

10. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

11. Координаты вектора. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

12. Длина вектора  вычисляется по формуле

13. Координаты середины отрезка.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, т.е. если С(х; у) – середина отрезка АВ, А(х1; у1) и В(х2; у2) – его концы, то х=(х1+х2)/2, у=(у1+у2)/2

14. Расстояние между двумя точками.

Если М1(х1; у1) и М2(х2; у2), то М1М2 =

15. Уравнение окружности радиуса r с центром в точке О(х0; у0) имеет вид (х – х0)2 + (у – у0)2 = r2.

16. Уравнение прямой ах + by + c = 0.

17. Направляющим вектором прямой l называют ненулевой вектор р(а;в) лежащий на данной прямой l

18. Расстояние от точки М(х0; у0) до прямой ах + by + c = 0 вычисляется по формуле

19. Угол между прямыми. Если 𝑎 (𝑥1;𝑦1;𝑧1) и 𝑏⃗ (𝑥2;𝑦2;𝑧2) – направляющие векторы прямых a и b, φ – угол между прямыми a и b, то

20. Ненулевой вектор п , перпендикулярный к плоскости α, называют нормальным вектором плоскости α.

21. Расстояние от точки до плоскости. Если М(х0, у0, z0) — данная точка,
aх + bу +сz +d = 0 – уравнение данной плоскости α, то

Литература

1. Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2018

2. Александров А.Д. Геометрия. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2014.

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2020.

4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения. – 102

5. Лысенко Ф. Ф., Кулабухова С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2021. Профильный уровень.

Стереометрия

Метод координат

в задачах № 14 ЕГЭ

Координаты точки в декартовой системе координат

Координаты вектора

=

Координаты середины отрезка

Угол между прямыми

— направляющий вектор прямой а

— направляющий вектор прямой b

— угол между прямыми

Уравнение плоскости, проходящей

через три заданных точки

-нормальный

вектор плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

-нормальный

вектор плоскости

, где

Уравнение плоскости

, где

Если плоскость проходит через начало координат, то d=0

Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости в отрезках

Угол между прямой и плоскостью

— направляющий вектор прямой

— нормальный вектор плоскости

Угол между плоскостями

Вектор нормали плоскости

Вектор нормали плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между параллельными плоскостями

Задача 1

В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение (1 способ)

К — середина

По теореме косинусов для

Решение (2 способ)

Задача 2

В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE , где D и E — соответственно середины ребер и

Решение.

Координаты правильной треугольной призмы

Решение.

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF .

Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Решение.

Е — середина SB

F — середина SC

Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали.

Решение.

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE, где Е — середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC

Решение.

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой DE

Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD

Решение.

Решение.

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение.

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Задачи для самостоятельного решения

• В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием

ABCD точка М – середина ребра SA, точка К – середина ребра SC.

Найдите угол между плоскостями МВК и АВС, если АВ=4, SC=7.

2. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра ВC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Муниципальное
бюджетное образовательное учреждение

средняя
общеобразовательная школа №50

Исследовательская работа на тему:

Выполнила:

Ученица
11 класса

Черепанова
Людмила

Руководитель:

Учитель
математики высшей

 квалификационной
категории  

Филиппова
Л.И.

г.Володарск

2012
год

Содержание

1.     Пояснительная записка………………………………………………3

2.     Что такое С2
………………………………………………………….5

3.     Краткий теоретический
справочник ………………………………..9

4.     Координаты вершин
многогранников ……………………………..11

5.     Основные необходимые формулы
и примеры заданий …………..14

    5.1. Расстояние между двумя точками
………………………………….14     

    5.2.  Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки….15                                             

    5.3. Угол между прямой и
плоскостью.……………….………………..16

    5.4. Расстояние от точки до плоскости
…………………………………17

    5.5.  Угол между плоскостями…………………………………………..18

6.  Заключение
…………………………………………………………. 21

      7. Приложение ………………………………………………………….22

      8. Литература……………………………………………………………29

1. Пояснительная записка

   Я ученица 11 класса. Совсем скоро
мне предстоит сдача единого государственного экзамена по некоторым предметам,
одним из которых является математика.

   ЕГЭ по математике – достаточно
трудный экзамен, и для его успешной сдачи необходимо очень усиленно готовиться,
чем я и занимаюсь на протяжении уже большого срока. При подготовке в школе я
обращала внимание не только на то, что непонятно мне, но и на то, что непонятно
моим одноклассникам и делала соответствующие выводы. Особое внимание необходимо
уделять стереометрическим задачам, так как их решение вызывает много трудностей.
Дело в том, что в школе очень мало времени уделяется геометрии, а задания часто
требуют хорошо развитых навыков решения, самостоятельная же подготовка вряд ли
вызовет желание у учащегося.

   Я решила помочь себе и своим
одноклассникам в решении стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ. Для
этого я рассмотрела различные методы решения заданий.   Одним из самых
доступных и воспринимаемых методов является векторно-координатный метод, очень
заинтересовавший меня. О нём я узнала на факультативных и элективных занятиях. Этот
метод позволяет сэкономить время на экзамене. При возможности он поможет
получить два дополнительных первичных балла, которые позже смогут оказать
огромную услугу при поступлении в ВУЗы.

   Подводя итог выше сказанному стоит
сказать, моя тема «Векторно -координатный метод при решении
стереометрических задач в рамках подготовки к ЕГЭ» актуальна в настоящий
момент.

Объект исследования: Задачи С2

Предмет исследования: Векторно-координатный метод

Методы исследования: Сбор информации, изучение
дополнительной литературы, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение

Цель: Научится использовать
векторно-координатный метод в решении второй части ЕГЭ по математике и
познакомить с ним других.

Задачи проекта: собрать, проанализировать,
обобщить и показать практическое применение векторно-координатного метода при
решении задач С2.

Новизна проекта: В школьном курсе приводится
чисто аналитическое представление о решении задач С2 и только незначительная
часть задач решается при помощи координат. Это связано лишь только с
недостатком времени на уроках. Метод координат необходимо изучать больше, так
как он экономит время на экзамене.

2. Что такое задание С2?

  Для начала определимся что же в
себя включает задание С2 и что необходимо уметь при его решении.

   К задачам типа С2 относятся
стереометрические задания, в которых нужно найти определенную величину.

Для
успешного решения задач типа С2 необходимо:

·        
Уметь
выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

·        
Решать
планиметрические задачи на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей)

·        
Решать
простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы

·        
Определять
координаты точки; проводить операции над векторами,
вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

·        
Повторить материал по темам:

o   
Пересекающиеся,
параллельные и скрещивающиеся прямые;
перпендикулярность прямых

o   
Параллельность
прямой и плоскости, признаки и свойства

o   
Параллельность
плоскостей, признаки и свойства

o   
Перпендикулярность
прямой и плоскости, признаки и свойства;
перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах

o   
Перпендикулярность
плоскостей, признаки и свойства

o   
Параллельное
проектирование. Изображение пространственных фигур

o   
Призма,
ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма;
правильная призма

o   
Параллелепипед;
куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

o   
Пирамида,
ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида;
правильная пирамида

o   
Сечения
куба, призмы, пирамиды

o   
Представление
о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

o   
Цилиндр.
Основание, высота, боковая поверхность, образующая,
развертка

o   
Конус.
Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

o   
Шар и сфера,
их сечения

o   
Величина
угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги
окружности

o   
Угол
между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью

o   
Длина
отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

o   
Расстояние
от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние
между параллельными прямыми, параллельными плоскостями

o   
Площадь
треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

o   
Площадь
поверхности конуса, цилиндра, сферы

o   
Объем
куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

o   
Декартовы
координаты на плоскости и в пространстве

o   
Формула
расстояния между двумя точками; уравнение сферы

o   
Вектор,
модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и
умножение вектора на число

o   
Коллинеарные
векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

o   
Компланарные
векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам

o   
Координаты
вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Конечно же, рассматривая метод
координат, подробно стоит остановиться на последних шести пунктах, но и про
остальные ни в коем случае нельзя забывать.

3. Краткий теоретический
справочник

1.     Декартовы координаты на
плоскости и в пространстве

ДЕКАРТОВЫ координаты (декартова система координат) — система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно
перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям — прямоугольные
декартовы координаты. Названы по
имени Р. Декарта.

    На плоскости                           В
пространстве

2.     Формула расстояния между
двумя точками; уравнение сферы

Расстояние d между двумя точками  (, , ) и  (, , ) в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении  , определяется по формулам

, , .

В частности, при имеет координаты середины данного отрезка:

, , .

Сфера радиуса R с центром в начале координат
представлена уравнением второй степени.

x² + y² + z² = R²

Сфера радиуса R , центр которой не совпадает с
началом координат, представлена другим уравнением второй степени.

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)²
= R²

      2. Координаты вектора; скалярное произведение
векторов; угол между векторами

   Координаты вектора, концами которого являются
точки А (x₁,y₁,z₁) и В(x₂,y₂,z₂), находятся так: АВ{ x₂ — x₁; y₂ — y₁; z₂— z₁}

Скалярным произведением двух
векторов a и b называется число,
обозначаемое  и
равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними: a•b=|a|•|b|•cos(a^b)
, где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями
векторов a и b. Отметим, что всегда(0 ≤
a^b ≤ π).

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1.     a • b = b • a;

2.     (λa) • b= •(λb) = λ (a • b);

3.     a • (b+с) = a • b + a • с;

4.    
a • b = |
a | прa
b = |b| прb| a |;

5.     a • a = | a |²;

6.     a • b = 0, если a ┴ b.

   Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки,
называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг     своего
начала до положения сонаправленности с другим вектором.

4.  Координаты вершин многогранников

Главная трудность в решении заданий
С2 методом координат – это определить координаты вершин многогранника. Делать
это очень удобно, если вынести основание многогранника на отдельном рисунке на
плоскость XoY. Тогда хорошо видны все
точки, и их координаты найти достаточно просто.

Определить координаты вершин многогранников:

1.    
Единичный куб A…D1

Решение: координаты вершин А (0,0,0),
А1(0,0,1), В(1,0,0), В1(1,0,1),

D( 0 ,1 ,0),  D1( 0,1,1), С(1,1,0), С1(1,1,1).

2. Правильная треугольная
призма  A…C₁ ,

все ребра, которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А
(0,0,0),А ₁(0,0,1),В(1,0,0),В1(1,0,1),

С(0,5;,0), С₁(0,5;,1).

3. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра
которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А
(0,0,0),А ₁(0,0,1),В(1,0,0),В1(1,0,1),

С(1,5;,0),С₁(1,5;,1), D(1,(1, Е(0,, (0,,

F(-05,  0),        (-05, 1).

4.     Правильная треугольная
пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0,0,0), В(1,0,0), С(0,5;,0),
D(0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида  SABCD, все ребра которой равны 1.

Решение: Очевидно, что высотой пирамиды будет координата Z. Координаты
вершин: А (0,0,0),В(1,0,0),С(1,1,0), D(0,1,0S(0,5;0,5;).

6. Правильная шестиугольная
пирамида  SABCDEF, стороны основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2.

Решение: координаты вершин: А
(0,0,0),

В(1,0,0), С(1,5;,0), D(1,Е(0,, F(-05,  0),  S(0,5;).    

5.  Основные необходимые формулы

5.1 Расстояние между двумя
точками

   Расстояние между точками А(, ), В, )
равно =.  

Пример решения задачи на эту формулу:

Решение:

1).Координаты
вершин:  А(0,0,0),В(1,0,0), (0,1,1). Точка К лежит на В.  {-1;1;1}

Напомним правило:
Если отрезок, концами которого служат точки А(, ),В, ) разделен точкой С(х,у,) в отношении  λ, то координаты точки
С определяются по формулам

х =  ;     у= ;    z =.

Пусть АК
перпендикуляр к ВD₁ и АК – искомое расстояние. Точка К
делит  BD₁ в отношении  λ ,
тогда: Х=;  у=;   z=, значит К (;   ); ).  = {;   }

2).    =0; +   =0,  = ; λ= ; К(;;

3). ={;;, значит = =.

Ответ:

Остальные
задачи на нахождения расстояния между точками, а также задачи для
самостоятельного решения находятся в приложении.

5.2 Уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки

Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки

(, ),(, ), (, ),  в координатной форме:

  =0;

Пример решения
задачи:

Решение:

1). Координаты:  точек В (1,0,0),   Е
(,,);    вектора (;;).

2).Координаты А(0,0,0),  D(0,1,0), S(;;), найдем уравнение плоскости
(АDS). =0;

  =0;                 =0.  Уравнение плоскости:

х-=0, координаты вектора
нормали =(—); ===; 

ответ:.

5.1 Угол между прямой и
плоскостью

 Если β – угол между плоскостями,
заданными уравнениями

 х+z+ =0 и   х+z+ =0, то

.

Пример решения задачи на эту формулу:

1).Введем прямоугольную систему
координат  и запишем координаты вершин: А(0,0,0), F(-0,5;;0), В(1,0,0) и С(1,5;;0)

2). Найдем координаты векторов: (-0,5;;0) и(0,5;;0)

3).Найдем косинус угла  между 
векторами    = =0,5; α=60.  Ответ:60.

5.4 Расстояние от точки до
плоскости

Если ρ- расстояние от точки (, ), до плоскости

  х + z + D =0, то

ρ=.

Пример решения задачи на эту
формулу:

1). А (0,0,0), А1(0,0,1), В(1,0,0), D( 0 ,1
,0)

 2). Координаты А1(0,0,1), В(1,0,0), D( 0 ,1 ,0), найдем уравнение плоскости (). =0;

  =0;                 =0. 

Уравнение плоскости:

х +=0 т.е  х+у + координаты вектора нормали

 =().

3).Найдем расстояние от точки  А до
плоскости)  ρ=.

Ответ:.

5.5 Угол между плоскостями

Пример решения задачи:

  В кубе ABCDA ₁ B ₁
C ₁ D ₁ точки E  и F  — середины ребер соответственно A ₁
B ₁ и A ₁ D ₁ . Найдите тангенс угла между
плоскостями AEF  и BDD ₁ .

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF  и BDD ₁
пересекаются где-то вне куба.  В  классическом  решении  пришлось  бы  строить 
линию  их  пересечения.  Но векторно-координатный метод значительно всё
упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости.
Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к
плоскостям AEF и BDD ₁ .

Сначала — нормаль к плоскости BDD ₁ . Конечно,
мы можем подставить координаты точек B, D и D ₁ в уравнение
плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А
можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость
BDD ₁ — это диагональное сечение куба. Вектор AC  перпендикулярен
этой плоскости. Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: n₁ = AC
(1; 1; 0).

Напишем уравнение плоскости AEF .

Берем уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и по
очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек
A, E и F .

Упростим систему:

Пусть C = − 1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF :   2x +2y − z = 0.

Нормаль к плоскости AEF :   ~n(2; 2; − 1).

Найдем угол между плоскостями:

6. Заключение

Проанализировав теоретический материал, я пришла к
выводу, что векторно-координатный метод можно использовать при решении стереометрических
задач с целью упростить решение и сэкономить время. Я рассмотрела примеры
решения задач на нахождение углов и расстояний между прямыми, между прямыми и
плоскостями, между плоскостями. Это помогло мне добиться желаемого результата,
представленного в пояснительной записке.

В  классическом  решении  пришлось  бы  строить 
линии, которые являются расстояниями меду объектами, линии  пересечения
плоскостей, что бывает иногда непросто.  А векторно-координатный метод
значительно всё упрощает. Моим одноклассникам понравилась идея решать С2
векторно-координатным способом и многие из них изъявили желание поближе
познакомиться с ним, чего я, собственно, и добивалась.

7. Приложение

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K  середины ребер соответственно

A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Решение:

Строим чертеж:

   Длина ребра
куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем
единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK  скрещиваются. Найдем угол между
векторами AE и BK.

Для этого нужны их координаты.

и найдем косинус угла между векторами AE и BK:

Задание для самостоятельного решения:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K  середины ребер SB и SC соответственно. Найдите
косинус угла между прямыми AE и BK.

Ответ:

2. Основание
прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямо-

угольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между

плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через
середину ребра CD
перпендикулярно
прямой B1D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Решение:

Строим чертеж.
Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать параллелепипед.

Замечаем, что
длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота вроде не дана. Как же
ее найти?

Расстояние между
прямыми A1C1 и BD равно p3. Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них  диагональ
верхнего основания, другая диагональ нижнего.

Вспомним, что
расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1,

где O — точка пересечения диагоналей
нижнего основания, O1 — точка
пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3.

Плоскость AA1D1D — это задняя грань призмы на нашем
чертеже. Нормаль к ней  — это любой вектор, перпендикулярный задней грани,
например, вектор AB
(5; 0; 0) или,
еще проще, вектор n1(1; 0;
0).

Осталась еще плоскость,
проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D. Но позвольте, если
плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости!
Координаты точек B1 и D известны:

Координаты
вектора B1D — тоже:

Находим угол
между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус
угла, находим его тангенс по формуле

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус

угла между прямой
AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда,
рисуем чертеж и выбираем систему координат.

Нужно ли нам
уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно
обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит,
нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор AC (1; −1; 0).

Найдем угол между
прямой и плоскостью:

Решение: координаты вершин:

В(1,0,0), F(-05,  0),
  G(1;).   

Пусть FK перпендикуляр к BG—
искомое расстояние. Точка
К лежит на В G. (0;).
К – делит BGв отношении λ.

Если отрезок, концами которого служат точки А(, ),В, ) разделен точкой С(х,у,) в отношении  λ, то координаты точки С определяются по формулам

х =  ;     у= ;    z =.

Х=;
у=;  
z=,
значит К (;  
)

 =(;  
)

2).  =0;    λ=1
; К(1;;.

3). =(1,5;;,
значит = =.

Ответ:

8.
Литература

1.    
А. Г.
Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

2.    
Корянов
А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

3.    
Атанасян
Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк.
– М.: Просвещение, 1993 – 207с.

4.    
Болтянский
В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. – М.: Просвещение, 1964. – 303с.

5.    
Борзенко
Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации.
– Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. – 60с.

6.    
Геометрия
10-11 кл.: учеб. для ест.-научного профиля. Под ред. Смирновой И.М.– М.:
Просвещение, 2003.

7.    
ЕГЭ-2011.
Математика : типовые экзаменационные варианты : 30 вариантов / под ред. А. Л.
Семенова, И. В. Ященко. — М. : Национальное образование, 2010. — 240 с. —
(ЕГЭ-2011. ФИПИ школе).

8.    
Единый
государственный экзамен: Математика: Cб. заданий. – М.: Просвещение, 2005. –
224с.

9.    
Задачи по
элементарной математике [Текст] / В.Б. Лидский, Л.В.

10.   Зив Б.Г. Задачи к урокам
геометрии, 7-11 классы. – СПб., 1998. – 624с.

11.  Погорелов А.В. Геометрия:
Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. – М.:Просвещение,1993.–383с.