Корни егэ математика теория

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). (  (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему “Модуль числа”!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки “плюс-минус” являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

• ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
• ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})
• ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко!

( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Допустим, у нас записано число ( displaystyle   3sqrt{5})

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из ( displaystyle   9)!

( displaystyle   3sqrt{5}=sqrt{9}cdot sqrt{5}=sqrt{45})

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

( displaystyle   3sqrt{10}-sqrt{45}cdot sqrt{2}=sqrt{90}-sqrt{90}=0)

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример – ( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8})

Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: ( displaystyle   3sqrt{7}) или ( displaystyle   2sqrt{17})?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

( displaystyle   3sqrt{7}=sqrt{9cdot 7}=sqrt{63})

( displaystyle   2sqrt{17}=sqrt{4cdot 17}=sqrt{68})

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если ( displaystyle 68>63), значит, ( displaystyle   sqrt{68}>sqrt{63}).

Отсюда твердо делаем вывод, что ( displaystyle   3sqrt{7}<2sqrt{17}).

И никто не убедит нас в обратном!

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

 

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

Решение:

При b = — 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b), при возведении которого в квадрат мы получим число (a): [sqrt a=bquad text{то же самое, что }quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0).
(bullet) Чему равен (sqrt{25})? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt{25}=5) (так как (25=5^2)).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a), а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt{-25}), (sqrt{-4}) и т.п. не имеют смысла.
 

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20): [begin{array}{|ll|}
hline
1^2=1 & quad11^2=121 \
2^2=4 & quad12^2=144\
3^2=9 & quad13^2=169\
4^2=16 & quad14^2=196\
5^2=25 & quad15^2=225\
6^2=36 & quad16^2=256\
7^2=49 & quad17^2=289\
8^2=64 & quad18^2=324\
9^2=81 & quad19^2=361\
10^2=100& quad20^2=400\
hline end{array}]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b}] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt{25}+sqrt{49}), то первоначально вы должны найти значения (sqrt{25}) и (sqrt{49}), а затем их сложить. Следовательно, [sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt
a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt
2+ sqrt {49}) мы можем найти (sqrt{49}) – это (7), а вот (sqrt
2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt{49}=sqrt
2+7). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
 
(bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrt{ab}quad text{и}quad
sqrt a:sqrt b=sqrt{a:b}] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt{32}cdot sqrt 2=sqrt{32cdot
2}=sqrt{64}=8);
 
(sqrt{768}:sqrt3=sqrt{768:3}=sqrt{256}=16);
 
(sqrt{(-25)cdot (-64)}=sqrt{25cdot 64}=sqrt{25}cdot sqrt{64}=
5cdot 8=40).
 
(bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt{44100}). Так как (44100:100=441), то (44100=100cdot 441). По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49), то есть (441=9cdot 49).
Таким образом, мы получили: [sqrt{44100}=sqrt{9cdot 49cdot 100}=
sqrt9cdot sqrt{49}cdot sqrt{100}=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt{dfrac{32cdot 294}{27}}=
sqrt{dfrac{16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2}{9cdot 3}}= sqrt{
dfrac{16cdot4cdot49}{9}}=dfrac{sqrt{16}cdot sqrt4 cdot
sqrt{49}}{sqrt9}=dfrac{4cdot 2cdot 7}3=dfrac{56}3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot
sqrt2)). Так как (5=sqrt{25}), то [5sqrt2=sqrt{25}cdot sqrt2=sqrt{25cdot 2}=sqrt{50}] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2),
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a). Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a), то есть (4sqrt2).
 

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt {} ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2), поэтому (sqrt{16}=4). А вот извлечь корень из числа (3), то есть найти (sqrt3), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt{15}) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14)), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7)) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb{R}).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
 

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|), равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3).
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a).
Пример: (|5|=5); (qquad |sqrt2|=sqrt2).
 
(bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a).
Пример: (|-5|=-(-5)=5); (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|).
 
(bullet) Имеют место следующие формулы: [{large{sqrt{a^2}=|a|}}] [{large{(sqrt{a})^2=a}},
text{ при условии } ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt{a^2}) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1). Тогда (sqrt{(-1)^2}=sqrt{1}=1), а вот выражение ((sqrt {-1})^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt{a^2}) не равен ((sqrt a)^2)!
 
Пример: 1) (sqrt{left(-sqrt2right)^2}=|-sqrt2|=sqrt2), т.к. (-sqrt2<0);

(phantom{00000}) 2) ((sqrt{2})^2=2).
 
(bullet) Так как (sqrt{a^2}=|a|), то [sqrt{a^{2n}}=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt{(-25)^2}=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a<sqrt b), то (a<b); если (sqrt a=sqrt b), то (a=b).
Пример:
1) сравним (sqrt{50}) и (6sqrt2). Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt{36}cdot sqrt2=sqrt{36cdot 2}=sqrt{72}). Таким образом, так как (50<72), то и (sqrt{50}<sqrt{72}). Следовательно, (sqrt{50}<6sqrt2).
2) Между какими целыми числами находится (sqrt{50})?
Так как (sqrt{49}=7), (sqrt{64}=8), а (49<50<64), то (7<sqrt{50}<8), то есть число (sqrt{50}) находится между числами (7) и (8).
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5). Предположим, что (sqrt2-1>0,5): [begin{aligned}
&sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\[1ex]
&sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext{(возведем обе части в
квадрат)}\[1ex]
&2>1,5^2\
&2>2,25 end{aligned}] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1<0,5).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3<sqrt2) нельзя (убедитесь в этом сами)!
 
(bullet) Следует запомнить, что [begin{aligned}
&sqrt 2approx 1,4\[1ex]
&sqrt 3approx 1,7 end{aligned}] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
 
(bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt{28224}). Мы знаем, что (100^2=10,000), (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000). Следовательно, (sqrt{28224}) находится между (100) и (200).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130)). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121), (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100), (120^2=14400), (130^2=16900), (140^2=19600), (150^2=22500), (160^2=25600), (170^2=28900). Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2). Следовательно, число (sqrt{28224}) находится между (160) и (170).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4)? Это (2^2) и (8^2). Следовательно, (sqrt{28224}) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2):
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224).
Следовательно, (sqrt{28224}=168). Вуаля!

В записи $√^n{a}$, «а» называется подкоренным числом, $n$ — показателем корня или радикала.

Свойства корней $n$-ой степени при $а≥0$ и $b≥0$:

1. Корень произведения равен произведению корней

$√^n{a∙b}=√^n{a}∙√^n{b}$

2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя

$√^n{{a}/{b}}={√^n{a}}/{√^n{b}}$, при $b≠0$

3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение

$(√^n{a})^k=√^n{a^k}$

4. Если $а≥0$ и $n,k$ — натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.

$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

$√^{n∙m}a^{k∙m}=√^n{a^k}$

6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.

7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.

Свойства степеней с рациональным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n∙a^m=a^{n+m}$

2. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n∙m}$

3. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

Дроби

Практика: решай 6 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

Квадратный корень – что это?

В школьной программе арифметический квадратный корень изучается в 7-8 классе на уроках алгебры. От того, насколько хорошо ученик усвоил материал, в будущем зависит понимание более сложных тем.
В повседневной жизни без квадратного корня не обойтись при нахождении площадей, решении квадратных уравнений, записи иррациональных чисел, в теории вероятностей и статистике, небесной механике, физике и т.д. Умение извлекать корень и знание его свойств потребуется при решении многих заданий ЕГЭ и ОГЭ.

Итак, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа (a) – это математическая операция, позволяющая получить некоторое действительное число (b geqslant 0), которое при умножении на само себя дает (a). Наглядно проиллюстрировать это позволяет пример:
$$ sqrt{16}=sqrt{4^2}=4, $$

Число 16 стоит под знаком корня. Нужно найти значение, при возведении которого в квадрат (умножении на себя) получится 16. Это число – 4. Корень квадратный из 16 равен 4.

Аналогичным образом можно вычислить:
$$ sqrt{9}=sqrt{3^2}=3, $$
$$ sqrt{25}=sqrt{5^2}=5, $$
$$ sqrt{1,44}=sqrt{1,2^2}=1,2, $$
$$ sqrt{0,04}=sqrt{0,2^2}=0,2, $$
$$ sqrt{frac{1}{36}}=sqrt{left(frac{1}{6}right)^2}=frac{1}{6}. $$

Важно, что квадратный корень существует только от неотрицательных чисел. Если под корнем стоит отрицательное число, то корень не существует. Например, не имеет смысла выражение (sqrt{-25}).

Так же, для любого (a geq 0) из определения квадратного корня следует:

$$(sqrt{a})^2=a;$$

Пример 1
$$(sqrt{7})^2=7;$$

Разберем несколько полезных примеров на вычисление корней:

Пример 2
$$sqrt{0}=0;$$
$$sqrt{1}=1;$$
$$sqrt{0,09}+sqrt{0,25}=0,3+0,5=0,8;$$
$$-0,6*sqrt{25}=-0,6*5=-3;$$
$$0,49+2*(sqrt{0,4})^2=0,49+2*0,4=0,49+0,8=1,29;$$

На экзаменах часто встречаются упражнения на преобразования выражений с квадратными корнями при помощи формул сокращенного умножения. Рассмотрим примеры.

Пример 3
$$(2-sqrt{5})^2+4sqrt{5}=?$$
Воспользуемся формулой квадрата разности ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2).
$$(2-sqrt{5})^2+4sqrt{5}=2^2-2*2*sqrt{5}+5+4sqrt{5}=4-4sqrt{5}+5+4sqrt{5}=9.$$

И воспользуемся формулой разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)(a+b).)

Пример 4
$$ sqrt{13^2-12^2}=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{1*25}=sqrt{25}=5;$$

Уравнение (x^2=a)

Одна из самых популярных ошибок при решении уравнений у школьников старших классов — неправильное решение уравнения (x^2=a), где (a) — произвольное число.

Возможно три варианта решения данного уравнения:

При (a<0) уравнение не будет иметь корней:

$$x^2=-4, ; корней ; нет.$$

Так как любое число при возведении в квадрат всегда будет давать положительное число.

При (a=0) уравнение будет иметь единственное решение:

$$x^2=0;$$
$$x=0.$$

При (a>0) решений будет два:

$$x^2=a;$$
$$x=pm sqrt{a}.$$
Пример 5
$$x^2=25;$$
$$x_{1}=5;$$
$$x_{2}=-5;$$

Пример 6
$$(x-3)^2=25;$$
$$x-3=pm5;$$
$$x_{1}=8;$$
$$x_{2}=-2;$$

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным. 

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере

,

и

.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• не равно

  .

Это два нетождественных друг другу выражения.

• — это квадратное уравнение.

• — арифметический квадратный корень.

Из выражения

следует, что:

• , это значит, что

  ,

  ,

  .

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения

следует, что

.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

 

1. Пример решен неверно

2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения: 

 

Первое выражение — квадратное уравнение.

.

Второе выражение — арифметический квадратный корень. 

.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

;

;

.

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение:

.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит. 

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

,

,

.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x².
Отмечаем решения на графике:

.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий:

.

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.

.

.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ:

.

• 2. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх —  5.

Ответ:

.

• 3. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ:

.

• 4. Извлеките корень:

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ:

.

• 5. Извлеките корень

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ:

.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

• Корень произведения равен произведению корней

• Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя

• Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

1. Ответ:

2. Ответ:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

 

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

   Ответ:

1. Ответ:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

1. Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

2. Ответ:

5. Ответ:

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

2. Ответ:

   , т.к.

3. Ответ:

   , т.к.

   .

Эти две формулы нужно запомнить:

1. Ответ:

2. Ответ:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение:

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять. 

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня. 

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

Формула внесения множителя под знак корня:

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

 

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

Вынесение множителя из-под знака корня 

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

1. Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

   Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

   Ответ:

2. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

   .

   Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

   .

3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении:

   Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.

4. Упростите выражение:

   .

   Представим

   в виде

   Представим

   в виде

   Тогда

   Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

   Умножаем

   . Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

   Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель —

   .

   Выносим общий множитель за скобки:

   Далее вычисляем все, что в скобках:

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

• , то

• , то

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения:

и

Первым делом преобразуем второе выражение:

.

.

Это значит, что

.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

1. Сравните два выражения:

   и

   Ответ: преобразовываем выражение

   .

   Это значит, что

   .

2. Сравните два выражения:

   и

   Ответ: преобразовываем выражение

   .

   Это значит, что

   .

3. Сравните два выражения:

   и

   Ответ: преобразовываем выражение

   .

   Это значит, что

   .

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет. 

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее. 

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.

2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.

3. Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из

.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

10² = 100

20² = 400

30² = 900

40² = 1600

50² = 2500 

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 40²и 50².

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16 ⇒ 6

5² = 25 ⇒ 5

6² = 36 ⇒ 6

7² = 49 ⇒ 9

8² = 64 ⇒ 4

9² = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 44² и 46².

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ:

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат. 

Еще пример. Извлечем корень из числа

Разложим число 11664 на множители: 

11664 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

Запишем выражение в следующем виде:

Ответ:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
 

• 1. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ: 6.

• 2. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 3. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 4. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 5. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 6. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 7. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 8. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 9. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

• 10. Вычислите значение квадратного уравнения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 11. Вычислите значение квадратного уравнения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 12. Извлеките квадратный корень из числа

  удобным вам способом

  Как решаем:

  7056	4
  1764	4
  441	3
  147	3
  49	7
  7	7
  1

  Ответ:

• 13. Вычислите значение квадратного корня

  Ответ:

• 14. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

• 15. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 16. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 17. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

• 18. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 19. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 20. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 21. Вынесите множитель из-под знака корень:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 22. Вынесите множитель из-под знака корень:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 23. Внесите множитель под знак корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 24. Внесите множитель под знак корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 25. Внесите множитель под знак корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 26. Упростите выражение:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 27. Вычислите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 28. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 29. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

• 30. Найдите значение выражения:

  Как решаем:

  Ответ:

  .

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем , нужно умножить число само на себя раз:

В этой записи – основание, – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных).

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример 1

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример 2

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень.

Пример 3

Для удобства представим и занесем всю дробь под одну степень.

Иногда для записи дробных степеней используют специальный знак – корень. На самом деле корень — всего лишь дробная степень:

Чаще всего встречается квадратный корень из числа:

Выражения с корнями преобразуется по тем же правилам, что и все остальные степени.

Следует различать корни нечетной степени и корни четной степени .

Корень нечетной степени из отрицательного числа – отрицательное число; из положительного – положительное.

Корень четной степени берется только из неотрицательного числа. Само значение корня четной степени может быть только неотрицательным.

.

Пример 4

, следовательно, корень из этого выражения существует. При этом значение может быть любым. Если действовать по правилам степеней без модуля, имеем:

.

В случае отрицательного получаем, что корень четной степени равен отрицательному числу, что невозможно.

Пример 5

Так как корень – это степень, то можем воспользоваться правилом «степень произведения равна произведению степеней».

Пример 6

Частное степеней равно степени частного, поэтому занесем всю дробь под общий корень.

Пример 7

Представим число в виде произведения, чтобы можно было воспользоваться правилом «При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется» в обратную сторону.

Помимо выражений с числами, в заданиях часто встречаются выражения с символьными переменными. К счастью, выписанные нами формулы, продолжают работать и в этом случае.

Пример 8

Возведем степень в степень, перемножая показатели. Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей, а частное – на разность. Основание при этом не меняем.

Пример 9

Перепишем корень как дробный показатель. Заменим возведение степени в степень на произведение показателей. Затем преобразуем произведение степеней, сложив их показатели.