Косинусоида график егэ

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 60    1–20 | 21–40 | 41–60

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 60    1–20 | 21–40 | 41–60

Графики тригонометрических функций

Рассмотрим графики и свойства тригонометрических функций и обратных им.

СИНУС:

Синус – функция вида (y = sin x.)

Графиком этой функции является синусоида.

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНУСА:

1. Область определения:	(D(ymathbb{) = R})
2. Область значения:	(E(y) = lbrack–1; 1rbrack)
3. Ограниченность и непрерывность:	Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	(y_{наиб.}) при: (x in frac{pi}{2} + 2pi k), (k in mathbb{Z}) (y_{наим.}) при: (x in frac{3pi}{2} + 2pi k), (k in mathbb{Z})
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0) при: (x in (0; pi) + 2pi k), (k in mathbb{Z}) (y < 0) при: (x in (pi;2pi) + 2pi k), (k in mathbb{Z})
6. Монотонность:	Возрастает при: (x in left( –frac{pi}{2};frac{pi}{2} right) + 2pi k), (k in mathbb{Z}) Убывает при: (x in left( frac{pi}{2}; frac{3pi}{2} right) + 2pi k, k in mathbb{Z})
7. Экстремумы:	(y_{max}) при: (x in frac{pi}{2} + 2pi k, k in mathbb{Z}) (y_{min}) при: (x in frac{3pi}{2} + 2pi k), (k in mathbb{Z})
8. Четность:	Нечетная
9. Периодичность:	(Период = 2pi)
10. Пересекает ось Ох	В точках (x = text{πk}, k in mathbb{Z})
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0;0))

КОСИНУС:

Косинус – функция вида (y = cos x).

Графиком этой функции является косинусоида.

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОСИНУСА:

1. Область определения:	(D(ymathbb{) = R})
2. Область значения:	(E(y) = lbrack–1; 1rbrack)
3. Ограниченность и непрерывность:	Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	(y_{наиб.} )при: (x in 2pi k, k in mathbb{Z}) (y_{наим.}) при: (x in pi + pi k), k(in)ℤ
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0) при: (x in (–frac{pi}{2}; frac{pi}{2}) + 2pi k, k in mathbb{Z}) (y < 0) при: (x in (frac{pi}{2};frac{3pi}{2}) + 2pi k, k in mathbb{Z})
6. Монотонность:	Возрастает при: (x in (pi; 2pi) + 2pi k, k in mathbb{Z}) Убывает при: (x in left( 0;pi right) + 2pi k, k in mathbb{Z})
7. Экстремумы:	(y_{max}) при: (x in 2pi k, k in mathbb{Z}) (y_{min}) при: (x in pi + pi k, k in mathbb{Z})
8. Четность:	Четная
9. Периодичность:	(Период = 2pi)
10. Пересекает ось Ох	В точках (x = frac{pi}{2} + text{πk}, k in mathbb{Z})
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0;1))

ТАНГЕНС:

Тангенс – функция (вида y = text{tg} x ).

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТАНГЕНСА:

1. Область определения:	(D(y): x neq frac{pi}{2} + pi k, kmathbb{in Z})
2. Область значения:	(E(y) = lbrack–1; 1rbrack)
3. Ограниченность и непрерывность:	Неограничена; Имеет асимптоты точках ( x = frac{pi}{2} + text{πk}, kmathbb{in Z})
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	Нет
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0 )при: (x in (0;frac{pi}{2}) + pi k, k in mathbb{Z}) (y < 0) при: (x in (–frac{pi}{2}; 0) + pi k, k in mathbb{Z})
6. Монотонность:	Возрастает между всеми асимптотами
7. Экстремумы:	нет
8. Четность:	Нечетная
9. Периодичность:	(Период = pi)
10. Пересекает ось Ох	В точках (x = text{πk}, k in mathbb{Z})
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0;0))

КОТАНГЕНС:

Котангенс – функция вида (y = text{ctg} x.)

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОТАНГЕНСА:

1. Область определения:	(D(y): x neq pi k, kmathbb{in Z})
2. Область значения:	(E(y) = lbrack–1; 1rbrack)
3. Ограниченность и непрерывность:	Неограничена; Имеет асимптоты в точках ( x = text{πk}, kmathbb{in Z})
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	Нет
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0) при: (x in (0;frac{pi}{2}) + pi k, k in mathbb{Z}) (y < 0) при: (x in (frac{pi}{2};pi) + pi k, k in mathbb{Z})
4. Монотонность:	Убывает между всеми асимптотами
7. Экстремумы:	нет
5. Четность:	Нечетная
6. Периодичность:	(Период = pi)
7. Пересекает ось Ох	В точках ( x = frac{pi}{2} + text{πk}, kmathbb{in Z})
8. Пересекает ось Оу	Не пересекает ось

АРКСИНУС:

Арксинус – функция вида (y = arcsin x).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКСИНУСА:

1. Область определения:	(D(y) = lbrack–1; 1rbrack)
2. Область значения:	(E(y) = leftlbrack –frac{pi}{2};frac{pi}{2} rightrbrack)
3. Ограниченность и непрерывность:	Ограничена со всех сторон; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	(y_{наиб.}) при: (x = 1) (y_{наим.}) при: (x = –1)
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0) при: (x in (0;1)) (y < 0) при: (x in (–1;0) )
6. Монотонность:	Возрастает
7. Экстремумы:	нет
8. Четность:	Нечетная
9. Периодичность:	Не периодична
10. Пересекает ось Ох	В точке( (0;0))
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0;0))

АРККОСИНУС:

Арккосинус – функция (вида y = arccos x).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОСИНУСА:

1. Область определения:	(D(y) = lbrack–1; 1rbrack)
2. Область значения:	(E(y) = (0; pi))
3. Ограниченность и непрерывность:	Ограничена со всех сторон
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	(y_{наиб. }) при: (x = –1) (y_{наим.}) при: (x = 1)
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0) при: (x in (–1;1))
6. Монотонность:	Убывает
7. Экстремумы:	нет
8. Четность:	Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность:	Не периодична
10. Пересекает ось Ох	В точке ((1;0))
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0;frac{pi}{2}))

АРКТАНГЕНС:

Арктангенс – функция вида (y = text{arctg} x.)

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКТАНГЕНСА:

1. Область определения:	(D(y): mathbb{R})
2. Область значения:	(E(y) = leftlbrack –frac{pi}{2};frac{pi}{2} rightrbrack)
3. Ограниченность и непрерывность:	Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	Нет
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0 )при: (x in (0; + infty)) (y < 0) при: (x in (–infty;0) )
6. Монотонность:	Возрастает
7. Экстремумы:	нет
8. Четность:	Нечетная
9. Периодичность:	Не периодична
10. Пересекает ось Ох	В точке ((0;0))
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0;0))

АРККОТАНГЕНС:

Арккотангенс – функция вида (y = text{arcctg} x).

ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОТАНГЕНСА:

1. Область определения:	(D(y): mathbb{R})
2. Область значения:	(E(y) = (0; pi))
3. Ограниченность и непрерывность:	Ограничена сверху и снизу; непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции:	Нет
5. Промежутки знакопостоянства:	(y > 0) при: (x in mathbb{R})
6. Монотонность:	Убывает
7. Экстремумы:	нет
8. Четность:	Ни четная, ни нечетная
9. Периодичность:	Не периодична
10. Пересекает ось Ох	Не пересекает ось
11. Пересекает ось Оу	В точке ((0; frac{pi}{2}))

На этой странице вы узнаете

• Как найти углы у апельсина?
• Кто сказал “Ты как хочешь, а я уехала!” 

Люди пользуются тригонометрией с древнейших времен. Добывая еду с помощью лука и стрел, человек уже применял знания, которые мы разберем в этой статье.

Единичная тригонометрическая окружность

Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1

Так как длина всей окружности равна 2π, сделаем вывод, что половина окружности — это π, а четверть — это  π2.

Теперь разделим окружность сначала на восемь частей, а потом ту же окружность на двенадцать частей. Рассчитаем значения полученных точек. 

Заметим, что точка 0 совпадает с точкой 2π. Это означает, что мы сделали один оборот по окружности. Но мы можем продолжать идти так и дальше: тогда эта же точка будет принимать значения 4π, 6π, 8π. 

Движение по тригонометрической окружности можно сравнить с движением по числовой прямой, закрученной в спираль. 

Аналогично можно двигаться и против движения часовой стрелки, но это уже будет отрицательная спираль.

Как записать множество точек, находящихся в одной точке окружности, но на разных витках спирали?

Так как тригонометрические функции — это периодические функции, то и значения в точках будут повторяться с определенным интервалом: то есть с интервалом 2πk, где k принадлежит множеству целых чисел.

Пример:  π + 2πk, k ∈ Z

Теперь рассмотрим значения синусов и косинусов, определенных на окружности точек.

На положительных частях осей они представлены как (frac{1}{2}), (frac{sqrt{2}}{2}), (frac{sqrt{3}}{2}), а на отрицательных —  (-frac{1}{2}), (-frac{sqrt{2}}{2}), (-frac{sqrt{3}}{2}).

Для нахождения значения синуса или косинуса известного угла нужно провести перпендикулярную прямую к прямой, предназначенной этой функции. Значение, в котором она пересечет прямую функции будет являться значением этой тригонометрической функции от известного числа.

Пример:
Нужно узнать чему равно (sin frac{pi}{3})

Сначала найдем (frac{pi}{3}) на окружности, затем проведем перпендикулярную прямую к прямой синусов. Ответом является  значение в точки пересечения.

(sin frac{pi}{3} = frac{sqrt{3}}{2})

Теперь проведём ещё две прямые для обозначения прямых тангенса и котангенса. Отметим на них значения для точек окружности.

Для нахождения значения тангенса или котангенса известного угла нужно провести прямую через точку (0; 0) и это число на окружности. Значение, в котором она пересечет прямую данной функции, будет являться значением этой тригонометрической функции от известного числа.

Пример: 

Нужно узнать чему равно (ctg frac{2 pi}{3})

Сначала найдем (frac{2 pi}{3}) на окружности, затем проведём прямую через (0; 0) и эту точку на окружности. Ответом является  значение в точки пересечения проведенной прямой и прямой котангенсов. 

(ctg frac{2 pi}{3} = -frac{sqrt{3}}{3})

Примеры тригонометрии можно найти и в жизни. Например: когда мы режем морковку, нож находится под углом (frac{pi}{2}) к поверхности доски.

Графики тригонометрических функций

Как уже было сказано ранее, тригонометрические функции — это периодические функции. 

То есть, значения этих функций повторяются через определенный период. Теперь рассмотрим подробнее графики таких функций. 

Находя значения у для разных значений х и соединяя точки, можно получить следующие графики функций.

График y = sin x — синусоида.

График y = cos x — косинусоида.

График y = tgx — тангенсоида.

Важно: тангенсоида никогда не может принимать значения (frac{pi}{2}); (frac{3 pi}{2}); (frac{5 pi}{2}) и т. д. Так как тангенс — это синус делить на косинус, а делить на ноль нельзя, следовательно, косинус не равен нулю. Данные значения отмечены на графике пунктирными линиями.

График y = ctgx — котангенсоида.

Важно: котангенсоида никогда не может принимать значения 0; π; 2π и т. д., так как котангенс — это косинус делить на синус. Делить на ноль нельзя, значит синус не равен нулю.  Данные значения отмечены на графике пунктирными линиями.

Каждую из рассмотренных выше функций можно сдвигать по осям Х и Y и растягивать по оси Y. Давайте рассмотрим такие растяжения и сдвиги.

Коэффициент перед тригонометрической функцией

Чем больше коэффициент перед тригонометрической функцией, тем сильнее она вытягивается по вертикали. 

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида растягиваются по аналогии.

Сдвиг по оси Y

График тригонометрической функции сдвигается по оси Y на прибавленную к значению y константу. 

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида сдвигаются по аналогии.

Сдвиг по оси Х

График тригонометрической функции сдвигается по оси Х на прибавленную к значению х константу. 

Рассмотрим на примере синусоиды и тангенсоиды. Косинусоида и котангенсоида сдвигаются по аналогии.

Важно: при прибавлении положительной константы — сдвиг влево, при вычитании положительной константы — сдвиг вправо.

Фактчек

• Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1.
• Один проход по окружности — это 2π.
• Двигаться по окружности можно как в положительную, так и в отрицательную сторону.
• График функции — это представление функции на координатной плоскости.
• Коэффициент перед функцией отвечает за растяжение графика функции вдоль оси Y.
• Константа, прибавляемая к х или y, отвечает за сдвиг функции относительно изначального значения.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно (sin frac{5 pi}{4})?

1. (frac{sqrt{3}}{2})
2. (frac{sqrt{2}}{2})
3. (-frac{sqrt{2}}{2})
4. 1

Задание 2.
Чему равно (cos frac{pi}{3})?

1. 1
2. (frac{1}{2})
3. (-frac{1}{2})
4. (frac{sqrt{3}}{2})

Задание 3.
Чему равно (ctg frac{pi}{2})?

1. 0
2. 1
3. (sqrt{3})
4. (frac{sqrt{2}}{2})

Задание 4.
Куда будет сдвиг (sin(x + frac{4 pi}{3}))?

1. Вправо
2. Влево
3. Вверх
4. Вниз

Задание 5.
Куда будет сдвиг ctg x + 2?

1. Вправо
2. Влево
3. Вниз
4. Вверх

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 2; 5. — 4.

16
Сен 2022

Категория: 10 Графики функций

2022-09-16
2022-09-16

Задача 1. На рисунке изображён график функции   Найдите

Решение: + показать

---

Задача 2. На рисунке изображён график функции   Найдите

Решение: + показать

---

Задача 3. На рисунке изображён график функции   Найдите

Решение: + показать

---

Задача 4. На рисунке изображён график функции   Найдите

Решение: + показать

---

Задача 5. На рисунке изображён график функции   Найдите

Решение: + показать

---

Задача 6. На рисунке изображён график функции где и – целые.  Найдите

Решение: + показать

---

Задача 7. На рисунке изображён график функции где и – целые.  Найдите

Решение: + показать

---

Пройти тест

Автор: egeMax |

Нет комментариев

• ЕГЭ
• Графики — мы их ждали 10 лет

Задание
10

Графики функций

• Как найти k и b по графику линейной функции?
• Преобразование графиков функций
• Как определить a, b и c по графику параболы
  • Задачи с параболами из 9 задания ЕГЭ
• 3 способа решить любую 10 задачу ЕГЭ с графиком функций

Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте

Смотрите нас в YouTube