Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.
Свойства куба:
1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.
2. Противоположные грани попарно параллельны.
3. Все двугранные углы куба – прямые.
4. Диагонали равны.
5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра
$B_1D=AB√3$
7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.
$DC_1=DC√2$
Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:
Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.
Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$
Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$
Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$а$-длина;
$b$-ширина;
$с$-высота(она же боковое ребро);
$P_{осн}$-периметр основания;
$S_{осн}$-площадь основания;
$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;
$V$-объем.
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
$SO$ — высота.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$ — высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3}S_{осн}·h$
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Факт 1.
(bullet) Куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.
(bullet) Следовательно:
— ({color{red}{{small{объем куба}}}}) ищется по следующей формуле (где (a) – ребро куба): [{color{red}{{large{V=a^3}}}}] — ({color{red}{{small{диагональ куба}}}}) [{color{red}{{large{d^{,2}=3a^2}}}}] — ({color{red}{{small{площадь поверхности куба}}}}) равна сумме площадей шести одинаковых квадратов, т.е. [{color{red}{{large{S_{text{пов.куб}}=6a^2}}}}] 
Факт 2.
(bullet) Если сфера вписана в куб (то есть касается всех его граней), то ее радиус равен (0,5a), где (a) – ребро куба.
(bullet) Если сфера описана около куба (то есть все вершины куба лежат на сфере), то ее радиус равен (0,5d), где (d) – диагональ куба.
(bullet) Центр сферы, вписанной в куб или описанной около куба, лежит в точке пересечения диагоналей куба.
Пусть (displaystyle a ) – длина ребра куба.
Найдем (displaystyle a { small ,}) используя формулу объема куба.
Правило
Объем куба
Объем куба (displaystyle V ) равен
(displaystyle V=a^3{ small ,} )
где (displaystyle a ) – длина ребра куба.
По условию (displaystyle V=64 { small ,}) поэтому получаем:
(displaystyle 64=a^3{ small ,} )
(displaystyle a^3=64{ small ,} )
(displaystyle a=4{small .} )
Найдем площадь поверхности куба по формуле:
Правило
Площадь поверхности куба
Площадь поверхности куба (displaystyle S ) равна
(displaystyle S=6a^2{ small ,} )
где (displaystyle a ) – длина ребра куба.
Получаем:
(displaystyle S=6cdot 4^2{ small ,} )
(displaystyle S=96{small .} )
Ответ: (displaystyle 96{small .})
Задание 1070
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Ответ: 3
Задание 1071
Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Ответ: 24
Задание 1072
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Ответ: 4
Задание 1073
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
Ответ: 27
Задание 1074
Диагональ куба равна $$sqrt{12}$$. Найдите его объем.
Ответ: 8
Задание 1075
Объем куба равен $$24sqrt{3}$$ . Найдите его диагональ.
Ответ: 6
Задание 1076
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
Ответ: 2
Задание 1077
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?
Ответ: 9
Задание 1078
Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.
Ответ: 2
Задание 1079
Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.
Ответ: 8
Задание 1080
Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Ответ: 4
Задание 1081
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра AA1 , точка L — середина ребра A1B1 , точка M — середина ребра A1D1 . Найдите угол MLK . Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Задание 3324
Ребро куба равно $$sqrt{6}$$. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Введем обозначение, как показано на рисунке
Из прямоугольного треугольника B1C1D1: $$B_{1}D_{1} = sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=sqrt{6+6}=sqrt{12}$$
Из прямогольного треугольника B1D1D: $$B_{1}D=sqrt{B_{1}D_{1}^{2}+DD_{1}^{2}}=sqrt{12+6}=sqrt{18}$$
Высоту в прямоугольном треугольнике можно вычислить как отношение произведения длин катетов и длины гипотенузы:
$$D_{1}H=frac{D_{1}D*D_{1}B_{1}}{B_{1}D}=frac{sqrt{12}sqrt{6}}{sqrt{18}}=sqrt{4}=2$$
Задание 6035
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВА1 и АС. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1)$$A_{1}Bleft | right |D_{1}CRightarrow$$ угол между BA_{1} и AC такой же, как между $$D_{1}C$$ и AC 2)Рассмотрим $$Delta ADC:AD_{1}=D_{1}C=AC$$(диагонали граней куба)$$Rightarrow$$ все углы по 90 градусов
Задание 6610
Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Ответ: 1,5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$S_{C_{1}M_{1}N_{1}}=frac{1}{2}*frac{1}{2}B_{1}C_{1}*frac{1}{2}C_{1}D_{1}=frac{1}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$$
$$frac{V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}}{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=frac{S_{M_{1}N_{1}C_{1}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=frac{1}{8}$$
$$V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}=frac{1}{8}V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=frac{1}{8}*12=1,5$$
Куб. Формулы, признаки и свойства куба
Определение.
Куб (гексаедр) — это трехмерная фигура, которая состоит из шести динаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом. Куб является правильным многогранником, у которого грани образованы из квадратов. Также кубом можно назвать прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Определение. Грань куба — это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата.
— куб имеет шесть граней;
— каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная шестой грани;
— грани имеют одинаковую площадь, которую можно найти, используя формулы для вычисления площади квадрата.
Определение. Ребро куба — это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.
— куб имеет двенадцать ребер;
— каждый конец ребра соединен с двумя соседними ребрами под прямым углом;
— ребра куба имеют одинаковую длину.
Определение. Вершина куба — это самая отдаленная от центра куба точка, которая лежит на пересечения трех граней куба.
— куб имеет восемь вершин;
— каждая вершина образована только тремя гранями и тремя ребрами.
Определение. Центр грани куба (O1) — это равноудалена точка от всех ребер грани куба.
Определение. Центр куба (O) — это равноудалена точка от всех граней куба.
Определение. Ось куба (i) — это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.
— куб имеет три оси;
— оси куба взаимно перпендикулярны.
Определение. Диагональ куба (d1) — отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.
— куб имеет четыре диагонали;
— диагонали куба пересекаются и делятся пополам в центре куба;
— диагонали куба имеют одинаковую длину.
Формула. Диагональ куба d1 через длину ребра a:
d1 = a√3
Определение. Диагональ грани куба (d2) -отрезок, который соединяет противоположные углы грани куба и проходит через центр грани куба.
Формула. Диагональ грани d2 через длину ребра a:
d2 = a√2
Определение. Объём куба — это совокупность всех точек в пространстве, ограниченные гранями куба.
Формула. Объём куба через длину ребра a:
V = a3
Формула. Объём куба через длину диагонали куба d1:
Определение. Площадь поверхности куба — это совокупность плоскостей всех граней.
Формула. Площадь поверхности куба через длину ребра a:
S = 6a2
Определение. Периметр куба — это совокупность длин всех ребер куба.
Формула. Периметр куба P через длину ребра a:
P = 12a
Определение. Сферой вписанной в куб называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.
— все шесть граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сферы;
— радиус вписанной сферы равен половине длины ребра a.
Формула. Радиус вписанной сферы r через длину ребра a:
Формула. Объема вписанной сферы V через длину ребра a:
Определение. Сферой описанной вокруг куба называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами куба.
— радиус описанной сферы равен половине длины диагонали (d1) куба.
Формула. Радиус описанной сферы R через длину ребра a:
Формула. Объема сферы описанной вокруг куба V через длину ребра a:
Свойства куба
1. В куб можно вписать тетраэдр так, чтобы все четыре вершины тетраэдра лежали на четырех вершинах куба, а все шесть ребер тетраэдра будут лежать на шести гранях куба и ребра будут равны диагонали грани куба.
2. В куб можно вписать правильный шестиугольник так, что все шесть вершин лежат в центрах граней куба.
Координаты вершин куба
1. Координаты вершин куба со стороной a и вершиной D в начале декартовой системы координат так, что ребра этой вершины лежат на осях координат:
A(a, 0, 0),
B(a, a, 0),
C(0, a, 0),
D(0, 0, 0),
E(a, 0, a),
F(a, a, a),
G(0, a, a),
H(0, 0, a).
2. Координаты вершин куба с длиной стороны 2a, у которого центр куба находится в начале декартовой системы координат так, что ребра куба параллельны осям координат:
A(a, —a, —a),
B(a, a, —a),
C(-a, a, —a),
D(-a, —a, —a),
E(a, —a, a),
F(a, a, a),
G(-a, a, a),
H(-a, —a, a).
Определение. Единичный куб — это куб, у которого длина ребер равна единице.
Пересечение куба плоскостью
1. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр куба и центры двух противоположных граней, то в сечении будет квадрат, длина стороны которого будет равна длине ребра куба. Эта плоскость делит куб два равных прямоугольных параллелепипеда.
2. Если пересечь куб с ребром a плоскостью, проходящей через центр куба и два параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник со сторонами a и a√2, площадью сечения a2√2. Эта плоскость делит куб две равные призмы.
3. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр и середины шести граней, то в сечении будет правильный шестиугольник со стороной a√2/2, площадью сечения a2(3√3)/4. У куба одна из диагоналей (FC) каждой грани, что пересекаются, перпендикулярна стороне шестиугольника.
4. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через три вершины куба, то в сечении будет правильный треугольник со стороной a√2, площадью сечения a2√3/2 и объемом большей части — 5a3/6 и меньшей — a3/6. Одна из диагоналей куба (EC) перпендикулярна к плоскости сечения и проходит через центр треугольника (M) и делится плоскостью в отношении MC:EМ = 2:1.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
-
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
-
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
-
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Диагональ куба — одна из осей симметрии.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
Прочие свойства:
-
у куба все грани равны, являются квадратами;
-
у куба все рёбра равны;
-
один центр и несколько осей симметрии.
Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.
Призма
1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные (n)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные (n) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.
2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.
3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}).
4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: (V_{призмы}=S_{осн}cdot h).
Параллелепипед
5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой (d^2=a^2+b^2+c^2).
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром (a): (d=asqrt{3}).
Пирамида
6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — (n)—угольник, а остальные (n) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.
7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.
8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: (S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}).
9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: (V=frac{1}{3} S_{осн}cdot h).
Сфера и шар
10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.
11. Площадь сферы находится по формуле: (S_{сф}=4πR^2).
12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом (R) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.
13. Объем шара находится по формуле (V_{шара}=frac{4}{3} πR^2).
Цилиндр
14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами (2r) и (l), где (r) — радиус основания цилиндра, (l) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается (l) или (L)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается (h) или (H)).
15. Площадь боковой поверхности цилиндра: (S_{бок}=2πrh); (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2).
16. Объем цилиндра (V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h).
Конус
17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания (2r) боковой стороной (l), где (r) — радиус основания конуса, (l) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается (l) или (L)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается (h) или (H)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.
18. Площадь боковой поверхности конуса: (S_{бок кон}=πrl), (S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2).
19. Объем конуса: (V_{кон}=frac{1}{3}S_{осн}h=frac{1}{3}πr^2 h).
