Куб формулы егэ профиль

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

$B_1D=AB√3$

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

$DC_1=DC√2$

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.

Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$-длина;

$b$-ширина;

$с$-высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$-периметр основания;

$S_{осн}$-площадь основания;

$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;

$V$-объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.

Пирамида

$SO$ — высота.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Факт 2.
(bullet) Если сфера вписана в куб (то есть касается всех его граней), то ее радиус равен (0,5a), где (a) – ребро куба.
(bullet) Если сфера описана около куба (то есть все вершины куба лежат на сфере), то ее радиус равен (0,5d), где (d) – диагональ куба.
(bullet) Центр сферы, вписанной в куб или описанной около куба, лежит в точке пересечения диагоналей куба.

Пусть (displaystyle a ) – длина ребра куба.

Найдем (displaystyle a { small ,}) используя формулу объема куба.

По условию (displaystyle V=64 { small ,}) поэтому получаем:

(displaystyle 64=a^3{ small ,} )

(displaystyle a^3=64{ small ,} )

(displaystyle a=4{small .} )

Найдем площадь поверхности куба по формуле:

Получаем:

(displaystyle S=6cdot 4^2{ small ,} )

(displaystyle S=96{small .} )

Ответ: (displaystyle 96{small .})

Каталог заданий.
Куб

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Формулы стереометрии. Общий обзор!

Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№2Формулы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Куб — правильный прямоугольник, все стороны которого являются квадратами.

Обозначения

• $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб
• $a$ — длина стороны куба
• $S_{text{бок.}}$ — площадь грани куба
• $V_{text{куба}}$ — объем куба

Объем куба

Объем куба считается по всем известной формуле $$ V_{text{куба}}=a^3 $$

Находим DB

В треугольнике $ADB$:

• $AD=AB=a$
• $angle DAB=90^{circ}$ — потому что все стороны куба являются квадратами

Так как треугольник $ADB$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB=sqrt{a^2+a^2}=sqrt{2}cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей граней куба равна $sqrt{2}cdot a$.

Находим $DB_1$

В треугольнике $DBB_1$:

• $BB_1=a$
• $DB=sqrt{2}cdot a$ — как мы только что выяснили
• $angle DBB_1=90^{circ}$ — потому что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ABC$

Так как треугольник $DBB_1$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB_1=sqrt{a^2+2a^2}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей куба равна $sqrt{3}cdot a$.

Находим $AO$

Как мы выяснили ранее, $AC=sqrt{2}cdot a$. Точка $O$ делит $AC$ пополам, поэтому $$ AO=frac{AC}{2}=frac{sqrt{2}}{2}cdot a $$

Находим $A_1O$

В треугольнике $AA_1O$:

• $AA_1=a$
• $AO=frac{sqrt{2}}{2}cdot a$ — как мы только что выяснили
• $angle A_1AO=90^{circ}$ — потому что прямая $AA_1$ параллельна плоскости $ABC$

Так как треугольник $AA_1O$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ A_1O=sqrt{a^2+frac{2}{4}cdot a^2}=frac{sqrt{6}}{2}cdot a $$

Находим $BF$

Пусть F является серединой стороны B_1C_1. Тогда $B_1F=frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BFB_1$ $$ BF=sqrt{frac{a^2}{4}+a^2}=frac{sqrt{5}cdot a}{2} $$

Категория: 

• ЕГЭ по математике