Логарифм произведения частного степени егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Поиск

Всего: 95 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения

Найдите если

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна.

Найдите значение выражения

Всего: 95 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Видеоурок 1: Логарифм произведения, степени и частного

Видеоурок 2: Логарифм в показателе степени

Лекция: Логарифм произведения, частного, степени

Основное логарифмическое тождество

Среди всех остальных формул существует основное тождество, которое приводит к получению остальных свойств:

Свойства логарифмов

1. Если имеется логарифм произведения двух чисел больших нуля, то данный логарифм можно записать в виде суммы:

Данное свойство вытекает из основного свойства степени — при умножении степеней их показатели складываются.

2. Логарифм частного двух чисел равен разности двух логарифмов:

Данное свойство было получено из свойства деления степеней — при делении степеней, показатели вычитаются.

3. Если некоторое число в степени находится под знаком логарифма, то показатель степени можно вынести вперед, тем самым, умножив логарифм на показатель:

Данное свойство вытекает из одного из основных свойств степенной функции — при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

4. Если число и основание логарифма совпадает, то значение такого логарифма равно единице:

5. Логарифм по любому основанию равен нулю, если число равно единице:

6. При любом логарифме можно перейти от одного основания к другому. Для этого необходимо просто воспользоваться формулами:

Источник

Базовые свойства логарифма
Логарифм произведения
Логарифм частного
Логарифм степени
Переход к новому основанию
Примеры

п.1. Базовые свойства логарифма

По определению логарифма выражения (log_ab=xLeftrightarrow a^x=b) равнозначны.
При этом (agt 0, ane 1, bgt 0, xinmathbb{R}.)
Отсюда сразу следует: (a^x=a^{log_ab}=b) – основное логарифмическое тождество.
Поскольку (a^1=aRightarrowlog_aa=1) — логарифмическая единица
Поскольку (a^0=1Rightarrowlog_a1=0) — логарифмический ноль

begin{gather*} a^{log_ab}=b, log_aa=1, log_a1=0\ agt 0, ane 1, bgt 0 end{gather*}

п.2. Логарифм произведения

Пусть нам даны два логарифма с одним основанием: (log_ab=x, log_ac=y)
В записи через степени это означает, что (a^x=b, a^y=c)
Тогда произведение степеней (a^xcdot a^y=a^{x+y}=bc)
В записи через логарифмы получаем формулу:
(log_abc=x+y=log_ab+log_ac)

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: begin{gather*} log_abc=log_ab+log_ac end{gather*}

Например:
(log_210=log_2(2cdot 5)=log_22+log_25=1+log_25)
(log_35+log_31,8=log_35cdot 1,8=log_39=2)

п.3. Логарифм частного

Для тех же логарифмов (log_ab=x, log_ac=y) и степеней (a^x=b, a^y=c) запишем частное (frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}=frac bc)
В записи через логарифмы получаем формулу:
(log_afrac bc=x-y=log_ab-log_ac)

Логарифм частного равен разности логарифмов: begin{gather*} log_afrac bc=log_ab-log_ac end{gather*}

Например:
(log_3frac89=log_38-log_39=log_38-2)
(log_4 80-log_4 5=log_4frac{80}{5}=log_4 16=2)

п.4. Логарифм степени

Пусть (log_ab=x) и (log_ab^p=z)
В записи через степени это означает, что (a^x=b, a^z=b^p=(a^x)^p=a^{xp})
Откуда (z=xp) или через логарифмы: $$ z=log_a b^p=xp=plog_abRightarrow log_a b^p=plog_ab $$ Теперь пусть (log_ab=x) и (log_{a^k}b=z)
Тогда (a^x=b, (a^k)^z=a^{kz}=b)
Получаем (x=kz, z=frac xk) или через логарифмы: $$ z=log_{a^k}b=frac xk=frac1klog_abRightarrowlog_{a^k}b=frac1klog_ab $$

Степень аргумента выносится за знак логарифма как множитель: $$ log_a b^p=plog_ab $$ Степень основания выносится за знак логарифма как делитель: $$ log_{a^k}b=frac1klog_ab $$ В общем случае: begin{gather*} log_{a^k}b^p=frac pklog_ab end{gather*}

Например:
(log_8 16=log_{2^3}2^4=frac43log_22=frac43)
(log_9sqrt{27}=log_{3^2}3^{frac32}=frac{3}{2cdot 2}log_33=frac34)

И очень важное следствие:

Одновременное возведение основания и аргумента в любую одинаковую степень не меняет значение логарифма: begin{gather*} log_{a^m}b^m=log_{a^k}b^k=…=log_ab, forall m,k inmathbb{R} end{gather*}

Например:
(log_2 2=log_4 9=log_8 27=log_{sqrt{2}}sqrt{3}=log_{frac12}frac13=log_{frac14}frac19=…)

п.5. Переход к новому основанию

Пусть (log_ab=x) и (log_ca=y.)
В записи через степени это означает, что (a^x=b, c^y=a.)
Тогда (a^x=(c^y)^x=c^{yx}=b.)
Через логарифмы: (log_cb=yx=log_cacdotlog_abRightarrow log_ab=frac{log_cb}{log_ca})

Логарифм (log_ab) можно представить в виде частного логарифмов с новым основанием: begin{gather*} log_ab=frac{log_cb}{log_ca}, cgt 0, cne 1 end{gather*}

Например:
(log_3 5=frac{log_2 5}{log_2 3}=frac{log_7 5}{log_7 3}=frac{log_{1/2}5}{log_{1/2}3}=frac{ln5}{ln3}=frac{lg 5}{lg3}=…)

Важное следствие получаем при (c=b):
(log_ab=frac{log_b b}{log_b a}=frac{1}{log_b a})

В логарифме можно менять местами основание и аргумент переходом к дроби: begin{gather*} log_a b=frac{1}{log_b a} end{gather*}

Например:
$$ log_5 16cdotlog_2 25=frac{log_5 16}{log_{25}2}=frac{log_5 2^4}{log_{5^2}2} =frac{4cdot log_5 2}{frac12cdotlog_5 2}=4cdot 2=8 $$

п.6. Примеры

Пример 1. Вычислите:
a) ( frac{log_5 27-2log_5 3}{log_5 45+log_5 0,2} ) $$ frac{log_5 27-2log_5 3}{log_5 45+log_5 0,2} = frac{log_5 27-log_5 3^2}{log_5(45cdot 0,2)} = frac{log_5left(frac{27}{9}right)}{log_5 9} = frac{log_5 3}{log_5 3^2} = frac{log_5 3}{2cdotlog_5 3}=frac12 $$

б) ( frac{3lg4+lg 0,5}{lg7-lg14} ) $$ frac{3lg4+lg 0,5}{lg7-lg14} = frac{lg(4^3cdot 0,5)}{lgleft(frac{7}{14}right)}=frac{lg32}{lgfrac12} = frac{lg 2^5}{lg 2^{-1}} = frac{5cdot lg 2}{-1cdotlg2}= -5 $$

в) ( -log_2log_2sqrt{sqrt[{4}]{2}} ) $$ -log_2log_2sqrt{sqrt[{4}]{2}} = -log_2left(log_2 2^{frac14cdot frac12}right) = -log_2frac18=-log_2 2^{-3}=-(-3)=3 $$

г) ( log_8log_4log_2 16 ) $$ log_8log_4underbrace{log_2 16}_{=4}=log_8underbrace{log_4 4}_{=1} = log_8 1=0 $$

д) ( 36^{log_6 5}+10^{1-lg2}-3^{log_9 36} ) begin{gather*} 36^{log_6 5}+10^{1-lg2}-3^{log_9 36} = 36^{log_{6^2}5^2}+frac{10^1}{10^{lg2}} — 3^{log_{sqrt{9}}sqrt{36}} = \ =36^{log_{36}25}+frac{10}{2}-3^{log_3 6}=25+5-6=24 end{gather*}

e) ( left(81^{frac14-frac12log_{27}8}+25^{log_5 2}right)cdot 36^{log_6 2} ) begin{gather*} left(81^{frac14-frac12log_{27}8}+25^{log_5 2}right)cdot 36^{log_6 2} = left(3^{4left(frac14-frac12log_{3^3}2^3right)}+25^{log_{5^2}2^2}right) cdot 36^{log_{6^2}2^2} =\ = (3^{1-2log_3 2}+25^{log_{25}4}) cdot 36^{log_{36}4} = left(frac{3}{3^{log_3 2^2}}+4right)cdot 4=left(frac34 + 4right)cdot 4=19 end{gather*}

Пример 2. Найдите
a) (log_6 9,) если (log_6 2=a) $$ log_6 9=log_6frac{36}{4}=log_6 36-log_6 4=2-log_6 2^2 = 2-2log_6 2=2-2a $$ Ответ: (2-2a)

б) (log_{275} 60,) если (log_{12}5=a, log_{12}3=b) $$ log_{275} 60=frac{log_{12}60}{log_{12}275}= frac{log_{12}(12cdot 5)}{log_{12}(5^3cdot 3)} = frac{1+log_{12}5}{3log_{12}5+log_{12}3}=frac{1+a}{3a+b} $$ Ответ: (frac{1+a}{3a+b})

в) (log_{sqrt{3}}sqrt[{6}]{a},) если (log_{a}27=b) $$ log_{sqrt{3}}sqrt[{6}]{a}= frac{1/6}{1/6}log_3a=frac13log_3a=frac{1}{3log_a3} = frac{1}{log_a 3^3}=frac{1}{log_a 27}=frac 1b $$ Ответ: (frac 1b)

г) (lg56,) если (lg2=a, log_27=b) begin{gather*} lg56=lg(7cdot 8)=lg7+lg8= frac{log_2 7}{log_2 10}+lg2^3= bcdot lg2+3cdotlg2=\ =(b+3)cdot lg 2=a(b+3) end{gather*} Ответ: (a(b+3))

д) (log_{30}8,) если (lg5=a, lg3=b) begin{gather*} log_{30}8=frac{lg8}{lg30} = frac{lg2^3}{lg(10cdot 3)} = frac{3lg2}{lg10+lg3}= frac{3lgfrac{10}{5}}{1+b}= frac{3(lg10-lg5)}{1+b}=frac{3(1-a)}{a+b} end{gather*} Ответ: (frac{3(1-a)}{a+b})

e) (log_{6}16,) если (log_{12}27=a) begin{gather*} a=log_{12}27=log_{12}3^3=3log_{12}3=frac{3}{log_3 12} = frac{3}{log_3(3cdot 2^2)} = frac{3}{1+2log_3 2}\ 1+2log_3 2=frac3aRightarrow log_32=frac{frac3a-1}{2} = frac{3-a}{2a}, log_23=frac{2a}{3-a}\ log_6 16=log_6 2^4=4log_6 2=frac{4}{log_2 6}=frac{4}{log_2(2cdot 3)} = frac{4}{1+log_2 3}=\ =frac{4}{1+frac{2a}{3-a}} = frac{4(3-a)}{3-a+2a}=frac{4(3-a)}{3+a} end{gather*} Ответ: (frac{4(3-a)}{3+a})

Пример 3. Упростите выражение:
a) ((log_ab+log_ba+2)(log_ab-log_{ab}b)log_ba-1)
Заметим, что (log_ba=frac{1}{log_ab})
(log_{ab}b=frac{1}{log_bab}=frac{1}{log_ba+1}=frac{1}{frac{1}{log_ab}+1}=frac{log_ab}{1+log_ab})
Замена переменных: (t=log_ab) begin{gather*} left(log_ab+frac{1}{log_ab}+2right)left(log_ab-frac{log_ab}{1+log_ab}right)cdotfrac{1}{log_ab}-1 =\ =left(t+frac1t+2right)left(t-frac{t}{1+t}right)cdotfrac1t-1= frac{t^2+2t+1}{t}cdotfrac{t^2+t-t}{t+1}cdotfrac{1}{t}-1=\ =frac{(t+1)^2}{t}cdotfrac{t^2}{t+1}cdotfrac1t-1=t+1-1=t=log_ab end{gather*} Ответ: (log_ab)

б) (0,2left(2a^{log_2b}+3b^{log_{sqrt{2}}sqrt{a}}right))
(log_{sqrt{2}}sqrt{a}=log_2a). Получаем: (0,2left(2a^{log_2b}+3b^{log_2a}right))
Пусть (t=log_2b)
Тогда (a^{log_2b}=a^t, b=2^t)
(b^{log_2a}=(2^t)^{log_2a}=2^{log_2a^t}=a^t)
Подставляем: (0,2(2a^t+3a^t)=0,2cdot 5a^t=a^t=a^{log_2b})
Ответ: (a^{log_2b})

в) (left(x^{1+frac{1}{2log_4 x}}+8^{frac{1}{3log_{x^2}2}}+1right)^{1/2})
begin{gather*} left(x^{1+frac{1}{2log_4 x}}+8^{frac{1}{3log_{x^2}2}}+1right)^{1/2} = left(xcdot x^{frac{1}{log_4 x^2}}+8^{frac{1}{log_{x^2}2^3}}+1right)^{1/2}=\ =left(xcdot x^{frac{1}{log_4 x^2}}+8^{frac{1}{log_{x^2}8}}+1right)^{1/2}=left(xcdot x^{frac{1}{log_{2^2}x^2}}+8^{log_3 x^2}+1right)^{1/2}=\ =left(xcdot x^{frac{1}{log_2x}}+x^2+1right)^{1/2}=(xcdot x^{log_x 2} + x^2+1)^{1/2}=(2x+x^2+1)^{1/2}=\ =((x+1)^2)^{frac12}=x+1 end{gather*} В данном случае корень из квадрата будет не модуль, а само значение, т.к. по ОДЗ (xgt 0, xne 1.)

г*) ( frac{log_ab+log_aleft(b^{frac12log_b a^2}right)}{log_ab-log_{ab}b}cdot frac{log_{ab}bcdotlog_ab}{b^{2log_blog_ab-1}} )
Замена: (t=log_ab)
Тогда begin{gather*} log_{ab}b=frac{1}{log_b ab}=frac{1}{log_ba + 1}=frac{1}{frac{1}{log_ab}+1} = frac{log_ab}{1+log_ab}=frac{t}{t+1}\ log_aleft(b^{frac12log_b a^2}right)=frac12log_ba^2cdotlog_ab= frac12cdot 2cdot log_bacdotlog_ab=1\ b^{2log_blog_ab}=b^{log_b(log_ab)^2}=(log_ab)^2=t^2\ log_ab-log_{ab}b=t-frac{t}{t+1}=frac{t^2+t-t}{t+1}=frac{t^2}{t+1} end{gather*} Подставляем: begin{gather*} frac{t+1}{frac{t^2}{t+1}}cdot frac{frac{t}{t+1}cdot t}{t^2-1} = frac{t^2(t+1)}{t^2(t^2-1)} = frac{t+1}{(t+1)(t-1)} = frac{1}{t-1} = frac{1}{log_ab -1} end{gather*} Ответ: (frac{1}{log_ab -1})

Источник

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log _{a}b}=b$ ,

$log _{a}a^{c}=c$ .

Основные формулы для логарифмов:

$log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$log _{a}left ( frac{b}{c}right )=log _{a}b-log _{a}c$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)
$log _{a}b^{m}=mlog_{a}b$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}$

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ .

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: $log _{5}left ( 15+x right )=log _{5}3$

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: 15+x=3

x=-12.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение $log _{a}b$ определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: $log _{2}left ( 4-x right )=7$

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде $log _{2}2^{7}$ . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: $log _{5}left ( 5-x right )=2cdot log _{5}3$

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

$log _{5}left ( 5-x right )=log _{5}left ( 3^{2} right )$ ;

$log _{5}left ( 5-x right )=log _{5}9$ ;

5-x=9 ;

x=-4

4. Решите уравнение: $log _{5}left ( 4+x right )=2$

Область допустимых значений: 4+x> 0. Значит, x> -4.

Представим 2 в правой части уравнения как $log _{5}25$ — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

$log _{5}left ( 4+x right )=log _{5}25$

Функция $y=log _{5}x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом x> -4 .

4+x=25

x=21 .

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: $log _{8}left ( x^{2}+x right )=log _{8}left ( x^{2}-4 right )$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

$log _{8}left ( x^{2}+x right )=log _{8}left ( x^{2}-4 right )Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2}+x> 0\ x^{2}-4> 0\ x^{2}+x=x^{2}-4 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2}+x> 0\ x^{2}-4> 0\ x=-4 end{matrix}right.Leftrightarrow x=-4$
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: $2^{log _{4}left ( 4x+5 right )}=9$ .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

$log _{4}b=frac{log _{2}b}{log _{2}4}=frac{log _{2}b}{2}$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

$2^{log _{4}left ( 4x+5 right )}=9Leftrightarrow left{begin{matrix} 2^frac{{log _{2}left ( 4x+5 right )}}{2}=9\ 4x+5> 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} left (2^{log _{2}left ( 4x+5 right )} right )^{frac{1}{2}}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} left ( 4x+5 right )^{frac{1}{2}}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} sqrt{4x+5}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} 4x+5=81\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x=19\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.$

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: $log _{x}x^{2}=log _{x}left ( 12-x right )$ .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
$left{begin{matrix} 12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 end{matrix}right.$

Теперь можно «убрать» логарифмы.

$x^{2}=12-x$

$x^{2}+x-12=0$

$x_{1}=3;;x_{2}=-4$ — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие x> 0 .

Ответ: x=3

8. Решите уравнение $6log _{8}^{2}x-5log _{8}x+1=0$ .

ОДЗ уравнения: x> 0

Сделаем замену $log _{8}x=t$ . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

$6t^{2}-5t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} t=frac{1}{2}\ t=frac{1}{3} end{array} right.$

Вернемся к переменной х:

$left[ begin{array}{ccc} log _{8}x=frac{1}{2}\ log _{8}x=frac{1}{3} end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=8^{frac{1}{2}}\ x=8^{frac{1}{3}} end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=sqrt{8}\ x=2 end{array} right.$

9.Решите уравнение:
$1+log _{3}left ( x^{4}+25 right )=log _{sqrt{3}}sqrt{30x^{2}+12}$

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине $x^{4}$ прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

$log _{3}3left ( x^{4}+25 right )=frac{1}{2}cdot 2cdot log _{3}left (30x^{2}+12 right )$

$left (30x^{2}+12 right )$

«Отбрасываем» логарифмы.

$3left ( x^{4}+25 right) = 30x^{2}+12$

$3 x^{4} - 30x^{2}+63=0$

$x^{4} - 10x^{2}+21=0$

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения $x^{2}$ и $x^{4}$ . Сделаем замену $x^{2}=t,;tgeq 0$

$t^{2}-10t+21=0$

$left[ begin{array}{ccc} t_{1}=3\ t_{2}=7 end{array} right.$

Вернемся к переменной х. Получим:

$x_{1}=sqrt{3},;x_{2}=-sqrt{3},;x_{3}=sqrt{7},;x_{4}=-sqrt{7}$ . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Взрослым: Skillbox, Хекслет, Eduson, XYZ, GB, Яндекс, Otus, SkillFactory.
8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.

Логарифм произведения, частного, степени

Пусть уравнение m^x = n содержит числа m и n, а x – искомая величина. Если m является положительным числом и отличным от единицы, то функция y = m^x является монотонной с возможными значениями от нуля до бесконечности.

Поскольку m и n принимают положительные значения, а также m не равно 1, то исходное уравнение имеет всего один корень, который и называется логарифмом числа n по основанию m, т. е. это такое число p, при котором выполняется равенство m^p = n. Обозначение имеет вид p = log_mn. Если подставить вместо p его обозначение, то получим основное логарифмическое тождество: . На основании определения логарифма можно сделать вывод, что для любого допустимого основания m log_m1 = 0 и log_mm = 1. Например, log₂4 = 2, log₉1/3 = (–1/2).

Логарифм произведения и частного

Пусть выполняется всё то же условие: m > 0, n > 0 и m ≠ 1. Это значит, что существуют числа log_mn и log_mp. Тогда существуют и числа log_mnp, log_m(n/c). Исходя из этого будут справедливы равенства: log_mnp = log_mn + log_mp и log_m(n/p) = log_mn – log_mp.

Чтобы доказать существование этих равенств отметим, что есть числа log_mnp и log_m(n/p) на основании определения логарифма, т. е. выполняется условие m > 0, m ≠ 1, bc > 0 и b/c > 0. Применим логарифмическое тождество и свойство строгой монотонности показательной функции, когда из равенства m^xи m^yследует равенство x и y.

Получим равенство: .

По этому же принципу получим и равенство: . Таким образом, можно сделать вывод, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм частного – разности логарифмов.

В качестве примеров решим логарифмы произведения и частного. Даны логарифмы log₂10 и log₄80 – log₄5. Решение этих логарифмов имеет вид:

log₂10 = log₂(2 ∙ 5) = log₂2 + log₂5 = 1 + log₂5,

log₄80 – log₄5 = log₄(80/5) = log₄16 = 2.

Логарифм степени

Если вновь рассмотреть условие, когда m, n больше нуля и m отлично от единицы, то это значит, что существует число log_mn. Следовательно, будет существовать и log_m(n^p) для любого действительного числа. В этом случае будет справедливым равенство: log_m(n^p) = plog_mn.

Для доказательства этого свойства логарифма рассмотрим утверждение: если число n > 0, то оно будет положительным в любой степени. Это значит, что действительно существует log_m(n^p). Из этого следует, что равенство log_m(n^p) = plog_mn можно выразить из цепочки равенств: .

Кроме этого, если выполняется условие согласно определению логарифма и существует число log_mn, то тогда для любого числа, не равного нулю, существует число . В этом случае справедливым будет равенство: .

Действительно, поскольку положительное число m будет положительным при любой степени, а по условию оно отлично от единицы, так же как и p отлично от нуля, то и m^p также будет отлично от единицы. Из этого следует, что существует. Равенство выражается следующим образом: .

Из соотношения двух равенств log_m(n^p) = plog_mn и справедливо ещё одно равенство: . В этом равенстве p является любым действительным числом, которое не равно нулю. Это значит, что основание логарифма можно возвести в одну и ту же степень.

В качестве примера найдём решение логарифма: .

Взрослым: Skillbox, Хекслет, Eduson, XYZ, GB, Яндекс, Otus, SkillFactory.
8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.

Источник

31 урок
38 видео
Разбор > 50 реальных экзаменационных заданий ЕГЭ
88 заданий для отработки навыков
Общая продолжительность видеоуроков — 5 часов

В настоящее время вышло немало курсов для подготовки к ЕГЭ по математике. Но большинство из них рассчитано, скорее всего, на читателей с достаточно высоким уровнем математической подготовки.

В связи с этим возникла идея создать курс, который был бы максимально ориентирован на не очень подготовленного и изощренного в математике слушателя.

Уникальность курса в следующем:
1. Теоретический материал и решение заданий в нем излагаются очень простым языком и настолько подробно, как это обычно делается на репетиторских занятиях;
2. Упражнения для самостоятельного решения уже подобраны таким образом и выстроены в такой последовательности, чтобы при их выполнении относительно быстро приобретались необходимые навыки;
3. В курсе дается только та информация, которая действительно необходима школьникам для успешной подготовки к ЕГЭ. Я считаю нецелесообразным отвлекать внимание учащихся на искусственные, плохо воспринимаемые ими методы.
4. Изучив курс, вы научитесь решать задания с логарифмами № 4, № 7, № 11 и № 14, а это 8 первичных баллов из 31.
5. Помимо показательных и логарифмических уравнений и неравенств, вы дополнительно изучите схему Горнера и модули.
6. В конце курса показаны разборы 22 реальных экзаменационных заданий ЕГЭ по математике.

Как работать с курсом:

Изучайте материал в том порядке, в котором он изложен в курсе. Прочитайте теоретический материал к теме, ознакомьтесь с решением демонстрационных примеров, а затем выполняйте упражнения для самостоятельной работы. Сверяйтесь с ответами по каждому заданию.
Не оставляйте без внимания ошибочные решения. Обязательно выясните причину ошибки и постарайтесь ее больше не повторять.
Не пытайтесь выполнить все задания. На это может уйти много времени. Выполняйте столько заданий по теме, чтобы приобрести уверенный навык. Если задание представляется очень простым, то, возможно, на него тоже не нужно тратить время.
При тарифе с обратной связью прикрепляйте сканы с домашним заданием в конце каждого урока, все возникшие вопросы задавайте там же.

Программа курса :
1.Введение.
2.Логарифмы и их свойства.
3.Свойства логарифмов. Тест.
4.Логарифм произведения, частного, степени.
5.Логарифм произведения, частного, степени. Тест.
6.Тест. Задача из ЕГЭ
7.Решение типовых логарифмических неравенств.
8.Логарифмические неравенства. Тест.
9.Сравнение иррациональных чисел, в записи которых содержится квадратный корень.
10.Десятичный и натуральный логарифмы.
11.Десятичный и натуральный логарифмы. Тест.
12.Решение типовых логарифмических уравнений.
13.Логарифмические уравнения. Тест.
14.Показательная функция и ее свойства.
15.Решение типовых показательных неравенств.
16.Решение типовых показательных уравнений
17.Общая схема решения любых показательных и логарифмических неравенств.
18.Допустимые и недопустимые переходы при решении неравенств.
19.Равносильные и неравносильные неравенства.
20.Определение равносильности через следствие.
21.Равносильность двух высказываний.
22.Равносильные и неравносильные переходы в неравенствах.
23.Решение уравнений со знаком модуля.
24.Решение неравенств со знаком модуля.
25.Свойства модуля и их применение.
26.Решение неравенств с модулем методом интервалов.
27.Логарифмические неравенства, содержащие модуль.
28.Разные способы преобразования логарифмического неравенства в рациональное.
29.Использование специальных приемов при преобразовании неравенств..
30.Перебор случаев.
31.Расщепление неравенств.
32.Расщепление уравнений.
33.Схема Горнера.
34.Ещё кое-что про схему Горнера.
35.Логарифмический метод интервалов.
36.Неравенства показательно-логарифмические и с повторным логарифмом.
37.Метод замены переменной.
38.Сравнение иррациональных чисел, в записи которых содержится логарифм.
39.Решение реальных экзаменационных заданий ЕГЭ.

Источник

Логарифмические уравнения

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

$log_<2>8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$

Особенно можно выделить три формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям: $<table x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

При этом 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\ x^<2>-4> 0\ x^<2>+x=x^<2>-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ alt=’log _<8>left ( x^<2>+x right )=log _<8>left ( x^<2>-4 right )Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x^<2>+x=x^<2>-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _<2>left ( 4x+5 right )> right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginsqrt<4x+5>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac<1> <4>endright.’ alt=’2^<log _<4>left ( 4x+5 right )>=9Leftrightarrow left <begin2^frac<<log _<2>left ( 4x+5 right )>><2>=9\ 4x+5> 0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _<2>left ( 4x+5 right )> right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginsqrt<4x+5>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac<1> <4>endright.’ />

ОДЗ:
0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ alt=’left <begin12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Поверните устройство

Классы
ЕГЭ (профиль)
01. Простейшие уравнения
Теория: 07. Элементарные логарифмические уравнения

Найдите корень уравнения:

Решим уравнение (displaystyle log_7(13-3x)=2)

Если (displaystyle a>0,, b>0 ) и (displaystyle acancel<=>1), то по определению логарифма

(displaystyle log_a b=c) равносильно (displaystyle b=a^c )

(displaystyle log_7(13-3x)=2) равносильно (displaystyle 13-3x=7^2 )

Решим линейное уравнение (displaystyle 13-3x=7^2 )

Так как (displaystyle 13-3x=7^2 ) то ограничение (displaystyle 13-3x>0 ) будет верным для решения линейного уравнения.

источники:

http://ege-study.ru/logarifmicheskie-uravneniya/

http://m.01math.com/maths/theory?subcategory_id=1457

Источник

п.1. Базовые свойства логарифма

п.2. Логарифм произведения

п.3. Логарифм частного

п.4. Логарифм степени

п.5. Переход к новому основанию

п.6. Примеры

Логарифм произведения, частного, степени

Логарифм произведения и частного

Логарифм степени

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Поверните устройство

Новое и интересное на сайте: