Логарифмические неравенства 2 часть егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств

Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств

Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)

Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных

Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных

Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции

Источник

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства). В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3)² = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения $x^{2}=-1$ и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и $2x-1=(x-2)^{2}$ не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

Например, неравенства и $frac{x-1}{x-3}>0$ равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства $log_{2}x>log_{2}5$ и x> 5 также равносильны при x> 0 . Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства $log_{2}x-log_{2}5>0$ и x-5>0 имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение $log_{2}x-log_{2}5$ будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение $log_{2}x-log_{2}5$ , то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида $log_{a}f-log_{a}g$ , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель	На что заменить
log_h f − log_h g	(h − 1) (f − g)
log_h f − 1	(h − 1) (f − h)
log_h f	(h − 1) (f − 1)
h^f − h^g	(h − 1) (f − g)
h^f − 1	(h − 1) · f
f^h − g^h	(f − g) · h
f, g — функции от x. h — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), – обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1. $log_{2-x}(x+2)cdot log_{x+3}(3-x)leq 0$ .

ОДЗ неравенства: .

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель $log_{2-x}(x+2)$ заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида $log_{x+3}(3-x)$ заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0.

Решим его методом интервалов:

Ответ: .

2. $frac{10^{x}}{2cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}cdot log_{3}(x+2)}leq frac{(15cdot 3^{x})^{x}}{9cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}cdot log_{3}(x+2)}.$

Начнем с ОДЗ.

$left{begin{matrix} xneq 0;\ x>-2;\ xneq -1. end{matrix}right.$

Заметим, что выражение $log^{2}_{2}(x+1)^{2}$ положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

$(15cdot 3^{x})^{x}=5^{x}cdot 3^{x}cdot 3^{x^{2}}=5^{x}cdot 3^{x^{2}+x}$
Поделим обе части неравенства на 5^x > 0:

$frac{2^{x}}{2log_{3}(x+2)}leq frac{3^{x^{2}+x}}{9log_{3}(x+2)}: : Leftrightarrow \ , , \ : : \ Leftrightarrow frac{2^{x-1}-3^{x^{2}+x-2}}{log_{3}(x+2)}leq 0: : Leftrightarrow \ , , \ : : \ Leftrightarrow frac{2^{x-1}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}leq 0.$ Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2^{x − 1} в виде степени с основанием 3.

$2^{x-1}=3^{log_{3}2^{x-1}}=3^{(x-1)log_{3}2}.$ Неравенство примет вид:

$frac{3^{(x-1)log_{3}2}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}leq 0.$ Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h^f −h^g можно заменить на (h − 1) (f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

$frac{(x-1)(x-(log_{3}2-2))}{x+1}geq 0.$ Оценим $log_{3}2-2$ . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

$log_{3}1<log_{3}2<log_{3}3;$ $0<log_{3}2<1$ $-2<log_{3}2-2<-1$ Ответ:

3. $frac{10^{log_{2}x}}{2x^{2}(x+1)}leq frac{(15cdot 3^{log_{2}x})^{log_{2}x}}{9x^{2}(x+1)}$ .

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

$left{begin{matrix} x>0;\ x+1neq 0. end{matrix}right.$ Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x² тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще:

$frac{10^{log_{2}x}}{2}leq frac{15^{log_{2}x}cdot 3^{log^{2}_{2}x}}{9}$ Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂x = t:

$frac{2^{t}cdot 5^{t}}{2}leq frac{3^{t}cdot 5^{t}cdot 3^{t^{2}}}{9}$ Теперь обе части неравенства можно сократить на 5^t > 0:

$2^{t-1}leq 3^{t^{2}+t-2};$
$2^{t-1}-3^{(t+2)(t-1)}leq 0.$

Поскольку $2=3^{log_{3}2}$ , выражение 2^t−1 можно записать как 3^{(t−1)·log₃2}:

$3^{(t-1)cdot log_{3}2}leq 3^{(t+2)(t-1)};$ $(t-1)cdot log_{3}2leq (t-1)(t+2);$ $(t-1)cdot log_{3}2-(t-1)(t+2)leq 0.$ $(t-1)(log_{3}2-t-2)leq 0;$ $(t-1)(t-(log_{3}2-2))leq 0.$ Заметим, что log₃2 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.

Вернемся к переменной x:

$: \ log_{2}xgeq 1\ xgeq 2;$ или $: \ log_{2}xleq log_{3}2-2;\ 0<xleq 2^{log_{3}2-2}.$

Ответ: $x in (0;2^{log_3 2-2}]cup[2;+infty).$

4. Еще одна задача из той же серии:

$frac{14^{log_{2}(4x)}}{7cdot log^{2}_{2}(32x)cdot log_{2}(0,25x)}geq frac{(4cdot 2^{log_{2}(4x)})^{log_{2}(4x)}}{4cdot log^{2}_{2}(32x)cdot log_{2}(0,25x)}.$ Запишем ОДЗ:

$left{begin{matrix} x>0;\ 32xneq 1;\ 0,25xneq 1. end{matrix}right.$

$xin left ( 0;frac{1}{32} right )cup left ( frac{1}{32};4 right )cup left (4;+infty right ) .$

Умножим обе части неравенства на $log^{2}_{2}32x>0$ . Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части:

$frac{7^{log_{2}(4x)}cdot 2^{log_{2}(4x)}}{7cdot log_{2}(0,25x)}geq frac{4^{log_{2}(4x)}cdot 2^{(log_{2}(4x))^{2}}}{4cdot log_{2}(0,25x)}$
Поделим обе части неравенства на $2^{log_{2}(4x)}>0.$

$frac{7^{log_{2}(4x)}}{7cdot log_{2}(0,25x)}geq frac{2^{(log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)}}{4cdot log_{2}(0,25x)};$

$frac{7^{log_{2}(4x)-1}-2^{left ((log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)-2 right )}}{ log_{2}(0,25x)} geq 0$
Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4x) = t. Тогда:

$log_{2}x=t-2;$

$log_{2}(0,25x)=log_{2}left ( frac{1}{4} right )+log_{2}x=log_{2}x-2=t-4.$ Неравенство примет вид:

$frac{7^{t-1}-2^{t^{2}+t-2}}{t-4}geq 0.$
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2: $7=2^{log_{2}7}.$

$frac{2^{(t-1)cdot log_{2}7}-2^{(t-1)(t+2)}}{t-4}geq 0.$ Применим метод рационализации:

$frac{(t-1)cdot log_{2}7-(t-1)(t+2)}{t-4}geq 0;$

$frac{(t-1) (log_{2}7-t-2)}{t-4}geq 0;$

Оценим $log_{2}7-2:$

4 < 7 < 8;

$log_{2}4<log_{2}7<log_{2}8;$

$2<log_{2}7<3$

$0<log_{2}7-2<1$

$tleq log_{2}7-2\ , \ log_{2}(4x)leq log_{2}7-2;\ , \ log_{2}(4x)leq log_{2}frac{7}{4};\ , \ 0<xleq frac{7}{16};$ или $1leq t<4;\ , \ 1leq log_{2}(4x)<4;\ , \ log_{2}2leq log_{2}(4x)<log_{2}16;\ , \ frac{1}{2}leq x<4;$

Ответ: $xin left ( 0;frac{1}{32} right )cup left ( frac{1}{32};frac{7}{16} right ]cup left [ frac{1}{2};4 right ).$

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

$frac{log_{2^{left ( left ( x-1 right )^{2}-1 right )}}left ( log_{(2x^{2}+10x+15)}(x^{2}+2x) right )}{log_{2^{left ( left ( x-1 right )^{2}-1 right )}}left ( x^{2}+10x+26 right )}geq 0.$ Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю

$left{begin{matrix} (x-1)^{2}-1neq 0;\ x(x+2)>0;\ xneq -5. end{matrix}right.$

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию:

$frac{log_{c}b}{log_{c}a}=log_{a}b;$

$log_{x^{2}+10x+26}left ( log_{2x^{2}+10x+15} left ( x^{2}+2x right )right )geq 0.$

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.

Напомним, что множитель log_h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log_h f — 1) — на (h — 1)( f — h):

$(x^{2}+10x+25)(log_{2x^{2}+10x+15}(x^{2}+2x)-1)geq 0;$

Поскольку $(x+5)^{2}>0$ при x ∈ ОДЗ, а $2x^{2}+10x+14>0$ при всех x, получим:

С учетом ОДЗ:

Ответ: x ∈ (-5; -3].

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство: $displaystyle frac{{rm 2}cdot {{rm 3}}^{{rm 2x+1}}{rm -}{{rm 6}}^{{rm x}}{rm -}{{rm 4}}^{{rm x+1}}{rm -}{rm 9}}{{{rm 9}}^{{rm x}}{rm -}{rm 3}}le {rm 3.}$

$displaystyle frac{{rm 2}cdot {{rm 3}cdot {rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{{rm 6}}^{{rm x}}{rm -}{rm 4}cdot {{rm 2}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 3}cdot {{rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 9+9}}{{{rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 3}}le {rm 0}.$

$displaystyle frac{{{rm 3}cdot {rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{{rm 3}}^{{rm x}}cdot {{rm 2}}^{{rm x}}{rm -}{rm 4}cdot {{rm 2}}^{{rm 2x}}}{{{rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 3}}le {rm 0}.$

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на ${{rm 2}}^{{rm 2}{rm x}}{rm textgreater 0.}$

Получим:

$displaystyle newline frac{3 cdot left (frac{3}{2} right )^{2x}-left (frac{3}{2} right )^{x}-4}{3^{2x}-3}leq 0;$

$displaystyle newline , newline 3 cdot left (frac{3}{2} right )^{2x}-left (frac{3}{2} right )^{x}-4=0;$

$displaystyle newline , newline frac{3left ( left ( frac{3}{2} right )^x+1 right )left ( left ( frac{3}{2} right )^x-frac{4}{3} right )}{3^{2x}-3}leq 0.$

Разложим числитель на множители.

Сделаем замену:

$displaystyle newline left ( frac{3}{2} right )^x=t; , ,3t^2-t-4=0;$

$displaystyle newline , newline t=frac{1pm 7}{6}; , t_1=-1; , t_2=frac{4}{3};$

$displaystyle newline , newline 3t^2-t-4=3left ( t+1 right )left ( t-frac{4}{3} right ).$

Вернемся к неравенству:

$displaystyle frac{3left ( left ( frac{3}{2} right )^x+1 right )left ( left ( frac{3}{2} right )^x-frac{4}{3} right )}{3^{2x}-3}leq 0.$

Поскольку $displaystyle {left(frac{3}{2}right)}^x textgreater 0$ , поделим обе части неравенства на $displaystyle {left(frac{3}{2}right)}^x+1 textgreater 0.$

$displaystyle frac{{left(frac{3}{2}right)}^x-frac{4}{3}}{3^{2x}-3}le 0.$

Применяя метод рационализации, множитель вида h^f-h^g заменяем на

Получим: $displaystyle newline frac{left ( frac{3}{2} -1right )left ( x-log_{frac{3}{2}}frac{4}{3} right )}{left ( 3-1 right )left ( 2x-1 right )} leq 0;$

$displaystyle newline , newline frac{x-log_{frac{3}{2}}frac{4}{3}}{x-frac{1}{2}}leq 0.$

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить $displaystyle frac{1}{2}$ и ${{log}_{frac{3}{2}} frac{4}{3} }$ ?

Что больше? Давайте представим $displaystyle frac{1}{2}$ как логарифм с основанием $displaystyle frac{3}{2}:$

$displaystyle frac{1}{2}={{log}_{frac{3}{2}} {left(frac{3}{2}right)}^{frac{1}{2}} }={{log}_{frac{3}{2}} sqrt{frac{3}{2}} };$

$displaystyle frac{4}{3} vee sqrt{frac{3}{2}};$

$displaystyle frac{16}{9} vee frac{3}{2};$

Значит, $displaystyle {{log}_{frac{3}{2}} frac{4}{3} } textgreater frac{1}{2}.$

Ответ: $displaystyle xin left(frac{1}{2}; {{log}_{frac{3}{2}} frac{4}{3} }right].$

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Решите неравенство: $displaystyle {{log}_{3-x} frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} }ge -2.$

$displaystyle {{log}_{3-x} frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} }ge -2 textless = textgreater left{ begin{array}{c}3-x textgreater 0 \3-xne 1 \displaystyle frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} textgreater 0 \displaystyle {{log}_{3-x} frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} }+2ge 0 end{array}right. .$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left(a-bright)}^2={left(b-aright)}^2 .$

Используем также условия

$left{ begin{array}{c}x textless 3 \xne 2 \x+4 textgreater 0 \{log}_{3-x}left(x+4right)-{log}_{3-x}{left(3-xright)}^2+2ge 0 end{array}right. textless = textgreater left{ begin{array}{c}x textless 3 \xne 2 \x textgreater -4 \{log}_{3-x}left(x+4right)ge 0 end{array}right. .$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log}_a {left(bleft(xright)right)}^2=2{{log}_a left|bleft(xright)right| } }.$

Поскольку $3-x textgreater 0, { log}_{3-x}{left(3-xright)}^2=2{{log}_{3-x} left|3-xright|= }2{{log}_{3-x} left(3-xright)=2. }$

Согласно методу замены множителя, выражение ${log}_{3-x}left(x+4right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}xne 2 \-4 textless x textless 3 \left(2-xright)left(x+3right)ge 0 end{array}right. .$

Решить ее легко.

Ответ:

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Решите неравенство: $displaystyle {{lg}^2 frac{{left(x+2right)}^2left(x+5right)}{5} textless {lg}^2frac{x+5}{20} }.$

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

$displaystyle left ( lgfrac{left ( x+2 right )^2left ( x+5 right )}{5}-lgfrac{x+5}{20} right )left ( lgfrac{left ( x+2 right )^2left ( x+5 right )}{5}+lgfrac{x+5}{20} right ) textless 0.$

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

$left{ begin{array}{c}displaystyle lgfrac{{left(x+2right)}^2left(x+5right)cdot 20}{5cdot left(x+5right)}cdot {lg left(frac{{left(x+2right)}^2cdot {left(x+5right)}^2}{100}right) } textless 0 \displaystyle {left(x+2right)}^2left(x+5right) textgreater 0 \x+5 textgreater 0 end{array}right. .$

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение (x+2)^2 должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме x= - 2.

Получим:

$left{ begin{array}{c}displaystyle lgleft ( 4cdotleft ( x+2 right )^2 right ) cdot lg left ( frac{left ( x+2 right )^2 cdot left ( x+5 right )^2}{100} right ) textless 0\x textgreater -5 \xne -2 end{array}right..$

По методу рационализации, каждый из множителей вида ${{log}_h f }$ заменяем на

$newline left{ begin{array}{c}displaystyle left(10-1right)cdot left(4{left(x+2right)}^2-1right)cdot left(10-1right)left(frac{{left(x+2right)}^2cdot {left(x+5right)}^2}{100}-1right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right.newline textless = textgreater left{ begin{array}{c}left(2x+4-1right)left(2x+4+1right)left(left(x+2right)left(x+5right)-10right)left(left(x+2right)left(x+5right)+10right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right.newlinetextless = textgreater left{ begin{array}{c}left(2x+3right)left(2x+5right)cdot xcdot left(x+7right)cdot left(x^2+7x+20right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right.newline textless = textgreater left{ begin{array}{c}left(2x+3right)left(2x+5right)cdot xcdot left(x+7right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right. .$

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: $displaystyle xin left(-5;-frac{5}{2}right)cup left(-frac{3}{2};0right).$

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенства

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенстваadmin2018-12-04T23:18:21+03:00

Нашли ошибку в заданиях? Оставьте, пожалуйста, отзыв.

15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Самым часто встречаемым неравенством, которое предлагают на реальных экзаменах в 15 задание, является логарифмическое неравенство. При решении логарифмических неравенств, в большинстве случаев (но не всегда) необходимо полностью находить область допустимых неравенств. Большая часть логарифмических неравенств, предлагаемых на реальных экзаменах, решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать логарифмические неравенства необходимо выучить свойства логарифмов, свойства логарифмической функции и уметь решать логарифмические уравнения. В данном разделе представлены логарифмические неравенства (всего 138) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие логарифмические неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных логарифмических неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием

(blacktriangleright) Стандартное логарифмическое неравенство [{Large{log_a{f(x)}geqslant log_a{g(x)}}}] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant,
>, <))

Если ({large{a>1}}), то данное неравенство равносильно системе [{Large{begin{cases} f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end{cases}}}] Заметим, что условие (f(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.

Если ({large{0<a<1}}), то данное неравенство равносильно системе [{Large{begin{cases}f(x)leqslant g(x)\f(x)>0 end{cases}}}] Заметим, что условие (g(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.

(blacktriangleright) С помощью формулы ({Large{b=log_a{a^b}}}) можно любое число (b) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию (a>0, ane 1).

Задание
1

#1571

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_2 x^2geqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ:[x^2 > 0qquadLeftrightarrowqquad xneq 0.]

При (xneq 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log_2 x^2 geqslant log_2 2qquadLeftrightarrowqquad x^2geqslant 2qquadLeftrightarrowqquad xin(-infty; -sqrt{2}]cup[sqrt{2}; +infty)
end{aligned}]

– сюда не вошёл (x = 0), следовательно, это и есть ответ.

Ответ:

((-infty; -sqrt{2}]cup[sqrt{2}; +infty))

Задание
2

#1572

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_2 x^2geqslant 1 +log_2 x
end{aligned}]

ОДЗ:[begin{cases}
x^2 > 0\
x > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad x > 0.]

При (x > 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_2 x^2 geqslantlog_2 2 + log_2 xqquadLeftrightarrowqquadlog_2 x^2 geqslantlog_2 2xqquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad x^2geqslant 2xqquadLeftrightarrowqquad x(x — 2)geqslant 0,.
end{aligned}]

По методу интервалов:

то есть решения последнего неравенства без учёта ОДЗ: [xin (-infty; 0]cup[2; +infty),] но (x > 0), следовательно, решение исходного неравенства [xin [2; +infty).]

Ответ:

([2; +infty))

Задание
3

#3031

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_5^3 x + log_5 xgeqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = log_5 x):

[begin{aligned}
t^3 + tgeqslant 0qquadLeftrightarrowqquad t(t^2 + 1)geqslant 0
end{aligned}]

Так как (t^2geqslant 0), то (t^2 + 1geqslant 1 > 0), следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству [tgeqslant 0,,] откуда [log_5 x geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad log_5 x
geqslant log_5 1 qquadLeftrightarrowqquad x geqslant 1,.]

С учётом ОДЗ ответ: (xin[1; +infty)).

Ответ:

([1; +infty))

Задание
4

#1574

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
2log_4 xcdot (log_4 x — 2)geqslant -1,5
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
x > 0
end{aligned}]

Сделаем замену (log_2 x = t) с учётом того, что на ОДЗ (log_4 x = 0,5log_2 x):

[begin{aligned}
t(0,5t — 2)geqslant -1,5qquadLeftrightarrowqquad t^2 — 4t + 3geqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin(-infty; 1]cup[3; +infty)), тогда
(log_2 xin (-infty; 1]cup[3; +infty)), следовательно, с учётом ОДЗ [xin(0; 2]cup [8; +infty),.]

Ответ:

((0; 2]cup [8; +infty))

Задание
5

#2407

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log^2_2 x + 3log_2 x + 3leqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log^2_2 x + 3log_2 x + 2leqslant 0
end{aligned}]

Сделаем замену (t = log_2 x):

[begin{aligned}
t^2 + 3t + 2leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t + 1)(t + 2)leqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin [-2; -1]).

Тогда (-2 leqslant log_2 xleqslant -1), что равносильно [log_2 dfrac{1}{4} leqslant log_2 xleqslant log_2 dfrac{1}{2}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{4} leqslant xleqslant dfrac{1}{2},.]

С учётом ОДЗ ответ: (xin[0,25; 0,5]).

Ответ:

([0,25; 0,5])

Задание
6

#2408

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log^2_3 x + 6log_3 x + 8leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = log_3 x):

[begin{aligned}
t^2 + 6t + 8leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t + 2)(t + 4)leqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin [-4; -2]).

Тогда (-4 leqslant log_3 xleqslant -2), что равносильно [log_3 dfrac{1}{81} leqslant log_3 xleqslant log_3 dfrac{1}{9}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{81} leqslant xleqslant dfrac{1}{9},.]

С учётом ОДЗ ответ: (xinleft[dfrac{1}{81}; dfrac{1}{9}right]).

Ответ:

(left[dfrac{1}{81}; dfrac{1}{9}right])

Задание
7

#2409

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln^2 x — 7ln x + 12geqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = ln x):

[begin{aligned}
t^2 — 7t + 12geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t — 3)(t — 4)geqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin (-infty; 3]cup [4; +infty)).

Тогда на ОДЗ [left[
begin{gathered}
ln xleqslant 3\
ln xgeqslant 4
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
ln xleqslant ln e^3\
ln xgeqslant ln e^4
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
xleqslant e^3\
xgeqslant e^4
end{gathered}
right.]