Логарифмические неравенства егэ профиль с решениями 2021

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_2 x^2geqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ:[x^2 > 0qquadLeftrightarrowqquad xneq 0.]

При (xneq 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log_2 x^2 geqslant log_2 2qquadLeftrightarrowqquad x^2geqslant 2qquadLeftrightarrowqquad xin(-infty; -sqrt{2}]cup[sqrt{2}; +infty)
end{aligned}]

– сюда не вошёл (x = 0), следовательно, это и есть ответ.

Ответ:

((-infty; -sqrt{2}]cup[sqrt{2}; +infty))

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_2 x^2geqslant 1 +log_2 x
end{aligned}]

ОДЗ:[begin{cases}
x^2 > 0\
x > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad x > 0.]

При (x > 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_2 x^2 geqslantlog_2 2 + log_2 xqquadLeftrightarrowqquadlog_2 x^2 geqslantlog_2 2xqquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad x^2geqslant 2xqquadLeftrightarrowqquad x(x — 2)geqslant 0,.
end{aligned}]

Ответ:

([2; +infty))

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_5^3 x + log_5 xgeqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = log_5 x):

[begin{aligned}
t^3 + tgeqslant 0qquadLeftrightarrowqquad t(t^2 + 1)geqslant 0
end{aligned}]

Так как (t^2geqslant 0), то (t^2 + 1geqslant 1 > 0), следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству [tgeqslant 0,,] откуда [log_5 x geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad log_5 x
geqslant log_5 1 qquadLeftrightarrowqquad x geqslant 1,.]

С учётом ОДЗ ответ: (xin[1; +infty)).

Ответ:

([1; +infty))

Решите неравенство

[begin{aligned}
2log_4 xcdot (log_4 x — 2)geqslant -1,5
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
x > 0
end{aligned}]

Сделаем замену (log_2 x = t) с учётом того, что на ОДЗ (log_4 x = 0,5log_2 x):

[begin{aligned}
t(0,5t — 2)geqslant -1,5qquadLeftrightarrowqquad t^2 — 4t + 3geqslant 0
end{aligned}]

Ответ:

((0; 2]cup [8; +infty))

Решите неравенство

[begin{aligned}
log^2_2 x + 3log_2 x + 3leqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log^2_2 x + 3log_2 x + 2leqslant 0
end{aligned}]

Сделаем замену (t = log_2 x):

[begin{aligned}
t^2 + 3t + 2leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t + 1)(t + 2)leqslant 0
end{aligned}]

Тогда (-2 leqslant log_2 xleqslant -1), что равносильно [log_2 dfrac{1}{4} leqslant log_2 xleqslant log_2 dfrac{1}{2}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{4} leqslant xleqslant dfrac{1}{2},.]

С учётом ОДЗ ответ: (xin[0,25; 0,5]).

Ответ:

([0,25; 0,5])

Решите неравенство

[begin{aligned}
log^2_3 x + 6log_3 x + 8leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = log_3 x):

[begin{aligned}
t^2 + 6t + 8leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t + 2)(t + 4)leqslant 0
end{aligned}]

Тогда (-4 leqslant log_3 xleqslant -2), что равносильно [log_3 dfrac{1}{81} leqslant log_3 xleqslant log_3 dfrac{1}{9}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{81} leqslant xleqslant dfrac{1}{9},.]

С учётом ОДЗ ответ: (xinleft[dfrac{1}{81}; dfrac{1}{9}right]).

Ответ:

(left[dfrac{1}{81}; dfrac{1}{9}right])

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln^2 x — 7ln x + 12geqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = ln x):

[begin{aligned}
t^2 — 7t + 12geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t — 3)(t — 4)geqslant 0
end{aligned}]

Тогда на ОДЗ [left[
begin{gathered}
ln xleqslant 3\
ln xgeqslant 4
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
ln xleqslant ln e^3\
ln xgeqslant ln e^4
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
xleqslant e^3\
xgeqslant e^4
end{gathered}
right.]

С учётом ОДЗ ответ: [xin (0; e^3]cup[e^4; +infty),.]

Ответ:

((0; e^3]cup[e^4; +infty))