Логарифмические неравенства егэ профиль с решениями переменным основанием - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенства с переменным основанием

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенства с переменным основаниемadmin2018-10-09T20:49:13+03:00

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Логарифмические неравенства с переменным основанием»

Открытый банк заданий по теме логарифмические неравенства с переменным основанием. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Стереометрия. Расстояния и углы в пространстве

Задание №1197

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство frac1{log_x 0,5}+6geqslant 16log_{4x}2.

Показать решение

Решение

ОДЗ неравенства: begin{cases} x>0, \ xneq 1, \ xneq frac14. end{cases}

Т.к. frac1{log_x 0,5}= -frac1{log_x 2}= -log_2 x, а log_{4x} 2 =frac1{log_2 x+2}, то неравенство примет вид: -log_2 x+6 geqslant frac{16}{log_2 x+2}. Пусть log_2 x=t, тогда frac{16}{t+2}+ t-6 leqslant 0, frac{(t-2)^2}{t+2}leqslant 0, t=2 или t<-2. log_2 x=2, откуда x=4 или log_2 x<-2, откуда x<frac14. Учитывая ОДЗ, получим 0 < x < frac14, x=4.

Ответ

left( 0;,frac14right) , 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1196

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство log_x2+2log_{2x}2geqslant 2.

Показать решение

Решение

Заметим, что x>0, x neq frac12, x neq 1.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

frac1{log_2x}+frac2{log_22x}geqslant 2,

frac1{log_2x}+frac2{log_22+log_2x}geqslant 2,

frac1{log_2x}+frac2{1+log_2x}geqslant 2.

Пусть log_2x=t, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

frac1t+frac2{1+t}geqslant 2,

frac{(1+t)+2t-2t(1+t)}{t(1+t)}geqslant 0,

frac{2t^3-t-1}{t(1+t)}leqslant 0,

frac{(2t+1)(t-1)}{t(t+1)}leqslant 0.

Получим два двойных неравенства, решим их, возвращаясь к переменной x:

1. -1< t leqslant -frac12,

log_2frac12<log_2xleqslant log_2frac1{sqrt 2},

frac12<xleqslant frac1{sqrt 2}.

2. 0<tleqslant 1,

log_21<log_2xleqslant log_22,

1<xleqslant 2.

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — left( frac12; frac1{sqrt 2}right] cup (1; 2].

Ответ

left( frac12; frac1{sqrt 2}right] cup (1; 2].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1191

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство frac1{log_{x^2+x}0,5},,,+ frac1{log_{x^2+x}0,25},,,+ frac1{log_{x^2+x}4}geqslant 1.

Показать решение

Решение

ОДЗ неравенства является множество всех решений системы

begin{cases} x^2+x>0,\ x^2+xneq 1; end{cases} begin{cases} x^2+x>0,\ x^2+x-1neq 0.end{cases}

x in left( -infty ; frac{-1-sqrt 5}{2}right),, cup left( frac{-1-sqrt 5}{2}; -1right) ,,cup left( 0;frac{-1+sqrt 5}{2}right) ,,cup left( frac{-1+sqrt 5}{2};+infty right).

Перейдём в неравенстве к логарифмам по основанию 2.

frac1{dfrac{log_2 0,5}{log_2(x^2+x)}},,+ frac1{dfrac{log_2 0,25}{log_2(x^2+x)}},,+ frac1{ dfrac{log_2 4}{log_2(x^2+x)}}geqslant 1,

frac{log_2(x^2+x)}{-1},,+ frac{log_2(x^2+x)}{-2},,+ frac{log_2(x^2+x)}{2}geqslant 1,

log_2(x^2+x)cdot left( -1-frac12+frac12right) geqslant 1,

-log_2(x^2+x)geqslant 1,

log_2(x^2+x)leqslant 1.

log_2(x^2+x)leqslant log_2 0,5,

x^2+xleqslant 0,5,

x^2+x-0,5leqslant 0.

Находим корни квадратного трёхчлена x^2+x-0,5:

x_{1,2}=frac{-1pmsqrt 3}2, поэтому множеством решений неравенства x^2+x-0,5 leqslant 0 будет множество left[ frac{-1-sqrt 3}{2}; frac{-1+sqrt 3}{2}right].

Так как frac{-1-sqrt 5}2<frac{-1-sqrt 3}2<-1 и 0<frac{-1+sqrt 3}2<frac{-1+sqrt 5}2, то множеством решений неравенства будет множество left[ frac{-1-sqrt 3}2; -1right) cup left( 0;frac{-1+sqrt 3}2right].

Ответ

left[ frac{-1-sqrt 3}2; -1right) cup left( 0;frac{-1+sqrt 3}2right].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №994

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство log_{3}(x-1) leq 4-9log_{9(x-1)}3.

Показать решение

Решение

ОДЗ уравнения: begin{cases}x-1>0,\9(x-1)neq1,end{cases} то есть x > 1, x neq frac{10}{9}.

Используя формулу log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}, получаем

log_{9(x-1)}3=frac{1}{log_{3}(x-1)+2}.

Неравенство примет вид log_{3}(x-1) leq 4-frac{9}{log_{3}(x-1)+2}. Пусть log_{3}(x-1)=t, тогда t-4+frac{9}{t+2} leq 0,

frac{(t-1)^2}{t+2} leq 0, t=1 или t < -2.

log_{3}(x-1)=1, откуда x-1=3, x=4 или log_{3}(x-1) < -2, откуда x-1 < frac{1}{9}, x < frac{10}{9}. Учитывая ОДЗ, получим 1 < x < frac{10}{9}, x=4.

Ответ

left(1;frac{10}{9}right),4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №993

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство (x^2+2x-3)log _{2x-1}(4x^2-11x+7) leq 0

Показать решение

Решение

ОДЗ: begin{cases} 2x-1 > 0,\ 2x-1 neq 1, \ 4x^2-11x+7 > 0; end{cases}

begin{cases} x > frac{1}{2}, \ x neq 1, \ left[!!begin{array}{l} x < 1, \ x > frac{7}{4}; end{array}right.end{cases} x in left (frac{1}{2};1 right ) cup left ( frac{7}{4}; +infty right ).

Применяя метод рационализации, получим, что на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству:

(x^2+2x-3)cdot (2x-1-1)cdot (4x^2-11x+7-1) leq 0;

(x-1)cdot (x+3)cdot (2x-2)cdot (4x^2-11x+6) leq 0;

(x-1)^2(x+3)(x-2)left(x-frac{3}{4}right) leq 0.

Из рисунка следует, что frac{3}{4} leq x < 1; frac{7}{4} < x leq 2.

Ответ

left[frac{3}{4};1right)cupleft(frac{7}{4};2right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №989

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) leq 2.

Показать решение

Решение

ОДЗ:

begin{cases}12+4x-x^{2} > 0, \ x+2 neq 0, \ |x+2| neq 1;end{cases}

begin{cases} x^{2} — 4x -12 < 0, \ x neq -2, \x neq -1, \ x neq -3;end{cases}

begin{cases}(x+2)(x-6) < 0, \ x neq -2, \x neq -1, \ x neq -3;end{cases}

x in (-2;-1) cup (-1;6).

log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) leq log_{|x+2|}(x+2)^{2}.

log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) — log_{|x+2|}(x+2)^{2} leq 0.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак log_{a}f-log_{a}g совпадает со знаком (a-1)(f-g).

2) знак |f|-|g| совпадает со знаком f^{2}-g^{2}=(f-g)(f+g).

Согласно 1: (|x+2|-1)cdot (12+4x-x^{2}-x^{2}-4x-4) leq 0,

(|x+2|-1)(-2x^{2}+8) leq 0.

Разделим обе части неравенства на -2.

(|x+2|-1)(x^{2}-4) geq 0.

Согласно 2: (x+2-1)(x+2+1)(x^{2}-4) geq 0,

(x+1)(x+3)(x-2)(x+2) geq 0.

Решение неравенства показано на рисунке

x leq -3,, -2 leq x leq -1,, x geq 2.

Учитывая ОДЗ, получим:

-2 < x < -1;, 2 leq x < 6

Ответ

(-2;-1)cup [2;6)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №214

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство frac{1}{2}log_{x-2}(x^{2}-10x+25)+log_{5-x}(-x^{2}+7x-10)>3.

Показать решение

Решение

Заметим сначала, что

x^{2}-10x+25=(5-x)^{2} и -x^{2}+7x-10=(5-x)(x-2).

ОДЗ неравенства являются все решения системы:

begin{cases}x-2>0,\x-2neq 1,\x^{2}-10x+25>0,\5-x>0,\5-xneq1,\-x^{2}+7x-10>0; end{cases}enspace begin{cases}2<x<5,\xneq3, xneq4. end{cases}

Преобразуем исходное неравенство, учитывая ОДЗ.

log_{x-2}(5-x)+1+log_{5-x}(x-2)>3,

log_{x-2}(5-x)+log_{5-x}(x-2)-2>0.

Сделаем замену log_{x-2}(5-x)=t. Тогда неравенство принимает вид:

t+frac{1}{t}-2>0;

frac{t^{2}-2t+1}{t}>0;

frac{(t-1)^{2}}{t}>0.

Множеством его решений является множество (0;1)cup (1;+infty).

Сделаем обратную замену, получим:

left [!!begin{array}{l} 0<log_{x-2}(5-x)<1, \ log_{x-2}(5-x)>1; end{array}right .

left [!!begin{array}{l}log_{x-2}(5-x)>log_{x-2}(x-2),\ log_{x-2}1<log_{x-2}(5-x)<log_{x-2}(x-2);end{array} right .

left[!!begin{array}{l}(x-2-1)(5-x-(x-2))>0,\!!left{!!!!begin{array}{l}:(x-2-1)(5-x-(x-2))<0,\:(x-2-1)(1-(5-x))<0;end{array}right . end{array} right .

left [!! begin{array}{l} (x-3)(7-2x)>0, \ !! left {!!!! begin{array}{l} :(x-3)(7-2x)<0, \: (x-3)(x-4)<0; end{array} right . end{array} right .

left[!!begin{array}{l}3<x<3,5,\!!left{!!!!begin{array}{l}left[!!begin{array}{l}x<3,\x>3,5,end{array}right.\: 3<x<4;end{array}right.end{array}right.

left[!!begin{array}{l} 3<x<3,5, \ 3,5<x<4;end{array}right .

Учитывая ОДЗ, получим, что решением неравенства является множество (3;:3,5)cup (3,5;:4).

Ответ

(3;:3,5)cup (3,5;:4).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №187

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство log_{5-x} (x+5)cdotlog_{x+4}(4-x) leq 0.

Показать решение

Решение

ОДЗ:

begin{cases}5-x>0,\ 5-xneq1,\x+5>0,\4-x>0,\x+4>0,\x+4neq1; end{cases}enspace begin{cases}x<5,\ xneq4,\x>-5,\x<4,\x>-4,\xneq-3; end{cases}enspace (-4;-3)cup (-3;4)

На ОДЗ знак log_{a}b совпадает со знаком (a-1)(b-1), поэтому исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству (5-x-1) (x+5-1) (x+4-1) (4-x-1)leq0 .

(4-x)(x+4)(x+3)(3-x)leq0

Rightarrow x in [-4;-3] cup [3;4].

С учетом ОДЗ получаем x in (-4;-3) cup [3;4).

Ответ

(-4;-3) cup [3;4).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №180

Тип задания: 15
Тема:
Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство log_{15}(x^2-6x+8)geqslant log_{x-1}(x^2-6x+8).

Показать решение

Решение

ОДЗ begin{cases}x^2-6x+8>0, \ x-1>0, \ x-1neq1. end{cases}

Решим уравнение x^2-6x+8=0, получим x_1=2, x_2=4. Тогда неравенство x^2-6x+8>0 равносильно условию x<2, x>4.

ОДЗ примет вид begin{cases}x<2, x>4, \ x>1, \ xneq2; end{cases}

xin (1;2)cup (4; + infty ).

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство, получим

frac{ln(x^2-6x+8)}{ln15}geqslantfrac{ln(x^2-6x+8)}{ln(x-1)};

ln(x^2-6x+8)left(frac{1}{ln15}-frac{1}{ln(x-1)}right)geqslant0,

ln(x^2-6x+8)left(frac{ln(x-1)-ln15}{ln15ln(x-1)}right)geqslant0,

frac{ln(x^2-6x+8)lndfrac{x-1}{15}}{ln15ln(x-1)}geqslant0.

Заметим, что e>1,15>1, следовательно, ln15>0.

Отсюда frac{ln(x^2-6x+8)lnleft(dfrac{x-1}{15}right)}{ln(x-1)}geqslant0.

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

frac{((x^2-6x+8)-1)left(dfrac{x-1}{15}-1right)}{(x-1)-1}geqslant0;

frac{(x^2-6x+7)(x-16)}{x-2}geqslant0 (1), так как знак ln f(x) совпадает со знаком (f(x)-1) на ОДЗ выражения ln f(x).

Решим уравнение

x^2-6x+7=0, получим x_{1,2}=3pm sqrt{2}.

Тогда неравенство (1) примет вид

frac{(x-(3-sqrt{2}))(x-(3+sqrt{2}))(x-16)}{x-2}geqslant0.

Заметим, что 1<sqrt{2}<2, следовательно, 1<3-sqrt{2}<2, enspace4<3+sqrt{2}<5.

Воспользуемся методом интервалов, получим xin (-infty ;3-sqrt{2}]cup (2;3+sqrt{2}]cup [16;+infty ).

С учетом ОДЗ запишем решение исходного неравенства:

xin (1;3-sqrt{2}]cup (4;3+sqrt{2}]cup [16;+infty ).

Ответ

(1;3-sqrt{2}]cup (4;3+sqrt{2}]cup [16;+infty ).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Логарифмические неравенства с переменным основанием

(blacktriangleright) Рассмотрим неравенство [{Large{log_{h(x)}{f(x)}geqslant log_{h(x)}{g(x)}}}] (на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant,
>, <))

Данное неравенство равносильно совокупности: [{large{left[begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
h(x)>1\
f(x)geqslant g(x)\
g(x)>0
end{cases}\
&begin{cases}
0<h(x)<1\
f(x)leqslant g(x)\
f(x)>0
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right.}}]

Задание
1

#1583

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_x 2geqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x > 0\
xneq 1
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
dfrac{1}{log_2 x}geqslant 1quadLeftrightarrowquad 0 < log_2 xleqslant 1quadLeftrightarrowquad log_2 1 < log_2 xleqslant log_2 2quadLeftrightarrowquad 1 < xleqslant 2,.
end{aligned}]

C учётом ОДЗ: (xin(1; 2].)

Ответ:

((1; 2])

Задание
2

#1584

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x^2} xgeqslant 1 + log_x x^2
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x^2 > 0\
x^2neq 1\
x > 0\
xneq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > 0\
xneq 1
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&dfrac{1}{2}log_{|x|} xgeqslant 1 + 2log_x |x|qquadLeftrightarrowqquaddfrac{1}{2}log_{x} xgeqslant 1 + 2log_x xqquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{2}geqslant 3,.
end{aligned}]

Таким образом, [xinvarnothing.]

Ответ:

(varnothing)

Задание
3

#1585

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x^2} xleqslant 5 + log_{x^3} x^2
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x^2 > 0\
x^2neq 1\
x > 0\
x^3 > 0\
x^3neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > 0\
xneq 1
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&dfrac{1}{2}log_{|x|} xleqslant 5 + dfrac{2}{3}log_{x} xqquadLeftrightarrowqquaddfrac{1}{2}log_{x} xleqslant 5 + dfrac{2}{3}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{2}leqslant 5 + dfrac{2}{3},.
end{aligned}]

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ: [xin(0; 1)cup(1; +infty).]

Ответ:

((0; 1)cup(1; +infty))

Задание
4

#1586

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x} x^{2016}leqslant log_5 x + log_{x^{2016}} x^2
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x > 0\
xneq 1\
x^{2016} > 0\
x^{2016} neq 1\
x^2 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > 0\
xneq 1
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&2016log_{x} |x|leqslant log_5 x + dfrac{2}{2016}log_{|x|} |x|qquadLeftrightarrowqquad 2016log_{x} xleqslant log_5 x + dfrac{1}{1008}qquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad 2016 — dfrac{1}{1008}leqslant log_5 xqquadLeftrightarrowqquad log_5 5^{2015frac{1007}{1008}}leqslant log_5 xqquadLeftrightarrowqquad 5^{2015frac{1007}{1008}}leqslant x,.
end{aligned}]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при [xin[5^{2015frac{1007}{1008}}; +infty).]

Ответ:

([5^{2015frac{1007}{1008}}; +infty))

Задание
5

#1587

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x^2 + 2x + 2} 4 > 1
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x^2 + 2x + 2 > 0\
x^2 + 2x + 2neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad xneq -1]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log_{x^2 + 2x + 2} 4 > log_{x^2 + 2x + 2} (x^2 + 2x + 2)
end{aligned}]

Так как на ОДЗ (x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 > 1), то исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
4 > x^2 + 2x + 2quadLeftrightarrowquad x^2 + 2x — 2 < 0quadLeftrightarrowquad (x + 1 — sqrt{3})(x + 1 + sqrt{3}) < 0,
end{aligned}]

откуда (xin (-1 — sqrt{3}; -1 + sqrt{3}))
с учётом ОДЗ: [xin (-1 — sqrt{3}; -1)cup(-1; -1 + sqrt{3}),.]

Ответ:

((-1 — sqrt{3}; -1)cup(-1; -1 + sqrt{3}))

Задание
6

#2646

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство [log_{x^2+1}{(x-3)^2}cdot
log_{x^2+1}{dfrac{(x-3)^2}{(x^2+1)^3}}leqslant -2]

(Задача от подписчиков)

Найдем ОДЗ неравенства: [begin{cases} x^2+1>0\
x^2+1ne 1\
(x-3)^2>0\
dfrac{(x-3)^2}{(x^2+1)^3}>0 end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases} xne 0\xne 3end{cases}] Таким образом, ОДЗ неравенства: (xin
(-infty;0)cup(0;3)cup(3;+infty)).
Решим неравенство на ОДЗ. [log_{x^2+1}{(x-3)^2}cdot
(log_{x^2+1}{(x-3)^2}-log_{x^2+1}{(x^2+1)^3})leqslant -2.] Сделаем замену (t=log_{x^2+1}{(x-3)^2}), тогда неравенство примет вид: [t(t-3)leqslant -2quadLeftrightarrowquad (t-1)(t-2)leqslant 0
quadLeftrightarrowquad 1leqslant tleqslant 2.] Сделаем обратную подстановку: [begin{cases}log_{x^2+1}{(x-3)^2}geqslant 1\
log_{x^2+1}{(x-3)^2}leqslant 2end{cases}
quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
log_{x^2+1}{(x-3)^2}geqslant log_{x^2+1}{(x^2+1)}\
log_{x^2+1}{(x-3)^2}leqslant log_{x^2+1}{(x^2+1)^2}
end{cases}]

Заметим, что т.к. по ОДЗ (x^2>0), то (x^2+1>1), следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны [begin{cases} (x-3)^2geqslant x^2+1\
(x-3)^2leqslant (x^2+1)^2 end{cases}quadLeftrightarrowquad
begin{cases} xleqslant dfrac43\[2ex]
(x-3-x^2-1)(x-3+x^2+1)leqslant 0 end{cases}quadLeftrightarrowquad begin{cases} xleqslant dfrac43\[2ex]
(x^2-x+4)(x+2)(x-1)geqslant 0end{cases}]

Решая второе неравенство методом интервалов, получим (xin
(-infty;-2]cup[1;+infty)).
Следовательно, после пересечения данного решения с (xleqslant
frac43) и с ОДЗ получим окончательный ответ (xin
(-infty;-2]cupleft[1;frac43right]).

Ответ:

((infty;-2]cupleft[1;frac43right])

Задание
7

#1591

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x}^2 3 + 5log_{|x|} 3 + 6 > 0
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x > 0\
xneq 1
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log_{x}^2 3 + 5log_x 3 + 6 > 0
end{aligned}]

Сделаем замену (log_x 3 = t):

[begin{aligned}
t^2 + 5t + 6 > 0qquadLeftrightarrowqquad(t + 2)(t + 3) > 0
end{aligned}]

По методу интервалов находим: (tin(-infty; -3)cup(-2; +infty)), откуда

[begin{aligned}
left[
begin{gathered}
log_x 3 < -3\
log_x 3 > -2
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
log_x 3 < log_x x^{-3}\
log_x 3 > log_x x^{-2}
end{gathered}
right.
end{aligned}]

Решим первое из неравенств совокупности:

[begin{aligned}
left[
begin{gathered}
begin{cases}
x > 1\
3 < x^{-3}
end{cases}\
begin{cases}
0 < x < 1\
3 > x^{-3}
end{cases}
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
xinleft(dfrac{1}{sqrt[3]{3}}; 1right)
end{aligned}]

Решим второе из неравенств совокупности:

[begin{aligned}
left[
begin{gathered}
begin{cases}
x > 1\
3 > x^{-2}
end{cases}\
begin{cases}
0 < x < 1\
3 < x^{-2}
end{cases}
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
xinleft(0; dfrac{1}{sqrt{3}}right)cup(1; +infty)
end{aligned}]

общее решение совокупности неравенств: [xinleft(0; dfrac{1}{sqrt{3}}right)cupleft(dfrac{1}{sqrt[3]{3}}; 1right)cup(1; +infty),.]

Ответ:

(left(0; dfrac{1}{sqrt{3}}right)cupleft(dfrac{1}{sqrt[3]{3}}; 1right)cup(1; +infty))

Источник

Тема 14.

Решение неравенств

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

решение неравенств

14.01Задачи из ЕГЭ прошлых лет

14.02Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2023

14.03Рациональные неравенства и метод интервалов

14.04Показательные неравенства

14.05Логарифмические неравенства с числовым основанием

14.06Логарифмические неравенства с переменным основанием

14.07Метод рационализации

14.08Смешанные неравенства

14.09Системы неравенств

Решаем задачи

Решите неравенство

log 2 x ≤ 5 + log 3 x2
x x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x2 > 0
|||| 2 {
{ x ⁄= 1 x > 0
x > 0 ⇔
|||| x3 > 0 x ⁄= 1
||(
x3 ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

1 2 1 2 1 2
--log |x|x ≤ 5 + --logxx ⇔ --logxx ≤ 5 + -- ⇔ --≤ 5 + --.
2 3 2 3 2 3

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ:

Ответ:

Решите неравенство

log 2 x ≥ 1 + log x2
x x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x2 > 0 {
|{ 2
x ⁄= 1 ⇔ x > 0
||| x > 0 x ⁄= 1
( x ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

1- 1- 1-
2 log |x|x ≥ 1 + 2 logx |x| ⇔ 2 logxx ≥ 1 + 2 logxx ⇔ 2 ≥ 3.

Таким образом,

Ответ:

Решите неравенство

log 2 ≥ 1
x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{
x > 0

x ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

--1---
log x ≥ 1 ⇔ 0 < log2x ≤ 1 ⇔ log2 1 < log2x ≤ log2 2 ⇔ 1 < x ≤ 2.
2

C учётом ОДЗ:

Ответ:

(1;2]

Решите неравенство

log 2 4 > 1
x +2x+2

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{
x2 + 2x + 2 > 0
2 ⇔ x ⁄= − 1
x + 2x + 2 ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

Так как на ОДЗ 2 2
x + 2x + 2 = (x + 1) + 1 > 1 , то исходное неравенство равносильно
неравенству

√ -- √ --
4 > x2 + 2x + 2 ⇔ x2 + 2x − 2 < 0 ⇔ (x + 1 − 3)(x + 1 + 3) < 0,

откуда . Тогда с учётом ОДЗ

√ -- √ --
x ∈ (− 1 − 3;− 1) ∪ (− 1;− 1 + 3)

Ответ:

√ -- √--
(− 1 − 3;− 1) ∪ (− 1;− 1 + 3 )

Решите неравенство

log (22x+1 − 2x+2+ 2)≤---x--
2|2x−1| |2x− 1|

Показать ответ и решение

Сделаем замену 2x = t, тогда неравенство примет вид

log (2(t2− 2t+ 1))≤ ---x--
2|2x−1| |2x − 1|

Найдем ОДЗ. Основание логарифма положительно, поэтому

Кроме того, основание логарифма не равно 1 и знаменатель дроби не равен 0, то
есть

Тогда следовательно, неравенство равносильно при этом
условии и на ОДЗ:

2 ( |2x−1|)|2xx−1|
2(t− 1) ≤ 2 ⇒
2
2(t− 1) ≤ t ⇔
2t2 − 5t+ 2≤ 0 ⇔
1
2 ≤ t≤2 ⇒

− 1≤ x ≤ 1

Исключая 1
x= 0;2, получаем ответ

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки
в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в
ответ включено значение переменной, при котором одна из
частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0
баллов».

Решите неравенство

2⋅4x− 15 ⋅2x + 23
logx2+1 -4x−-9⋅2x+-14--≥ 0

Показать ответ и решение

pict

Заметим, что при x ⁄=0 , а значит мы можем опустить логарифм (при x =0 выражение не имеет
смысла):

pict

Для начала решим второе неравенство из системы:

Обозначим x
2 = t, t> 0 , тогда неравенство примет вид

Решим последнее неравенство методом интервалов:

Получим .

Вернемся к исходным обозначениям:

pict

Тогда система примет вид:

pict

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Решите неравенство

log e + log e < 0
x (x+2)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x > 0 {
|{
x ⁄= 1 ⇔ x > 0
||| x + 2 > 0 x ⁄= 1
( x + 2 ⁄= 1

На ОДЗ:

Рассмотрим отдельно случаи и .

1) , тогда

следовательно,

-1--+ ---1-----> 0.
lnx ln(x + 2)

Таким образом, среди решений нет.

2) , тогда

следовательно,

1 1
----+ ---------< 0 ⇔ ln (x + 2) + ln x > 0 ⇔ ln(x(x + 2)) > ln 1 ⇔
lnx ln (x + 2 )
⇔ x(x + 2) > 1 ⇔ x2 + 2x − 1 > 0

По методу интервалов на (0;1) :

Таким образом, √ --
x ∈ ( 2 − 1;1) .

Так как мы рассмотрели все из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный
ответ:

√ --
x ∈ ( 2 − 1;1).

Ответ:

√ --
( 2 − 1;1)

Решите неравенство

−1 2
logx(2x--)-⋅ logx-(2x-)
log2xx ⋅ log2x−2 x < 40

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ всех логарифмов:

(
|| x > 0
|||
||| x ⁄= 1 ( ) ( )
{ 2x −1 > 0 1- 1- √ -- √ --
| 2x2 > 0 ⇔ x ∈ 0;2 ∪ 2;1 ∪ (1; 2) ∪ ( 2;+ ∞ )
|||
|||| 2x ⁄= 1
( 2x −2 ⁄= 1

Решим неравенство на ОДЗ. В числителе оба логарифма распишем по формуле ,
а в знаменателе – по формуле loga b = --1---
logb a , а затем по первой формуле:

Сделаем замену: log 2 = t
x . Тогда неравенство примет вид:

Сделаем еще одну замену: t2 = z . Тогда неравенство станет квадратичным:

Подставим вместо 2
z = t :

2
(t + 4)(t − 3)(t + 3) < 0

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ:

Сделаем обратную замену:

(
{ { 3 |{ logx(2x3) > 0
logx2 > − 3 ⇒ logx 2 + logx x > 0 ⇒ ( )
logx2 < 3 logx 2 − logx x3 < 0 |( logx -2- < 0
x3

Каждое неравенство можно решить методом рационализации:

( 3 (
|{ (x − 1)(2x − 1) > 0 |{ (x − 1)(2x3 − 1) > 0
( 2 ) ⇒ 3
|( (x − 1) ---− 1 < 0 |( (x − 1) ⋅ 2 −-x-< 0
x3 x3

Решая каждое неравенство методом интервалов, получим:

( ( )
| -1-- ( )
{ x ∈ − ∞; 3√ -- ∪ (1;+ ∞ ) -1-- √3--
| √2-- ⇔ x ∈ 0;3√2-- ∪ ( 2;+ ∞ )
( x ∈ (0;1) ∪ ( 32;+ ∞ )

Теперь осталось пересечь полученный ответ с ОДЗ:

( ) ( ) (√ --√ -) √ --
x ∈ 0; 1 ∪ 1;√1-- ∪ 32; 2 ∪ ( 2;+ ∞ )
2 2 32

Ответ:

( ) ( ) (3√ --√ -) √ --
0; 12 ∪ 12; 13√2- ∪ 2; 2 ∪ ( 2;+∞ )

Решите неравенство

log 2 22 > log 2 x2,
ax −bx+c ax −bx+c

если , и таковы, что при любом выполнено 2
ax + bx + c > 1

Показать ответ и решение

Ответ:

√ --- √---
(− 22;0) ∪ (0; 22 )

Решите неравенство

2
logx3+ 5log|x|3 +6 > 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

{
x > 0
x ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

Сделаем замену

По методу интервалов находим откуда

Решим неравенство (1) с учетом того, что √1-< 1:
33

⌊(
⌊ { { x> 1
| x> 1−3 ||( x< 1√-- ( )
|| 3< x || 33 √1-
|⌈{0 < x <1 ⇔ |||({0 < x< 1 ⇔ x ∈ 33;1
3> x−3 ⌈ -1-
(x > 3√ 3

Решим неравенство (2) с учетом того, что 1
√3-< 1:

⌊(
⌊ { { x >1
| x> 1 || 1√--
|| 3> x−2 ||( x > 3 ( -1-)
|⌈ {0< x < 1 ⇔ ||({0 < x< 1 ⇔ x ∈ 0;√3- ∪(1;+∞ )
3< x−2 |⌈ -1-
(x < √3

Тогда общее решение неравенства:

( ) ( )
x ∈ 0;√1- ∪ √1-;1 ∪(1;+∞ )
3 33

Ответ:

( 1-) (-1- )
0;√3 ∪ √33-;1 ∪ (1;+∞ )

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Решите неравенство

log 10 > log 10
x (x+0,5)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x > 0 (
|{ |{ x > 0
x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1
||| x + 0,5 > 0 |(
( x + 0,5 ⁄= 1 x ⁄= 0,5

На ОДЗ:

Рассмотрим отдельно случаи , и .

1) , тогда

следовательно,

Таким образом, все идут в ответ.

2) , тогда

следовательно,

-1--< 0 < -----1-----
lgx lg(x + 0,5)

Таким образом, среди решений нет.

3) , тогда

следовательно,

Таким образом, все идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный
ответ:

Ответ:

Решите неравенство

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x > 0
|||| {
{ x ⁄= 1 x > 0
x2016 > 0 ⇔
|||| x2016 ⁄= 1 x ⁄= 1
||(
x2 > 0

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

2 1
2016logx |x | ≤ log5 x +-----log |x||x| ⇔ 2016 logxx ≤ log5 x + ----- ⇔
2016 1008
⇔ 2016 − --1--≤ log x ⇔ log 5201510100078 ≤ log x ⇔ 5201511000708 ≤ x.
1008 5 5 5

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при

201511000078
x ∈ [5 ;+ ∞ ).

Ответ:

1007
[520151008;+∞ )

Решите неравенство

2
2 (x-−-3)--
logx2+1 (x − 3) ⋅ logx2+1 (x2 + 1)3 ≤ − 2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

(
|| x2 + 1 > 0
||| 2 {
{ x + 1 ⁄= 1 x ⁄= 0
| (x − 3)2 > 0 ⇔ x ⁄= 3
||| (x − 3)2
|( --2----3-> 0
(x + 1)

Таким образом, ОДЗ неравенства:
Решим неравенство на ОДЗ:

Сделаем замену , тогда неравенство примет вид:

Сделаем обратную подстановку:

{ {
logx2+1(x − 3)2 ≥ 1 logx2+1 (x − 3)2 ≥ logx2+1 (x2 + 1 )
log 2 (x − 3)2 ≤ 2 ⇔ log 2 (x − 3)2 ≤ log 2 (x2 + 1 )2
x +1 x +1 x +1

Заметим, что так как на ОДЗ 2
x > 0 , то 2
x + 1 > 1 , следовательно, основания логарифмов больше
единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны

( (
{ 2 2 |{ x ≤ 4- |{ x ≤ 4-
(x − 3) ≥ x + 1 ⇔ 3 ⇔ 3
(x − 3)2 ≤ (x2 + 1 )2 |( 2 2 |( 2
(x − 3 − x − 1)(x − 3 + x + 1) ≤ 0 (x − x + 4)(x + 2)(x − 1) ≥ 0

Решая второе неравенство методом интервалов, получим
После пересечения данного множества с 4
x ≤ 3 и с ОДЗ получим окончательный ответ
[ 4]
x ∈ (− ∞; − 2] ∪ 1; 3

Ответ:

[ ]
(− ∞; − 2] ∪ 1; 43

Найдите все такие , которые являются решениями неравенства

при любых

Показать ответ и решение

Зафиксируем произвольное .

ОДЗ:

(
|| x > 0
|||
||| x ⁄= 1
|||{ x + 1 > 0 {
x > 0
| x + 1 ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1
|||| ...
|||
||| x + N > 0
( x + N ⁄= 1

На ОДЗ:

1 1 1
logx e + log(x+1)e + ...+ log(x+N )e ≥ 0 ⇔ ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0.
lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Рассмотрим отдельно случаи и .

1) , тогда

следовательно,

1 1 1
----+ ---------+ ...+ ---------- > 0.
lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Таким образом, все идут в ответ.

2) .
Так как искомые должны удовлетворять исходному неравенству при любых , то они должны
удовлетворять ему и при N = 1 . Рассмотрим этот случай отдельно:

-1-- ----1----
lnx + ln(x + 1) ≥ 0

Так как , то , а , следовательно, последнее неравенство
равносильно неравенству

По методу интервалов на (0;1) :

Таким образом, x ∈ (0; √5-−-1-]
2 .

Для всякого , N > 1 при ( ]
√5-− 1
x ∈ 0; -------
2 :

следовательно,

1 1 1
----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0,
lnx ln (x + 1) ln(x + N )

то
есть ( ]
√ --
x ∈ 0;--5-−-1
2 идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный
ответ:

( √ -- ]
x ∈ 0;--5-−-1 ∪ (1;+ ∞ ).
2

Ответ:

( √ -- ]
0;0,5 5 − 0,5 ∪ (1; +∞ )

Решите неравенство

если , и таковы, что при любом выполнено 2
ax + bx + c > 1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| ax2 − bx + c > 0
|{ 2
ax − bx + c ⁄= 1
||| 22 + ax2 − bx + c > 0
( (a + 1)x2 − bx + c > 0

Зафиксируем произвольное , тогда , следовательно, 2 2
1 < a(− x) + b(− x) + c = ax − bx + c ,
таким образом, при любом

следовательно, исходное неравенство равносильно

откуда

√ ---√ ---
x ∈ (− 22; 22).

Ответ:

√ ---√ ---
(− 22; 22)

Решите неравенство

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|{ x2 > 0
2
|( x ⁄= 1
|x| ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

2 2
0,25log|x|3 − 2, 75log|x|3 + 7,5625 ≤ 0 ⇔ log|x|3 − 11 log |x|3 + 30,25 ≤ 0

Сделаем замену :

2 2
t − 11t + 30,25 ≤ 0 ⇔ (t − 5,5) ≤ 0 ⇔ t = 5,5,

откуда на ОДЗ

откуда

2-
x = ±3 11

–
подходят по ОДЗ.

Ответ:

2- -2
3 11,− 311

Источник

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}Leftrightarrow { }boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}boldsymbol{{ b}}.$

При этом

Основное логарифмическое тождество:

$boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}$

$boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.$

Основные формулы для логарифмов:

$boldsymbol{log_a(bc)}=boldsymbol{log_ab+log_ac}$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$boldsymbol{log_a {{b} over {c}}=log_ab-log_ac}$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)

$boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab}$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }$

$boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}.$

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду ${{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}.$ Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения ${{log}_a x}$ .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение ${{log}_a x}.$

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

$left{begin{matrix} 15+3x>0;\ 2x>0. end{matrix}right.$

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,
$left{begin{matrix} x>0;\ x>-15. end{matrix}right.$

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3. $log_{frac{5}{6}}left ( 2x-9 right )geq log_{frac{5}{6}}x.$

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

$left{begin{matrix} 2x-9>0;\ x>0. end{matrix}right.$

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку $frac{5}{6}<1$ , логарифмическая функция с основанием $frac{5}{6}$ монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если $log_{frac{5}{6}}(2x-9)geq log_{frac{5}{6}}x$ , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}$

$2{{log }_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log }_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}} Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}1-x textgreater 0 \3x+1 textgreater 0 \{left(1-xright)}^2 textgreater 3x+1 end{array}right.Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}begin{array}{c}x textless 1 \x textgreater -frac{1}{3} end{array}\1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{array}right. Longleftrightarrowleft{ begin{array}{c}begin{array}{c}x textless 1 \x textgreater -frac{1}{3} end{array}\x^2-5x textgreater 0 end{array}right. Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}x textless 1 \x textgreater -frac{1}{3} \xleft(x-5right) textgreater 0 end{array}right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right)$

5. Решите неравенство ${{log}_{x^2+1} frac{2cdot 4^x-15cdot 2^x+23}{4^x-9cdot 2^x+14}ge 0}$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x^2+1 textgreater 0 \x^2+1ne 1 end{array}right.Longleftrightarrow xne 0$

Если xne 0 , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

$frac{2cdot 4^x-15cdot 2^x+23}{4^x-9cdot 2^x+14}ge 1$

Сделаем замену

$frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1ge 0$

$frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}ge 0$

$frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}ge 0$

$frac{{left(t-3right)}^2}{left(t-2right)left(t-7right)}ge 0$

$left[ begin{array}{c}t=3 \t textgreater 7 \t textless 2 end{array}Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}2^x=3 \2^x textgreater 7 \2^x textless 2 end{array}right. \xne 0 end{array}Longleftrightarrow left{ begin{array}{c}left[ begin{array}{c}x={{log }_2 3} \x textless 1 \x textgreater {{log }_2 7} end{array}right. \xne 0 end{array}right.right.right.$

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ: $xin left(-infty ;0right)cup left(0;1right)cup left{{{log }_2 3}right}cup left({{log }_2 7};+infty right)$

6. $4log_{x}4+3log_{frac{4}{x}}4+4log_{16x}4leq 0$

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

$left{begin{matrix} x>0;\ frac{4}{x}neq 1;\ xneq 1;\ 16xneq 1. end{matrix}right.$

Упростим эту систему:

$left{begin{matrix} x>0;\ xneq 4;\ xneq 1;\ xneq frac{1}{16}. end{matrix}right.$

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

$log_{a}b=frac{1}{log_{b}a}$
В данном случае удобно перейти к основанию 4.

$frac{4}{log_{4}x}+frac{3}{log_{4}frac{4}{x}}+frac{4}{log_{4}(16x)}leq 0;$
$frac{4}{log_{4}x}+frac{3}{1-log_{4}x}+frac{4}{2+log_{4}x}leq 0$
Сделаем замену $log_{4}x=t:$

$frac{4}{t}+frac{3}{1-t}+frac{4}{2+t}leq 0$
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

$frac{(t-2)(t+frac{4}{5})}{t(1-t)(2+t)}geq 0.$

Итак, $tin left (- infty;-2 right )cup left [ -frac{4}{5}; 0 right )cup (1;2].$

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ: $xin left (0;frac{1}{16} right )cup left [ 4^{-frac{4}{5}};1 right )cup (4;16]$

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

$log_{frac{1}{3}}left ( frac{2-3x}{x} right )geq -1$ Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

$frac{2-3x}{x}>0$ Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

$log_{3}frac{x}{2-3x}geq -1.$ Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

$log_{3}frac{x}{2-3x}geq log_{3}frac{1}{3};$
$frac{x}{2-3x}geq frac{1}{3}.$ Видим, что условие $frac{2-3x}{x}>0$ (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

$frac{x}{2-3x}-frac{1}{3}geq 0;$
$frac{3x-1}{2-3x}geq 0;$ Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ: $xin left [ frac{1}{3};frac{2}{3} right ).$

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

${{log }_{{ 3}} left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}right){ +}{{log }_{frac{{ 1}}{{ 3}}} frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}ge {{log }_{{ 3}} left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}right)}}}$

Неравенство равносильно системе:

$left{ begin{array}{c}{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 textgreater 0} \{ x}{ +5 textgreater 0} \{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 textgreater 0} \{{log }_{{ 3}} left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}right){ -}{{log }_{{ 3}} frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{log }_{{ 3}} { 3}}ge {{log }_{{ 3}} left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}right)}}} end{array}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} (x+5)(x+2) textgreater 0\x+5 textgreater 0 \(x+2)(x+{10over3}) textgreater 0 \log_3{{(x+5)(x+2)cdot9 cdot 3}over(x+5)} textgreater log_3left ( 3(x+2)(x+{{10}over3{}}) right ) end{matrix}right.$

$left{begin{matrix} x textgreater -2\9cdot (x+2)geq(x+2)(x+{{10}over{3}}) end{matrix}right.$

$left{begin{matrix} x textgreater -2\x+ {{10}over{3}} leq9 end{matrix}right. textless = textgreater left{begin{matrix} x textgreater -2\xleq {{17}over{3}} end{matrix}right.$

$newline x^2+7x+10=0 hfill newline D=0; newline , x_{1,2} = {{-7 pm3 }over{2}}; newline x_1=-5x; , x_2=-2; newline 3x^2+16x+20=0 newline D=16^2-12cdot 20 = newline =16cdot(16-3cdot 5 )=16; newline x_{1,2}={{-16 pm4 }over{6}}; newline x_1=-2; , x_2=-{{10}over{3}}$

Ответ: ${ x}in left({ -2};{ }frac{{ 17}}{{ 3}}right].$

9. Решите неравенство:

$log_{2}left ( left ( 5^{-x^{2}}-3 right )left ( 5^{-x^{2}+9}-1 right ) right )+log_{2}frac{5^{-x^{2}}-3}{5^{-x^{2}+9}-1}>log_{2}left ( 5^{4-x^{2}}-2 right )^{2}.$

Выражение 5^—x²навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

$5^{-x^{2}}=t$

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

$5^{-x^{2}+9}=5^{9}cdot t$
$5^{4-x^{2}}=5^{4}cdot t=625t$

Неравенство примет вид:

$log_{2}left ( left ( t-3 right ) left ( 5^{9}cdot t-1 right )right )+log_{2}frac{t-3}{5^{9}cdot t-1}>log_{2}left ( 625t-2 right )^{2}$

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное $frac{t-3}{5^{9}cdot t-1}$ будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть $tneq frac{2}{625}$

Аккуратно запишем ОДЗ

$left{begin{matrix} t>0;\ frac{t-3}{5^{9}cdot t-1}>0;\ 625t-2neq 0 end{matrix}right.$

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак, $tin left ( 0;frac{1}{5^{9}} right ) cup left ( 3;+infty right ).$

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

$(t-3)^{2}>(625t-2)^{2}$

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

$(t-3)^{2}-(625t-2)^{2}>0;$

Вспомним, что $tin left ( 0;frac{1}{5^{9}} right )cup left ( 3;+infty right )$ (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что $t<frac{1}{5^{9}}$

Вернемся к переменной x

Поскольку $t=5^{-x^{2}},$

$5^{-x^{2}}<5^{-9};$ $-x^{2}<-9;$ $x^{2}> 9;$ Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

$log_{|x|-2}|x-3|leq 0.$

Запишем ОДЗ:

$left{begin{matrix} |x|-2>0;\ |x|-2neq 1;\ |x-3|neq 0. end{matrix}right.$

Воспользуемся формулой $log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}$ и перейдем к основанию 10:

$frac{lg|x-3|}{lg(|x|-2)}leq 0.$ Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

$g(x)=frac{lg|x-3|}{lg(|x|-2)}.$ Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

$log_{x+2}(36+16x-x^{2})-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}geq 2.$
Запишем ОДЗ:

$left{begin{matrix} x+2>0\ x+2neq 1\ 36+16x-x^{2}>0\ xneq 18 end{matrix}right. : : : : : : : : Leftrightarrow : : : : : left{begin{matrix} x>-2\ xneq -1\ xin (-2;18) end{matrix}right.$
Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что $36+16x-x^{2}=-(x+2)(x-18)$ .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

$log_{x+2}((18-x)(x+2))-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}geq 2;$

$1+log_{x+2}(18-x)-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}geq 2;$

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что $log_{x+2}(x-18)^{2}=2log_{x+2}(x-18).$ Ведь выражение $log_{x+2}(x-18)$ в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

$1+log_{x+2}(18-x)-frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}geq 2.$ Вторая ловушка – попроще. Запись $log^{2}_{a}b$ означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

$log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}=(log_{x+2}(18-x)^{2})^{2}=(2log_{x+2}(18-x))^{2}=4log^{2}_{x+2}(18-x).$
Дальше – всё просто. Сделаем замену $log_{x+2}(18-x)=t$

$t-frac{1}{4}t^{2}geq 1;$

$t^{2}-4t+4leq 0;$

$(t-2)^{2}leq 0.$

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

$log_{x+2}(18-x)=2;\ , \ log_{x+2}(18-x)=log_{x+2}(x+2)^{2};\ , \ 18-x=x^{2}+4x+4;\ , \ x^{2}+5x-14=0;$

$x_{1}=-7$ — не удовлетворяет ОДЗ;

$x_{2}=2.$

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенства с переменным основанием

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Логарифмические неравенства с переменным основанием»

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Новое и интересное на сайте: