Логарифмические неравенства в егэ профильный уровень презентация

ОДЗ
Решить неравенство
Решить неравенство
Решить неравенства
Решить неравенство
При переходе от логарифмов к подлогарифмическим выражениям НЕОБХОДИМО учитывать значение величины основания
Решить неравенство
ОДЗ:
УМК ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
для 1 курса
Решение логарифмических неравенств
тип заданий С3
ГБОУ СПО
КК
«АРМАВИРСКИЙ ЗООВЕТЕРИНАРНЫЙ ТЕХНИКУМ
»
комиссия естественно-математических наук
Преподаватель:
Козловских Екатерина
Валерьевна
Решить неравенство
Найдём область допустимых значений неравенства:
Решить неравенство
Разложим на множители
Решим неравенство методом интервалов.
Найдём нули левой части
Решить неравенство
log
b 
a
 + log
b 
c
 = log
b

 (
ac
)
ОДЗ:
x > 0, x ≠ 1
Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок
приводит

 М.В. Ломоносов
Источники
Соболь
Б. В., Виноградова И. Ю., Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. Изд. 3-е. – Р
н
/Д: «Феникс», 2003. – 352 с
.
Лысенко Ф.Ф.(ред.) Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011

http://
edu.nstu.ru/courses/dovuz/urner/demo/Log/Teor/Fru_m.htm
http://reshuege.ru/test?theme=169
Решить неравенство
ОДЗ
Решить неравенство
log
b 
a
 + log
b 
c
 = log
b

 (
ac
)
Область допустимых значений неравенства

3x-3 > 0 , 3x-3≠0 , ≠0
Решить неравенство
Решить неравенство

Урок-практикум

• «Логарифмические уравнения
• и неравенства, подготовка к ЕГЭ»
• Учитель математики
• МОУ «СОШ №1
• р.п. Новые Бурасы
• Новобурасского района
• Саратовской области»
• Боровикова Е.И.

Логарифмы.

• 1.Повторить:
• Определение логарифма
• Свойства логарифмов
• Решение логарифмических уравнений
• Решение логарифмических неравенств
• 2.Рассмотреть:
• Решение логарифмических уравнений и неравенств из заданий ЕГЭ,
• часть В3, В7
• Решение 1, 2 уровня части С3
• 3. Итоговый тест по решению логарифмических уравнений и неравенств

Определение.

• Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a — называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, что бы получить число b

Основные формулы

Основные свойства логарифма:

• 1)loga(bc)=loga b +loga c
• 2)loga (b/c)= loga b –loga c
• 3) loga b= logc b/ logc a
• 4) loga b=1/ logb a частный случай перехода к одному основанию

Логарифмические неравенства

• Логарифмическим неравенством- называют неравенства вида
• logaf(x)>logag(x),
• где а- положительное число, отличное от 1.
• При а>1 logaf(x)>logag(x)
• <=> f(x)>0,g(x) >0, f(x)>g(x)
• При 0 < а < 1 logaf(x)>logag(x)
• <=> f(x)>0,g(x) >0, f(x) < g(x)

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• = -2

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• = 1/2

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• =3

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• =5

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• =0

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• =1

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• =7

Устный счет –
группа В7 ЕГЭ

• =3

Устный счет –
группа В3 ЕГЭ

• log8 16+log8 4

• =2

Устный счет –
группа В3 ЕГЭ

• log5 375– log5 3

• =3

Работа у доски по карточкам с проверкой на экране (группа В3 ЕГЭ)

• Решение:
  По определению логарифма:
  4+x=5^2
  4+x=25
  x=21

• Ответ: x = 21.

•             

  Решение:
  По определению логарифма:
  8+x=2^3
  8+x=8
  x=0

• Ответ: x = 0.

Работа у доски по карточкам с проверкой на экране

• Решение:
  По определению логарифма:
  9+x=3^4
  9+x=81
  x=72

• Ответ: x = 72.

• Решение:
  По определению логарифма:
  3+x=2^7
  3+x=128
  x=125

• Ответ: x = 125.

Работа у доски
Решение неравенств
1 группа С3 ЕГЭ

• log3 (2х-4)>log3(14-x)
• Log1/3(2х-4)>log1/3(14-x)
• logx-2(2х-3)>logx-2(24-6x)

• 6<х<14

• 2<x<6

• 3(3/8)<x<4

• 2<x<3

Решение неравенств –
2 группа С3 ЕГЭ
Решение для проверки
Решение для проверки
Решение для проверки
Задание на дом

• 1. Повторить 15-19. Подготовка к контрольной работе.
• 2. Выполнить из пункта повторение
• Стр 178,208
• №33.4(а)
• №28.37(а)
• Решить тест он-лайн вариант 5 http://ege.yandex.ru/math/X

Итоговой тест по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства»

• Закрепление знаний

• Итоговый тест
• «Логарифмические неравенства» (N 192097) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a936f9fc-b0e6-4f91-add8-e0258e8a5aab/?from=8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a-6e370cc2df5b&
  «Решение логарифмических уравнений»(N192118) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/ef77265a-595e-428b-868d-02f73703c187/?from=a87d6303-ae07-46dd-a18a-855c725fb448&

Список используемой литературы и ресурсы

• Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемозина, 2009. — 287 с.
• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательнь учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович, Денищева Л.О., Звавич Л.И. и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 264 с
• www.resolventa.ru
• resolventa@list.ru
• Итоговый тест по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (N 192097) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a936f9fc-b0e6-4f91-add8-e0258e8a5aab/?from=8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a-6e370cc2df5b&
• «Решение логарифмических уравнений» (N 192118) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/ef77265a-595e-428b-868d-02f73703c187/?from=a87d6303-ae07-46dd-a18a-855c725fb448&
• http://ege.yandex.ru/math/X
• http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main

Логарифмические уравнения и неравенства на ЕГЭ

Девиз урока:

«В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»

В.П. Ермаков

log 4 (3x — 4) » width=»640″

log 3 (x-2) = 2

1. Решите уравнение:

2 . Решите неравенство:

log 2 х ≥ 4

( 0 ; 16]

( 1 ; 16]

( — ∞ ; 16]

[16; ∞)

3 . Решите уравнение:

log 3 (2 х — 4) = log 3 (x + 7)

4. Найдите наибольшее целое х, при котором выполняется нер-во:

log 4 х log 4 (3x — 4)

∩

5. Укажите промежуток, содержащий все корни уравнения:

log 3 ( х 2 — 1) = 1

(0; 2 ]

[4; 10]

(- ∞ ; — 3)

[-2; 2]

6 . Найдите О.О.Ф функции:

√ log 7 (x 2 + 1,5x)

у =

(- ∞ ; — 2)

(-2; 0,5)

(- ∞ ; — 2 ]

[ 0,5; + ∞ )

( 0,5; + ∞ )

7. Найдите сумму корней уравнения:

5

log 3 х + log 9 х = 3

2

0 lg ( х 2 — 3 )lg x = 0 x 0 lg ( х 2 — 3) = 0 или lg х = 0 x 2 — 3 = 1 х = 1 — x 1 = 2 пост. корень x 2 = -2 — пост. корень Ответ: 2 » width=»640″

1. Решите уравнение:

ОДЗ

х 2 — 3 0

lg ( х 2 — 3 )lg x = 0

x 0

lg ( х 2 — 3) = 0 или lg х = 0

x 2 — 3 = 1 х = 1 —

x 1 = 2 пост. корень

x 2 = -2 —

пост. корень

Ответ: 2

0 ОДЗ log 2 (2 x+3 ) 0 lg (0,1 2x-1 ) 0 log 3 ( х + 3 ) + log 3 ( 1 – 2х ) = 1 (x+3)(1 — 2x) = 3 x + 3 — 2x 2 — 6x — 3 = 0 — 2x 2 — 5x = 0 x (- 2x — 5) = 0 x = 0 или х = -2,5 Ответ: — 2,5 ;0 » width=»640″

2. Найти сумму корней уравнения:

log 3 log 2 (2 x+3 ) + log 3 lg (0,1 2x-1 ) = 1

2 x+3 0

ОДЗ

log 2 (2 x+3 ) 0

lg (0,1 2x-1 ) 0

log 3 ( х + 3 ) + log 3 ( 1 – 2х ) = 1

(x+3)(1 — 2x) = 3

x + 3 — 2x 2 — 6x — 3 = 0

— 2x 2 — 5x = 0

x (- 2x — 5) = 0

x = 0 или х = -2,5

Ответ: — 2,5 ;0

0 ≥ 0 (log 5 х ) 2 x = 1 Общее решение с учетом ОДЗ: + + х 1 0 (0; 1) (1; + ∞ ) Ответ: 2 » width=»640″

∩

3. Найти наименьшее целое решение неравенства:

ОДЗ

х + 9

x 0

≥ 0

(log 5 х ) 2

x = 1

Общее решение с учетом ОДЗ:

+

+

х

1

0

(0; 1) (1; + ∞ )

Ответ: 2

3 ! Доказательство: 1 1 = 8 4 3 2 1 1 = 2 2 3 2 1 1 lg lg = 2 2 1 1 1 2 3 = 3lg : lg 2lg 2 2 2 » width=»640″

2 3 !

Доказательство:

1

1

=

8

4

3

2

1

1

=

2

2

3

2

1

1

lg

lg

=

2

2

1

1

1

2 3

=

3lg

: lg

2lg

2

2

2

0 ОДЗ x 2 (2; 3) (3; + ∞ ) x = 3 4 log 2 (x — 2) 1 log 2 3 x — 6 log 3 x + 9 = log 2 (x — 2) 1 » width=»640″

∩

1 . Решите уравнение:

log x -2 16

(log 3 х -3) 2 =

log x -2 2

x 0

ОДЗ

x 2

(2; 3) (3; + ∞ )

x = 3

4 log 2 (x — 2)

1

log 2 3 x — 6 log 3 x + 9 =

log 2 (x — 2)

1

Э

Пусть log 3 х = t. Получим:

t 2 — 6t + 5 = 0

D = 36 — 5*4*1 = 16

t 1 = 5

t 2 = 1

Возвращаясь к переменной х, получим:

log 3 х = 1

log 3 х = 5

x = 3 —

x = 3 5 = 243 ОДЗ

пост. корень

Ответ: 243

0 ОДЗ x 0 (√3; + ∞ ) x = 1 log 2 1 1 log 2 ( х 2 — 3) + = 0 3 log 2 x х 2 — 3 = 1 х 1 = 2 х 2 = -2 — пост. корень Ответ: 2 » width=»640″

2 . Решите уравнение:

log 8 ( х 2 — 3) + log x 1 = 0

x 2 – 30

ОДЗ

x 0

(√3; + ∞ )

x = 1

log 2 1

1

log 2 ( х 2 — 3) +

= 0

3

log 2 x

х 2 — 3 = 1

х 1 = 2

х 2 = -2 — пост. корень

Ответ: 2

1.

Лекция по алгебре.
Тема: логарифмические
неравенства.
Преподаватель математики Хохлова С.Н., Мещенко Н.В.

2.

Определение:
Неравенства, содержащие переменную
под знаком логарифма, называются
логарифмическими.
Например:
1) log5 x 2;
2) lg( x 5) 5;
3) ln( x 1) ;
4) log
3
2
( x 2 x 6)
25 2

3.

I. Типы простейших
логарифмических неравенств
Неравенства вида
1) loga x b или
loga x b
называются простейшими
логарифмическими неравенствами
Неравенства можно переписать
loga x loga
b или
a
loga x loga a
b

4.

Решение логарифмических неравенств
основано на свойстве монотонности
функции y = logat : при a > 1
логарифмическая функция возрастает и
при
0 < a < 1 убывает.
y
y
y = logat, a > 1
0
1
t
0
y = logat, 0 < a < 1
1
t

5.

Методы решения
логарифмических неравенств.
І) Неравенство вида logaf(x) > c (или < c ).
Если a > 1,то
logaf(x) > c,
logaf(x) > c logaa , функция y = logat
возрастает на R+ и
c
logaf(x ) > logaa .
неравенствоlogaf(x)> c
равносильно системе
a>1
f(x) > 0 – это ОДЗ
или
c
f(x) > a – это монотонность
f(x) > ac

6.

Пример. Решить неравенство
log7(4x + 1) 2
Решение.
log7(4x + 1) log749
Так как (a = 7 > 1)
4x + 1 > 0 – это ОДЗ
4x + 1 49
4x + 1 49,
x 12
Ответ: x 12 .

7.

2) Если 0 < a < 1, то функция y = logat
убывает на R+ и неравенство
logaf(x) > c равносильно системе
f(x) > 0 – это ОДЗ
f(x) < ac – это монотонность
Систему в этом случае упростить
нельзя.

8.

Пример. Решить неравенство
log1/2(1 – x) > 2
Решение.
log1/2(1 – x) > log1/2(1/4)
1 – x > 0 – это ОДЗ
1 – x < 1/4 (a = 1/2 < 1)
3/4 < x < 1
x<1
x > 3/4
Ответ: ( 0,75; 1) .

9.

І І. Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x)
или logaf (x) < logaφ(x).
1) Если a > 1, то функция y = logat
возрастает на R+ и неравенство
log a f (x) > log aφ(x) равносильно системе
f(x) > 0
– это ОДЗ
φ(x) > 0
f(x) > φ(x) – это монотонность
f(x) > φ(x)
φ(x) > 0

10.

Пример. Решить неравенство
lgx2 > lg(5x – 4)
Решение.
x2 > 5x – 4
5x – 4 > 0
x2
>0
– это ОДЗ
5x – 4 > 0
x2 > 5x – 4 (a = 10 > 1)
(x – 1)(x – 4) > 0
x > 4/5
1
4
x
4/5
Ответ: (0,8;1) (4;∞).

11.

І І. Неравенство вида
logaf(x) > logaφ(x) или logaf (x) < logaφ(x).
2) Если 0 < a < 1, то функция y = logat
убывает на R+ и неравенство
logaf(x) > logaφ(x) равносильно системе
f(x) > 0
– это ОДЗ
φ(x) > 0
f(x) < φ(x) – это монотонность
φ(x) > f(x)
f(x) > 0

12.

Пример. Решить неравенство
log1/3(3x – 4) ≥ log1/3(x2 – 2)
Решение.
3x – 4 > 0
– это ОДЗ
x2 – 2 > 0
3x – 4 ≤ x2 – 2 (a = 1/3 < 1)
(x – 1)(x – 2) ≥ 0
x > 4/3
x2 – 2 ≥ 3x – 4
3x – 4 > 0
1
4/3
2
Ответ: [ 2; ∞).
x

13.

Простейшие логарифмические
неравенства.
f x 1,
logа f x 0, logа f x loga 1,
a 1
0 f x 1,
logа f x loga 1,
0 a 1
0 a 1
1)
a 1
logа f x 0,
2)
0 a 1
a 1
logа f x 0,
3)
a 1
logа f x loga 1,
0 f x 1,
a 1
a 1
logа f x 0,
4)
0 a 1
logа f x loga 1,
f x 1,
0 a 1
0 a 1

14.

І І І) Неравенства, требующие предварительных
преобразований.
1) Находят ОДЗ неравенства.
2) Преобразуют неравенство к виду І
или І І и решают полученное
неравенство, используя свойство
монотонности.
3) Находят пересечение множества
решений с ОДЗ неравенства и
записывают ответ.

15.

Пример. Решить неравенство
log 2(x – 1) + log 2x ≤ 1
Решение. 1) ОДЗ :
x–1>0
x>0
2) log 2(x – 1)·x ≤ log 22
x2
– x ≤ 2, (x + 1)(x – 2) ≤ 0
x>1
a=2>1
-1
2
3) Пересечение множества решений с ОДЗ.
-1
1
2
x
Ответ: ( 1; 2].
x

16.

III.Метод замены переменной в
логарифмическом неравенстве.
Пример. Решить неравенство
Решение.
lg x 3 lg x 3
1
lg x 1
2
Пусть lgx = t, t – любое число, тогда
2
t
3
t
3
неравенство примет вид
1 0
t 1
2
Отсюда
имеем
t 4t 4
0 Нули числителя
:
2(
кратность четная)
lg x < 1;
t 1 2
Нули знам.:1(кратность нечетная)
lg x < lg10
t 2 0
+
+
т. к.
> 1, x >0, то
t 1
— a = 10 2
1 0 < x < 10
t 1
Ответ:
0; 10

17. IV. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма

Теорема 1.
Если а > 0,
a ≠1, b> 0, c> 0,
1) неравенство logab > logac равносильно неравенству
(a -1)(b — c) > 0;
2) неравенство logab ≥ logac равносильно неравенству
(a -1)(b — c) ≥ 0;
3) неравенство logab < logac равносильно неравенству
(a -1)(b — c) < 0;
4) неравенство logab ≤ logac равносильно неравенству
(a -1)(b — c) ≤ 0;

18. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма

Замечание- соглашение.
Для упрощения записей целесообразно
ввести символ v ,
понимая, что там, где стоит этот символ,
должен стоять один из знаков ≥, ≤,>либо<.
Тогда теорема 1 может быть
сформулирована более коротко: при всех
допустимых значениях a ,b и с неравенство
logab v logac равносильно (a -1)(b — c) v 0.
Если в процессе решения смысл неравенства
должен измениться, то пишется символ .

19.

Пример 1. Решите неравенство
logx+7(2×2-6x+8)≤logx+7(x2+x-2).
Решение: logx+7(2×2-6x+8) ≤ logx+7(x2+x-2)
x 7 1 2 x 2 6 x 8 x 2 x 2 0,
x 7 0 , x 7 1,
2 x 2 6 x 8 0,
x 2 x 2 0
x 6 x 5 x 2 0,
x 7, x 6,
x 2 x 1 0
x 6 x 2 7 x 10 0,
x 7, x 6,
2
x 3x 4 0,
x 2 x 1 0
6,
7 x -6
2 x 5.
-7 -6
x 3x 4 0
2
Так как D<0,то
x 3x 4 0
2
на x R
2
-2
5
1
Ответ: 7; 6 2;5 .
-7
-6
2
5

20. Следствие 1. При допустимых значениях a ,b и c неравенство logab — logac v 0 равносильно неравенству (a -1)(b — c) v 0

Следствие 1. При допустимых значениях a ,b
и c неравенство logab — logac v 0
(a -1)(b — c) v 0
Следствие 2. При допустимых значениях a и b
равносильно неравенству
неравенство logab
a
v
0 равносильно
неравенству ( -1)(b — 1) v 0
Пример .
Решите неравенство
log10-х(x2-5x+6) — log10-х(2x-4)≥0.
Решение:
10 x 1 x 2 5 x 6 2 x 4 0, x 9 x 2 x 5 0,
x 10, x 9,
x 9 x 5 x 2
10 x 0 , 10 x 1,
2
3 x 10, x 9,
x
2
x
3
0
,
x 5 x 6 0,
2 x 4 0
x 2
0,
5 x 9
Ответ: 5; 9

21.

1. Решите неравенство :
x
2
2 x 8 log x 5 2 x 7 0.
Ответ : 4; 3 2;4 .
2. Решите неравенство
log x x 3 log x 9 x
log x 1 x
0.
Ответ : 3;6

22.

Теорема 2.
При допустимых значениях a ,b , c, d неравенство
logab logcd v 0 равносильно неравенству
(a -1)(b — 1)(c-1)(d-1) v 0
2
x
log
log
x
1 0.
Решите неравенство:
1 x 1
x 2
x
Решение:
1 x
2
1
1
x
3
x
1 1 0
, 1 x 1
x 1 x 3
2
x x 1
0,
x x 1 x 3 x 0, x3 x 1
1 0, x 1,
x 2,
x
x 0, x 1,
x 3
x
x 1 0,
0,
x 1
x 2, x 3
x 2 0, x 2 1
2 x 3.
Ответ:
2;3 .

23.

Теорема 3.
При допустимых значениях a ,b , c неравенство
logab — logcb v 0 равносильно неравенству
(a -1)(b — 1)(c-1)(c-a) v 0.
Решите неравенство:
log x x 1 log x 1 x 1 0.
Решение:
x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 0,
x x 1 x 2 0,
x 0, x 1,
1 x 2.
x 1
x
1
0
,
x 1 0, x 1 1
Ответ: 1;2 .

24.

Домашнее
задание.
1) Разобрать приёмы решений логарифмических
уравнений и неравенств по лекции.
2) Никольский 10 кл.
I. № 6.33 – 6. 34, 6.37(а, б), 6.38(а),6.41(a,г)
II. № 6.37(а, б), 6. 39(в, г), 6.41(б, в), 6.42(в, г).

Данную презентацию можно использовать при повторении темы «Логарифмические уравнения и неравенства» и при подготовке к ЕГЭ. Особенно при решении заданий № 13 и 15.