ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравнения
Проверочная работа по математике.
Тема: «Решение логарифмических уравнений». Задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ(http://mathege.ru/)
Задание В5 в ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Данная разработка посвящена одному из разделов задания В5 – это решение логарифмических уравнений.
Основной задачей является:
— проверка качества знаний и умений учащихся;
-повышение вычислительной культуры учащихся
Представленная проверочная работа состоит из 4вариантов, в каждом из которых по 13 заданий. Задания данной работы соответствуют прототипам заданий В5 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Данный материал можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Для удобства проверки приведены ответы
Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант1
Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5из открытого банка заданий ЕГЭ вариант2
Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант3.
Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант4
Ответы к проверочной работе
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
1 вариант |
-57 |
0 |
5 |
-7 |
16 |
-68 |
-0,2 |
6 |
-2 |
-1 |
3 |
5,5 |
10 |
|
2 вариант |
-33 |
29 |
9 |
3 |
6 |
-11 |
-21 |
1 |
8 |
7 |
3 |
2,2 |
1 |
|
3 вариант |
-57 |
125 |
1 |
-4 |
4 |
-14 |
0,2 |
2,75 |
-0,4 |
12 |
-4 |
1,5 |
-2 |
|
4 вариант |
-5 |
29 |
-1 |
-13 |
5 |
-51 |
-10,5 |
-4 |
0,8 |
1 |
6 |
4,5 |
399 |
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
$log_{2}8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$
$log_3{1}/{27}=-3$, т.к $3^{-3} = {1}/{27}$.
Особенно можно выделить три формулы:
$log_{a}a=1;$
$log_{a}1=0;$
$log_{a}a^b=b.$
Основное логарифмическое тождество:
$a^{log_{a}b}=b$
Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$
$4^{log_{4}5}=5$;
$3^{-2log_{3}5}=(3^{log_{3}5})^{-2}=5^{-2}={1}/{25}$
Некоторые свойства логарифмов
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:
$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{3}3^10=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_{a}b>0$, а если по разные, то $log_{a}b<0$.
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lgb$ вместо $log_{10}b$.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2,7$. При этом пишут $ln b$, вместо $log_{e}b$
Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
$log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше $0$.
Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
1. Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$
$log_{2}x=3$
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2
$log_{2}x=log_{2}2^3$
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
$x = 8$
Ответ: $х = 8$
2. Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:
${table f(x)=g(x); f(x)>0; g(x)>0;$
$log_3(x^2-3x-5)=log_3(7-2x)$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
$x^2-3x-5=7-2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
$x^2-x-12=0$
$x_1=4,x_2= -3$
Проверим найденные корни по условиям: ${table x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
Ответ: $х= -3$
3. Уравнения квадратного вида ${log_a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.
4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.
Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$
Решение:
Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$
$log_5(log_2(x+1))=log_{5}5$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
$log_2(x+1)=5$
Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
$log_2(x+1)=log_{2}2^5$
$x+1=32$
$x=31$
ОДЗ данного уравнения $x+1>0$
Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.
Ответ: $31$
Как решать логарифмические уравнения – подробный разбор
Опубликовано 12.01.2018
Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.
Например,
или число 3 (показатель степени) мы можем записать так
, таким образом
Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма – строго больше нуля.
Теперь переходим непосредственно к вопросу – как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.
Пример 1 Найдите корень уравнения.
согласно определению логарифма:
Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные – переносим в правую сторону.
Получим:
Делаем проверку:
Ответ:
Пример 2. Найдите корень уравнения.
Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:
То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.
или
Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим
Делаем проверку: 
Получаем:
Ответ:
Пример 3. Найдите корень уравнения
Используем следующее свойство логарифма:
Тогда получим:
Делаем проверку:
Ответ:
Пример 4. Найдите корень уравнения.
Используя определение логарифма, получим:
Проверим: 
Ответ: .
Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:
- Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
- Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
- Решаем получившееся обычное уравнение – как найти корень уравнения смотрите здесь.
- Делаем проверку
- Записываем ответ.
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )