Логарифмические уравнения егэ базовый уровень решу

Сайты, меню, вход, новости

                    Проверочная работа по математике.

          Тема: «Решение логарифмических  уравнений».         Задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ(http://mathege.ru/)

Задание В5 в ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Данная разработка посвящена одному из разделов задания В5 – это решение логарифмических уравнений.

 Основной задачей является:

— проверка качества знаний и умений учащихся;

-повышение вычислительной культуры учащихся

Представленная проверочная работа состоит из 4вариантов, в каждом из которых по 13 заданий. Задания  данной работы соответствуют прототипам заданий В5 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Данный материал  можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Для удобства проверки приведены ответы

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант1

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5из открытого банка заданий ЕГЭ вариант2

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант3.

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант4

Ответы к проверочной работе

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1 вариант	-57	0	5	-7	16	-68	-0,2	6	-2	-1	3	5,5	10
2 вариант	-33	29	9	3	6	-11	-21	1	8	7	3	2,2	1
3 вариант	-57	125	1	-4	4	-14	0,2	2,75	-0,4	12	-4	1,5	-2
4 вариант	-5	29	-1	-13	5	-51	-10,5	-4	0,8	1	6	4,5	399

ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравненияadmin2018-08-29T21:30:04+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

.

Основное логарифмическое тождество:

,

.

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие .

Ответ:

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения:

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Как решать логарифмические уравнения – подробный разбор

Опубликовано 12.01.2018

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

или число 3 (показатель степени) мы можем записать так  , таким образом 

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма – строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу – как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения.

согласно определению логарифма:

Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные – переносим в правую сторону.

Получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 2. Найдите корень уравнения.

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

или

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Делаем проверку:

Получаем:

Ответ:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Используем следующее свойство логарифма:

Тогда получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 4. Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем получившееся обычное уравнение – как найти корень уравнения смотрите здесь.
4. Делаем проверку
5. Записываем ответ.

( 4 оценки, среднее 5 из 5 )



Логарифмы в заданиях ЕГЭ