Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Стало быть, годятся лишь и .
Ответ:
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе «Решение логарифмических неравенств, содержащих знак модуля»
Разделы: Математика
Цели:
1) Научить решать логарифмические неравенства со знаком модуля различными способами.
2) Повторить свойства логарифмической функции и её график.
Оборудование:
3) координатная плоскость.
Целью данного урока является повторение свойств логарифмической функции при решении логарифмических неравенств, содержащих знак модуля и изучение различных способов решения таких неравенств. Решение названных неравенств относится к задачам повышенной сложности.
Теоретическое обоснование различных способов решения неравенств, содержащих знак модуля, учащиеся изучили самостоятельно в творческих группах. На уроке представители групп применяют изученную теорию к решению неравенства |3 – log2x| 1), значит,
log
x 
3 logx 
log8 
0 logx>1 logx > log2 
x > 2.
Общее решение x є (2;8]
Рассмотрим 2 случай решения.
| а | = 
Если 3 — logx logx > 3 logx > log8 
x > 8.
При выполнении этого условия данное неравенство примет вид:
— 3 + logx logx logx 
0 | log2x — 3 | 1).
2 0, то |x| — в в 
Решение |3 — log2x | — 2 — 5 1 
2 6.02.2008
Алгебра
План урока:
Задание. Укажите корень логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид
Задание. Найдите решение логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
Задание. Решите урав-ние
Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.
Задание. Решите урав-ние
Задание. Найдите корень урав-ния
Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид
С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.
Задание. Решите урав-ние
Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:
Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:
Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:
Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).
Уравнения, требующие предварительных преобразований
Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).
Задание. Решите урав-ние
с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:
Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:
Задание. Решите урав-ние
Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем
Задание. Решите урав-ние
Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:
Задание. Решите урав-ние
Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что
Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что
Задание. Решите урав-ние
Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу
Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной
Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:
Логарифмирование уравнений
Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.
Задание. Укажите корни урав-ния
Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:
Возвращаемся от переменной t к переменной х:
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства
Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.
Задание. Найдите решение логарифмического неравенства
Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:
Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение
Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:
Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).
источники:
http://urok.1sept.ru/articles/504671
http://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie
Урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе «Решение логарифмических неравенств, содержащих знак модуля»
Разделы: Математика
Цели:
1) Научить решать логарифмические неравенства со знаком модуля различными способами.
2) Повторить свойства логарифмической функции и её график.
Оборудование:
3) координатная плоскость.
Целью данного урока является повторение свойств логарифмической функции при решении логарифмических неравенств, содержащих знак модуля и изучение различных способов решения таких неравенств. Решение названных неравенств относится к задачам повышенной сложности.
Теоретическое обоснование различных способов решения неравенств, содержащих знак модуля, учащиеся изучили самостоятельно в творческих группах. На уроке представители групп применяют изученную теорию к решению неравенства |3 – log2x| 1), значит,
logx 3 logx log8 0 logx>1 logx > log2 x > 2.
Общее решение x є (2;8]
Рассмотрим 2 случай решения.
| а | =
Если 3 — logx logx > 3 logx > log8 x > 8.
При выполнении этого условия данное неравенство примет вид:
— 3 + logx logx logx 0 | log2x — 3 | 1).
2 0, то |x| — в в
Решение |3 — log2x | — 2 — 5 1 2 6.02.2008
Алгебра
План урока:
Задание. Укажите корень логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид
Задание. Найдите решение логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
Задание. Решите урав-ние
Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.
Задание. Решите урав-ние
Задание. Найдите корень урав-ния
Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид
С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.
Задание. Решите урав-ние
Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:
Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:
Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:
Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).
Уравнения, требующие предварительных преобразований
Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).
Задание. Решите урав-ние
с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:
Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:
Задание. Решите урав-ние
Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем
Задание. Решите урав-ние
Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:
Задание. Решите урав-ние
Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что
Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что
Задание. Решите урав-ние
Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу
Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной
Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:
Логарифмирование уравнений
Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.
Задание. Укажите корни урав-ния
Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:
Возвращаемся от переменной t к переменной х:
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства
Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.
Задание. Найдите решение логарифмического неравенства
Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:
Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение
Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:
Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a
Введите логарифмическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Логарифмическая функция. Логарифмы
Задача 1. Найти положительный корень уравнения x 4 = 81
По определению арифметического корня имеем ( x = sqrt[4] <81>= 3 )
Задача 2. Решить уравнение 3 x = 81
Запишем данное уравнение так: 3 x = 3 4 , откуда x = 4
В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a x = b, где a > 0, ( a neq 1 ), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают logab
Например, корнем уравнения 3 x = 81 является число 4, т.е. log381 = 4.
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, ( a neq 1 ), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b
log77 = 1, так как 7 1 = 7
Определение логарифма можно записать так:
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.
Вычислить log64128
Обозначим log64128 = х. По определению логарифма 64 x = 128. Так как 64 = 2 6 , 128 = 2 7 , то 2 6x = 2 7 , откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log64128 = 7/6
Вычислить ( 3^ <-2log_3 5>)
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим
Решить уравнение log3(1-x) = 2
По определению логарифма 3 2 = 1 — x, откуда x = -8
Свойства логарифмов
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а > 0, ( a neq 1 ), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.
Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log10b
Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо logeb
Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + frac<1> <1>+ frac<1> <1 cdot 2>+ frac<1> <1 cdot 2 cdot 3>+ dots + frac<1> <1 cdot 2 cdot 3 cdot dots cdot n>+ dots $$
Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:
Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ log_a b = frac<lg b> <lg a>, ;; log_a b = frac<ln b> <ln a>$$
Логарифмическая функция, её свойства и график
В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = logax
где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1 )
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция не является ограниченной.
4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке ( (0; +infty) ), если a > 1,
и убывающей, если 0 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 1.
Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax
Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = a x , где a > 0, ( a neq 1 ), взаимно обратны.
Логарифмические уравнения
Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
log2((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х 2 + 4х + 3 = 8, т.е. х 2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ x = 1
Решить уравнение lg(2x 2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x 2 — 4x + 12) = lg(x 2 + 3x)
откуда
2x 2 — 4x + 12 = x 2 + 3x
x 2 — 7x + 12 = 0
x1 = 3, х2 = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 3, х2 = 4
Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)
Преобразуем данное уравнение:
log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0
log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1
2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 1, х2 = 16
источники:
http://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie
http://www.math-solution.ru/math-task/logarithmic-equality
22
Янв 2014
Категория: 14 (С3) НеравенстваЛогарифмыМодульТ/P A. Ларина
С3 (№17) с логарифмами и модулями
2014-01-22
2015-09-04
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»
Рассмотрим следующее задание С3 из Т/Р №60 А. Ларина.
Данное задание наглядно показывает, где можно на экзамене существенно сэкономить время 
.
Решайте сначала сами, – вот вам в помощь ссылочка на решение неравенств с несколькими модулями, если вы совсем еще не знакомы с такого плана заданиями.
Итак, условие:
Решите систему неравенств:
Решение: + показать
Смотрите также С1(№15) и С4(№18) Т/Р № 60.
Автор: egeMax |
комментария 4
Поиск
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 146 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решите неравенство: 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292.
Решите систему неравенств 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
меньше −2.
Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019
Решите неравенство 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 353.
Решите неравенство: 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 297.
Решите систему неравенств 
Решите неравенство 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 345.
Решите неравенство 
Решите неравенство: 
Решите неравенство 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 170.
Решите неравенство: 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.
Решите неравенство: 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 396.
Решите неравенство: 
Решите неравенство: 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 389.
Решите неравенство: 
Решите систему неравенств
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18.
Решите систему неравенств: 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 54.
Решите систему неравенств 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3.
Решите неравенство 
Решите систему неравенств 
Всего: 146 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Занятие по программе элективного курса «Решение логарифмических, показательных уравнений, неравенств с параметрами»
Разделы: Математика
1. Введение
2. Показательные и логарифмические уравнения
Рассмотрим решение показательных и логарифмических уравнений с параметром на конкретных примерах.
Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.
Решите следующие примеры самостоятельно.
2. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log3(9 x + 9a 3 ) = x имеет два различных решения.
| 3. Решите уравнение |  |
. |
| 4. Решите уравнение |  |
. |
| 9. Решите уравнение |  |
. |
| 10. Решите уравнение |  |
. |
4. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) x = 3 / 4.
| 5. При |  |
, при m = 1 x = 1, при |  |
, при m ∈ [-1; 1] x ∈ ∅. |
| 7. При a ∈ (-∞; 1 / 4] |  |
. |
| 9. При |  |
. |
3. Показательные и логарифмические неравенства
| Решите неравенство |  |
. |
При a ≤ 0 и a = 0 показательная функция не определена, следовательно, неравенство не имеет решения.
| Рассмотрим решение неравенства при a > 0, a ≠ 1 |  |
. |
Введем вспомогательную переменную a x = z.
| Тогда неравенство принимает вид |  |
или |  |
. |
Решив алгебраическое неравенство методом интервалов, получим z ∈ (-∞; 1 / 2) ∪ (1; 2),
| или |  |
. |
Монотонность показательной функции зависит от величины основания, следовательно,
| при a ∈ (0; 1) совокупность неравенств принимает вид |  |
, |
| а при a ∈ (1; +∞) |  |
. |
| 2. При каких значениях параметра неравенство |  |
верно при любом действительном значении x? |
6. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 + log2(2x 2 + 2x + 7 / 2) ≥ log7(cx 2 + c) имеет хотя бы одно решение.
Источник
Логарифмические уравнения, неравенства и системы с параметром
п.1. Примеры
Ответ:
При (aleq 1cup agt 100) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=100) один корень (x=1)
При (1lt alt 100) два корня (x_<1,2>=1pmsqrt<1-frac<lg a><2>>)
б) ( x^<log_a x>=a^2 x )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ agt 0\ ane 1 end )
Замена: (t=log_a xRightarrow x=a^t.) Подставляем: begin (a^t)^t=a^2cdot a^tRightarrow a^=a^<2+t>Rightarrow\ Rightarrow t^2=2+tRightarrow t^2-t-2=0Rightarrow (t+1)(t-2)=0Rightarrow left[ begin t_1=-1\ t_2=2 end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin log_a x=-1\ log_a x=2 end right. Rightarrow left[ begin x_1=a^<-1>=frac1a\ x_2=a^2 end right. end Ответ:
При (0lt alt 1cup agt 1) два корня (x_1=frac1a, x_2=a^2)
При (alt 0cup a=1) решений нет.
Пример 2. Решите неравенство:
a) ( log_a(x-1)+log_a xgt 2 )
(log_a(x(x-1))gtlog_a a^2) begin left[ begin begin agt 1\ x-1gt 0\ xgt 0\ x^2-xgt a^2 end \ begin 0lt alt 1\ x-1gt 0\ xgt 0\ x^2-xlt a^2 end end right. Rightarrow left[ begin begin agt 1\ xgt 1\ x^2-x-a^2gt 0 end \ begin 0lt alt 1\ x-1gt 0\ xgt 1\ x^2-x-a^2lt 0 end end right. end Исследуем параболу (f(x)=x^2-x-a^2)
(D=1+4a^2gt 0, forall a)
(x_<1,2>=frac<1pmsqrt<1+4a^2>><2>)
Эта парабола всегда имеет две различных точки пересечения с осью OX.
(f(x)gt 0), при (xlt x_1cup xgt x_2)
(f(x)lt 0), при (x_1lt xlt x_2)
Подставляем в совокупность: begin left[ begin begin agt 1\ xgt 1\ xltfrac<1-sqrt<1+4a^2>><2>cup xgtfrac<1+sqrt<1+4a^2>> <2>end \ begin 0lt alt 1\ xgt 1\ frac<1-sqrt<1+4a^2>><2>lt xlt frac<1+sqrt<1+4a^2>> <2>end end right. Rightarrow left[ begin begin agt 1\ xgt frac<1+sqrt<1+4a^2>> <2>end \ begin 0lt alt 1\ alt xlt frac<1+sqrt<1+4a^2>> <2>end end right. end Ответ:
При (agt 1) луч (xinleft(frac<1+sqrt<1+4a^2>><2>;+inftyright))
При (0lt alt 1) интервал (xinleft(1;frac<1+sqrt<1+4a^2>><2>right))
При (aleq 0cup a=1) решений нет.
б) ( log_x(x-a)gt 2 )
(log_x(x-a)gtlog_x x^2) begin left[ begin begin xgt 1\ x-agt x^2\ x-agt 0 end \ begin 0lt xlt 1\ x-alt x^2\ x-agt 0 end end right. Rightarrow left[ begin begin xgt 1\ x^2-x+alt 0\ xgt a end \ begin 0lt xlt 1\ x^2-x+agt 0\ xgt a end end right. end Исследуем параболу (f(x)=x^2-x+a)
(D=1-4a)
в) ( frac<log_a(35-x^3)><log_a(5-x)>gt 3 ) begin frac<log_a(35-x^3)><log_a(5-x)>-3gt 0\ frac<log_a(35-x^3)-3log_a(5-x)><log_a(5-x)>gt 0\ left[ begin begin log_a(35-x^3)gt 3log_a(5-x)\ log_a(5-x)gt 0 end \ begin log_a(35-x^3)lt 3log_a(5-x)\ log_a(5-x)lt 0 end end right. Rightarrow left[ begin begin log_a(35-x^3)gt log_a(5-x)^3\ log_a(5-x)gt 0 end \ begin log_a(35-x^3)lt log_a(5-x)^3\ log_a(5-x)lt 0 end end right. Rightarrow \ Rightarrow left[ begin begin agt 1\ left[ begin begin 35-x^3gt(5-x)^3gt 0\ 5-xgt 1 end \ begin 0lt 35-x^3lt(5-x)^3\ 0lt 5-xlt 1 end end right. end \ begin 0lt alt 1\ left[ begin begin 0lt 35-x^3lt(5-x)^3\ 0lt 5-xlt 1 end \ begin 35-x^3gt (5-x)^3gt 0\ 5-xgt 1 end end right. end end right. Rightarrow begin 0lt alt 1cup agt 1\ left[ begin begin 35-x^3gt(5-x)^3gt 0\ 5-xgt 1 end \ begin 0lt 35-x^3lt (5-x)^3\ 0lt 5-xlt 1 end end right. end end Решим основное неравенство: begin 35-x^3gt(5-x)^3\ 35-x^3gt 125-75x+15x^2-x^3\ 15x^2-75x+90lt 0\ x^2-5x+6lt 0\ (x-2)(x-3)lt 0\ 2lt xlt 3 end Подставляем в систему: begin begin 0lt alt 1cup agt 1\ left[ begin begin 2lt xlt 3\ xlt 4 end \ begin xlt 2cup xgt 3\ xltsqrt[3]<35>\ 4lt xlt 5 end end right. end Rightarrow begin 0lt alt 1cup agt 1\ left[ begin 2lt xlt 3\ varnothing end right. end Rightarrow begin 0lt alt 1cup agt 1\ 2lt xlt 3 end end Ответ:
При (0lt alt 1cup agt 1, xin(2;3))
При (aleq 0cup a=1) решений нет
Источник
Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметром»
Разделы: Математика
Ученик проходит в несколько лет
дорогу, на которую человечество
употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели
не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать
истину, не как готовый результат,
а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой
экспедицией открытий, следовательно,
также присутствовать не только в качестве простого зрителя.
Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто не должно
доставаться даром. Даётся только тому, кто стремится.
Кто любит учиться, никогда
не проводит время в праздности.
Гений состоит из одного процента вдохновения и девяноста девяти процентов потения.
К сожалению, изучению этих трёх типов решения логарифмических уравнений с параметрами в программе общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. А подобные уравнения входят в сложную группу заданий, предлагаемых в рамках ЕГЭ, для решения которых необходима хорошая теоретическая подготовка учащихся и уверенное владение технологиями решения математических задач. Выпускник должен не только знать обязательные этапы решения логарифмических уравнений с параметрами, но и хорошо понимать их смысл и назначение, так как многие учащиеся понимают параметр, как «обычное число». Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
На вступительных экзаменах в высшие учебные заведения в виде ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.
Основная цель данной методической разработки: научить учащихся решать нестандартные логарифмические уравнения с параметром, показать разные методы их решений, сделать использование этих методов глубоко осмысленными.
Предлагаемые в этой методической разработке методы решения уравнений не сказочный ключ к решению любой задачи. Но они направляют мысль, сокращают время поиска, формируют навыки решения. Все предлагаемые уравнения снабжены подробными решениями. Показано решение 18 уравнений. Но чтобы получить ощутимую пользу от знакомства с готовым решением, необходимо, уловив новую идею, удержаться и не читать дальше, и попробовать затем решать самостоятельно.
При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо придерживаться следующей схемы:
1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить х через а).
3. Сделать перебор параметра а с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.
Источник
Проект на тему «Логарифмы с параметрами»
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №9
на тему: «Логарифмы с параметрами»
Александрова Светлана Викторовна-учитель математики
Учащийся 11 класса Герасимов Виталий.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Между тем, параметрические уравнения, в том числе и логарифмические, входят в состав сборников ЕГЭ. А ЕГЭ сдавать придется каждому.
Данный проект должен помочь в изучении таких интересных тем, как «Логарифмы» и «Параметры», а так же должен помочь при подготовке к единому государственному экзамену.
Логарифмы, а тем более с параметрами – вещь очень сложная. Поэтому перед началом проекта был проведен опрос в нашем классе (22 человека, 6 не участвовали в опросе) : «Можете ли вы решать логарифмы с параметрами?».
Результаты (представлены в диаграмме) оказались очень интересными:
Как мы видим из результатов опроса, логарифмические уравнения с параметрами особой популярностью не пользуются. Но это и не удивительно: чтобы их решать, нужно знать все о логарифмах.
Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения
Виды логарифмических уравнений с параметрами:
Логарифмические уравнения с параметрами можно разделить на три вида в зависимости от местоположения параметра:
Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении.
Уравнения, содержащие параметры в основании.
Уравнения, содержащие параметры и в основании и в логарифмируемом выражении.
Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении:
Уравнения, содержащие параметры в основании:
Из определения логарифма следует, что
Уравнения, содержащие параметры и в основании и в логарифмируемом выражении:
С5. Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет ровно два различных решения
Что дал этот проект?
В процессе работы мы овладели начальными навыками решений параметрических уравнений, научились решать логарифмические уравнения с параметрами. Эта работа позволила нам лучше изучить и запомнить все свойства логарифмов. А главное, мы окончательно убедились в том, что есть вещи похуже проектной по технологии.
Результаты повторного опроса:
По окончанию данного проекта был проведен повторный опрос на тему «Можете ли вы решать логарифмические уравнения с параметрами?». Результаты оказались намного лучше предыдущих: теперь все 100% (22 человек) ответили «не могу».
С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2009 год.
Г.А.Воронина Практическое руководство для учителя «Элективные курсы»
Издательство Москва Айрис пресс 2008 год
Ю.Н.Макаров, Н.Г.Миндюк «Дополнительные главы к школьному учебнику»
9-11 класс, Москва Просвещение, 1997г.
КИМы ЕГЭ за 2012-2013 года.
А.Г. Мерзляк и др. «Алгебраический тренажер»., Москва «Илекс», 2005г.
А В Ефремов «Универсальные математические методы», Казань БФ КГТУ, 2010 год.
А.Г. Корянов 2012 задания С 1 – С 5 Методы решения (электронный ресурс)
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Номер материала: ДБ-617511
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов
Время чтения: 2 минуты
Школы организуют экскурсии и спортивные игры в день выборов
Время чтения: 1 минута
Всероссийская олимпиада школьников начнется 13 сентября
Время чтения: 2 минуты
Игры со взрослыми полезнее для развития детей, чем игры со сверстниками
Время чтения: 2 минуты
ЕГЭ в 2022 году может пройти в допандемийном формате
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки предлагает дифференцированный подход к аккредитации вузов
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник
Логарифмические уравнения с параметром
Содержимое разработки
Логарифмические уравнения с параметром.
Областью определения его служит решение системы
При a = b мы получим уравнение f(x) = g(x) , равносильное исходному.
При a = b мы получим уравнение f(x) = g(x) , равносильное исходному.
При a ≠ b решение уравнения сводится к решению уравнения
При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо придерживаться следующей схемы:
1. Найти область допустимых значений. 2. Решить уравнение (чаще всего выразить x через a). 3. Сделать перебор параметра a с учетом ОДЗ. 4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ. 5. Записать ответ.
Типы логарифмических уравнений с параметром:
0 (a ≠ 1 ), 2. » width=»640″
Источник