Логарифмические уравнения теория егэ

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

Некоторые свойства логарифмов

Логарифмические уравнения

После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше $0$.

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

1. Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$

2. Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:

${table f(x)=g(x); f(x)>0; g(x)>0;$

3. Уравнения квадратного вида ${log_a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

.

Основное логарифмическое тождество:

,

.

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие .

Ответ:

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения:

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Логарифмические уравнения – коротко о главном

Определение логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение – уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида ( displaystyle lo{{g}_{a}}~x~=~b).

Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду ( displaystyle lo{{g}_{a}}left( fleft( x right) right)~=~lo{{g}_{a}}left( gleft( x right) right)), и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: ( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)).

ОДЗ (Область допустимых значений) для логарифмического уравнения:

( displaystyle left{ begin{align}& f(x)>0,\ & a>0,text{}\& ane 1.\end{align}right.)

5 основных методов решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

( displaystyle lo{{g}_{a}}~f(x)=b Leftrightarrow ~f(x)={{a}^{b}}, a>0, ane 1).

2 метод. Использование свойств логарифма:

• ( displaystyle lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b)
• ( displaystyle ccdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}})
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( bc right))
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}b-lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( frac{b}{c} right))
• ( displaystyle {{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)
• ( displaystyle {{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,ane 1)
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}a=1~(a>0,ane 1))

3 метод. Введение новой переменной (замена):

Замена ( displaystyle lo{{g}_{a}}x~=~t)позволяетсвести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.

4 метод. Переход к новому основанию:

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right)).

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right)).

5 метод. Логарифмирование:

Берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

Теорема: Если ( displaystyle a>1), то функция ( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x) является монотонно возрастающей, если ( displaystyle 0<a<1), то функция( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x) является монотонно убывающей.

( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=A\gleft( x right)=Aend{array} right.).

Метод введения новой переменной

Я начну с рассмотрения первого метода. Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» – это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Пусть вначале ( displaystyle x=10), так как ( displaystyle lg 10=1), то ( displaystyle frac{1}{4-1}+frac{2}{2+1}=frac{1}{3}+frac{2}{3}=1), верно!

Теперь ( displaystyle x=100,lg 100=2), тогда ( displaystyle frac{1}{4-2}+frac{2}{2+2}=frac{1}{2}+frac{2}{4}=1), все верно!

Таким образом, числа ( displaystyle 10) и ( displaystyle 100) являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: ( displaystyle 10,100).

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения. 

Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.

А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

2. ( displaystyle frac{{{log }_{2}}frac{x}{2}}{{{log }_{2}}x}-frac{{{log }_{2}}{{x}^{2}}}{{{log }_{2}}x-1}=1)

3. ( displaystyle 0.1{{lg }^{4}}x-{{lg }^{2}}x+0,9=0.)

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример.

Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб». Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.

Сделав это, ты получишь:

Давай сделаем ее: ( displaystyle t=lo{{g}_{2}}x). Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим. Тогда мы получим:

Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{x}_{2}}) в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.

Теперь давай попробуем решить третье уравнение

4. ( displaystyle 1+{{log }_{x}}frac{4-x}{10}=left( lg {{x}^{2}}-1 right){{log }_{x}}10)

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной!

Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

Если ( displaystyle {{x}_{1}}), ( displaystyle {{x}_{2}})– корни уравнения ( displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0), то:

Так как ( displaystyle {{log }_{2x+3}}~left( 3x+7 right)=1/{{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)), то введем замену ( displaystyle t={{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)).

Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид: ( displaystyle frac{2}{t}+t-3=0)

Его корни равны: ( displaystyle {{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=1), тогда

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

На самом деле, пример решается в два действия:

1. Преобразуем ( displaystyle {{log }_{5}}3=frac{1}{{{log }_{3}}5})

2. Теперь справа у меня стоит выражение ( displaystyle frac{{{log }_{3}}left( 2x+10 right)}{{{log }_{3}}5}), которое равно ( displaystyle {{log }_{5}}left( 2x+10 right))

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

Опишем непосредственно сам мини-максный метод

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

• ( displaystyle {{log }_{frac{1}{3}}}left( 1+{{left( {{x}^{2}}-3x+2 right)}^{2}} right)=sqrt{{{x}^{2}}-6x+8})
• ( displaystyle {{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}+log _{5}^{5}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0)
• ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6})

Ответ: ( displaystyle 2)

2. ( displaystyle {{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}+log _{5}^{2}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0)

Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

Ответ: нет решений.

3. ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6})

Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:

Таким образом, ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{left( x+3 right)}^{2}}+9 right)ge 2)

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

Ответ: ( displaystyle x=-3)

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

На этой странице вы узнаете:

• Кручу, верчу, запутать хочу. Что можно сделать с логарифмами, не навредив себе?
• Как быстро избавиться от логарифмов c одинаковым основанием?
• Как не попасть в аварию в погоне за результатом??

Математики иногда скучают?! 

Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт:

Степень и логарифм —  разная запись одного и того же математического события.

Понятие логарифма

Логарифм отвечает на вопрос: “В какую степень возвести число a, чтобы получилось число b ?”

Например: log₂ 4 = 2, так как  22=4 . 

Вот и всё!

Если понятие “степень” всё ещё звучит устрашающе, мы написали статью “Действия с натуральными числами”.

Что же такое логарифм во вселенной математики?

Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Элементы логарифма:

Существуют такие понятия, как десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте их рассмотрим.

Десятичный логарифм – это логарифм числа по основанию 10. 

Записывается это следующим образом

В случае с десятичным алгоритмом перед нами стоит задача понять, в какую степень возвести 10, чтобы получить нужное нам число.

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (e ≈ 2,7). 

Записывается это следующим образом

У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. Число e играет важную роль во многих разделах математики.

Нельзя обходить такую важную тему, как логарифмы, стороной. Они часто встречаются в заданиях 12 и 14 профильного ЕГЭ по математике. При умелом использовании их свойств можно упростить выражение или заменить запись логарифма на более удобную.

Свойства логарифмов

Основное логарифмическое тождество

Данное тождество следует из определения логарифма и используется для преобразований. 

Простейшие логарифмические уравнения

Как же решать логарифмические уравнения?

Логарифмическое уравнение нужно привести к виду log_a f(x) = log_a g(x). При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице.

Алгоритм решения логарифмического уравнения:

1. Написать ОДЗ.
2. Упростить выражения слева и справа от знака равенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
3. Если основания логарифмов одинаковые избавиться от логарифмов, иначе, используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
4. Решить уравнение и сравнить с ОДЗ, выписать в ответ корни.

Рассмотрим на примере:

1. ОДЗ: 5x — 4 > 0, x + 8 > 0
2. Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно скинуть логарифмы и записать равенство аргументов

5x — 4 = x + 8

1. Теперь решим систему и получим

x = 3

1. Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень, запишем ответ, х = 3.

Давайте рассмотрим ещё одно уравнение

1. Добавим ОДЗ: х > 0, x — 4 > 0, 4x > 0, 4x ≠ 1
2. По свойствам логарифма преобразуем правую часть уравнения

1. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2

1. Скинем логарифмы

x — 4 = 2
x = 6

Проверим, подходит ли значение под ограничения, и запишем ответ, x = 6.

Простейшие логарифмические неравенства

Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.

Делается это уже известным способом, при этом нужно обращать внимание на основание логарифма.

Важно:
Если 0<a<1, тогда знак неравенства меняется на противоположный
Если a>1, тогда знак неравенства не меняется

Алгоритм решения логарифмического неравенства:

1. Написать ОДЗ.
2. Упростить выражения слева и справа от знака неравенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
3. Если основания логарифмов одинаковые избавиться от логарифмов по схеме выше. Иначе, используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
4. Решить неравенство, пересечь с ОДЗ, записать ответ.

Давайте рассмотрим решение неравенства на примере:

1. Напишем ОДЗ и по свойству логарифма вынесем степень перед логарифмом

x² > 0, x > 0 ⇔ x > 0

1. Перенесем одно слагаемое влево и упростим 

1. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5

1. Скинем логарифмы без изменения знака неравенства, так как основание больше единицы и учтём ОДЗ 

x ≥ 25

Запишем ответ [25; +∞).

Фактчек

• Логарифм – это степень, в которую возводится основание логарифма, чтобы получить аргумент (a^{x} = b Leftrightarrow x = log_{a}:b, при: a > 0, a neq 1, b > 0);
• Десятичный логарифм: lg a;
• Натуральный логарифм: ln a;
• Основное логарифмическое тождество: (a^{log_{a}: b} = b, при: a > 0, a neq 1, b > 0);
• Существуют специальные свойства логарифмов, благодаря которым можно совершать преобразования;
• При решении уравнений и неравенств не забывать про ОДЗ на аргумент и основание логарифма: основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля;
• В логарифмических неравенствах при переходе к неравенству аргументов логарифмов знак меняется на противоположный, если значение основания логарифма находится на промежутке от 0 до 1.

Проверь себя

Задание 1.
Решите уравнение

1. 1 и -1
2. 2 и -2
3. 2
4. -1

Задание 2.
Решите уравнение

1. 16
2. 12
3. 1
4. 8

Задание 3.
Решите уравнение

1. 0 и 163
2. 0 и 323
3. 32
4. 163

Задание 4.
Решите неравенство

1. [-43;0)(0;4]
2. (0;4]
3. [-43;0)
4. -43;4

Задание 5.
Решите неравенство

1. (0;13] 
2. (-13;13]
3. -13;13
4. -13;0

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 1; 5. — 2

Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести , чтобы получить (то есть ). При этом задаются ограничения: . Значение логарифма может быть любым.

Вычислите:

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

2. При возведении значит,

Ответ: 3; -3.

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть Подставим вместо разные числа и определим соответствующие значения переменной .

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Легко заметить, что функция все время возрастает. Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь . Составим таблицу значений для этого случая.

Тогда график функции будет выглядеть следующим образом.

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять и логарифмы с натуральным основанием .

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Используем рассмотренные свойства для решения некоторых задач.

Пример 2

Вычислите

1. Представим .

2. Вынесем степень из—под знака логарифма:

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1:

Ответ: 5.

Пример 3

Вычислите

1. Воспользуемся свойством степеней:

2. Используем основное логарифмическое тождество:

Ответ: 75.

Пример 4

Вычислите

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

2. Представим 1000 = 10³ и вынесем 3 за знак логарифма:

3. Воспользуемся тем, что .

Ответ: 3.

Пример 5

Вычислить .

1. Воспользуемся формулой для частного логарифмов:

2. Преобразуем основание логарифма 36 = 6² и вынесем, «перевернув», вынесем показатель:

3. Воспользуемся тем, что

Ответ: 0,5.

Пример 6

Вычислите .

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов:

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма:

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя:

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12:

5. Представим144 = 12², вынесем степень за знак логарифма и воспользуемся соотношением

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами, на экзамене могут встретиться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример 7

Вычислите

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0:

Ответ: 0.

Логарифмические уравнения

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

$log_<2>8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$

Особенно можно выделить три формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям: $<table x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\ x^<2>-4> 0\ x^<2>+x=x^<2>-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ alt=’log _<8>left ( x^<2>+x right )=log _<8>left ( x^<2>-4 right )Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x^<2>+x=x^<2>-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _<2>left ( 4x+5 right )> right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginsqrt<4x+5>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac<1> <4>endright.’ alt=’2^<log _<4>left ( 4x+5 right )>=9Leftrightarrow left <begin2^frac<<log _<2>left ( 4x+5 right )>><2>=9\ 4x+5> 0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _<2>left ( 4x+5 right )> right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginsqrt<4x+5>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac<1> <4>endright.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ alt=’left <begin12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Поверните устройство

1. Классы
2. ЕГЭ (профиль)
3. 01. Простейшие уравнения
4. Теория: 07. Элементарные логарифмические уравнения

Найдите корень уравнения:

Решим уравнение (displaystyle log_7(13-3x)=2<small .>)

Если (displaystyle a>0,, b>0 ) и (displaystyle acancel<=>1), то по определению логарифма

(displaystyle log_a b=c) равносильно (displaystyle b=a^c <small .>)

(displaystyle log_7(13-3x)=2) равносильно (displaystyle 13-3x=7^2 <small .>)

Решим линейное уравнение (displaystyle 13-3x=7^2 <small :>)

Так как (displaystyle 13-3x=7^2 <small ,>) то ограничение (displaystyle 13-3x>0 ) будет верным для решения линейного уравнения.

Тема 13. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Логарифмом числа по основанию  называется показатель степени , в которую надо возвести основание , чтобы получить число , то есть из  следует  и наоборот.

Основные формулы.

1. 
2. .
3. 
4. — запись числа через логарифм.
5. — основное логарифмическое тождество.
6.  — формула перехода к логарифму по основанию
7. .
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 

Основные методы решения логарифмических уравнений.

I. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида

Примеры.

Решить уравнение. 1)  .

Решение.

Проверка:  верно;

                     верно.

Ответ: -1; 3.

2) .

Решение. По определению логарифма:  Получаем

.

Проверка:  верно.

Ответ: .

Решить уравнения.

1. .                                                        Ответ:
2. .                                                Ответ:      
3. .                                                Ответ:    
4. .                                  Ответ:
5. .                                                               Ответ:
6.                                                                      Ответ:

II. Метод потенцирования.

Сущность метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду   Это уравнение ( при  равносильно системе

Примеры.

Решить уравнение.

1) .

Решение. ОДЗ (область допустимых значений переменной): . Преобразуем исходное уравнение

-удовлетворяет условию (1).

Ответ: .

2) .

Решение. ОДЗ    (2)

 

 не удовлетворяет ОДЗ,  удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

1. 

Решение. ОДЗ:

           Найдем связь между основаниями логарифмов. По формуле разности кубов получаем  

 Таким образом

  Значение  удовлетворяет ОДЗ,  не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

Решить уравнения.

1.                                                    Ответ:
2.                                                  Ответ:
3.                                                      Ответ:
4.                                                             Ответ:
5.                   Ответ:  
6.                                  Ответ:  

III. Метод введения неизвестного (подстановка).

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного уравнения.

Примеры.

Решить уравнение. 1)

Решение. ОДЗ  В первом слагаемом перейдем к основанию 25, воспользовавшись формулой  Получим . Так как , т.е.  то умножив обе части уравнения на  получим  . Введем новую переменную, обозначив  Получим  квадратное уравнение относительно нового неизвестного :

. Решая его, находим Используя обозначение  получаем

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

2)

Решение. ОДЗ   С учетом ОДЗ раскроем модуль, получим  Обозначим  приходим к квадратному уравнению  Тогда  

Найденные значения удовлетворяют уравнению.

Ответ: -10; —.

Решить уравнения.

1.                                                              Ответ:              

2.                                                 Ответ:

3.                                         Ответ:

4.                                                    Ответ:

5.                                                        Ответ:

IV. Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Часто метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Примеры. Решить уравнение.

1) .

Решение. ОДЗ: . Перейдем к основанию 2, используя формулу , получим

, , обозначим , тогда

                     . Значит,

Найденное значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 64.

2) .

Решение. ОДЗ: Переходим к основанию 2, используя формулу.

Итак,

Тогда исходное уравнение перепишется так

. Обозначим , получим уравнение

   Тогда

Найденные значения  удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1, 4, .

Решить уравнения

1.                                    Ответ:
2.                                           Ответ:
3.                                                      Ответ:
4.                                                              Ответ:
5.                                                  Ответ:  

V. Метод логарифмирования.

Уравнения, содержащие неизвестную величину как в основании, так и в показателе степени, решают, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. Основание логарифмирования выбирают по виду конкретного уравнения.

Примеры. Решить уравнение.

1) , где

Решение. В данном задании целесообразно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.

Получаем , откуда  Введем новую переменную . Тогда полученное уравнение перепишется в виде (учитывая, что )

Ответ:

2) .

Решение. ОДЗ:  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию .

  Пусть , тогда

Тогда  Найденные значения  удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Решить уравнения

1.                                                           Ответ:
2.                                         Ответ:
3.                                                     Ответ:
4.                                                        Ответ:
5.                                                           Ответ: