Логарифмическое неравенство егэ профиль задание 14 - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №14. Логарифмические неравенства

ЕГЭ Профиль №14. Логарифмические неравенстваadmin2022-08-08T15:40:30+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

$frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}$

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

$frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};$

$frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};$

$frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.$

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

$left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..$

Вернемся к переменной x: $left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .$

$left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .$

Ответ: $xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].$

Показательные неравенства

2. Решите неравенство $2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.$

$2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.$

Сделаем замену Получим:

$t+17cdot frac{8}{t}-25le 0.$ Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

$D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81.$ Значит, корни этого уравнения: $left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.$

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

$2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};$

$3le xle {{log }_2 17};$

Ответ: $xin left[3;{{log }_2 17}right].$

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство $2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.$

Сделаем замену $2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0.$ Получим:

$frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;$

$frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;$

$frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;$

$frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.$

$left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.$

Вернемся к переменной $x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.$

Первое неравенство решим легко: С неравенством ${2le 2}^{2x-x^2}$ тоже все просто. Но что делать с неравенством $2^{2x-x^2}le 3$ ? Ведь $3 = 2^{{{log }_2 3}}.$ Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим $t=2^{2x-x^2}.$ Для этого рассмотрим функцию $tleft(xright)=2^{2x-x^2}.$

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда $2^{zleft(xright)}le 2$ , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если ${2le 2}^{2x-x^2}$ и $2^{2x-x^2}le 2$ , то $2^{2x-x^2}=2.$

Мы получили:

$left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.$

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

$2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right).$

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство $2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.$

$2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.$

ОДЗ:

Замена ${{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.$

$2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;$

$t_1=frac{-7-9}{16}=-1;$

$t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.$

$(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.$

Ответ: $xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.$

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: ${{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.$

$log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }$ . Используем также условия

$left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.$

Поскольку ${ 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}$

Согласно методу замены множителя, выражение ${{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.$

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

${{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.$

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

${{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};$

${{log }_3 9=2};$

${{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.$

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции ${{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}}$ равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств

Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств

Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)

Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных

Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных

Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием

(blacktriangleright) Стандартное логарифмическое неравенство [{Large{log_a{f(x)}geqslant log_a{g(x)}}}] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant,
>, <))

Если ({large{a>1}}), то данное неравенство равносильно системе [{Large{begin{cases} f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end{cases}}}] Заметим, что условие (f(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.

Если ({large{0<a<1}}), то данное неравенство равносильно системе [{Large{begin{cases}f(x)leqslant g(x)\f(x)>0 end{cases}}}] Заметим, что условие (g(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.

(blacktriangleright) С помощью формулы ({Large{b=log_a{a^b}}}) можно любое число (b) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию (a>0, ane 1).

Задание
1

#1571

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_2 x^2geqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ:[x^2 > 0qquadLeftrightarrowqquad xneq 0.]

При (xneq 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log_2 x^2 geqslant log_2 2qquadLeftrightarrowqquad x^2geqslant 2qquadLeftrightarrowqquad xin(-infty; -sqrt{2}]cup[sqrt{2}; +infty)
end{aligned}]

– сюда не вошёл (x = 0), следовательно, это и есть ответ.

Ответ:

((-infty; -sqrt{2}]cup[sqrt{2}; +infty))

Задание
2

#1572

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_2 x^2geqslant 1 +log_2 x
end{aligned}]

ОДЗ:[begin{cases}
x^2 > 0\
x > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad x > 0.]

При (x > 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_2 x^2 geqslantlog_2 2 + log_2 xqquadLeftrightarrowqquadlog_2 x^2 geqslantlog_2 2xqquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad x^2geqslant 2xqquadLeftrightarrowqquad x(x — 2)geqslant 0,.
end{aligned}]

По методу интервалов:

то есть решения последнего неравенства без учёта ОДЗ: [xin (-infty; 0]cup[2; +infty),] но (x > 0), следовательно, решение исходного неравенства [xin [2; +infty).]

Ответ:

([2; +infty))

Задание
3

#3031

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_5^3 x + log_5 xgeqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = log_5 x):

[begin{aligned}
t^3 + tgeqslant 0qquadLeftrightarrowqquad t(t^2 + 1)geqslant 0
end{aligned}]

Так как (t^2geqslant 0), то (t^2 + 1geqslant 1 > 0), следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству [tgeqslant 0,,] откуда [log_5 x geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad log_5 x
geqslant log_5 1 qquadLeftrightarrowqquad x geqslant 1,.]

С учётом ОДЗ ответ: (xin[1; +infty)).

Ответ:

([1; +infty))

Задание
4

#1574

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
2log_4 xcdot (log_4 x — 2)geqslant -1,5
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
x > 0
end{aligned}]

Сделаем замену (log_2 x = t) с учётом того, что на ОДЗ (log_4 x = 0,5log_2 x):

[begin{aligned}
t(0,5t — 2)geqslant -1,5qquadLeftrightarrowqquad t^2 — 4t + 3geqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin(-infty; 1]cup[3; +infty)), тогда
(log_2 xin (-infty; 1]cup[3; +infty)), следовательно, с учётом ОДЗ [xin(0; 2]cup [8; +infty),.]

Ответ:

((0; 2]cup [8; +infty))

Задание
5

#2407

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log^2_2 x + 3log_2 x + 3leqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log^2_2 x + 3log_2 x + 2leqslant 0
end{aligned}]

Сделаем замену (t = log_2 x):

[begin{aligned}
t^2 + 3t + 2leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t + 1)(t + 2)leqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin [-2; -1]).

Тогда (-2 leqslant log_2 xleqslant -1), что равносильно [log_2 dfrac{1}{4} leqslant log_2 xleqslant log_2 dfrac{1}{2}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{4} leqslant xleqslant dfrac{1}{2},.]

С учётом ОДЗ ответ: (xin[0,25; 0,5]).

Ответ:

([0,25; 0,5])

Задание
6

#2408

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log^2_3 x + 6log_3 x + 8leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = log_3 x):

[begin{aligned}
t^2 + 6t + 8leqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t + 2)(t + 4)leqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin [-4; -2]).

Тогда (-4 leqslant log_3 xleqslant -2), что равносильно [log_3 dfrac{1}{81} leqslant log_3 xleqslant log_3 dfrac{1}{9}qquadLeftrightarrowqquad dfrac{1}{81} leqslant xleqslant dfrac{1}{9},.]

С учётом ОДЗ ответ: (xinleft[dfrac{1}{81}; dfrac{1}{9}right]).

Ответ:

(left[dfrac{1}{81}; dfrac{1}{9}right])

Задание
7

#2409

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln^2 x — 7ln x + 12geqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Сделаем замену (t = ln x):

[begin{aligned}
t^2 — 7t + 12geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t — 3)(t — 4)geqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (tin (-infty; 3]cup [4; +infty)).

Тогда на ОДЗ [left[
begin{gathered}
ln xleqslant 3\
ln xgeqslant 4
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
ln xleqslant ln e^3\
ln xgeqslant ln e^4
end{gathered}
right.
qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
xleqslant e^3\
xgeqslant e^4
end{gathered}
right.]

С учётом ОДЗ ответ: [xin (0; e^3]cup[e^4; +infty),.]

Ответ:

((0; e^3]cup[e^4; +infty))

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник