Логарифмическое уравнение с параметром егэ

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Пример 1

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^{-x})=5) имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^{-x} > 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac{1}{t})=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $${t}_{1,2}=frac{5±sqrt{25-4(a+1)^2}}{2(a+1)} .$$

Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$
$$a+1=±frac{5}{2}$$
(a=-3.5 -) не подходит;

(a=1.5;)

Ответ: (a=1.5.)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Пример 2

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Решение:

Найдем ОДЗ: (a>0;) (a≠1); (x>-1); (x≠0).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

(x^2 (x+1)^2=a^2 ⇔ |x|(x+1)=a. )

1 случай: (x∈(-1,0).)

Получаем уравнение:

$$-x(x+1)=a ⇔ -x^2-x-a=0,$$
$$D=1-4a;$$
$$ {x}_{1,2}=frac{1±sqrt{1-4a}}{-2};$$

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0< a ≤ frac{1}{4} )Оба корня лежат в промежутке (x∈(-1,0)).

2 случай: (x>0).

Получаем:

$$ x(x+1)=a, $$
$$ x^2+x-a=0,$$
$$ D=1+4a;$$
$$ {x}_{3,4}=frac{-1±sqrt{1+4a}}{-2};$$

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac{1}{2}-frac{sqrt{1+4a}}{2}$$ не подходит, так как ( x>0.)

Ответ:
При (a≤0) решений нет;
при (0 < a ≤ frac{1}{4}:) $$ {x}_{1,2}=frac{1±sqrt{1-4a}}{-2}$$ $$x_3=frac{-1-sqrt{1+4a}}{-2};$$
при (a > frac{1}{4}:) $$ x_3= frac{-1-sqrt{1+4a}}{-2}.$$

Пример 3

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

Решение:

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

$$ 16^x+a=4^x, $$
$$ 16^x-4^x+a=0;$$

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 < {t}_{1} < {t}_{2}). Ветки данной параболы направлены вверх. Пусть (f(t)=t^2-t+a).

При помощи таблицы (см. таблицу):

$$ begin{cases} f(0)>0, \D≥0, \D>0, \ {x}_{0}>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \a<1/4. end{cases} $$

Ответ: (a∈(0;1/4).)

Логарифмические уравнения, неравенства и системы с параметром

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 390    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 390    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

1

Методическая разработка для учащихся 11—го класса «Решение логарифмических

уравнений с параметрами»

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую

человечество употребило тысячелетие. Однако его

следует вести к цели не с завязанными глазами, а

зрячим: он должен воспринимать истину, не как

готовый результат, а должен ее открывать. Учитель

должен руководить этой экспедицией открытий,

следовательно, также присутствовать не только в

качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать

свои силы; ему ничто не должно доставаться даром.

Дается только тому, кто стремится.

(А. Дистервег)

Данная методическая разработка «Решение логарифмических уравнений с

параметрами» предназначена для учащихся 11—х классов, желающих углубить и

расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие

учебные заведения. Кто понимает, что математику надо учить потому, что она «ум в

порядок приводит», и без нее невозможно стать специалистом в любой отрасли знаний.

К сожалению, изучению логарифмических уравнений с параметрами в программе

общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. а подобные

уравнения входят в сложную группу заданий, предлагаемых в рамках ЕГЭ, для решения

которых необходима хорошая теоретическая подготовка учащихся и уверенное владение

технологиями решения математических задач. Выпускник должен не только знать

обязательные этапы решения логарифмических уравнений с параметрами, но и хорошо

понимать их смысл и назначение, так как многие учащиеся понимают параметр как

«обычное число». Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать

постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения.

Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой

постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.

На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения

параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все

значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства

удовлетворяют заданным условиям». Соответственно

И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого

типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для

каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач

с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия

задачи.

Основная цель данной методической разработки: показать различные методы

решения нестандартных логарифмических уравнений с параметром, сделать

использование этих методов глубоко осмысленным.

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от $х$.
3. В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
5. Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

$F(x, a) = 0$

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$√{g(x)}; g(x)≥0$.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

$log_{f(x)}g(x) {tableg(x) > 0; f(x) > 0; f(x)≠1;$

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D < 0$;

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда $D > 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

1. $tgα={sinα}/{cosα}$

2. $ctgα={cosα}/{sinα}$

3. $sin^{2}α+cos^{2}α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^{2}α}$

$cosα=±√{1-sin^{2}α$

4. $tgα·ctgα=1$

5. $1+tg^{2}α={1}/{cos^{2}α}$

6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2}α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$

2. $cos2α=cos^{2}α-sin^{2}α=2cos^{2}α-1=1-2sin^{2}α$

3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^{2}α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos{α-β}+cos{α+β}}/{2}$

$sinα·sinβ={cos{α-β}-cos{α+β}}/{2}$

$sinα·cosβ={sin{α+β}+sin{α-β}}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Решение тригонометрического уравнения с параметром рассмотрим на примере.

Неравенства с параметром

Если имеется неравенство вида $F(a,x) ≤ G(a,x)$ то оно будет иметь одно решение, если $F'(a, x)=G'(a, x)$.

Системы уравнений:

Выделяют четыре основных метода решения систем уравнений:

1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
3. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
4. Графический метод решения: из каждого уравнения выражается $«у»$, получаются функции, графики которых необходимо построить и посмотреть координаты точек пересечения.

Логарифмические уравнения и системы уравнений

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠1$

Свойства логарифмов:

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log_{а}b^m=mlog_{a}b$;

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b$.

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_a{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a, b, c, d >0, a≠1, b≠1$.

5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

При решении систем, содержащих логарифмические уравнения, часто удается, избавившись от логарифма, заменить одно или оба уравнения системы рациональными уравнениями. После этого надо выразить одну переменную через другую и после постановки получить уравнение с одной переменной. Кроме того, часто встречаются задачи на замену переменной в пределах одного или обоих уравнений системы и системы, требующие отбора решений.

Логарифмические неравенства:

1. Определить ОДЗ неравенства.

2. По свойствам логарифма преобразовать неравенство к простому виду, желательно получить с двух сторон логарифмы по одинаковому основанию.

3. Перейти к подлогарифмическим выражениям, при этом надо помнить, что:

а) если основание больше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства остается прежним;

b) если основание меньше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный;

с) если в основании находится переменная, надо рассмотреть оба варианта.

4. Решить неравенство.

5. Выбрать решения с учетом ОДЗ из п.1

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании легче всего воспользоваться тождественными преобразованиями:

$log_{a}f > b ↔ {table (f-a^b)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

$log_{a}f+log_{a}g > 0 ↔ {table(fg-1)(a-1)> 0; f > 0,g > 0; a > 0;$

$log_{a}f+b > 0 ↔ {table(fa^b-1)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

Системы, содержащие показательные уравнения

Свойства степеней

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n·a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

Основные методы решения систем, содержащих показательные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – положительность выражения $a^{f(x)}$, которую полезно учитывать, вводя соответствующее ограничение при замене переменной.

Показательные неравенства, сводящиеся к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$:

1. Преобразовать показательное уравнение к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$

2. Перейти показателям степеней, при этом если основание степени меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный, если основание больше единицы – знак неравенства остается прежним.

3. Решить полученное неравенство.

4. Записать результат.

Показательные неравенства, которые можно разложить на множители или сделать замену переменной.

1. Для данного метода во всем неравенстве по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.

2. Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t>0$.

3. Получаем рациональное неравенство, которое можно решить методом интервалов путем разложения на множители выражения.

4. Делаем обратную замену с учетом того, что $t>0$. Получаем простейшее показательное неравенство $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Уравнения с многочленами

Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку $(х+1)$

Системы иррациональных уравнений

Основные методы решения систем, содержащих иррациональные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – надо расписать ОДЗ каждого уравнения, а в конце решения выбрать решение системы с учетом ОДЗ.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду

$√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$

2. Обе части уравнение возвести в квадрат

$√{f(x)}^2={g(x)}^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$

3. Решить полученное рациональное уравнение.

4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Ученик проходит в несколько лет
дорогу, на которую человечество
употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели
не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать
истину, не как готовый  результат,
а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой
 экспедицией открытий, следовательно,
также присутствовать не только в качестве
простого зрителя.
Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто
не должно
доставаться даром. Даётся  только тому, кто
стремится.

(А. Дистервег)

Кто любит учиться, никогда
не проводит время в праздности.

(Монтескье)

Гений состоит из одного  процента
вдохновения и девяноста девяти процентов
потения.

(Эдисон)

Данная методическая разработка «Решение
логарифмических уравнений с параметрами»
предназначена для учащихся 11 классов, желающих
углубить и расширить свои знания по математике,
готовящихся к поступлению в высшие учебные
заведения, понимающих, что математику надо учить
потому, что она ум в порядок приводит и без неё
невозможно стать специалистом в любой отрасли
знаний, невозможно стать профессиональным
специалистом.
В структуре методической разработки
рассматриваются три типа решения
логарифмических уравнений с параметрами:

1. Уравнения, содержащие параметры в
   логарифмируемом выражении.
2. Уравнения, содержащие параметры в основании.
3. Уравнения, содержащие параметры и в основании, и
   в логарифмируемом выражении.

К сожалению, изучению этих трёх типов решения
логарифмических уравнений с параметрами в
программе общеобразовательной школы уделяется
незаслуженно мало внимания. А подобные уравнения
входят в сложную группу заданий, предлагаемых в
рамках ЕГЭ, для решения которых необходима
хорошая теоретическая подготовка учащихся и
уверенное владение технологиями решения
математических задач. Выпускник должен не только
знать обязательные этапы решения
логарифмических уравнений с параметрами, но и
хорошо понимать их смысл и назначение, так как
многие учащиеся понимают параметр, как «обычное
число». Действительно, в некоторых задачах
параметр можно считать постоянной величиной, но
эта постоянная величина принимает неизвестные
значения. Поэтому необходимо рассматривать
задачу при всех возможных значениях этой
постоянной. В других задачах параметром бывает
удобно объявить одну из неизвестных.
На вступительных экзаменах в высшие учебные
заведения в виде ЕГЭ встречаются два типа задач с
параметрами. Первый «для каждого значения
параметра найти все решения некоторого
уравнения или неравенства». Второй «найти все
значения параметра, при каждом из которых
решения уравнения или неравенства удовлетворяют
заданным условиям». Соответственно и ответы в
задачах этих двух типов различаются по существу.
В задачах первого типа ответ выглядит так:
перечисляются все возможные значения параметра
и для каждого из этих значений записываются
решения уравнения. В ответах второго типа задач с
параметром перечисляются все значения
параметра, при которых выполнены условия задачи.
Основная цель данной методической разработки:
научить учащихся решать нестандартные
логарифмические уравнения с параметром,
показать разные методы их решений, сделать
использование этих методов глубоко
осмысленными.
Предлагаемые в этой методической разработке
методы решения уравнений не сказочный ключ к
решению любой задачи. Но они направляют мысль,
сокращают время поиска, формируют навыки
решения. Все предлагаемые уравнения снабжены
подробными решениями. Показано решение 18
уравнений. Но чтобы получить ощутимую пользу от
знакомства с готовым решением, необходимо,
уловив новую идею, удержаться и не читать дальше,
и попробовать затем решать самостоятельно.

При решении логарифмических уравнений с
параметрами необходимо  придерживаться
следующей схемы:

1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить х
через а).
3. Сделать перебор параметра а с
учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни
уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.

Рассмотреть примеры (см. Приложение).